Análise do Domínio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto e Contínuo - Aula 06

Analise do Domınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto e Contınuo Sinais e Sistemas AULA 06 Profª Verusca Severo Universidade de Pernambuco Escola Politecnica de Pernambuco 24 de novembro de 2023 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 1 22 Introducao Vamos exercitar um pouco 1 Como podemos escrever o sinal da figura a seguir Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 2 22 Introducao Vamos exercitar um pouco 1 Como podemos escrever o sinal da figura a seguir xn 2δn 3δn 1 2δn 2 xn x1δn1x0δnx1δn1x2δn2x3δn3 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 3 22 Introducao e De uma forma geral temos que CO xn S xkon k koco A expressdo acima descreve como o sinal xn pode ser representado por uma sequéncia de impulsos deslocados no tempo 6n k Introducao Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo Sistemas LIT sao aqueles que apresentam simultaneamente as propriedades de linearidade e invariˆancia temporal Em um sistema LIT vale o seguinte cenario Se Entao Linearidade Invariˆancia temporal Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 5 22 Resposta ao Impulso para Sistemas LIT A Resposta ao Impulso e um metodo usado para se caracterizar completamente o comportamento de um sistema LIT Para sistemas LIT podese determinar a resposta temporal yt a uma entrada arbitraria xt atraves da superposicao de respostas ao impulso deslocadas no tempo Conhecendo a Resposta ao Impulso de um Sistema podese determinar a resposta para uma entrada qualquer arbitraria Dado um sistema LIT aplicando a entrada um impulso unitario δn ou δt temse uma saıda hn ou ht conforme o esquema a seguir Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 6 22 Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Dado um sistema LIT aplicando a entrada um impulso unitario δn ou δt temse uma saıda hn ou ht conforme o esquema a seguir A funcao hn ou ht e a resposta do sistema a um impulso unitario ou simplesmente a resposta impulsiva do sistema ou seja hn Sδn ou ht Sδt Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 7 22 Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convolucao Um sistema LIT apresenta resposta ao impulso O sistema LIT e invariante no tempo O sistema LIT e Linear homogˆeneo aditivo Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 8 22 Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convoluao e A resposta de um sistema LIT é a soma ponderada das respostas ao impulso deslocadas no tempo CO Co xn xK5In i oxkl bln kd yln a po e Assim chegase ao importante resultado que para se obter a saida de um sistema LIT a uma entrada xn qualquer basta conhecer sua resposta impulsiva hn e efetuar a operacdo CO yn xn Aln 0 xkAn k kco A operacao acima descrita 6 conhecida como Soma de Convolucao para o tempo discreto representada pelo simbolo x Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convoluao Vamos analisar detalhadamente como chegar no operador convolucao e Lembrese um sinal xn pode ser expresso como uma superposicao ponderada de impulsos deslocados no tempo sendo a ponderacao dada pelo valor da entrada no instante onde o impulso deslocado ocorre somo segue CO xn S xkén k kco xn é um sinal discreto em que n 0 instante de tempo considerado xk 0 valor do sinal no instante de tempo k Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convoluao Vamos analisar detalhadamente como chegar no operador convolucao e A saida de um sistema LIT a entrada xn 77 xkdn k também sera uma superposido ponderada da resposta do sistema a cada impulso ponderado e deslocado no tempo co yn Sxn d xlAlén a kco e Como o sistema LIT é linear entao co CO v Yo auto a J se ote a k00 k0o Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convoluao Vamos analisar detalhadamente como chegar no operador convolucao e A resposta ao impulso de um sistema LIT é hn S dn e Da mesma forma que hn k S dn k é a resposta do sistema a um impulso deslocado no tempo k Logo CO CO yln SY xfkS 6nk SO xfkAln k k00 k0o Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convoluao e Para sistemas de tempo continuo a soma de Convolucao tornase a Integral de Convolucao e A Integral de Convoluao é obtida de forma andloga 4 Soma de Convolucao e descreve o sinal de saida de um sistema LIT de tempo continuo como a superposido ponderada das respostas ao impulso deslocadas no tempo Qualquer sinal de tempo continuo xt pode ser representado como CO xt x7dt Tdr cCo Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convoluao e A saida de um sistema LIT continuo a entrada xt x76t rdr também serd uma superposiao ponderada da resposta do sistema a cada impulso ponderado e deslocado no tempo CO yt Sxt x76t nar oo e Como o sistema LIT é linear entado CO CO yt 5 xr6t dr xrS 6t 7 dr Cco CoO Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convoluao e A resposta ao impulso de um sistema LIT continuo é ht S dt e Da mesma forma que ht 7 S dt T é a resposta do sistema a um impulso deslocado no tempo rT Logo resultase na Integral de convolucao CO CO yt x75 57 ar xrhtrd7 xt ht cCo cCo Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convolucao Vamos pensar um pouco Qual o resultado da convolucao yt ou yn com o Impulso yt xt δt ou yn xn δn Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 16 22 Resposta ao Impulso para Sistemas LIT Convolucao Vamos pensar um pouco Qual o resultado da convoludo yt ou yn com o Impulso yt xt0t ou yln xn 5fn e Resposta yt xt6t xt xt6t xr6trdr xt yn xn 6n xn xn dn S xk6n k xn k0co Propriedades do Operador Convoluao e Propriedade comutativa Tempo discreto xn An Aln x xn Tempo continuo xt ht At xt e Prova co co xrht rdr hrxt rdr oo oo e Fazendowt7T7Ttwe dw dr Quando T oo w 00 e T 00 w oo Logo I xt whwdw xt whwdw ht xt 00 oo e Propriedade distributiva Tempo discreto xn han hon xn han xn hol Tempo continuo xt Ayt hot xt hy t xt hot Prova Seja ht ht hat entao xt At I xrht 7d7 I xt rhrdr xt rhrdr I xt 7 fnr in7 dr I xt rhrdr I xt rhirdr I xt 7hordr xt ht xt hat hot xt hat xt hat Propriedades do Operador Convolucao Propriedade distributiva Interconexao de sistemas em paralelo Isso quer dizer que yt y1t y2t x1t h1t x1t h2t yt x1t h1t h2t x1t ht Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 20 22 Propriedades do Operador Convolucao e Propriedade associativa Tempo discreto xn Ai n Aon xn Ain Aen Tempo continuo xt Ay t Aot xt A1t hot e Prova xt hit hot xt 1 t At xt Ai t hot xt If yt har dr xt hit ht xt B If hi8 rYfardr dB xt fit hot I i xt BnB na hor dr xt hit hot xt 1 t At Propriedades do Operador Convolucao Propriedade associativa Interconexao de sistemas em cascata serie Isso quer dizer que y2t y1t h2t x1t h1t h2t y2t x1t h1t h2t y2t x1t ht Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 06 24 de novembro de 2023 22 22