Aula 02: Operações com Sinais e Sistemas

Introducao aos Sinais e Sistemas Operacoes com Sinais Sinais e Sistemas AULA 02 Profª Verusca Severo Universidade de Pernambuco Escola Politecnica de Pernambuco 25 de outubro de 2023 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 1 34 Operacoes com Sinais A seguir sao listadas algumas operacoes com sinais 1 Multiplicacao por um escalar 2 Deslocamento temporal 3 Reversao temporal 4 Escalonamento temporal Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 2 34 Operacoes com Sinais 1 Multiplicacao por um escalar Operacao realizada na variavel dependente Essa operacao realiza uma mudanca de escala de amplitude yt cxt em que c e o fator de escala Se c 1 yt e amplificado Se 0 c 1 yt e atenuado Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 3 34 Operacoes com Sinais 1 Multiplicacao por um escalar Exemplo Dado o sinal xt Para c 2 temos que yt cxt e Para c 0 5 temos que yt cxt e Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 4 34 Operacoes com Sinais 2 Deslocamento temporal Operacao realizada na variavel independente Tambem chamada de translacao no tempo essa operacao provoca o deslizamento deslocamento do sinal para direita atraso do sinal ou para a esquerda avanco do sinal yt xt t0 Se t0 0 o sinal e deslocado para a direita O sinal yt e a versao atrasada de t0 segundos do sinal xt Se t0 0 yt o sinal e deslocado para a esquerda O sinal yt e a versao adiantada de t0 segundos do sinal xt Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 5 34 Operacoes com Sinais 2 Deslocamento temporal Exemplo Dado o sinal xt Para t0 1 temos que yt xt t0 e Para t0 2 temos que yt xt t0 e Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 6 34 Operacoes com Sinais 3 Reversao temporal Operacao realizada na variavel independente A reversao temporal consiste em uma rotacao de 180 180 graus em torno do eixo das ordenadas yt xt O sinal yt representara uma versao refletida do sinal xt em relacao ao eixo das ordenadas Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 7 34 Operacoes com Sinais 3 Reversao temporal Exemplo Dado o sinal xt e xn temos que yt xt e yn xn e Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 8 34 Operacoes com Sinais 4 Escalonamento temporal Operacao realizada na variavel independente Corresponde a uma mudanca na escala de tempo yt xct Se c 1 o sinal yt e a versao comprimida do sinal xt Se 0 c 1 o sinal yt e a versao expandida do sinal xt Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 9 34 Operacoes com Sinais 4 Escalonamento temporal Exemplo Dado o sinal xt Para c 2 temos que yt xct e Para c 0 5 temos que yt xct e Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 10 34 Operacoes com Sinais Exemplo 1 Seja o sinal xt dado pela expressao abaixo Determine xt 1 0 t 1 0 5 1 t 2 0 t 0 2 a yt 2xt b yt xt 1 c yt xt d yt x2t Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 11 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 1 Temos que xt 1 0 t 1 0 5 1 t 2 0 t 0 2 Logo Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 12 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 1 a yt 2xt A operacao e realizada sobre a variavel dependente Temos que xt 1 0 t 1 0 5 1 t 2 0 t 0 2 Logo Se xt 1 para 0 t 1 entao yt 2xt 21 2 para 0 t 1 Se xt 0 5 para 1 t 2 entao yt 2xt 20 5 1 para 1 t 2 Se xt 0 para t 0 e t 2 entao yt 2xt 20 0 para t 0 e para t 2 t 0 2 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 13 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 1 a yt 2xt yt correspondera a uma versao amplificada de xt Logo yt 2xt 2 0 t 1 1 1 t 2 0 t 0 2 Logo Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 14 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 1 b yt xt 1 A operacao e realizada sobre a variavel independente Temos que xt 1 0 t 1 0 5 1 t 2 0 t 0 2 Logo Se xt 1 para 0 t 1 entao xt 1 1 para 0 t 1 1 1 t 0 Se xt 0 5 para 1 t 2 entao xt 1 0 5 para 1 t 1 2 0 t 1 Se xt 0 para t 0 e t 2 entao xt1 0 para t1 0 t 1 e t1 2 t 1 t 1 1 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 15 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 1 b yt xt 1 yt correspondera a uma versao de xt adiantada no tempo deslocamento para a esquerda Logo yt xt 1 1 1 t 0 0 5 0 t 1 0 t 1 1 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 16 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 1 c yt xt A operacao e realizada sobre a variavel independente Temos que xt 1 0 t 1 0 5 1 t 2 0 t 0 2 Logo Se xt 1 para 0 t 1 entao xt 1 para 0 t 1 0 t 1 1 t 0 Obs A multiplicacao por 1 inverte os sinais de comparacao Se xt 0 5 para 1 t 2 entao xt 0 5 para 1 t 2 1 t 2 2 t 1 Se xt 0 para t 0 e t 2 entao xt 0 para t 0 t 0 e t 2 t 2 t 2 0 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 17 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 1 c yt xt yt correspondera a uma versao refletida de xt em relacao ao eixo vertical Logo yt xt 1 1 t 0 0 5 2 t 1 0 t 2 0 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 18 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 1 d yt x2t A operacao e realizada sobre a variavel independente Temos que xt 1 0 t 1 0 5 1 t 2 0 t 0 2 Logo Se xt 1 para 0 t 1 entao x2t 1 para 0 2t 1 02 t 12 0 t 0 5 Se xt 0 5 para 1 t 2 entao x2t 0 5 para 1 2t 2 12 t 22 0 5 t 1 Se xt 0 para t 0 e t 2 entao x2t 0 para 2t 0 t 0 e para 2t 2 t 1 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 19 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 1 d yt x2t yt correspondera a uma versao comprimida de xt Logo yt x2t 1 0 t 0 5 0 5 0 5 t 1 0 t 0 1 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 20 34 Operacoes com Sinais e Exemplo 2 Determine 3 yt x at 1 Obs xt foi dado no Exemplo 1 Operacoes com Sinais Vamos pensar um pouco No Exemplo 2 yt e obtido a partir de duas operacoes realizadas sobre o sinal xt Deslocamento temporal Escalonamento temporal Pergunta Qual das duas operacoes deve ser realizada primeiro Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 22 34 Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 2 e OPCAO 1 Realizando a seguinte ordem em 3 xt ytx att 1 Deslocamento Temporal xt xt 1 Escalonamento temporal 3 3 xit t xve 3 e Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 2 OPC AO 1 1 Deslocamento Temporal xt xt 1 Conforme o Exemplo 1b temos xt xt 1 1 1 t 0 0 5 0 t 1 0 t 1 1 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 02 25 de outubro de 2023 24 34 Operacoes com Sinais Solucdo Exemplo 2 OPCAO 1 Escalonamento temporal yt x 3t x 3t 1 o Se xt 1 para 1 t 0 entao 3 3 x 5t 1 para 1 5t 0 123 t 023 Logo x 5 1 para 23t0 Se xt 05 para0 t 1 entao 3 3 x 5f 05 para0 5t 1 023 t 123 Logo 3 x 05 paadt 23 Operacoes com Sinais Solucdo Exemplo 2 OPCAO 1 Escalonamento temporal yt x 3t x 3t 1 Se xt 0 parat let 1 entao 3 3 3 x5t 0 para xf l t 23e para gtr lat23 Logo 3 2 2 tt0 t x 54 para eF3 e Portanto temos 1 23t0 3 3 yt x at x att 405 0t23 0 te 3 Operacoes com Sinais Solucdo Exemplo 2 OPCAO 1 e Portanto temos 1 23t0 3 3 ytx 5t x sit 405 0t23 0 t 33 yt x32 t 1 E 23 Oo 23 t Operacoes com Sinais Solucao Exemplo 2 e OPCAO 2 Realizando a seguinte ordem em 3 xt ytx att Escalonamento temporal 3 ry Y xt x 30 Deslocamento Temporal t x se x 3 x Syd aa 372 alo3j a 2 thxt 5 yt x t 5 Operacoes com Sinais Solucdo Exemplo 2 OPCAO 2 Escalonamento Temporal xt x 3t Se xt 1 para 0 t 1 entdo 3 3 xt x 5t 1 para0 5t 1 023 t 123 Logo xt x 1 para0dt 23 Se xt 05 para 1 t 2 entdo 3 3 xt x 5t 05 paral 5f 2 123 t 223 Logo 3 xt x 5 05 para 23 t 43 Operacoes com Sinais Solucdo Exemplo 2 OPCAO 2 Escalonamento temporal xt x 3t Se xt 0 parat Oet 2 entdo 3 3 3 xt x 5t 0 para 5f0t0e para gir 2at43 Logo 3 4 xt x 5 Oparat o e Portanto temos 1 0t23 3 xt x at 05 23t43 0 t 0 Operacoes com Sinais Solucdo Exemplo 2 OPCAO 2 Escalonamento temporal xt x 3t e Logo 1 0t23 xt x 405 23t43 0 t 04 xt x32t 1 05 Oo 23 43 t Operacoes com Sinais Solucdo Exemplo 2 OPCAO 2 Deslocamento Temporal yt x t 4 0 Se xt 1 para 0 t 23 entao 2 2 ytx t 3 1 parad t 23 023 t 2323 Logo 2 yt x 5 1 para 23t0 Se xt 05 para 23 t 43 entdo 2 2 yt x ts 05 para 23 t3 43 0t 4323 Logo 2 yt x 3 05 para0t 23 Operacoes com Sinais Solucdo Exemplo 2 OPCAO 2 Deslocamento Temporal yt x t 3 e Se xt 0 parat Oet 43 entdo 2 2 2 ytxtOparat0et43 3 3 3 Ou seja 2 2 2 yt x tts O parat23et23t 33 Logo 1 23t0 2 yt x 5 405 0t23 0 tls3 Operacoes com Sinais Solucdo Exemplo 2 OPCAO 2 e Portanto temos 1 23t0 2 yt x t 3 405 0t23 0 t 54 yt xt 23 E 23 0 23 t