Aula 04: Introdução aos Sinais e Sistemas - Sinais Elementares

Introducao aos Sinais e Sistemas Sinais Elementares Sinais e Sistemas AULA 04 Profª Verusca Severo Universidade de Pernambuco Escola Politecnica de Pernambuco 17 de novembro de 2023 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 1 30 Introducao Alguns sinais sao de grande importˆancia para a analise de sistemas Os sinais que serao apresentados nesta aula sao importantes isoladamente na representacao de sinais mais complexos e no estudo de sistemas em geral 1 Degrau unitario 2 Funcao porta ou pulso retangular 3 Funcao sinal 4 Funcao sinc 5 Impulso unitario 6 Exponencial complexa Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 2 30 Sinais Elementares Degrau unitario e A funcdo degrau unitario é util para a representacdo de sinais causais ou seja sinais que so existem para t 0 e Para o tempo continuo ut 1 1 t0 re 5 ut 0 t0 un e Para o tempo discreto 1 fi n0 sor ois l 19 no 321 0123 Sinais Elementares Vamos pensar um pouco 1 Seja o sinal f t como podemos tornar f t um sinal causal Resposta Para f t se tornar causal basta multiplicar f t por ut Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 4 30 Sinais Elementares Vamos pensar um pouco 1 Seja o sinal f t como podemos tornar f t um sinal causal Resposta Para f t se tornar causal basta multiplicar f t por ut Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 4 30 Sinais Elementares Vamos pensar um pouco 1 Seja o sinal f t como podemos tornar f t um sinal causal Vejamos o exemplo grafico a seguir Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 5 30 Sinais Elementares Funcao porta ou pulso retangular e A funcdo porta ou pulso retangular 6 uma funao de duracAo finita T e amplitude unitaria e Ela é comumente representada como rect 4 ou 4 a representacao adotada depende da referéncia bibliogrdfica utilizada e Definida como saan 1 T T t loeSsts rect T a 0 caso contrario T2 2 t Sinais Elementares Vamos pensar um pouco A funcao porta pode ser relacionada com a funcao degrau Sy Sinais Elementares Vamos pensar um pouco A funcao porta pode ser relacionada com a funcao degrau ie Ge e Resposta Sim através da subtracdo de dois degraus unitdrios deslocados no tempo em z isto é t t t T T rect u ut T 2 2 Sinais Elementares 3 Funcao sinal A funcao sinal fornece o sinal do argumento t Definida como sgnt 1 t 0 0 t 0 1 t 0 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 8 30 Sinais Elementares Vamos pensar um pouco 1 A funcao sinal pode ser relacionada com a funcao degrau Resposta Sim atraves da subtracao de dois degraus unitarios isto e sgnt ut ut Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 9 30 Sinais Elementares Vamos pensar um pouco 1 A funcao sinal pode ser relacionada com a funcao degrau Resposta Sim atraves da subtracao de dois degraus unitarios isto e sgnt ut ut Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 9 30 Sinais Elementares 4 Funcao sinc A funcao sinc e comumente definida pela expressao sinct senπt πt Em algumas bibliografias a funcao sinc e denomidada de funcao sample e e definida pela expressao Sat sinct sent t Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 10 30 Sinais Elementares 4 Funcao sinc Esbocando a funcao sinct senπt πt temos Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 11 30 Sinais Elementares 4 Funcao sinc Uma pergunta comum ao nos depararmos com a funcao sinct e Como determinar o valor de sinc0 Resposta A solucao para evitar a divisao de zeros em sinc0 numerador e denominador iguais a zero e utilizar a regra de LHˆopital Assim lim t0 sinct lim t0 senπt πt lim t0 π cosπt π 1 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 12 30 Sinais Elementares 4 Funcao sinc Uma pergunta comum ao nos depararmos com a funcao sinct e Como determinar o valor de sinc0 Resposta A solucao para evitar a divisao de zeros em sinc0 numerador e denominador iguais a zero e utilizar a regra de LHˆopital Assim lim t0 sinct lim t0 senπt πt lim t0 π cosπt π 1 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 12 30 Sinais Elementares Impulso unitario e A funcao impulso unitario também conhecida como delta de Dirac foi definida por Dirac como CO dt0 para t40 com dtdt 1 co e O impulso unitdrio pode ser definido como um pulso retangular com largura T infinitamente pequena e altura infinitamene grande no qual 1 To0 FOS mantendo a dre total igual a 1 obs area total base x altura Sinais Elementares 5 Impulso unitario A funcao impulso e definida como o limite de uma funcao pulso unitario adequadamente escolhida que tem area unitaria dentro de um intervalo de tempo infinitesimal Matematicamente tomando o limite quando T 0 temse δt lim T0 gTt Assim δt 0 em toda parte exceto no instante t 0 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 14 30 Sinais Elementares 5 Impulso unitario δt 0 para todo t exceto no instante t 0 onde exibe uma singularidade A funcao impulso unitario tem uma representacao grafica dada por Na representacao grafica do impulso unitario o numero 1 ao lado do impulso indica a area sob a funcao a seta indica que a amplitude desse sinal e infinitamente grande Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 15 30 Sinais Elementares Algumas propriedades da funcao Impulso unitario sao 1 xtδt x0δt De forma geral xtδt t0 xt0δt t0 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 16 30 Sinais Elementares e Algumas propriedades da funcao Impulso unitario sao xtstat x0 e Prova xt6tdt x06tdt xo 6tdt x0 e De forma geral xt6t todt xto Sinais Elementares Algumas propriedades da funcao Impulso unitario sao 3 δt δt Prova Como δt 0 para todo t 0 segue imediatamente que δt e uma funcao par Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 18 30 Sinais Elementares Impulso unitario 2 Um sinal de grande utilidade em Sinais e sistemas é 0 trem de impulsos que é definido como um conjunto infinito de impulsos unitdrios espacados de um periodo de tempo T como segue Co 5pt S 5t 47 k0o em que k é um numero inteiro Sinais Elementares Impulso unitario e Seja um sinal xt e o trem de impulsos unitdrios 5t a multiplicacdo dptxt resulta no sinal xt amostrado conforme figura abaixo yl er Le a 0 t dpt t p I 3 2 1 0 1 2 a x0 rv 0 tn at aS Beale Mia x2T at 3 2 1 o 1 2 3 CO Sinais Elementares Impulso unitario e O sinal amostrado é uma sequéncia de impulsos com a intensidade de cada impulso sendo igual a amplitude de xt no correspondente instante de tempo t kT e O resultado da operacdo o sinal amostrado é dado por CO Co yt xt6pt S xt6t kT 2 xkT6t kT k0o k0o yt xTot T x0dt xTot T Sinais Elementares Impulso unitario e No tempo discreto também chamado de funcdo Delta de Kronecker é definida como 1 n0 nl 0 n0 e O impulso deslocado é expresso como fl n stn nol 5 n no dn 6nng 1 1 n Nm on Sinais Elementares 6 Exponencial complexa O sinal exponencial complexo e dado por xt ejω0t Usando a formula de Euler esse sinal pode ser definido como xt cosω0t j senω0t Pergunta O sinal exponencial complexo e periodico Qual a condicao necessaria para existir a periodicidade desse sinal xt xt T ejω0t ejω0tT ejω0t ejω0tejω0T Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 23 30 Sinais Elementares 6 Exponencial complexa Para que o sinal ejω0t seja periodico e necessario que ejω0T 1 Essa condicao so e satisfeita quando ω0 0 Se ω0 0 o sinal so sera periodico se ω0T k2π T k 2π ω0 em que k e um inteiro positivo e T e o perıodo fundamental Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 24 30 Sinais Elementares 6 Exponencial complexa Exemplo sinal xt ejω0t cosω0t j senω0t Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 25 30 Sinais Elementares 6 Exponencial complexa Exemplo sinal xt ejω0t cosω0t j senω0t Um sinal senoidal e obtido a partir da projecao no eixo vertical do vetor que descreve um movimento circular uniforme Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 26 30 Sinais Elementares 6 Exponencial complexa Pergunta O que acontece quando o sinal ejω0t e multiplicado por uma exponencial real eat em que a R eatejω0t eajω0t eatcosω0t j senω0t Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 27 30 Sinais Elementares 6 Exponencial complexa Pergunta O que acontece quando o sinal ejω0t e multiplicado por uma exponencial real eat em que a R Vamos analisar o sinal xt eat Se a 0 temos um sinal exponencial crescente Se a 0 temos um sinal exponencial decrescente Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 28 30 Sinais Elementares 6 Exponencial complexa Resposta o resultado do produto xt eatejω0t e Se a 0 temos uma senoide crescente Se a 0 temos uma senoide decrescente Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 29 30 Sinais Elementares 6 Exponencial complexa Exemplo xt eajω0t com ω0 2 para a 0 05 e a 0 05 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 04 17 de novembro de 2023 30 30