Revisão de Números Complexos e Número de Euler - Aula 03

Revisao Numeros Complexos Numero de Euler Sinais e Sistemas AULA 03 Profª Verusca Severo Universidade de Pernambuco Escola Politecnica de Pernambuco 01 de novembro de 2023 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 1 20 Revisao Numeros Complexos O conjunto dos numeros complexos C foi criado para solucionar equacoes que nao apresentam solucao no conjunto do reais Por exemplo como encontrar as raızes da equacao x2 1 0 Um numero complexo Z C e expresso por Z x yj em que x e y sao numeros reais e j e um numero imaginario puro com j 1 O numero x e chamado parte real de Z e o numero y e chamado parte imaginaria de Z e sao denotados respectivamente por x ReZ e y ImZ Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 2 20 Revisao Numeros Complexos O conjugado de um numero complexo Z x jy e o numero complexo Z x jy Dois numeros complexos Z1 x1 jy1 e Z2 x2 jy2 sao iguais quando suas partes reais e imaginarias coincidem ou seja x1 x2 e y1 y2 Em Z x yj quando x 0 teremos um imaginario puro quando y 0 os numeros complexos se reduzem aos reais claramente os numeros complexos incluem todos os numeros reais Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 3 20 Revisao Numeros Complexos Sejam dois numeros complexos Z1 x1 jy1 e Z2 x2 jy2 temos Adicao Z1 Z2 x1 x2 jy1 y2 Subtracao Z1 Z2 x1 x2 jy1 y2 Multiplicacao Z1Z2 x1x2 y1y2 jx1y2 y1x2 Divisao Z1 Z2 Z1 Z2 Z2 Z2 Z1Z2 x2 2 y 2 2 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 4 20 Revisao Numeros Complexos As propriedades da soma e do produto sao as mesmas aplicadas aos numeros reais Comutacao Z1 Z2 Z2 Z1 Associacao Z1 Z2 Z3 Z1 Z2 Z3 Distributividade Z1Z2 Z3 Z1Z2 Z1Z3 Elemento neutro aditivo 0 Z1 Z1 Elemento neutro multiplicativo Z11 Z1 Simetrico aditivo Z1 Z1 0 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 5 20 Plano Complexo A partir de um sistema de coordenadas cartesianas podese associar os numeros complexos aos pontos do plano e reciprocamente cada ponto do plano estara associado a um numero complexo Dessa forma o numero complexo Z x1 jy1 e representado no plano pelo ponto P de coordenadas x1 y1 O numero complexo Z e um par ordenado de numeros reais Z ReZ ImZ O conjunto de todos os numeros complexos representados no plano recebe o nome de Plano Complexo Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 6 20 Plano Complexo No plano complexo o eixo das abscissas recebe o nome de Eixo Real e o eixo das ordenadas de Eixo Imaginario uma vez que que sobre estes eixos sao representadas respectivamente as partes reais e imaginarias de cada numero complexo Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 7 20 Representacoes de um Numero Complexo e Um ntimero complexo Z constituido de uma componente real ReZ x e de uma componente imagindria ImZ y1 pode ser representado nas formas e Cartesiana também chamada de forma algébrica ou retangular ZxJy1 e Trigonométrica também chamada de forma polar ZZ20 em que Z x7 y7 0 médulo de Z e 0 é o Angulo de fase de Z em radianos que dado por 0 arte 2 Representacoes de um Numero Complexo O méddulo e o Angulo de fase de Z sdo dados por ImZ Eixo imaginario yit Zx tjy IZ7 o 0 ReZ Eixo real Médulo de Z IZ xityp Z xP ty o Fase de Z tg6 nwo 9 arcte x1 x1 Representacoes de um Numero Complexo O conjugado de um numero complexo Z x1 jy1 e na forma cartesiana Z x1 jy1 na forma trigonometrica Z Z θ Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 10 20 Representacoes de um Numero Complexo Relacdes entre a forma cartesiana e trigonométrica Zx jy e Z2Z0 e Z Vx Vi 0 6 aretg 4 x ReZ Z cos yy ImZ Z sen6 e Dessas relacdes podemos representar um numero complexo por Z Zcos jZ sen Zcos0 j sen Formula de Euler A Formula de Euler define que uma funcao exponencial de expoente complexo e igual a uma funcao trigonometrica complexa subdivida em uma parte real e uma parte complexa como segue ejθ cosθ j senθ em que θ R e j C Para mostrar a formula de Euler vamos nos basear em conceitos da serie de Maclaurin A serie de Maclaurin e um caso especial da serie de Taylor Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 12 20 Formula de Euler e A série de Taylor é a série de funcdes da forma co a Fx xa n0 e Expandido a expressdo acima temos que 1 2 3 a a m a Fx Fa fa S a Vy pay a 5 yy ga aay i Yb e Para a 0 a série de Taylor também é chamada de Série de Maclaurin dada por xl x mt x3 fx f0 OT FO 7 f 0 Formula de Euler Vamos calcular a serie de Maclaurin para f x ex para x jθ Logo temos que f x f 0 f 0x1 1 f 0x2 2 f 0x3 3 ejθ e0 e0 jθ1 1 e0 jθ2 2 e0 jθ3 3 ejθ 1 jθ θ2 2 j θ3 3 θ4 4 j θ5 5 θ6 6 Obs Para f x ex com x jθ f 0 f 0 f n0 e0 1 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 14 20 Formula de Euler Vamos calcular a serie de Maclaurin para f x cosx para x θ Logo temos que f x f 0 f ax1 1 f 0x2 2 f 0x3 3 f 0x4 4 cosθ 1 sen0 θ 1 cos0θ2 2 sen0θ3 3 cos0θ4 4 cosθ 1 θ2 2 θ4 4 θ6 6 Obs cos0 sen0 0 e sen0 cos0 1 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 15 20 Formula de Euler Vamos calcular a serie de Maclaurin para f x senx para x θ Logo temos que f x f 0 f ax1 1 f 0x2 2 f 0x3 3 f 0x4 4 senθ sen0 cos0 θ 1 sen0θ2 2 cos0θ3 3 sen0θ4 4 senθ θ θ3 3 θ5 5 Obs sen0 cos0 1 e cos0 sen0 0 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 16 20 Formula de Euler Entao temos que cosθ 1 θ2 2 θ4 4 θ6 6 1 senθ θ θ3 3 θ5 5 2 ejθ 1 jθ θ2 2 j θ3 3 θ4 4 j θ5 5 θ6 6 3 Das trˆes expressoes acima obtemos ejθ cosθ j senθ 4 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 17 20 Formula de Euler Da formula de Euler definida pela Equacao 4 obtemse cosθ ejθ ejθ 2 5 e senθ ejθ ejθ 2j 6 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 18 20 Formula de Euler Vimos que a partir das relacoes entre a forma cartesiana e trigonometrica podemos representar um numero complexo por Z Zcosθ j senθ 7 Utilizando a formula de Euler a Equacao 7 pode ser reescrita como Z Zejθ 8 Logo a Equacao 8 e mais uma forma de representar um numero complexo comumente denominada de forma exponencial Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 19 20 Formula de Euler Quando Z 1 Z ejθ e um ponto da circunferˆencia de raio 1 centrada na origem Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 03 01 de novembro de 2023 20 20