Séries de Fourier - Sinais e Sistemas - Aula 11 - Exercícios Resolvidos

Series de Fourier Sinais e Sistemas AULA 11 Profª Verusca Severo Universidade de Pernambuco Escola Politecnica de Pernambuco 16 de fevereiro de 2024 Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 11 16 de fevereiro de 2024 1 28 Vimos na aula anterior que a Série Exponencial de Fourier de uma função periódica xt com período T é definida como xt sumkinftyinfty ak ej omega0 k t 1 em que os coeficientes ak podem ser calculados por ak langle xt barfkt rangle frac1T intT xt ejomega0 k t dt A Equação 1 pode ser reescrita como xt a0 sumk1infty ak ejomega0 k t ak ej omega0 k t 2 Fazendo ak ak bk e j ak ak ck temos xt a0 sumk1infty ak ak cosomega0 k t jak ak senomega0 k t xt a0 sumk1infty bk cosomega0 k t ck senomega0 k t Temos por Euler que epm j omega0 k t cosomega0 k t pm j senomega0 k t 3 Reescrevendo a Equação 2 a partir da Equação 3 temos xt a0 sumk1infty ak ejomega0 k t ak ejomega0 k t xt a0 sumk1infty ak cosomega0 k t j senomega0 k t ak cosomega0 k t j senomega0 k t xt a0 sumk1infty ak ak cosomega0 k t j ak ak senomega0 k t Precisamos determinar os coeficientes a0 bk e ck Sabemos que pela SEF ak xt fkt 1T T xt ejω0kt dt Logo Coeficiente a0 a0 xt f0t 1T T xt e0 dt 1T T xt dt Logo Coeficiente bk bk ak ak xt fkt xt fkt bk 1T T xt ejω0kt dt 1T T xt ejω0kt dt bk 1T T xt ejω0kt ejω0kt dt 22 bk 2T T xt ejω0kt ejω0kt 2 dt bk 2T T xt cosω0kt dt Logo Coeficiente ck ck jak ak j xt fkt j xt fkt ck xt j fkt xt j fkt ck 1T T xt j ejω0kt dt 1T T xt j ejω0kt dt ck 1T T xt j ejω0kt ejω0kt dt 2j2j ck 2T T xt ejω0kt ejω0kt 2j dt ck 2T T xt senω0kt dt Série Trigonométrica de Fourier Assim temos que a Série Trigonométrica de Fourier de uma função periódica xt com período T é definida como xt a0 sumk1 bk cosω0kt ck senω0kt 4 em que os coeficientes são dados por a0 1T intT xt dt bk 2T intT xt cosω0kt dt ck 2T intT xt senω0kt dt Serie Trigonometrica de Fourier EXERCICIOS Exercıcio 1 Dado o sinal periodico apresentado abaixo descreva xt em termos da serie trigonometrica de Fourier Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 11 16 de fevereiro de 2024 9 28 Série Trigonométrica de Fourier EXERCÍCIOS Exercício 1 SOLUÇÃO Como o sinal é periódico com T1 é possível descrevelo em termos da STF Logo a tarefa concentrase na determinação dos coefieicntes da série Determinando o a0 a0 1T intT xt dt 11 int0505 xt dt int050 1 dt int005 1 dt a0 t050 t005 0 05 05 0 0 Série Trigonométrica de Fourier EXERCÍCIOS Exercício 1 SOLUÇÃO Determinando o bk bk 2T intT xt cosω0kt dt 21 int0505 xt cosω0kt dt bk 2 int050 1 cosω0kt dt int005 1 cosω0kt dt bk 2 1kω0 senkω0t 050 1kω0 senkω0t 005 bk 2 1kω0 sen0 sen05kω0 1kω0 sen05kω0 sen0 bk 2 1kω0 sen05kω0 1kω0 sen05kω0 Série Trigonométrica de Fourier EXERCÍCIOS Exercício 1 SOLUÇÃO Determinando o bₖ Como senθ senθ função ímpar então bₖ 2 1 kω₀ sen05kω₀ 1 kω₀ sen05kω₀ bₖ 2 sen05kω₀ kω₀ sen05kω₀ kω₀ 0 Série Trigonométrica de Fourier EXERCÍCIOS Exercício 1 SOLUÇÃO Determinando o cₖ cₖ 2 T T xt senω₀kt dt 21 0505 xt senω₀kt dt cₖ 2 050 1 senω₀kt dt 005 1 senω₀kt dt cₖ 2 1 ω₀k cosω₀kt 050 1 ω₀k cosω₀kt 005 cₖ 2 1 ω₀k cos0 cos05ω₀k 1 ω₀k cos05ω₀k cos0 cₖ 2 ω₀k 2 cos0 2 cos05ω₀k Série Trigonométrica de Fourier EXERCÍCIOS Exercício 1 SOLUÇÃO Determinando o cₖ cₖ 2 ω₀k 2 2 cosω₀k 2 4 ω₀k 1 cosω₀k 2 Como T 1 temos que ω₀ 2π 1 2π logo cₖ 4 2πk 1 cos2πk 2 2 πk 1 cosπk Assim cₖ 2 πk 1 cosπk 0 para k par 4 πk para k ímpar Série Trigonométrica de Fourier EXERCÍCIOS Exercício 1 SOLUÇÃO Logo a STF de xt xt a0 bk cosω0kt ck senω0kt fica então escrita como xt ímpar 4πk senω0kt 4πímpar 1k senω0kt xt 4πsenω0t sen3ω0t3 sen5ω0t5 sen7ω0t7 Serie Trigonometrica de Fourier Relembrando Uma funcao f x e dita par se f x f x x Uma funcao f x e dita ımpar se f x f x x Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 11 16 de fevereiro de 2024 16 28 Serie Trigonometrica de Fourier Operacoes com funcoes pares e ımpares especialmente o produto possuem propriedades importantes que permitem simplificar o calculo necessario para a representacao em Series de Fourier dessas funcoes Propriedades do produto entre funcoes pares e ımpares O produto de duas funcoes pares fornece uma funcao par O produto de duas funcoes ımpares fornece uma funcao par O produto de uma funcao par e uma ımpar fornece uma funcao ımpar Vamos provas as propriedades enunciadas Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 11 16 de fevereiro de 2024 17 28 Serie Trigonometrica de Fourier Sejam I1t e I2t funcoes ımpares e P1t e P2t funcoes pares O produto de duas funcoes pares fornece uma funcao par Prova Seja Pt P1t P2t Pt P1t P2t P1t P2t Pt O produto de duas funcoes ımpares fornece uma funcao par Prova Seja Pt I1t I2t Pt I1t I2t I1t I2t Pt O produto de uma funcao par e uma ımpar fornece uma funcao ımpar Prova Seja It P1t I1t It P1t I1t P1t I1t It Profª Verusca Severo Sinais e Sistemas AULA 11 16 de fevereiro de 2024 18 28 Série Trigonométrica de Fourier Da propriedades enunciadas temse as seguintes proposições Proposição 1 Se fx é uma função par integrável em L L então L to L fx dx L to 0 fx dx 0 to L fx dx 2 0 to L fx dx A área sob a curva no intervalo L 0 é igual à área sob a curva no intervalo 0 L Série Trigonométrica de Fourier Proposição 1 Se fx é uma função par integrável em L L então L to L fx dx L to 0 fx dx 0 to L fx dx 2 0 to L fx dx Prova Fazendo x t na integral no intervalo L 0 temos quando x L t L e quando x 0 t 0 logo L to 0 fx dx L to 0 ft dt 0 to L fx dx L to 0 fx dx 0 to L ft dt 0 to L fx dx 2 0 to L fx dx Da propriedades enunciadas temse as seguintes proposições Proposição 2 Se fx é uma função ímpar integrável em L L LL fxdx L0 fxdx 0L fxdx 0 A área sob a curva no intervalo L 0 é igual à área sob a curva em 0 L porém como tais áreas têm sinais contrários a soma se cancela Proposição 2 Se fx é uma função ímpar integrável em L L LL fxdx L0 fxdx 0L fxdx 0 Prova Fazendo x t na integral no intervalo L 0 temos quando x L t L e quando x 0 t 0 logo LL fxdx L0 ft dt 0L fxdx LL fxdx 0L ftdt 0L fxdx LL fxdx 0L ftdt 0L fxdx 0 Série de Fourier de uma função par Se fx é uma função par periódica de período T então sua série envolve apenas cossenos xt a0 k1 bk cosω0 kt com a0 2T0T2 xt dt bk 4T 0T2 xt cosω0 kt dt e ck 0 Prova Coeficiente a0 Se xt é uma função par então a0 1T T xt dt 1T T2T2 xt dt 2T 0T2 xt dt Série Trigonométrica de Fourier Prova Coeficiente bk Se xt é uma função par então o produto de xt com cosω0 kt fornecerá uma função par logo bk 2T T xt cosω0 kt dt 2T T2T2 xt cosω0 kt dt bk 2T 2 0T2 xt cosω0 kt dt 4T 0T2 xt cosω0 kt dt Coeficiente ck Se xt é uma função par então o produto de xt com senω0 kt fornecerá uma função ímpar logo ck 2T T xt senω0 kt dt 2T T2T2 xt senω0 kt dt 0 Série Trigonométrica de Fourier Série de Fourier de uma função ímpar Se fx é uma função ímpar periódica de período T então sua série envolve apenas senos xt Σk1 ck senω0 kt com a0 0 bk 0 e ck 4T 0T2 xt senω0 kt dt Prova Coeficiente a0 Se xt é uma função ímpar então a0 1T T xt dt 1T T2T2 xt dt 0 Série Trigonométrica de Fourier Prova Coeficiente bk Se xt é uma função ímpar então o produto de xt com cosω0 kt fornecerá uma função ímpar logo bk 2T T xt cosω0 kt dt 2T T2T2 xt cosω0 kt dt 0 Coeficiente ck Se xt é uma função ímpar então o produto de xt com senω0 kt fornecerá uma função par logo ck 2T T xt senω0 kt dt 2T T2T2 xt senω0 kt dt ck 2T 2 0T2 xt senω0 kt dt 4T 0T2 xt senω0 kt dt Exercício 2 PARA CASA Dado o sinal periódico apresentado abaixo descreva fx em termos da série trigonométrica de Fourier Obs Você pode precisar de x cosAx dx xA senAx 1A² cosAx x senAx dx xA cosAx 1A² senAx Exercício 3 PARA CASA Dado o sinal periódico apresentado abaixo descreva fx em termos da série trigonométrica de Fourier Obs Você pode precisar de x² cosAx dx x²A senAx 2xA² cosAx 2A³ senAx x² senAx dx x²A cosAx 2xA² senAx 2A³ cosAx