Resolução de Trabalho de Fundamentos de Matemática

1 Leia e estude as duas demonstrações dadas abaixo sobre a infinitude dos números primos Após isso responda às questões propostas ao final deste documento A Teorema da infinitude do conjunto dos números primos O enunciado parafraseado da proposição 20 do livro IX dos elementos de Euclides é O conjunto dos números primos é infinito Demonstração 1 Suponha que o conjunto dos números primos seja finito Isso significa que existe uma quantidade finita de números primos digamos p1 p2 p3 pn Agora considere o número N p1 p2 p3 pn 1 Esse número N é maior do que qualquer um dos primos considerados e portanto não está na lista finita p1 p2 p3 pn Agora analisemos os divisores de N Se dividirmos N por qualquer pi 1 i n obteremos N p1 p2 p3 pn 1 p1 pi e o resto dessa divisão é 1 pois N foi construído exatamente somando 1 ao produto de todos os primos da lista Isso significa que N não é divisível por nenhum dos primos p1 p2 p3 pn Dessa forma N é um número primo ou possui um divisor primo que não está na lista finita inicialPortanto a suposição de que o conjunto dos números primos é finito leva a uma contradição Concluímos então que o conjunto dos números primos é infinito 2 Σ 1 2s 3s B PARTE 1 Construção da igualdade entre a função zeta de Riemann e o produto de Euler Definição da Função Zeta A função zeta de Riemann1 é definida como ou seja ζs n1 ns 1 1 1 1 1 1 ζs 1s 2s 3s 4s 5s 6s Nosso objetivo é igualar essa soma infinita a um produto infinito relacionado a números primos Multiplicamos os dois membros da igualdade por 1 1 1 1 1 1 1 2s ζs 2s 4s 6s 8s 10s Observe que os termos da nova soma são exatamente os termos da série original cujos denominadores são múltiplos de 2 Agora subtraímos a segunda equação da primeira ζs 1 ζs 3 1 1 1 4 3 1 1 1 4 2s 1s 2s 3s 2s 4s 6s Os termos que contêm 2s 4s 6s 8s se cancelam restando apenas os termos cujos denominadores não são múltiplos de 2 3 1 1 4 ζs 1 1 1 1 1 2s 1s 3s 5s 7s Repetimos o processo multiplicando a última equação obtida por 1 1 3 1 1 4 ζs 1 1 1 1 2 3s 2s E subtraindo 2 de 1 temos 3s 9s 15s 21s 3 1 1 4 3 1 1 4 ζs 1 1 1 1 3s 2s 1s 5s 7s 11s Assim eliminamos todos os denominadores múltiplos de 2 e 3 Se repetirmos esse processo para todos os primos p 5 7 11 13 cada fator 1 ps remove os múltiplos do primo p da soma Após aplicar esse raciocínio para todos os primos obtemos 3 1 1 4 3 1 1 4 3 1 1 4 3 1 1 4 ζs 1 2s 3s 5s 7s 1A formulação original considera s pertencente ao conjunto dos números complexos com a restrição Res 1 para que seja uma série de Dirichlet convergente 3 1 Ù 1 4 2s 3s 5s 7s Finalmente isolamos ζs ζs 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2s ou ζs 3s 5s 7s 1 1 2s 1 3s 1 5s 1 7s ou de forma mais compacta Retomando as duas expressões temos ζs p é primo 1 1 ps 1 1 1 1 1 1 1 ζs 1s 2s 3s 4s 5s 6s 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 isto é Σ 1 Ù 3 s n1 ns é primo p B PARTE 2 Usando a função zeta de Riemann e o produto de Euler para demonstrar a infinitude do conjunto dos número primos O conjunto dos números primos é infinito Demonstração 2 Considerando s 1 na expressão 3 temos Σ 1 Ù 1 n1 n p é primo 1 p Temos no membro da esquerda a chamada série harmônica que é divergente isto é não se pode afirmar que a soma das infinitas parcelas 1 1 1 1 1 1 é dada por qualquer valor real 1 2 3 4 5 6 Pela igualdade o produto 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 também diverge logo a quantidade de fatores 1 1 p 2 3 5 7 no denominador deve ser infinita QUESTÕES 1 60 pontos Em cada uma das demonstrações apresentadas identifique a Hipóteses definições e proposições auxiliares b Tese c Estratégia de demonstração utilizada 1 1 p 3 4 2 40 pontos Pesquise sobre o Crivo de Eratóstenes e disserte sobre a relação entre as demonstrações apresen tadas e este algoritmo 3 Bônus de 20 pontos Prove que a série harmônica é divergente Atenção Esta atividade considerando a questão bônus soma 12 pontos Entretanto a nota máxima a ser atribuída é igual a 10 pontos