Slide - Aula 6 - Flexão - 2024-1

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf aula 06 flexão Prof. João Adriano Rossignolo Prof. Holmer Savastano Júnior ZEA 0566 Resistência dos Materiais Sumário: Flexão ✓ Esforços internos de flexão ✓ Flexão pura ✓ Equação matemática para cálculo das tensões normais ✓ Distribuição das tensões normais nos corpos solicitados ✓ Superfície neutra e linha neutra Flexão Pura Flexão Pura: Membros prismáticos sujeitos a dois momentos, iguais e de sentidos opostos, atuando no mesmo plano longitudinal. Flexão Pura Outros Tipos de Carregamento • Princípio da Sobreposição: Combinar as tensões originadas pela carga com as tensões provocadas pela flexão pura. • Carregamento excêntrico: Um carregamento axial excêntrico à seção considerada, origina esforços internos equivalentes a uma força normal e a um momento flector. • Carregamento transversal: Uma carga concentrada na extremidade livre A origina esforços internos equivalentes a uma força igual, e de sentido oposto, e a um momento flector. Análise das Tensões na Flexão Pura • O momento fletor M consiste em duas forças iguais e de sentidos opostos. • A soma das componentes dessas forças em qualquer direção é igual a zero. • O momento fletor, em relação a qualquer eixo perpendicular ao seu plano, é sempre o mesmo. Deformações na Flexão Pura Barra prismática que contém um plano de simetria, em flexão pura: • a barra permanece simétrica em relação ao plano; • flete uniformemente formando um arco de circunferência; • qualquer secão plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana; • a linha AB diminui de comprimento e a linha A’B’ aumenta; • deve existir uma superfície neutra, paralela às faces superior e inferior, para a qual o comprimento não varie; • tensões e deformações são negativas (compressão) acima da superfície neutra, e positivas (tracção) abaixo dela (neste exemplo). Tensões e Deformações no Regime Elástico • Para um material homogéneo, (tensão varia linearment e) m m x x c y c E y E     − = = − = • A partir da estática,    − = = − = = y dA c dA c y dA F m m x x    0 0 A linha neutra passa pelo centro geométrico da seção. • Do equilíbrio estático, I My c y I Mc c I y dA c M dA c y y dA y M x m x m m m m x = = = = =      = − − − =            do em Substituin 2 Momento de Inércia Rectangle Triangle Circle módulo resistente (S) momento de inércia = = = = = c I W I W M I Mc m  Ah bh h bh c I W 6 1 2 6 1 3 12 1 2 = = = = Tensões e Deformações no Regime Elástico Propriedades dos Perfis Appendix C. Properties of Rolled-Steel Shapes (SI Units) S Shapes (American Standard Shapes) Deformações numa Secção Transversal • A deformação da barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra. EI M I Mc Ec Ec c m m = = = =     1 1 1         y y x z x y = = − = = − Exemplo 4.1 Uma barra de aço de seção retangular 20 x 60 mm está submetida à ação do momento fletor M. Determinar o valor de M para a barra escoar. Adotar e = 248 MPa. PROBLEMA Para o tubo retangular vazado da figura, considerar: e = 150 MPa, U = 300 MPa e E = 70 GPa. Determinar: •O momento fletor M para o qual o coeficiente de segurança é 3,0. •O raio de curvatura correspondente no tubo. SOLUÇÃO Momento de Inércia. Considerando a área da seção transversal do tubo como a diferença entre os dois retângulos mostrados na figura e usando a fórmula para o momento de inércia de um retângulo, escrevemos I = 1/12(0,083 m)(0,125 m)³ - 1/12(0,070 m)(0,112 m)³ I = 5,3 x 10⁻⁶ m⁴ Tensão admissível. Para um coeficiente de segurança de 3,00 e um limite de tensão de 414 MPa, temos σ_adm = σ_u/C.S. = 414 MPa/3,00 = 138 MPa Como σ_adm < σ_u, o tubo permanece no regime elástico e podemos aplicar os resultados da Seção 4.4. a. Momento Fletor. Com c = l(0,125 m) = 0,0625 m, escrevemos σ_adm = M/I_c = 5,3 x 10⁻⁶ m⁴ / 0,0625 m (138 x 10³ kN/m²) M = 11,7 kN . m b. Raio de Curvatura. Lembrando que E = 73 x 10⁶ kN/m², substituímos esse valor e os valores obtidos para I e M na Equação (4.21) e encontramos 1/ρ = M/EI = (73 x 10⁶ kN/m²)(5,3 x 10⁻⁶ m⁴) ρ = 33,07 m Solução Alternativa. Como sabemos que a tensão máxima é σ_adm = 138 MPa, podemos determinar a deformação específica máxima ε_m e então usar a Equação (4.9), ε_m = σ_adm/E = 138 MPa/73 x 10³ MPa = 1,890 x 10⁻³ m/m ε_m = c/ρ = 0,0625 m/33,07 m ρ = 33,07 m Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à ação do momento fletor M = 3 kN.m. Sabendo-se que E = 165 GPa, determinar: (a) as máximas tensões de tração e compressão; (b) o raio da curvatura. Exercício Resolvido 4.2 Calcular a localização do centro geométrico da seção e o momento de inércia. 38 mm 3000 10 114 3 =  =  =  A yA Y   = =   =   =  3 3 3 3 2 114 10 3000 24 10 20 1200 40 30 2 90 10 50 1800 20 90 1 , mm , mm mm Area, yA A yA y ( ) ( ) ( ) ( ) 4 -9 3 2 3 12 1 2 3 12 1 2 3 12 1 2 m 10 mm 868 10 868 1200 18 30 40 1800 12 20 90  =  =  +  +  +  =  + =  + =  I Ad bh Ad I Ix • Calcular as máximas tensões de tracção e compressão. 4 9 4 9 mm 10 868 .0 038m kN m 3 mm 10 868 .0 022m kN m 3 − −    = − − =    = = = I M c I M c I Mc B B A A m    A = +76 0. MPa  B = −131 3. MPa  • Calcular a curvatura. ( )( 4 ) 9 GPa 868 10- m 165 kN m 3 1   = = EI M  7. m 47 m 20.95 10 1 1- 3 =  = −   © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf Sugestão de exercícios Parte 1: 4.1 a 4.6 © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf Parte 2 © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf Exercício A viga mostrada na figura apresenta e = 345 MPa e U = 450 MPa. Use coeficiente de segurança de 3 e determine o maior momento que pode ser aplicado à viga quando ela se encurva em torno do eixo z. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf Exercício A viga mostrada na figura apresenta e = 345 MPa e U = 450 MPa. Use coeficiente de segurança de 3 e determine o maior momento que pode ser aplicado à viga quando ela se encurva em torno do eixo y. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf Exercício Dois momentos iguais e opostos com magnitude de M = 15kN.m são aplicados na viga AB (conforme figura). Considerando que esses momentos fazem a viga flexionar em um plano horizontal, determine tensão no (a) ponto C, (b) ponto D e (c) ponto e. © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. MECHANICS OF MATERIALS Third Edition Beer • Johnston • DeWolf Sugestão de exercícios Parte 2: 4.7 a 4.14