Slide - Análise de Variânica - Dois Fatores 2021

PRO 3200 - Estat´ıstica An´alise de Variˆancia - dois fatores Profas. Linda Lee Ho e Celma de Oliveira Ribeiro 2021 Departmento de Engenharia de Produ¸c˜ao Universidade de S˜ao Paulo 1 Outline Introdu¸c˜ao ANOVA - 2 fatores - sem r´eplica ANOVA - 2 fatores - com r´eplicas 2 Introdução Introdu¸c˜ao Na pr´atica raramente teremos experimentos com um ´unico fator, o mais comum ´e ter in´umeros (muitos!!!!) fatores. Iremos abordar apenas o caso de dois fatores em duas situa¸c˜oes: sem r´eplicas e com r´eplicas. Suposi¸c˜oes anteriores de normalidade, homocedasticidade e observa¸c˜oes independentes s˜ao mantidas. No caso de um fator, t´ınhamos k popula¸c˜oes, agora com dois fatores, cada uma respectivamente com k1 e k2 popula¸c˜oes, combinadas teremos k1 × k2 situa¸c˜oes/cen´arios. Em planejamento de experimentos o n´umero de popula¸c˜oes ´e chamado de N´IVEIS Se em cada cen´ario apenas UMA ´UNICA UNIDADE AMOSTRAL ´e empregada, dizemos que ´e um experimento SEM R´EPLICA 3 ANOVA - 2 fatores - sem réplica An´alise de Variˆancia - dois fatores em r´eplica Um exemplo - Um consumidor pretende verificar se existe diferen¸ca no pre¸co de aspirinas em diferentes locais e em diferentes tipos de loja. Para isto, selecionou uma ´unica unidade de observa¸c˜ao de cada localidade e tipo de loja: Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 M´edias Zona Norte 53 61 51 55 Sul 47 55 51 51 Oeste 46 52 49 49 Leste 50 58 54 54 Centro 49 54 50 51 M´edias 49 56 51 52 Em planejamento de experimento, usualmente usam-se as letras primeiras do alfabeto (mai´usculas) para denotar os fatores. Ent˜ao neste exemplo Fator A, Localidade com 5 n´ıveis A1, A2, . . . , A5; Fator B, Tipo de estalecimento com 3 n´ıveis B1, B2, B3. ´E um experimento sem r´eplica porque cada combina¸c˜ao de local x tipo de loja, existe uma ´unica observa¸c˜ao. 4 Análise de Variância - dois fatores sem réplica Agora vamos considerar a matriz de dados para um caso geral \begin{array}{ c c c c } B_1 & B_2 & \cdots & B_J & Média \\ A_1 & x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1J} & \bar{x}_{A_1}=\sum_{j=1}^J \frac{x_{1j}}{J} \\ A_2 & x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2J} & \bar{x}_{A_2}=\sum_{j=1}^J \frac{x_{2j}}{J} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ A_I & x_{I1} & x_{I2} & \cdots & X_{IJ} & \bar{x}_{A_I}=\sum_{j=1}^J \frac{x_{ij}}{J} \\ Média & \bar{x}_{B_1}=\sum_{i=1}^I \frac{x_{i1}}{I} & \bar{x}_{B_2}=\sum_{i=1}^I \frac{x_{i2}}{I} & \cdots & \bar{x}_{B_J}=\sum_{i=1}^I \frac{x_{iJ}}{I} & \bar{x}=\sum_{j=1}^J \sum_{i=1}^I \frac{x_{ij}}{(IJ)} \\ \end{array} No caso de 2 fatores sem réplica, duas hipóteses nulas podem ser testadas: \left\{ \begin{array}{ c } H_{0A}: \mu_{A_1} = \cdots = \mu_{A_I} \\ H_{1A}: \exists \; um \; par \; (i,j) | \mu_{A_i} \neq \mu_{A_j} \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{ c } H_{0B}: \mu_{B_1} = \cdots = \mu_{B_J} \\ H_{1B}: \exists \; um \; par \; (i,j) | \mu_{B_i} \neq \mu_{B_j} \end{array} \right. Análise de variância com 2 fatores Semelhante ao caso com um fator, os resultados podem ser dispostos numa Tabela ANOVA FV Soma de Quadrados G. L. QM Estatística A SQA=∑i=1I∑j=1J(XAi−X‾)2=∑i=1J(XAi−X‾)2 I−1 S2A=SQA/I−1 FA=S2A/S2R B SQB=∑i=1I∑j=1J(XBj−X‾)2=1 ∑j=1J(XBj−X‾)2 J−1 S2B=SQB/J−1 FB=S2B/S2R Resíduo SQR=∑i=1I∑j=1J(Xij−XA⎯−XB⎯+X‾)2 (I−1)(J−1) S2R=SQR/(I−1)(J−1) Total SQT=∑i=1I∑j=1J(Xij−X‾)2 IJ−1 Escolhido α, o critério de decisão: Rejeito H0A se FA>FCA, FCA, um valor crítico da distribuição F com (I−1) e (I−1)(J−1) graus de liberdade respectivamente no numerador e denominador. Rejeito H0B se FB>FCB, FCB, um valor crítico da distribuição F com (J−1) e (I−1)(J−1) graus de liberdade respectivamente no numerador e denominador. An´alise de variˆancia de 2 fatores sem r´eplica Voltando para os dados do exemplo. Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 M´edias Zona Norte 53 61 51 55 Sul 47 55 51 51 Oeste 46 52 49 49 Leste 50 58 54 54 Centro 49 54 50 51 M´edias 49 56 51 52 Temos que os valores de X A1 = 55, X A2 = 51, X A3 = 49, X A4 = 54, X A5 = 51 e os valores de X B1 = 49, X B2 = 56, X B3 = 51 e X = 52 Colocando os resultados na Tabela de ANOVA temos FV SQ G. L. QM Estat´ıstica Decis˜ao A SQA=72 4 S2 A = 72/4 = 18 FA = 18/2.75 = 6.545 > FcA = 3.84 Rejeita H0A B SQB=130 2 S2 B = 130/2 = 65 FB = 65/2.75 = 23.64 > FcB = 4.46 Rejeita H0B Res´ıduo SQR=22 8 S2 R = 22/8 = 2.75 Total SQT=224 14 Note que SQR pode ser obtida como SQT-SQA-SQB 8 Exerc´ıcio Os dados a seguir comparam diferentes marcas de caneta e quatro tipos de tratamento de lavagem em rela¸c˜ao `a capacidade de remover manchas em um certo tipo de tecido. A vari´avel resposta indica a mudan¸ca da cor, e quanto menor mais manchas foram removidas. Trat1 Trat 2 Trat 3 Trat 4 Marca 1 0,97 0,48 0,48 0,46 Marca 2 0,77 0,14 0,22 0,25 Marca 3 0,67 0,39 0,57 0,19 Os dados inseridos no Excel que produziu o seguinte output. Que conclus˜oes podem ser extra´ıdas? Os dois fatores s˜ao relevantes? 9 An´alise de Variˆancia - dois fatores com r´eplica Vamos considerar a matriz de dados de experimentos com 2 fatores com n r´eplicas (caso balanceado) B1 B2 . . . BJ A1 x111 x121 . . . x1J1 . . . . . . . . . . . . x11n x12n . . . x1Jn A2 x211 x221 . . . x2J1 . . . . . . . . . . . . x21n x22n . . . x2Jn . . . . . . . . . . . . . . . . . . AI xI11 xI21 . . . XIJ1 . . . . . . . . . . . . . . . xI1n xI2n . . . XIJn 10 An´alise de Variˆancia - 2 fatores com r´eplicas Voltando ao exemplo anterior, agora ao inv´es de um ´unico estabelecimento para cada combina¸c˜ao, o consumidor resolveu pegar 3 estabelecimentos para cada combina¸c˜ao, e os dados ficam assim Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Zona Norte 53 53 52 52 56 56 54 56 54 Sul 41 48 48 46 51 48 45 51 45 Oeste 51 54 48 54 56 51 54 52 48 11 Análise de Variância - 2 fatores com réplicas Voltando para a matriz de dados, vamos calcular as médias marginais e outras estatísticas necessárias. B1 B2 … BJ Média A1 x¯11, S^211 x¯12, S^212 … x¯1J, S^21J x¯A1=∑Jj=1∑nk=1 x1jk/ (nJ) A2 x¯21, S^221 x¯22, S^222 … x¯2J, S^22J x¯A2=∑Jj=1∑nk=1 x2jk/ (nJ) … … … … … AI x¯I1, S^2I1 x¯I2, S^2I2 … x¯IJ, S^2IJ x¯AI=∑Jj=1∑nk=1 xIjk/ (nJ) x¯B1=∑Ii=1∑nk=1 xi1/nI x¯B2=∑Ii=1∑nk=1 xi2/nI … x¯BJ=∑Ii=1∑nk=1 xiJ/nI X=∑Ij=1∑ni=1∑nki=1 xij/ (IJn) x¯ij=∑nk=1 xijk/n S^2ij=∑nk=1(xijk−x¯ij)2/n−1 Intera¸c˜ao AB Graficamente ´e mais f´acil explicar o que vem a ser a existˆencia de intera¸c˜ao entre os fatores A e B. Do lado esquerdo - N˜ao existe efeito da intera¸c˜ao - vemos que o comportamento da resposta ´e semelhante independente do n´ıvel do fator B Do lado direito - Existe efeito da intera¸c˜ao - o comportamento da resposta depende do n´ıvel do fator B. Se H0AB ´e verdadeira - a resposta da combina¸c˜ao ij pode ser estimada empregando ˆαi e ˆβj. Se H0AB n˜ao ´e verdadeira - a resposta da combina¸c˜ao ij pode ser estimada empregando ˆαi, ˆβj e mais ˆγij. 13 Análise de variância - 2 fatores com réplicas O modelo linear associado neste caso: Xijk=μ+αi+βj+γij+eijk com as restrições: ∑Ii=1αi=∑Jj=1βj=∑Ij=1γij=∑Jj=1γij=∑Ij=1∑Jj=1γij=0. Além destas duas hipóteses já conhecidas: {H0A: α1=…=αI=0 H1A: ∃ pelo menos algum i|αi≠0 H0B: β1=…=βJ=0 H1B: ∃ pelo menos um j|βj≠0 Há uma terceira que se refere à interação entre os fatores A e B expressa como {H0AB: γ11=…=γIJ=0 H1AB: ∃ pelo menos algum i,j |γij≠0 Análise de variância - 2 fatores com réplicas Vamos dispor os resultados numa Tabela ANOVA FV Soma de Quadrados G. L. QM Estatística A SQA=nJ∑i=1(XAi−X¯)2 I−1 S^2A=SQA/I−1 FA=S^2A/S^2R B SQB=nI∑j=1(XBj−X¯)2 J−1 S^2B=SQB/J−1 FB=S^2B/S^2R AB SQAB=∑I=1∑J=1(Xij−XA,i−XB,j+X¯)2 (I−1)(J−1) S^2AB=SQAB/(I−1)(J−1) FAB=S^2AB/S^2R Resíduos SQR=∑I=1∑J=1∑n=1(xijk−x¯ij)2 IJ(n−1) S^2R=SQR/IJ(n−1) Total SQT=∑I=1∑J=1∑n=1(xijk−X¯)2 nIJ−1 SQR pode ser escrita como ∑I=1∑J=1(n−1)S^2ij É mais fácil obter SQAB=SQT-SQA-SQB-SQR. Escolhido α, o critério de decisão: Rejeito H0A se FA > FCA', FCA', um valor crítico da distribuição F com (I−1) e IJ(n−1) graus de liberdade respectivamente no numerador e denominador. Rejeito H0B se FB > FCB', FCB', um valor crítico da distribuição F com (J−1) e IJ(n−1) graus de liberdade respectivamente no numerador e denominador. Rejeito H0AB se FAB > FCAB', FCAB', um valor crítico da distribuição F com (I−1)(J−1) e IJ(n−1) graus de liberdade respectivamente no numerador e denominador. An´alise de Variˆancia - 2 fatores com r´eplicas Voltando ao exemplo do pre¸co de aspirina e com os resultados colocados na Tabela Anova FV Soma de Quadrados G. L. QM Estat´ıstica p-value Valor cr´ıtico A (local) 234 2 117 33.97 < 0.0001 3.55 B(tipo) 54 2 27 7.84 0.004 3.55 AB 48 4 12 3.48 0.028 2.93 Res´ıduo 62 18 3.44 Total 398 26 Que conclus˜oes podemos tirar? Os fatores A e B s˜ao individualmente relevantes? Existe efeito da intera¸c˜ao entre Local e tipo de estabelecimento? 16 Exerc´ıcio Um pesquisador quer analisar os tempo (em segundos) dos corredores que terminaram uma maratona em fun¸c˜ao de sexo e faixa et´aria. Os tempos listados foram selecionados aleatoriamente. Quais s˜ao as hip´oteses nulas? 17 Tabela da Anova - Maratona A sa´ıda de um software forneceu a seguinte tabela: Fonte da varia¸c˜ao SQ gl QM F p-value F cr´ıtico A- sexo 15225413 1 15225413 1.686 0.206 4.260 B-Faixa de Idade 92086979 2 46043490 5.100 0.014 3.403 AB 21042069 2 10521034 1.165 0.329 3.403 Res´ıduo 216683448 24 9028477 Total 345037909 Quais s˜ao as conclus˜oes? Os dois fatores s˜ao relevantes? A intera¸c˜ao est´a ativa? A partir destes resultados, para planejar pr´oximos experimentos, o que vc consideraria? 18