Lista 9 - Análise de Variância - Estatística 2021 1

Página | 1 9ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012 Prof. Mariana Pereira de Melo Análise de Variância Ex.01) Na tabela abaixo estão os dados referentes a uma amostra de 21 alunos do primeiro ano de um curso universitário. As variáveis são: Y: nota obtida na primeira prova do curso; X: se cursou escola particular (P) ou oficial (O); Z: o período em que está matriculado: manhã (M), tarde (T), noite (N). (a) Você diria que o fato de a pessoa ter cursado a escola particular ou oficial influi no resultado da primeira prova? (b) Você diria que o período que o aluno está cursando influencia seu desempenho na primeira prova? Ex.02) Numa pesquisa sobre rendimentos por hora, com assalariados segundo o grau de instrução, obtiveram-se os dados da tabela abaixo. Construa a tabela ANOVA e verifique se existe diferença significativa entre os rendimentos das duas categorias. [Observação: rendimentos (x) expressos como porcentagem do salário mínimo.] Ex.03) No exemplo acima, acrescentou-se uma amostra de universitários. Considerando isto, responda os itens a seguir: (a) O grau de escolaridade influencia os rendimentos? (b) Qual seria o rendimento médio para pessoas com formação universitária? (c) Existe diferença entre os rendimentos médios daqueles com instrução universitária e assalariados com primeiro grau? Com segundo grau? Ex.04) Quer-se verificar a durabilidade de duas marcas de tintas que têm preços de custo bem diferenciados. Para isso foram selecionadas dez casas, cinco pintadas com a marca A e as cinco restantes pintadas com a marca B. Após um período de seis meses, foi atribuída a cada casa uma nota, resultante de vários quesitos. Os resultados foram os seguintes: Gabarito Lista 9 a) H0: μ1 = μ2 = μ3 H1: μi ≠ μj, para pelo menos um par (i,j) X ~ 3 (número de populações) n: 50 + 20 + 10 = 80 (tamanho dos modelos total) x̄i = Σxij / mi ⇒ x̄M = 111,50 / 50 = 2,23 x̄F = 71 / 20 = 3,55 x̄S = 84,30 / 10 = 8,43 x̄ = Σ(x̄i.mi) / n = x̄ = 2,23.50 + 3,55.20 + 8,43.10 / 80 = 3,325 Σ₁ Σ̇ (xij²) ⇒ Σ xij² = 259,92 Σ xij² = 258,89 Σ xij² = 712,94 Σ Σ xij² = 259,93 + 258,89 + 712,94 = 1.236,76 Σ (mi.x̄i²) ⇒ Σ (mi.x̄i²) = 50.2,23² + 20.3,55² + 10.8,43² = 1.211,344 sqtotoal: Σ Σ xij² - nx̄² = 1236,76 - 80.3,325² = 346,982 squadro : Σ Σ xij² - Σ (mi.x̄i²) = 1236,76 - 1211,344 = 25,416 sqEntre : Σ (mi.x̄i²) - nx̄² = 1211,344 - 80.3,325² = 321,566 sqtotoal = sqaundo + sqEnt Continuando a tabela de análise de variância (ANOVA): FV gL SQ QM F Entre 3-1 = 2 321,566 321,566/2 = 160,783 160,783/2 = 487,022 Dentro 80-3 = 77 25,416 25,416/77 = 0,33 (σ²) total 80-1 = 79 346,982 346,982/99 = 4,27 (σ²) Sob H0, F0 = 487,22 ~ F2, 77 F0 = 487,22 ~ F99 Como a ANOVA considera o F0 uma quantificação do quanto se passar do modelo 1 para o modelo 2, a região crítica é compacta apenas pela cola superior, mesmo o teste de Hipótese sendo bilateral. Admitindo α = 5% : F2, 77,56 ≈ 3,14 RC : {F0 < k|F0 > 3,14} F0 e RC, logo rejeito-se H0. Portanto, há evidencias de que o grau de escolaridade influencia os rendimentos. b) IC(μ, 95%) = (x̄ ± t(1)(5%/m)) = (8,43 ± t.0,24 √0,33/30) ≈ (3,021; 3,84) c) Analisando as médias par a par através de intervalos de confiança com a correção de Bonferroni: IC(μi-μj ,100(1-α))% = (x̄i - x̄j) ± tα/2m - k √(1/mi + 1/mj) α* = α/m = 5%/(3)² = 4,6667% m = combinações tα,0333%, 99 ≈ 2,45 IC(μs-μf, 98,333%) = (8,43 - 2,23) ± 2,45 √(1/10 + 1/50) 0,33 = (5,712; 6,688) O ∉ IC ⇒ μs - μF > 0 ⇒ μS > μF IC(μs-μM; 98,333%) = (8,43 - 3,55) ± 2,45 √(0,33 (1/10 + 1/50)) = (4,335; 5,425) O ∉ IC ⇒ μs - μM > 0 ⇒ μs > μM IC(μF-μM; 98,333%) = (2,23 - 3,55) ± 2,45 √(0,33 (1/50 + 1/20)) =(-1,692; -0,948) O ∉ IC ⇒ μF - μM < 0 ⇒ μF < μM Portanto, μS > μM > μF. 07) Considerando como y a variável resposta contínua (perda de peso). H0 : μ1 = μ2 = μ3 H1 : μi ≠ μj, para pelo menos um par (i,j) k = 3 n = n1 + n2 + n3 = 3 x 6 = 18 ŷ1 = 74 / 6 = 12,33 ŷ2 = 48,2 / 6 = 8,03 ŷ3 = 70,4 / 6 = 11,73 ȳ = (6 x 12,33 + 8,03 + 11,73) / 18 = 10,697 Σi Σj yij² : 312,34 Σi Σj ŷi² : 892,3 Σi Σj yij² : 328,58 Σi Σj ŷij² : 2158,12 Σi Σj ŷij² = 6 x 12,33² + 6 x 8,03² + 6 x 11,73² = 2124,62 SQtotal = 2158,12 - 18 x 10,697² = 98,455 SQentre = 2158,12 - 2124,62 = 33,5 SQentre = 2124,62 - 18 x 10,697² = 64,955 Construindo a ANOVA: EV gl SQ QM F Entre 2 64,955 32,4775 14,544 Dentro 15 33,5 2,233 (S²e) total 17 98,455 5,791 (S²) Sob H0, Fo = 14,5441 ~ F2,15 Admitindo α = 5% : F2,15,5% = 3,68 RC : { Fo ∈ R | Fo > 3,68 } Fo ∈ RC, logo rejeito-se H0. Portanto há evidências de que a média da perda de peso é diferente de acordo com o regime. Analisando os médios para a par : α = 5% => 1,667% ≈ t0,233343,15 ≈ α/2 IC (μ1 - μ2; 98,3333%) = (12,33 - 8,03) ± α/2 √2,033 (1/6 + 1/6) = (4,97; 6,63) 0 ∉ IC => μ1 - μ2 > 0 => μ1 > μ2 IC (μ2 - μ3; 98,3333%) = (8,03 - 11,73) ± α/2 √2,033 (1/6 + 1/6) = (-6,03; -1,37) 0 ∉ IC => μ2 - μ3 < 0 => μ2 < μ3 IC (μ1 - μ3; 98,3333%) = (12,33 - 11,73) ± α/2 √2,033 (1/6 + 1/6) = (-1,73; 2,93) 0 ∉ IC => μ1 - μ3 = 0 => μ1 = μ3 Portanto, μ1 = μ3 > μ2. 1) Anotando como X a variável resposta contínua (construção sintética). H0 : μ1 = μ2 = μ3 = μ4 H1 : μi ≠ μj , para pelo menos um par (i,j) k = 4 n = 7+5+8+7 = 27 x̄1 = 173/7 = 24,72 x̄2 = 149/5 = 29,8 x̄3 = 198/8 = 24,75 x̄4 = 230/7 = 32,86 x̄ = (7*24,72 + 5*29,8 + 8*24,75 + 7*32,86)/27 ≈ 27,778 ∑ x̄ij = 49,75 i=1 j=1 ∑ x2ij = 451,5 i=1 j=1 ∑ x3j2 = 499,2 j=1 j=1 ∑ x4j2 = 7660 j=1 ∑i=1 ∑j=1 xij2 = 2156,2 ∑i=1 ∑j=1 xij2 = 21173,25 SQtotal = 2156,2 - 27*27,7782 = 728,33 SQAme = 2156,2 - 21173,25 = 388,75 SQEnt = 21173,25 - 27,027,7782 = 329,58 Construindo a ANOVA: FV gl SQ QM F Entre 3 239,58 113,19 6,698 Dentro 23 388,75 16,90 (Se²) Total 26 728,33 28,01 (St²) Sob H0, FO = 6,698 ~ F3,23 Resumindo α = 5% : F3,23, 5% = 3,03 RC : {FO ∈ R | FO > 3,03} FO ∈ RC, logo rejeita-se H0. Portanto, há evidências de que os quatro livros não são de um único autor. Analisando os médios par o par: α'' = 5% = 0,833% IC(μ1 - μ2; 99,169%) = (24,71 - 29,8) ± 2,9 √16,90 (1/7 + 1/5) = (-12,09; 4,29) 0 ∉ IC ⇨ μ1 - μ2 = 0 ⇨ μ1 = μ2 IC(μ1 - μ3; 99,169%) = (29,8 - 24,75) ± 2,9 √16,90 (1/5 + 1/8) = (-1,75; 12,846) 0 ∉ IC ⇨ μ1 - μ3 = 0 ⇨ μ2 = μ3 IC(μ3 - μ1; 99,169%) = (24,75 - 32,86) ± 2,9 √16,90 (1/8 + 1/7) = (-14,28; -1,94) 0 ∉ IC ⇨ μ3 - μ1 < 0 ⇨ μ3 < μ1 IC(μ4 - μ1; 99,169%) = (32,86 - 24,72) ± 2,9 √16,90 (1/7 + 1/8) = (1,78; 14,52) 0 ∉ IC ⇨ μ4 - μ1 > 0 ⇨ μ4 > μ1 IC(μ1 - μ3; 99,169%) = (24,72 - 24,75) ± 2,9 √16,90 (1/7 + 1/8) = (-6,42; 6,13) 0 ∈ IC ⇨ μ1 - μ3 = 0 ⇨ μ1 = μ3 IC(μ1 - μ4; 99,169%) = (29,8 - 32,86) ± 2,9 √16,90 (1/5 + 1/7) = (-10,04; 3,92) 0 ∈ IC ⇨ μ1 - μ4 = 0 ⇨ μ2 = μ4 Portanto, μ1 = μ3 = μ2 μ4 = μ3 < μ4 μ2 = μ4 12) m=50 x: peso de cada criança. Σi xi: 1639,5 kg Σi xi²: 56950,33 kg² x̄ = 1639,5 / 50 = 32,79 s² = (56950,33 - 50.32,79²) / 49 = 65,125 Assumindo α = 5%: t0,025%,49 ≈ 2,009 IC(μ, 95%) = (32,79 ± 2,009√(65,125/50)) = (30,497; 35,083) 13) a) α = 10% S²A = 113,3 S²B = 101,4 mA = 10 mB = 15 H0: σ²A = σ²B H1: σ²A ≠ σ²B Sob H0, F0 = 113,3 / 101,4 = 1,12 ∼ F9,14 Como α = 10%: F9,14,5% = 2,65 F14,9,95% = 1 / F9,14,95% = 1 / 3,03 = 0,33 RC: {F0 ∈ IR | F0 < 0,33 ou F0 > 2,65} Como F0 = 1,12 ∉ RC, não se rejeita H0. Portanto há evidências de que as variâncias são iguais. b) H0: μ1 = μ2 = μ3 H1: μi ≠ μj para pelo menos um par (i,j) k = 3 m = 10 + 15 + 12 = 38 x̄A = 80,7 x̄B = 59 x̄C = 70,3 x̄ = (10.80,7 + 15.59 + 13.70,3) / 38 = 69,06 s² = Σi=1 xi² - m x̄² / (m-1) ⇒ Σi=1 (xi²A (10-1).113,3 + 10.80,7²) / 9 = 66.144,6 Σi=1 (xi²B (15-1).104,4 + 15.59²) / 14 = 53,634,6 Σi=1 (xi²C (13-1).106,5 + 13.70,3²) / 12 = 69,230,77 ∑i=1n∑j=1nkij2 = 66.144,6 + 53.634,6 + 69.230,77 = 189011,97 ∑i=1n(xi−x¯)2 = 10,802 + 15,592 + 13,722 = 185294,67 Satot = 189011,97 - 38.69,062 = 6707,96 Sadom = 189011,97 - 185294,67 = 3717,3 SaEnt = 185294,67 - 38.69,26 = 3010,66 Construindo a ANOVA: FV gl SQ QM F Entre 2 3010,66 1505,33 14,17 Dentro 35 3717,3 106,01 (S2) Total 37 6707,96 181,84 (S2) Sob H0, Fo = 14,17 ≈ F2,35 Assumindo α = 5%: F2,35,5% ≈ 3,28 RC : 2 Fo ∈ |R | (Fo > 3,28) Fo ∈ RC, logo rejeita-se Ho. Portanto, há evidências de que as médias não são iguais. c) Analisando as médias par a par: α2 = 5%2 = 2,667% t0,3334,25 ≈ √0,5 IC(μB - μA; 98,3333%) = (80,9 - 59,9) ± 2,5 √106,21(110+115) = (11,18; 32,02) O ∉ IC ⇒ μB - μA > 0 ⇒ μA < μB IC(μB - μC; 98,3333%) = (59 - 72,2) ± 2,5 √106,21(115+113) = (-23,06; -3,54) O ∉ IC ⇒ μB - μC < 0 ⇒ μB < μC IC(μC - μA; 98,3333%) = (72,3 - 80,7) ± 2,5 √106,21(113+110) = (-19,94; 2,44) O ∈ IC ⇒ μC - μA = 0 ⇒ μC = μA Portanto, μA = μC > μB.