Atividade de Estatística

Apostila de Estatística Geral LCE211 Modulo II Prof Gabriel Sarriés II1 Distribuição Normal de Probabilidades O que é a Distribuição Normal A distribuição normal também conhecida como distribuição gaussiana ou curva de sino é uma das distribuições de probabilidade mais importantes em estatística Ela descreve como os valores de uma variável aleatória contínua se distribuem Imagine que você está medindo a altura de muitas pessoas a maioria terá uma altura próxima da média enquanto poucas pessoas serão muito altas ou muito baixas Essa distribuição das alturas tende a seguir uma curva normal Características principais da distribuição normal Forma de sino O gráfico da Distribuição Normal tem um formato característico de sino simétrico em torno da média httpswwwufrgsbrprobabilidadeestatisticalivrolivrocompletomainfilesfigurehtmlsimplenorm1png httpswwwinfufscbrandrezibettiprobabilidadefiguresnormalPNG Simetria A metade esquerda da curva é um espelho da metade direita Unimodal Possui um único pico que representa a média a mediana e a moda da distribuição Todos esses três valores são iguais no centro da curva Assintótica As caudas da curva se aproximam do eixo horizontal mas nunca o tocam estendendose teoricamente ao infinito em ambas as direções Área sob a curva A área total sob a curva é igual a 1 ou 100 representando todas as probabilidades possíveis Parâmetros da Distribuição Normal Uma distribuição normal é completamente definida por dois parâmetros Média μ Indica o centro da distribuição onde o pico do sino está localizado Ela influencia a posição da curva no eixo horizontal Desvio Padrão σ Mede a dispersão dos dados em torno da média Um desvio padrão menor resulta em uma curva mais estreita e alta indicando que os dados estão mais concentrados perto da média Um desvio padrão maior resulta em uma curva mais larga e achatada indicando maior variabilidade nos dados A notação para uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ é XNμσ2 Note que usamos σ2 variância na notação mas o desvio padrão σ é frequentemente mais intuitivo para entender a dispersão A Regra Empírica ou Regra dos 6895997 Para distribuições normais existe uma regra prática muito útil Aproximadamente 68 dos dados estão dentro de um desvio padrão da média μ1σ Aproximadamente 95 dos dados estão dentro de dois desvios padrões da média μ2σ Aproximadamente 997 dos dados estão dentro de três desvios padrões da média μ3σ Essa regra nos dá uma ideia rápida da probabilidade de um valor cair dentro de certos intervalos em uma distribuição normal httpsimagesprismiciovoitto blogZWY2NDM5ZDAtYzhkZi00OTdmLTkxYzEtZjQyOWYxZmUzMmFjvtryipffqucmna36obljnyltuervdah77n2pednnia9hiwdkkgwf8rnb8gmlyvfvdq5je4uxg8pfic7epo 1gteyaaa41ze5mrehmshzb06kuosxpcbnhtlqtuanwdpunzbqd0y Exemplos Práticos Veremos alguns exemplos onde a distribuição normal é comumente aplicada Exemplo 1 Altura das Pessoas Suponha que a altura média dos homens em uma certa população seja de 175 cm com um desvio padrão de 7 cm Se as alturas seguem uma distribuição normal Aproximadamente 68 dos homens terão altura entre o 1757168 cm e o 1757182 cm Aproximadamente 95 dos homens terão altura entre o 17527161 cm e o 17527189 cm Aproximadamente 997 dos homens terão altura entre o 17537154 cm e o 17537196 cm Exemplo 2 Notas em um Teste Em um teste com muitos participantes as notas médias foram de 70 com um desvio padrão de 5 Se as notas seguem uma distribuição normal Aproximadamente 68 dos alunos tiraram notas entre o 70565 e o 70575 Aproximadamente 95 dos alunos tiraram notas entre o 702560 e o 702580 Aproximadamente 997 dos alunos tiraram notas entre o 703555 e o 703585 Exemplo 3 Peso de Produtos Industriais Uma máquina enche pacotes de café com um peso médio de 500 gramas e um desvio padrão de 10 gramas Assumindo uma distribuição normal para o peso dos pacotes Aproximadamente 68 dos pacotes terão peso entre o 50010490 gramas e o 50010510 gramas Aproximadamente 95 dos pacotes terão peso entre o 500210480 gramas e o 500210520 gramas Aproximadamente 997 dos pacotes terão peso entre o 500310470 gramas e o 500310530 gramas Exercício MII1i Estamos colhendo melões supondo que a variável peso dos melões segue uma distribuição normal com média do peso é 1123 kg e o desvio padrão 0155 kg Aplique a Regra Empírica ou Regra dos 6895 997 e forneça dados uteis para a operação de colheita Exercício MII1ii Estamos colhendo milho para silagem a média de corte foi 25 cm do solo e o desvio padrão 3 cm Aplique a Regra Empírica ou Regra dos 6895997 e forneça dados uteis para a operação de colheita do milho Exercício MII1iii A média de altura numa média de 400 pessoas do Brasil tomadas aleatoriamente através do RG em Excel forneceu uma média de 168 cm com um CV 35 CV SM 100 S CVM 100 S 35168100 Exercício MII1iv Também se tomou uma amostra aleatória de pessoas do Japão amostra tamanho 150 com média167 cm e CV 5 Também se tomou uma amostra aleatória de pessoas do Brasil amostra tamanho 150 com média167 cm e CV 8 Qual percentagem das pessoas teremos em cada país Utilize a Regra dos 68 95997 Estamos fabricando roupa e não podemos deixar roupa encalhada queremos atingir 68 da população em cada país esse 68 se encontra entre quais alturas em cada país A Importância da Distribuição Normal A distribuição normal é fundamental em estatística por várias razões Muitos fenômenos naturais e artificiais tendem a se distribuir normalmente ou aproximadamente normalmente quando um grande número de observações obtidas aleatoriamente Por exemplo no Excel com a função Aleatório entre é considerado um número limite é 30 uma amostra de tamanho 30 em geral é suficiente para saber exatamente o tamanho da amostra Devemos aplicar a formula abaixo Ela serve como base para muitos testes de hipóteses e ó intervalos de confiança O Teorema do Limite Central que não abordaremos em detalhes aqui afirma que a distribuição das médias aritméticas de amostras grandes 30 tende a se aproximar de uma distribuição normal independentemente da distribuição da população original II2 Exemplos práticos para utilização da Tabela Normal de Probabilidades A distribuição Normal de Probabilidades é difícil de integrar esta é a Função Normal A tabela normal de probabilidades também conhecida como tabela Z é uma ferramenta fundamental em estatística para encontrar probabilidades áreas embaixo da curva são integrais definidas associadas a uma distribuição normal padrão com média 0 e desvio padrão 1 Para utilizar essa tabela em situações práticas o primeiro passo crucial é padronizar a variável aleatória que você está analisando Padronização Cálculo do escore Z Se você tem uma variável aleatória X com uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ qualquer valor x dessa variável pode ser transformado em um escore Z usando a seguinte fórmula Z Xμ σ Uma vez que você calcula o escore Z pode usar a tabela normal padrão para encontrar a probabilidade associada a esse valor Exemplos Práticos Vamos considerar alguns exemplos práticos para ilustrar a utilização da tabela normal de probabilidades Exemplo 1 Altura de estudantes Suponha que a altura de estudantes em uma universidade siga uma distribuição normal com média de 170 cm e desvio padrão de 5 cm Qual é a probabilidade de um estudante selecionado aleatoriamente ter uma altura inferior a 160 cm 1 Identifique os parâmetros o Média μ 170 cm o Desvio padrão σ 5 cm o Valor de interesse x 160 cm 2 Calcule o escore Z Z1601705105 2 3 Consulte a tabela normal padrão Procure o valor de Z200 na tabela normal padrão A tabela geralmente fornece a probabilidade acumulada à esquerda do valor Z Para Z200 a probabilidade encontrada na tabela será aproximadamente 00228 ver resultado na Tabela de Distribuição Normal Padrão abaixo 4 Interprete o resultado A probabilidade de um estudante ter uma altura inferior a 160 cm é de aproximadamente 00228 ou 228 Iremos mostrar diversos modelos da Tabela da Distribuição Normal Padrão todas apresentam as mesmas probabilidades mas com métodos diferentes para achalas 2 33 009 00002 00003 00005 00007 00010 00019 00026 00036 00048 00064 00084 00110 00143 00183 00233 00294 00367 00455 00559 00681 00833 00985 01170 01379 01611 01867 02148 02451 02776 03121 03483 03859 04247 04641 008 005 004 003 002 001 00003 00004 00005 00007 00008 00015 00021 00028 00051 00068 00089 00116 00150 00192 00244 00307 00384 00475 00582 00708 00853 01020 01210 01423 01660 01922 02206 02514 02843 03192 03557 03936 04325 04721 00003 00004 00006 00008 00011 00021 00029 00038 00052 00069 00091 00119 00154 00197 00250 00314 00392 00485 00594 00722 00869 01038 01230 01446 01685 01949 02236 02546 02877 03228 03594 03974 04364 04761 00003 00005 00007 00012 00018 00035 00034 00045 00060 00080 00107 00139 00179 00228 00285 00359 00446 00548 00668 00808 00968 01151 01357 01587 01841 02119 02420 02743 03085 03446 03821 04207 04602 05000 18 Distribuição Normal Valores de p tais que P0 Z z p parte inteira e primeira decimal de z Segunda casa decimal de z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 01 00398 00438 00478 00517 00557 00596 00636 00675 00714 00753 02 00793 00832 00871 00910 00948 00987 01026 01064 01103 01141 03 01179 01217 01255 01293 01331 01368 01406 01443 01480 01517 04 01554 01591 01628 01664 01700 01736 01772 01808 01844 01879 05 01915 01950 01985 02019 02054 02088 02123 02157 02190 02224 06 02257 02291 02324 02357 02389 02422 02454 02486 02517 02549 07 02580 02611 02642 02673 02704 02734 02764 02794 02823 02852 08 02881 02910 02939 02967 02995 03023 03051 03078 03106 03133 09 03159 03186 03212 03238 03264 03289 03315 03340 03365 03389 10 03413 03438 03461 03485 03508 03531 03554 03577 03599 03621 11 03643 03665 03686 03708 03729 03749 03770 03790 03810 03830 12 03849 03869 03888 03907 03925 03944 03962 03980 03997 04015 13 04032 04049 04066 04082 04099 04115 04131 04147 04162 04177 14 04192 04207 04222 04236 04251 04265 04279 04292 04306 04319 15 04332 04345 04357 04370 04382 04394 04406 04418 04429 04441 16 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 04525 04535 04545 17 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 04616 04625 04633 18 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 04693 04699 04706 19 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 04756 04761 04767 20 04772 04778 04783 04788 04793 04798 04803 04808 04812 04817 25 Tabela Normal Padrão para Valores Positivos Probabilidade z 00 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 Fonte httpsimgv22fscribdassetscomimgdocument415524196original76bd9bc0d51v1 Exemplo 2 Tempo de espera em uma fila O tempo de espera em uma fila de atendimento ao cliente segue uma distribuição normal com média de 5 minutos e desvio padrão de 15 minutos Qual a probabilidade de um cliente esperar mais de 7 minutos 1 Identifique os parâmetros o Média μ 5 minutos o Desvio padrão σ 15 minutos o Valor de interesse x 7 minutos 2 Calcule o escore Z Z 7515 133 3 Consulte a tabela normal padrão Encontre a probabilidade acumulada para Z133 Será aproximadamente 09082 essa é a probabilidade de esperar menos de 7 minutos Assim a probabilidade de esperar mais do que 7 minutos é 109082 00918 918 Procurando a probabilidade na Tabela Normal Padrão 4 Calcule a probabilidade de esperar mais de 7 minutos Como a área total sob a curva normal é 1 a probabilidade de esperar mais de 7 minutos é PX71PX71PZ13310908200918 5 Interprete o resultado A probabilidade de um cliente esperar mais de 7 minutos é de aproximadamente 00918 ou 918 Exemplo 3 Notas em um exame As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média de 70 e desvio padrão de 8 Qual a probabilidade de um aluno obter uma nota entre 60 e 80 1 Identifique os parâmetros o Média μ 70 o Desvio padrão σ 8 o Valores de interesse x1 60 e x2 80 2 Calcule os escores Z o Para x160 Z1 6070 8 108 125 o Para x280 Z2 8070 8 108 125 httpswwwufrgsbrprobabilidadeestatisticalivrolivrocompletomainfilesfigurehtmlsimplenorm1png 3 Consulte a tabela normal padrão o Encontre a probabilidade acumulada para Z1125 Será aproximadamente 01056 o Encontre a probabilidade acumulada para Z2125 Será aproximadamente 08944 Ver em tabela abaixo 4 Calcule a probabilidade entre os dois valores A probabilidade de a nota estar entre 60 e 80 é a diferença entre as probabilidades acumuladas P60X80PZ125PZ125089440105607888 5 Interprete o resultado A probabilidade de um aluno obter uma nota entre 60 e 80 é de aproximadamente 07888 ou 7888 Tabela da Distribuição Normal para Valores Positivos httpsprofessorgurucombrestatisticaintervalosdeconfiancahtml Ao valor da tabela devemos somar 05 para valores menores que Z Nesta outra tabela não devemos somar 05 chromeextensionefaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkajhttpswwwimeunicampbrcnabertabelanormalpdf Em resumo a tabela normal de probabilidades é uma ferramenta poderosa para analisar dados que seguem uma distribuição normal Ao padronizar os valores para obter o escore Z podemos utilizar a tabela para encontrar probabilidades de ocorrência dentro de determinados intervalos É importante entender como a tabela é estruturada probabilidades acumuladas à esquerda ou entre a média e o valor Z para interpretar os resultados corretamente Exercícios Exercício MII2i Estamos colhendo melões a média aritmética é 1 kg de peso dos melões o desvio padrão foi 03 kg Qual é a probabilidade de colher melões com mais de 12 kg se os dados forem distribuídos normalmente tamanho da amostra 30 Resposta Exercício MII2ii No exercício anterior calcule a probabilidade de colher melões com peso entre 09 kg e 14 kg X1 09 X2 14 Z109103 Z214103 Exercício MII2iii No exercício anterior calcule a probabilidade de colher melões com peso menor que 08 kg Z 08103 067 02514 PZ067 PX08 2514 Exercício MII2vii Imagine um produtor de maçãs cuja colheita anual por árvore segue uma distribuição normal com uma média μ de 50 kg e um desvio padrão σ de 5 kg O produtor gostaria de saber qual a probabilidade de uma árvore selecionada aleatoriamente produzir a Mais de 60 kg de maçãs Z605052 PX60PZ2 1PZ2 1 09772 00228 228 b Menos de 45 kg de maçãs Z45505 1 PX45PZ 1 01587 1587 c Entre 48 kg e 55 kg de maçãs 4967 Z1 X48 48505 04 Z2 X55 55505 1 Resposta PZ1 PZ 04 08413 03446 04967 Considero que poderíamos utilizar para todos os exercícios estas duas tabelas a seguir Estimativa da Média Aritmética Populacional MPop Para estimar a MPop de uma população a partir de uma amostra pequena podemos calcular a Média Amostral MA Estimação Pontual ou calcular um Intervalo de Confiança para a Média Populacional MPop A segunda opção fornece maior nível de informação para a tomada de decisão Módulo II3 Intervalo de Confiança para a Média Populacional MPop Utilizaremos a Distribuição Probabilística t de Student Utilização do Teste t de Student A mais frequente Comparar a Média Aritmética de Duas Populações Exemplo de Comparar a Média Aritmética de Duas Populações Os dados se referem a produção de milho por hectare de dois híbridos comerciais os dados são referentes a talhões no estado do Paraná Mostraremos como realizar essa análise no Excel Dados do Exemplo Hibrido Produtiv BRS1060 9990 BRS1060 10002 BRS1060 9875 BRS1060 9980 BRS1060 9890 BRS1060 9947 DKB235 9707 DKB235 9677 DKB235 9598 DKB235 9705 Intervalo de Confiança para a Média Populacional MPop Um IC de 95 de confiança 1Alfa para a Média Aritmética Populacional MPop significa que existe 95 ou 095 de probabilidade de que a MPop se encontre entre os limites inferior e superior de confiança A margem de erro Alfa será nesse casso 5 ou 005 Para calcular o IC utilizaremos a Média Amostral MA o Desvio Padrarão Amostral S o Tamanho da Amostra n e um valor da Distribuição T de Student ou Distribuição Normal para Pequenas Amostras n 30 Podemos pensar que a probabilidade de encontrar uma MA entre os limites do IC é 1Alfa a margem de confiança do IC 95 é a confiança mais frequentemente utilizada O IC com nível 1Alfa é LI de Confiança MPop LS de Confiança MA tn1Alfa2SRaizn MPop MA t n1Alfa2SuRaizn Onde MA Média Aritmética Amostral n Tamanho da Amostra t n1Alfa2 Valor da Distribuição t de Student para n1 Graus de Liberdade e probabilidade Alfa2 Alfa é a Margem de Erro Esse valor o encontraremos na tabela da Distribuição t de Student S Desvio Padrão Amostral Podemos ver que as componentes do IC são simples Exemplo 1c Um agrônomo quer estimar a produtividade média MPop de um novo hibrido de milho em sua fazenda com uma confiança de 95 Margem de Erro Alfa5 Ele coleta dados de produtividade em sacas por hectare de 10 talhões escolhidos aleatoriamente 60 65 70 62 68 72 63 66 71 64 Passo 1 Calcular a Média Amostral MA 661 sacashá 66 aproximadamente Passo 2 Calcular o Desvio Padrão Amostral S S 4040 sacashá 4 aproximadamente Passo 3 Obter na Tabela tn1Alfa2 onde n1 1019 Graus de Liberdade e Alfa2 0052 0025 tn1Alfa2 t1010025 t90025 2262 Ver Tabela t de Student Passo 4 Calcular o IC 95 IC 95 MA tn1Alfa2 SRaizn MPop MA t n1Alfa2SRaizn IC 95 66 2262 4 Raiz10 MPop 66 286 IC 95 6314 MPop 6886 Sacas por hectare Aproximadamente IC 95 63 MPop 69 Sacas por hectare Assim a MPop está nesse intervalo com 95 de confiança entre 63 e 69 sacas aproximadamente Não teremos uma MPop menor que 6314 nem uma MPop maior que 6886 com 95 de confiança Exemplo 2 Agora vamos a calcular o IC de 99 para a MPop com os dados do Exemplo 1 Somente deveremos mudar o valor da Distribuição t de Student agora Alfa2 será 0012 0005 tn1Alfa2 t1010005 t90005 3250 Ver Tabela t de Student IC99 MA tn1Alfa2 SRaizn MPop MA t n1Alfa2SRaizn IC99 66 3250 4 Raiz10 MPop 66 3250 4 Raiz10 IC99 62 MPop 70 Comparação do IC95 e IC99 IC95 63 MPop 69 Sacas por hectare Amplitude do IC95 69 63 6 IC99 62 MPop 70 Sacas por hectare Amplitude do IC95 70 62 8 Podemos observar que a amplitude Limite Superior menos Limite Inferior do IC é maior no IC99 Tabela da Distribuição t de Student ChromeextensionefaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkajhttpswwwimeunicampbrcnaberTabela20tpdf Exercício MII3i Estamos colhendo melões tomamos uma amostra aleatória de tamanho 15 n a média aritmética amostral MA foi 1 kg de peso dos melões o desvio padrão foi 03 kg Qual é o IC de 95 para a MPop Exercício MII3ii Um produtor de maçãs deseja estimar a MPop do peso das maçãs por arvore de sua propriedade numa superfície de vários hectares Com esse propósito toma uma amostra aleatória de tamanho 20 n com MA 514 kg e Desvio Padrão S 63 kg a Calcule um IC de 95 para a MPop b Calcule um IC de 99 para a MPop Exercício MII3iii Coletamos aleatoriamente dados da produção de milho em 13 fazendas de uma região Os dados em tha são os seguintes 5 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 12 13 A Elabore um IC 95 para a MPop B Elabore um IC 99 para a MPop II4 Análise de Regressão Autores Gabriel e IA Regressão Linear Simples Entendendo a Relação entre Duas Variáveis A regressão linear simples é uma técnica estatística que modela a relação linear entre uma variável dependente ou de resposta y e uma única variável independente ou preditora x O objetivo é encontrar a melhor linha reta que descreva como a variável dependente muda em função das mudanças na variável independente A equação para um modelo de regressão linear simples é y A B x ϵ Onde y é a variável dependente x é a variável independente A é o intercepto o valor de y quando x é 0 B é a inclinação ou coeficiente de regessão a mudança em y para cada unidade de mudança em x ϵ é o termo de erro a diferença entre o valor real de y e o valor previsto pelo modelo Nosso objetivo ao realizar uma regressão linear simples é estimar os valores de A e B a partir dos nossos dados Exemplo Prático 1 Relação entre Investimento em Propaganda x causa e Retorno em Vendas y efeito Os dados devem ser multiplicados por 1000 assim são dados em milhares de reais Dados para copiar para o Excel Cidade x Propaganda yVendas Piracicaba 30 430 Americana 21 335 Santa Barbara 35 520 São Carlos 42 490 Rio Claro 37 470 Sorocaba 8 195 Tieté 17 270 São Pedro 35 400 Jundiaí 25 480 São José dos C 12 258 Uberlandia 10 205 Utilizando o Excel podemos ajustar um modelo de regressão linear simples a esses dados captura de telas do Excel Marcar as colunas de x e y Escolher a primeira opção de Gráfico de Dispersão xy Surgirá o Diagrama de Dispersão acima uma das 7 Ferramentas Estatísticas da Gestão Empresarial de Kaoru Ishikawa figura mais importante da Gestão pela Qualidade Total do Japão segundo ele as 7 ferramentas resolvem a maioria dos problemas de qualquer empresa Agora vamos estimar e graficar a Reta de Regressão Clicar com o botão esquerdo do mouse em qualquer um dos pontos do gráfico os círculos virarão quadrados com um círculo em cada vértice Clicar com o botão direito do mouse em qualquer ponto e escolher a opção Adicionar Linha de tendência Escolher a opção Regressão Linear e equação no gráfico Obteremos o seguinte resultado Podemos observar que a equação y A B x será o y 13895 92815 x ou o Vendas 139 93 Propaganda o Assim cada 1 real investido em Propaganda aumenta 93 reais a Venda o Podemos multiplicar por 1000 assim por cada 1000 reais investidos em Propaganda aumenta 9300 reais a venda o A Venda quando a Propaganda é Zero é 138950 reais Predição Com este modelo podemos prever com segurança a Venda para qualquer valor de Propaganda observada entre 8000 e 42000 reais isso se denomina Interpolação Por exemplo para 28000 reais investidos em Propaganda obteremos o y 13895 92815 x o y 13895 92815 28000 26002095 Se quisermos prever quanto venderíamos com 50000 reais investidos em propaganda estaríamos extrapolando Extrapolação fazendo uma inferência para valores não observados observamos até 42000 isso é valido porem com muito menos segurança em relação à Interpolação Já não teremos 9999 de confiança pode se calcular essa confiança o y 13895 92815 50000 46421395 Limitações É importante lembrar que este é um modelo simples e pode não capturar toda a complexidade da relação entre x e y o modelo pode ser exponencial polinomial logarítmico etc Iremos decidir qual é o melhor pelo valor Coeficiente de Determinação ou r quadrado Outros fatores como a época do ano ano em que foi realizada a observação bioma etc também podem influenciar a Venda Além disso a relação pode não ser perfeitamente linear na realidade o modelo pode ser exponencial polinomial logarítmico etc Iremos decidir qual é o melhor pelo valor Coeficiente de Determinação ou r quadrado Fórmulas da Regressão Linear Simples Coeficiente angular ou Coeficiente de Regressão b Onde é a média aritmética da variável x ou Mx e é a média aritmética da variável Y ou My Faremos os cálculos para o exemplo da Propaganda x e a Venda y na seguinte tabela Calculo da Estimativa Amostral de B b Coeficiente Angular Cidade x Propaganda yVendas xMx yMy Piracicaba 30 430 5272727273 6154545455 Americana 21 335 3727272727 3345454545 Santa Barbara 35 520 1027272727 1515454545 São Carlos 42 490 1727272727 1215454545 Rio Claro 37 470 1227272727 1015454545 Sorocaba 8 195 1672727273 1734545455 Tieté 17 270 7727272727 9845454545 São Pedro 35 400 1027272727 3154545455 Jundiaí 25 480 0272727273 1115454545 São José dos C 12 258 1272727273 1104545455 Uberlandia 10 205 1472727273 1634545455 Média 2472727273 3684545455 Soma Numerador da formula b 9281462041 Calculo da Estimativa Amostral de A a Coeficiente Linear ou Ordenada na Origem ou valor de y quando x0 a My b Mx a 36845 9281 2473 1389 Assim obtivemos os mesmos valores aos que foram obtidos no Excel Exemplo 2 Agora no lugar de vendas colocaremos Lucro Líquido como variável resposta Veremos como se comporta o modelo de regressão Tabela abaixo Cidade x Propagnada yLucro Liquido Piracicaba 30 400 Americana 21 450 Santa Barbara 35 350 São Carlos 42 425 Rio Claro 37 400 Sorocaba 8 388 Tieté 17 413 São Pedro 37 394 Jundiaí 25 400 São José dos C 12 403 Uberlandia 10 397 Obteremos o seguinte resultado y 00157x 40561 20 70 120 170 220 270 320 370 420 470 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Lucro Liquido Propaganda Propaganda Vs Lucro Liquido Podemos observar que o Coeficiente de Regressão é negativo muito próximo a zero assim a propaganda não gera Lucro Líquido diminui levemente a lucratividade ou seja não é bom negócio Talvez deveríamos negociar para diminuir o preço da propaganda para termos lucratividade Exemplo 3 Cidade x Reclamações yLucro Liquido Piracicaba 90 40 Americana 20 450 Santa Barbara 50 200 São Carlos 30 350 Rio Claro 40 350 Sorocaba 5 550 Tieté 35 300 São Pedro 40 300 Jundiaí 3 500 São José dos C 70 200 Uberlandia 50 250 Podemos observar que o Lucro Liquido diminui abruptamente quando aumenta o número de reclamações Exercícios II4 Ex II4i No exemplo da Propaganda e Venda recalcule os coeficientes a e b colocando em lugar dos símbolos de interrogação os últimos dígitos de seu RG Cidade x Propagnada yVendas Piracicaba 30 4 Americana 21 3 Santa Barbara 35 520 São Carlos 42 490 Rio Claro 37 470 Sorocaba 8 195 Tieté 17 270 São Pedro 35 400 Jundiaí 25 480 São José dos C 12 258 Uberlandia 10 205 y 05515x 53435 00 100 200 300 400 500 600 0 20 40 60 80 100 Lucro Liquido Reclamações Reclamações Vs Lucro Liquido Ex II4ii No exemplo da Propaganda e Lucro Líquido recalcule os coeficientes a e b colocando em lugar dos símbolos de interrogação os últimos dígitos de seu RG Cidade x Propaganda y Lucro Liquido Piracicaba 30 3 Americana 21 4 Santa Barbara 35 350 São Carlos 42 425 Rio Claro 37 400 Sorocaba 8 388 Tieté 17 413 São Pedro 37 394 Jundiaí 25 400 São José dos C 12 403 Uberlandia 10 397 Ex II4iii No exemplo das Reclamações e Lucro Líquido recalcule os coeficientes a e b colocando em lugar dos símbolos de interrogação os últimos dígitos de seu RG Cidade x Reclamações yLucro Liquido Piracicaba 90 4 Americana 20 4 Santa Barbara 50 200 São Carlos 30 350 Rio Claro 40 350 Sorocaba 5 550 Tieté 35 300 São Pedro 40 300 Jundiaí 3 500 São José dos C 70 200 Uberlandia 50 250 II5 Coeficiente de Determinação O coeficiente de determinação também chamado de R² é uma medida de ajuste de um modelo estatístico linear generalizado como a regressão linear simples ou múltipla se ajusta aos valores observados de uma variável aleatória O R² varia entre 0 e 1 por vezes sendo expresso em termos percentuais Nesse caso expressa a quantidade da variância dos dados que é explicada pelo modelo linear Assim quanto maior o R² mais explicativo é o modelo linear ou seja melhor ele se ajusta à amostra Por exemplo um R² 08234 significa que o modelo linear explica 8234 do fenômeno que estamos estudando da variância da variável dependente a partir do regressões variáveis independentes incluídas naquele modelo linear Fonte Wikipedia Como podemos interpretar o Coeficiente de Determinação CD escola de economia de Chicago Se o valor do CD estiver entre 0 e 02 podemos falar que o modelo é muito pouco explicativo ou muito ruim Se o valor do CD estiver entre 02 e 04 podemos falar que o modelo é pouco explicativo ou ruim Se o valor do CD estiver entre 04 e 06 podemos falar que o modelo é medianamente explicativo ou regular médio Se o valor do CD estiver entre 06 e 08 podemos falar que o modelo é explicativo ou que é bom Se o valor do CD estiver entre 08 e 1 podemos falar que o modelo é muito explicativo ou muito bom Calculo do CD Podemos calcular o CD através desta formula Fonte httpsrbgyrtq2fa Onde Média de x Mx e Média de y My r é denominado de Coeficiente de Correlação CD r2 Carlos W Cortés drnydercsusedu 916 2786152 Reyes Hall 296 American Studies CSU Sacramento Ca 958196081 Salary and Benefits Revision Committee WKARFM 7830 am Dr Howell has been very supportive but funds are limited and to increase salary a clear faculty consensus is needed One serious format change could be debated WKAR is considered valuable by the Secretary of State for election night coverage Faculty consider WKAR a valuable outreach although not necessarily a part of the academic program WKAR is popular with students and a rarity for a university Without the radio experience students are at a disadvantage in the job market WKARFM has been identified by the PBSTV network as a possible site to experiment with combining TV and radio newspolitical programming WKAR can produce PBSTV political programming but not without financial support from the University and PBS WKAR can provide a great service to the university in election coverage nationwide WKAR can contribute to interdisciplinary community cultural programming WKAR gets several awards each year for its public service and quality coverageRod MacKinnon SWOT AnalysisWKARFM Internal Factors Positive WKAR has a stable listener community in the TriCities market population 250000 WKAR engages listeners through public service programming about local and regional issues WKAR provides programming which supports and complements university state and federal education and culture goals and initiatives WKAR reaches an audience that the cable industry advertisingpolitical market ignores WKAR fills needs that commercial media does not or will not address WKAR is a structure which helps the Alumni Association preserve and transmit the traditions of Michigan State University to alumni WKAR is a well recognized brand regionally and nationally WSARFM has an experienced professional staff WKARFM has a technically excellent broadcast facility and signal WKARFM has programming that is well regarded by NPR VOA and PBS WKARFM has community support for local production talents WKARFM has experienced fundraising staff P5 WKARFM has fundraising expertise WKARFM is part of Michigan State University and WKARFM listeners have a very strong loyalty to the alma mater WKARFM has a strong listener base WKARFM receives significant support from the CPB WKARFM has the ability to be a leader in new media initiatives WKARFM provides an information service that commercial media does not Negative WKARFM has little financial support from MSU WKARFM has limited local news programming WKARFM has a limited number of broadcast hours WKARFM has no staff dedicated solely to journalism WKARFM has no promotional budget WKARFM lacks a close and effective relationship with the local community WKARFM has a limited number of hours of original programming Oversight of WKARFM is complex and inconsistent External Factors Opportunities WKARFM can increase the number and quality of its local news programs WKARFM can increase the quality and quantity of local programming WKARFM has the opportunity and capability to develop new media WKARFM has an opportunity to provide leadership in education and culture programming WKARFM can build closer ties with the regional community WKARFM is high quality effective organization with a stellar reputation WKARFM can explore partnerships with local and regional media WKARFM can maintain and build its loyalty for the MSU community WKARFM can bring distinctness and identity to the MSU brand WKARFM offers a unique public service and cultural programming WKARFM can offer a unique benefit to corporate sponsors WKARFM can increase members through audience development and publicity WKARFM can develop and secure new funding WKARFM can increase funding through enhanced corporate sponsor relations WKARFM is supported and valued by the Corporation for Public Broadcasting WKARFM has the opportunity to collaborate with other public media organizations WKARFM has the proclamation support of local officials including the Mayor of East Lansing Threats Dormancy for WKARFM may lead to a loss of state funding WKARFM may fall under pressure of shortened fundraising cycle WKARFM may get little or no new financial support from the University WKARFM may be seen as expendable during budget crises WKARFM may fall under pressure from the private sector to abandon the noncommercial service WKARFM may be vulnerable to competition from new public and commercial media WKARFM may lose support at the state government level WKARFM may have difficulty forging and maintaining a media partnerships WKARFM may have difficulty raising production funds WKARFM may experience internal conflict among WKARFM stakeholders WKARFM may suffer from inadequate staffing and resources WKARFM may suffer from inadequate promotional activities WKARFM may be vulnerable to audience erosion WKARFM media and programming may be diluted WKARFM may become less relevant to students and the local community WKARFM may be less viable with limited broadcast hours WKARFM may fall behind in technological innovation WKARFM may be fragmented with inconsistent oversight WKAR may be unable to offer a multimedia presence at Michigan State University WKARFM may fail to maintain and extend membership WKARFM may suffer from the lack of a coherent media and programming strategy WKARFM may experience decreased contributions from and corporate sponsors WKARFM may have a diminished audience WKARFM may encounter resistance to change WKARFM may have less ability to compete effectively WKARFM may be at risk from the new competitive climate WKARFM may have diminished ability to achieve public and university support WKARFM may suffer from the perception of lack of effectiveness WKARFM leadership and organization may stagnate WKARFM leadership may resist change WKARFM may become less competitive WKARFM leadership may become complacent WKARFM may be vulnerable to a loss of focus and distinctiveness WKARFM leadership may have limited decision making ability WKARFM leadership may be distracted or disinterested WKARFM leadership and organization may be vulnerable to external pressures WKARFM leadership and organization may be vulnerable to quick changes in the political environment WKARFM leadership may suffer from the lack of strategic planning WKARFM leadership may be vulnerable to political and financial influences WKARFM leadership may experience communication failures WKARFM may experience weakened staff WKARFM could experience personnel loss WKARFM may experience frequent changes in management WKARFM could experience depletion of allotted broadcast time WKARFM may experience personnel stress WKARFM may suffer from the inability to attract new listeners WKARFM may be vulnerable to staff morale problems WKARFM may experience loss of long time listener support WKARFM may suffer from deteriorating equipment WKARFM may experience difficulty meeting the challenges of new technology WKARFM may be vulnerable to cyber crime WKARFM may suffer from limited training opportunities WKARFM may experience failure to expand and improve programming WKARFM may experience difficulty with personnel evaluations WKARFM may experience deficient resource management or mismanagement WKARFM may suffer from lack of expertise in the industry WKARFM may have difficulty preparing and implementing a strategic plan WKARFM may be affected by changes in university policy WKARFM may be vulnerable to reduced salaries and benefits WKARFM may suffer from difficulty in obtaining necessary in kind services WKARFM may be affected by changes in legislation Calculo do CD para o exemplo da Propaganda Vs Vendas Cidade x Propagnada yVendas Piracicaba 30 430 Americana 21 335 Santa Barbara 35 520 São Carlos 42 490 Rio Claro 37 470 Sorocaba 8 195 Tieté 17 270 São Pedro 35 400 Jundiaí 25 480 São José dos C 12 258 Uberlandia 10 205 Cálculos para obtermos o CD x Prop yVem x Mx y My x Mx y My x Mx2 y My2 30 430 5273 61545 324512 27802 3787843 21 335 3727 33455 124694 13893 1119207 35 520 10273 151545 1556785 105529 22966025 42 490 17273 121545 2099421 298347 14773298 37 470 12273 101545 1246240 150620 10311479 8 195 16727 173455 2901421 279802 30086479 17 270 7727 98455 760785 59711 9693298 35 400 10273 31545 324058 105529 995116 25 480 0273 111545 30421 0074 12442388 12 258 12727 110455 1405785 161983 12200207 10 205 14727 163455 2407240 216893 26717388 24727 368455 Soma 13181364 1420182 145092727 r 13181364 Raiz 1420182 145092727 r 0918 CD 0918 2 CD 0843 Assim o modelo é muito explicativo ou muito bom 08 CD 1 Ex II5i No exemplo da Propaganda e Venda recalcule os coeficientes a e b colocando em lugar dos símbolos de interrogação os últimos dígitos de seu RG Cidade x Propaganda yVendas Piracicaba 30 4 Americana 21 3 Santa Barbara 35 520 São Carlos 42 490 Rio Claro 37 470 Sorocaba 8 195 Tieté 17 270 São Pedro 35 400 Jundiaí 25 480 São José dos C 12 258 Uberlandia 10 205 Ex II5ii No exemplo da Propaganda e Lucro Líquido recalcule os coeficientes a e b colocando em lugar dos símbolos de interrogação os últimos dígitos de seu RG Cidade x Propaganda y Lucro Liquido Piracicaba 30 3 Americana 21 4 Santa Barbara 35 350 São Carlos 42 425 Rio Claro 37 400 Sorocaba 8 388 Tieté 17 413 São Pedro 37 394 Jundiaí 25 400 São José dos C 12 403 Uberlandia 10 397 Ex II5iii No exemplo das Reclamações e Lucro Líquido recalcule os coeficientes a e b colocando em lugar dos símbolos de interrogação os últimos dígitos de seu RG Cidade x Reclamações yLucro Liquido Piracicaba 90 4 Americana 20 4 Santa Barbara 50 200 São Carlos 30 350 Rio Claro 40 350 Sorocaba 5 550 Tieté 35 300 São Pedro 40 300 Jundiaí 3 500 São José dos C 70 200 Uberlandia 50 250 No exemplo da Propaganda e Lucro Líquido temos CD 00066 assim o modelo é muito pouco explicativo y 00163x 40589 R² 00066 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Lucro Líquido Propaganda Propaganda Vs Lucro Líquido No exemplo das Reclamações e Lucro Líquido temos O CD 094 assim o modelo é muito explicativo ou muito bom 08 CD 1 08 094 1