Atividade Cálculo Diferencial e Integral 4

A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata 3x2 2y2 dx 4xy 6y2 dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y1 2 pertence a esta função então podese afirmar que essa função no ponto dado é 6x 4y 4x 3 x3 2xy2 2y3 25 3x3 2xy2 3y3 23 x3 2xy2 3y3 23 x3 2xy2 2y3 7 Salvar esta questão Deixase cair de um balão um objeto de massa m no um local em que a resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade do objeto ou seja kv Considerando que este movimento possa ser descrito pela equação diferencial linear de primeira ordem m dvdt kv mg e que não existam condições iniciais a serem aplicadas a esta situação podese afirmar que a equação geral para determinar a velocidade do balão em função do tempo vt é v g mk c ekm t v g c ekm t v g km c emk t v km c eg t v g c ekm t Salvar esta questão Dentre as alternativas a seguir indique a que corresponde à solução do problema de valor inicial x 1dydx y lnx com y1 10 x 1y xlnx x 21 x 1y xlnx x 21 x 1y xlnx x 11 x 1y xlnx x 11 x 1y xlnx x 9 Salvar esta questão Questão 12 Valor da questão 100 Estou com dúvida A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea y2 xy dx x2 dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y1 2 pertence a esta função então podese afirmar que o valor mais próximo de y3 é 4 5 2 1 3 Salvar esta questão Valor da questão 100 Estou com dúvida Supondo que a taxa de crescimento de uma população seja proporcional a si mesma ou seja dPdt kP Em que P é a população em um instante qualquer t é o tempo e k é a constante de proporcionalidade Assim para a população de uma cidade que obedece à lei descrita acima temse a seguinte situação em 1º de janeiro de 2000 a população de uma determinada cidade era de 200000 hab 12 anos depois a população era de 250000 habitantes Utilize aproximação de centésimos por arredondamento para todos os valores obtidos no desenvolvimento da questão e identifique dentre as alternativas a seguir aquela que indica quando a população dessa cidade será o dobro da que foi registrada em 2000 julho de 2034 janeiro de 2048 junho de 2048 outubro de 2040 janeiro de 2034 Salvar esta questão Questão 22 Valor da questão 100 Estou com dúvida A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata x3 dydx 3x2 y e3x obtémse uma função yx Se o ponto y1 8 pertence a esta função então podese afirmar que o valor approximado y2 16 12 17 20 10 Salvar esta questão A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Se a condição inicial y1 8 atende à solução da ED de Bernoulli x dydx 3y 6xy32 Então o valor inteiro mais próximo de y2 é 12 16 18 10 20 Salvar esta questão Questão 22 Valor da questão 100 Estou com dúvida A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea 4x y dx 6y x dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y2 2 pertence a esta função então podese afirmar que um valor possível de y1 é 1 3 1 2 0 Salvar esta questão EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Questão 1 Uma equação diferencial de forma M x y dxN x y dy0 é dita exata se M y N x Para a equação diferencial 3 x 22 y 2dx4 xy6 y 2dy0 temos que M x y 3 x 22 y 2e N x y 4 xy6 y 2 M y y 3 x 22 y 24 y N x x 4 xy6 y 24 y Logo a equação diferencial é exata Queremos determinar uma função φ x y tal que φ x M x y e φ y N x y Integrando a primeira equação em relação a x temos φ x y M x y dx 3 x 22 y 2dxx 32x y 2g y Derivando a equação acima em relação a y temos φ y y x 32 x y 2g y 4 xyg y Igualando a derivada acima a N x y temos 4 xyg y 4 xy6 y 2 g y 6 y 2 Logo temos g y 6 y 2dy2 y 3 Desse modo temos φ x y x 32x y 22 y 3 Logo a solução geral da equação diferencial é x 32x y 22 y 3C Aplicando a condição inicial y 12 temos 1 32 12 22 2 3C 1816C C7 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é x 32x y 22 y 37 Portanto a alternativa correta é e x 32x y 22 y 37 Questão 2 Uma equação diferencial de forma a1x dy dx a0 x yg x é dita linear de primeira ordem Dividindo a equação diferencial por a1x temos a forma padrão dy dx P x yQ x Para a equação diferencial m dv dt kvmg dv dt k m vg temos que P t k m e Q tg Para resolver a equação diferencial precisamos determinar um fator integrante μ x tal que μ x dy dx P x yμ x Q x Temos que μ t e P t dte k mdt e k m t Multiplicando a equação diferencial por μ x temos e k m t dv dt e k m t k m ve k m t g Pela Regra do Produto temos d dt e k m t ve k m t g de k m t ve k m t gdt Integrando o lado esquerdo da equação temos de k m t ve k m t v Integrando o lado direito da equação temos e k m t gdtg e k m tdt Seja u k m t então du dt k m du k m dt dtm k du Logo temos g e k m tdtg me u k dug m k e udug m k e ug m k e k m t Desse modo temos que e k m t vg m k e k m t C vg m k C e k m t Logo a solução geral da equação diferencial é vg m k Ce k m t Portanto a alternativa correta é a vg m k Ce k m t Questão 3 Seja a equação diferencial x1 dy dx ylnx Observemos que d dx y x1 dy dx x1 y d dx x1x1 dy dx y Logo pela Regra do Produto temos d dx y x1 ln x d y x1ln x dx Integrando o lado esquerdo da equação temos d y x1 y x1 Integrando o lado direito da equação temos ln x dx Pelo Método de Integração por Partes temos udvuv v du Seja uln x e dvdx então du dx 1 x du1 x dx v dv dxx Logo temos ln x dxx ln x 1dxx ln x xC Desse modo temos que y x1 x lnx xC Aplicando a condição inicial y 110 temos 10 111ln 11C 2001CC21 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é y x1 x lnx x21 Portanto a alternativa correta é b x1 yx lnx x21 Questão 4 Uma equação diferencial de forma M x y dxN x y dy0 é dita homogênea se as funções coeficientes M x y e N x y são funções homogêneas de mesmo grau Seja a equação diferencial y 2xydxx 2dy0 Ambas as funções M x y e N x y são homogêneas de grau 2 Seja yux então dy dx du dx xu dx dx dy dx ux du dx dyu dxx du Realizando a substituição acima na equação diferencial temos u 2 x 2u x 2dxx 2 udxxdu 0 u 2 x 2dxu x 2dxux 2dxx 3du0 u 2 x 2dxx 3du0 u 2dxx du0 u 2dxxdu 1 u 2 du 1 x dx Integrando ambos os lados da equação acima temos u 2du 1 xdxu 1ln x C1 uln x C Como yux temos que u y x u 1 x y Logo temos x y ln xC y x ln x C Aplicando a condição inicial y 12 temos 2 1 ln1C 2 1 0C 21 C C1 2 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é y x lnx 1 2 Desse modo para y 3 temos y 3 3 ln 31 2 3 1098605 3 05986 501 Portanto a alternativa correta é b 5 Questão 5 Seja a equação diferencial dP dt kP Reescrevendo a equação diferencial acima temos dP dt kP 1 P dPk dt Integrando ambos os lados da equação acima temos 1 PdP k dt ln P kt C eln P e ktC Pe ktC Pe kt e C PC2e kt Logo a função populacional é dada por P tCe kt Como P 0200000 temos P 0200000 Ce k 0200000C e 0200000C200000 Logo a função populacional é dada por P t200000e kt Como P 12250000 temos P 12250000200000e 12k250000e 12k250000 200000 e 12k5 4 12kln 5 4k ln 5 4 12 002 Logo a função populacional é dada por P t200000e 002t A população será o dobro da população da registrada em 2000 isto é 400000 habitantes quanto P t400000200000e 002t400000e 002t2 002tln2tln 2 002 3466 Portanto a alternativa correta é a julho de 2034 Questão 6 Uma equação diferencial de forma M x y dxN x y dy0 é dita exata se M y N x Para a equação diferencial x 3 dy dx 3 x 2 ye 3x x 3 dy dx 3 x 2 ye 3 x x 3dy3 x 2 ye 3xdx 3 x 2 ye 3xdxx 3dy0 temos que M x y 3 x 2 ye 3xe N x y x 3 M y y 3 x 2 ye 3x3 x 2 N x x x 33x 2 Logo a equação diferencial é exata Queremos determinar uma função φ x y tal que φ x M x y e φ y N x y Integrando a segunda equação em relação a y temos φ x y N x y dy x 3dyx 3 yg x Derivando a equação acima em relação a x temos φ x x x 3 yg x 3 x 2 yg x Igualando a derivada acima a M x y temos 3 x 2 yg x 3 x 2 ye 3 x g x e 3 x Logo temos g x e 3 xdx e 3xdx Seja u3x então du dx 3du3dx dx1 3 du Desse modo temos e 3 x dx e u 3 du1 3 e udu1 3 e u1 3 e 3 x Logo temos g x 1 3 e 3x Consequentemente temos φ x y x 3 y1 3 e 3 x Logo a solução geral da equação diferencial é x 3 y1 3 e 3xC Aplicando a condição inicial y 18 temos 1 3 81 3 e3 1 CC81 3 e 3 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é x 3 y1 3 e 3x81 3 e 3 Para y 2 temos 2 3 y1 3 e3 2 81 3 e 38 y1 3 e 681 3 e 38 y81 3 e 31 3 e 6 y1 1 24 e 3 1 24 e 61697 Portanto a alternativa correta é c 17 Questão 7 Uma equação diferencial de forma dy dx P x yf x y n com nR é chamada de equação diferencial de Bernoulli Seja a equação diferencial x dy dx 3 y6 x y 2 3 Reescrevendo a equação diferencial acima temos dy dx 3 x y6 y 2 3 Dado n2 3 façamos uy 1ny 12 3y 1 3 então temos que uy 1 3 yu 3 e consequentemente dy dx dy du du dx 3u 2 du dx Substituindo yu 3 e dy dx 3u 2 du dx na equação diferencial temos 3u 2 du dx 3 x u 36u 23 du dx 3 x u6 du dx 1 x u2 Para resolver a equação diferencial acima precisamos determinar um fator integrante μ x tal que μ x dy dx P x yμ x Q x Temos que μ x e 1 xdx e ln xx Multiplicando a equação diferencial por μ x temos x du dx 1 x u2x x du dx u2x Pela Regra do Produto temos d dx xu2x d xu2 x dx Integrando o lado esquerdo da equação temos d xuxu Integrando o lado direito da equação temos 2 x dx2 x dx2 x 2 2 x 2 Desse modo temos que xux 2C ux C x Como uy 1 3 então y 1 3x C x yx C x 3 Aplicando a condição inicial y 18 temos 81 C 1 3 81C 3 21CC1 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é yx 1 x 3 Para y 2 temos y2 1 2 3 5 2 3 125 8 15625 Portanto a alternativa correta é b 16 Questão 8 Uma equação diferencial de forma M x y dxN x y dy0 é dita homogênea se as funções coeficientes M x y e N x y são funções homogêneas de mesmo grau Seja a equação diferencial 4 xy dx6 yx dy0 Ambas as funções M x y e N x y são homogêneas de grau 1 Seja yux então dy dx du dx xu dx dx dy dx ux du dx dyu dxx du Realizando a substituição acima na equação diferencial temos 4 xux dx6uxx udxx du0 x 4udxx 6u1 udx xdu 0 4udx6u1 udxxdu 0 6u1 u dxx duu4dx 6u 2udxx 6u1duu4dx x 6u1duu4 6u 2udx x 6u1du6u 22u4 dx 6u1 6u 22u4 du1 x dx Integrando o lado esquerdo da equação temos 6u1 6u 22u4du1 2 6u1 3u 2u2du Seja v3u 2u2 então dv du6u1 dv6u1dudu 1 6u1 dv Logo temos 1 2 6u1 3u 2u2du1 2 1 v dv1 2 ln v ln 3u 2u2 2 Integrando o lado direito da equação temos 1 xdxln x Desse modo temos que ln 3u 2u2 2 ln x Ce ln 3u 2u2 2 e ln xC 1 3u 2u2 e C x Como yux então u y x e consequentemente temos 1 3 y x 2 y x 2 e C x 1 3 y 2 x 2 y x 2 C2x 1C2x 3 y 2 x 2 y x 2 1C3 x 2 3 y 2 x 2 y x 2 1C33 y 2xy2 x 2 3 y 2xy2x 2C4 Aplicando a condição inicial y 22 temos 3 2 22 22 2 2C4 3 4 48C4 1248C4 C416 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é 3 y 2xy2 x 216 Para y 1 temos 3 y 2y2163 y 2y21603 y 2 y140 Resolver a equação polinomial do segundo grau acima temos Δ1 24 3 14 1168169 y1169 2 3 113 6 y1113 6 14 6 7 3 y2113 6 12 6 2 Portanto a alternativa correta é d 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Questão 1 Uma equação diferencial de forma Mx y dx Nx y dy 0 é dita exata se My Nx Para a equação diferencial 3x2 2y2 dx 4xy 6y2 dy 0 temos que Mx y 3x2 2y2 e Nx y 4xy 6y2 My y 3x2 2y2 4y Nx x 4xy 6y2 4y Logo a equação diferencial é exata Queremos determinar uma função φx y tal que φx Mx y e φy Nx y Integrando a primeira equação em relação a x temos φx y Mx y dx 3x2 2y2 dx x3 2xy2 gy Derivando a equação acima em relação a y temos φy y x3 2xy2 gy 4xy gy Igualando a derivada acima a Nx y temos 4xy gy 4xy 6y2 gy 6y2 Logo temos gy 6y2 dy 2y3 Desse modo temos φx y x3 2xy2 2y3 Logo a solução geral da equação diferencial é x3 2xy2 2y3 C Aplicando a condição inicial y1 2 temos 13 2122 223 C 1 8 16 C C 7 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é x3 2xy2 2y3 7 Portanto a alternativa correta é e x3 2xy2 2y3 7 Questão 2 Uma equação diferencial de forma a1x dydx a0x y gx é dita linear de primeira ordem Dividindo a equação diferencial por a1x temos a forma padrão dydx Px y Qx Para a equação diferencial m dvdt kv mg dvdt km v g temos que Pt km e Qt g Para resolver a equação diferencial precisamos determinar um fator integrante μx tal que μxdydx Pxy μxQx Temos que μt ePt dt ekm dt ekm t Multiplicando a equação diferencial por μx temos ekm t dvdt ekm t km v ekm t g Pela Regra do Produto temos ddt ekm t v ekm t g dekm t v ekm t g dt Integrando o lado esquerdo da equação temos dekm t v ekm t v Integrando o lado direito da equação temos ekm t g dt g ekm t dt Seja u km t então dudt km du km dt dt mk du Logo temos g euk dt g m euk du g mk eu du g mk eu g mk ekm t Desse modo temos que ekm t v g mk ekm t C v g mk C ekm t Logo a solução geral da equação diferencial é v g mk C ekm t Portanto a alternativa correta é a v g mk C ekm t Questão 3 Seja a equação diferencial 𝑥 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 ln𝑥 Observemos que 𝑑 𝑑𝑥 𝑦𝑥 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑥 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 Logo pela Regra do Produto temos 𝑑 𝑑𝑥 𝑦𝑥 1 ln𝑥 𝑑 𝑦𝑥 1 ln𝑥 𝑑𝑥 Integrando o lado esquerdo da equação temos 𝑑 𝑦𝑥 1 𝑦𝑥 1 Integrando o lado direito da equação temos ln𝑥 𝑑𝑥 Pelo Método de Integração por Partes temos 𝑢 𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣 𝑑𝑢 Seja 𝑢 ln𝑥 e 𝑑𝑣 𝑑𝑥 então 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑥 Logo temos ln𝑥 𝑑𝑥 𝑥 ln𝑥 1 𝑑𝑥 𝑥 ln𝑥 𝑥 𝐶 Desse modo temos que 𝑦𝑥 1 𝑥 ln𝑥 𝑥 𝐶 Aplicando a condição inicial 𝑦1 10 temos 101 1 1 ln1 1 𝐶 20 0 1 𝐶 𝐶 21 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é 𝑦𝑥 1 𝑥 ln𝑥 𝑥 21 Portanto a alternativa correta é b 𝑥 1𝑦 𝑥 ln𝑥 𝑥 21 Questão 4 Uma equação diferencial de forma Mx y dx Nx y dy 0 é dita homogênea se as funções coeficientes Mx y e Nx y são funções homogêneas de mesmo grau Seja a equação diferencial y2 xy dx x2 dy 0 Ambas as funções Mx y e Nx y são homogêneas de grau 2 Seja y ux então dydx dudx x u dxdx dydx u x dudx dy u dx x du Realizando a substituição acima na equação diferencial temos u2 x2 u x2 dx x2 u dx x du 0 u2 x2 dx u x2 dx u x2 dx x3 du 0 u2 x2 dx x3 du 0 u2 dx x du 0 u2 dx x du 1u2 du 1x dx Integrando ambos os lados da equação acima temos u2 du 1x dx u1 lnx C 1u lnx C Como y ux temos que u yx u1 xy Logo temos xy lnx C y xlnx C Aplicando a condição inicial y1 2 temos 2 1ln1 C 2 10 C 2 1C C 12 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é y xlnx 12 Desse modo para y3 temos y3 3ln3 12 310986 05 305986 501 Portanto a alternativa correta é b 5 Questão 5 Seja a equação diferencial dPdt kP Reescrevendo a equação diferencial acima temos dPdt kP 1P dP k dt Integrando ambos os lados da equação acima temos 1P dP k dt lnP kt C elnP ektC P ektC P ekt eC P C2 ekt Logo a função populacional é dada por Pt C ekt Como P0 200000 temos P0 200000 C ek0 200000 C e0 200000 C 200000 Logo a função populacional é dada por Pt 200000 ekt Como P12 250000 temos P12 250000 200000 e12k 250000 e12k 250000200000 e12k 54 12k ln54 k ln5412 002 Logo a função populacional é dada por Pt 200000 e002t A população será o dobro da população da registrada em 2000 isto é 400000 habitantes quanto Pt 400000 200000 e002t 400000 e002t 2 002t ln2 t ln2002 3466 Portanto a alternativa correta é a julho de 2034 Questão 6 Uma equação diferencial de forma Mx y dx Nx y dy 0 é dita exata se My Nx Para a equação diferencial x3 dydx 3x2 y e3x x3 dydx 3x2 y e3x x3 dy 3x2 y e3x dx 3x2 y e3x dx x3 dy 0 temos que Mx y 3x2 y e3x e Nx y x3 My y 3x2 y e3x 3x2 Nx x x3 3x2 Logo a equação diferencial é exata Queremos determinar uma função φx y tal que φx Mx y e φy Nx y Integrando a segunda equação em relação a y temos φx y Nx y dy x3 dy x3 y gx Derivando a equação acima em relação a x temos φx x x3 y gx 3x2 y gx Igualando a derivada acima a Mx y temos 3x2 y gx 3x2 y e3x gx e3x Logo temos gx e3x dx e3x dx Seja u 3x então dudx 3 du 3 dx dx 13 du Desse modo temos e3x dx eu3 du 13 eu du 13 eu 13 e3x Logo temos gx 13 e3x Consequentemente temos φx y x3 y 13 e3x Logo a solução geral da equação diferencial é x3 y 13 e3x C Aplicando a condição inicial y1 8 temos 13 8 13 e31 C C 8 13 e3 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é x3 y 13 e3x 8 13 e3 Para y2 temos 23 y 13 e32 8 13 e3 8y 13 e6 8 13 e3 8y 8 13 e3 13 e6 y 1 124 e3 124 e6 1697 Portanto a alternativa correta é c 17 Questão 7 Uma equação diferencial de forma dydx Px y fx yn com n R é chamada de equação diferencial de Bernoulli Seja a equação diferencial x dydx 3y 6x y23 Reescrevendo a equação diferencial acima temos dydx 3x y 6 y23 Dado n 23 façamos u y1n y123 y13 então temos que u y13 y u3 e consequentemente dydx dydu dudx 3u2 dudx Substituindo y u3 e dydx 3u2 dudx na equação diferencial temos 3u2 dudx 3x u3 6u2 3 dudx 3x u 6 dudx 1x u 2 Para resolver a equação diferencial acima precisamos determinar um fator integrante μx tal que μx dydx Pxy μx Qx Temos que μx e1x dx elnx x Multiplicando a equação diferencial por μx temos x dudx 1x u 2x x dudx u 2x Pela Regra do Produto temos ddx xu 2x d xu 2x dx Integrando o lado esquerdo da equação temos d xu xu Integrando o lado direito da equação temos 2x dx 2 x dx 2 x2 2 x2 Desse modo temos que xu x2 C u x Cx Como u y13 então y13 x Cx y x Cx3 Aplicando a condição inicial y1 8 temos 8 1 C13 8 1 C3 2 1 C C 1 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é y x 1x3 Para y2 temos y 2 123 523 1258 15625 Portanto a alternativa correta é b 16 Questão 8 Uma equação diferencial de forma Mx y dx Nx y dy 0 é dita homogênea se as funções coeficientes Mx y e Nx y são funções homogêneas de mesmo grau Seja a equação diferencial 4x y dx 6y x dy 0 Ambas as funções Mx y e Nx y são homogêneas de grau 1 Seja y ux então dydx dudx x u dxdx dydx u x dudx dy u dx x du Realizando a substituição acima na equação diferencial temos 4x ux dx 6ux x u dx x du 0 x 4 u dx x 6u 1 u dx x du 0 4 u dx 6u 1 u dx x du 0 6u 1 u dx x du u 4 dx 6u2 u dx x 6u 1 du u 4 dx x 6u 1 du u 4 6u2 u dx x 6u 1 du 6u2 2u 4 dx 6u 16u2 2u 4 du 1x dx Integrando o lado esquerdo da equação temos 6u 16u2 2u 4 du 12 6u 13u2 u 2 du Seja v 3u2 u 2 então dvdu 6u 1 dv 6u 1 du du 16u 1 dv Logo temos 12 6u 13u2 u 2 du 12 1v dv 12 lnv ln 3u2 u 22 Integrando o lado direito da equação temos 1x dx lnx Desse modo temos que ln 3u2 u 22 lnx C eln3u2 u 22 elnxC 13u2 u 2 eC x Como y ux então u yx e consequentemente temos 13yx2 yx 2 eC x 13y2x2 yx 2 C2 x 1 C2 x 3y2x2 yx 2 1 C3 x2 3y2x2 yx 2 1 C3 3y2 xy 2x2 Aplicando a condição inicial y2 2 temos 322 22 222 C4 34 4 8 C4 12 4 8 C4 C4 16 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é 3y2 xy 2x2 16 Para y1 temos 3y2 y 2 16 3y2 y 2 16 0 3y2 y 14 0 Resolver a equação polinomial do segundo grau acima temos Δ 12 4314 1 168 169 y 1 169 23 1 13 6 y1 1 13 6 14 6 7 3 y2 1 13 6 12 6 2 Portanto a alternativa correta é d 2