Estruturas de Concreto Armado II

João Dirceu Nogueira Carvalho Estruturas de concreto armado II 2016 by Universidade de Uberaba Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Universidade de Uberaba Universidade de Uberaba Reitor Marcelo Palmério PróReitor de Educação a Distância Fernando César Marra e Silva Editoração Produção de Materiais Didáticos Capa Toninho Cartoon Edição Universidade de Uberaba Av Nenê Sabino 1801 Bairro Universitário Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE João Dirceu Nogueira Carvalho Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade de São Pau lo USP Mestre em Engenharia Civil pela Universidade de São Paulo USP Doutor em Engenharia Civil pela Universidade Fe deral de Santa Catarina UFSC Sou professor aposentado do Departamento de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Maringá DECUEM onde atuei por 35 anos como docente das disciplinas de Pontes Concreto Protendido Concreto Armado Es tática etc Atualmente sou professor do curso de Engenharia Civil da Uningá onde ministro a disciplina de Estruturas de Concreto Sobre os autores Sumário Capítulo 1 O projeto de estruturas de concreto armado concepção da estrutura e plantas de forma 11 11 O projeto das estruturas de concreto armado 12 111 O Projeto Estrutural 16 112 A planta de forma 23 Capítulo 2 Lajes maciças de concreto armado determinação dos esforços 37 21 Lajes maciças de concreto armado 39 211 Vinculação das lajes 41 212 Vão teórico de lajes ou placas NBR6118 item 14722 46 213 Classificação das lajes 48 214 Lajes Armadas em Duas Direções ou em Cruz 50 215 Processo de Marcus 51 216 Distribuição das Cargas Teoria das Grelhas 52 217 Determinação das Reações de Apoio Lajes armadas em Cruz 60 218 Representação em planta dos momentos e reações calculados 69 219 Lajes Armadas em Uma Direção 70 2110 Compensação dos momentos fletores 75 Capítulo 3 Lajes maciças de concreto armado altura e detalhamento 83 311 Estados limites 85 312 Limites para deslocamentos em uma laje 87 313 Espessuras mínimas para lajes maciças de concreto armado 89 315 Determinação da altura das lajes pela limitação dos deslocamentos 94 316 A altura útil e a altura 101 317 Organização dos cálculos 105 318 Dimensionamento e detalhamento da armadura 107 319 Cisalhamento em lajes 116 Capítulo 4 Vigas de concreto armado equacionamento detalhamento da seção 119 411 Hipóteses de cálculo NBR 6118 2003 item 1722 122 41 Cálculo no Estado Limite Último 122 42 Distribuições possíveis de deformação na seção 125 43 Flexão normal simples em seções retangulares 126 44 Equacionamento do Problema para armadura simples Rsc 0 129 441 Equações de equilíbrio 129 442 Equações de compatibilidade 131 45 Cálculo de dimensionamento 134 451 Domínio 2 136 452 Domínio 3 136 453 Domínio 4 137 46 Exemplo geral 139 47 Durabilidade das estruturas de concreto 151 471 Agressividade do ambiente 152 48 Detalhamento da armadura na seção 156 49 A altura e a altura útil 159 410 Armadura dupla 173 4101 Armadura dupla equacionamento 176 4102 Valores de d 181 4103 Valores de s σ 181 411 Cálculo mediante tabelas 183 4111 Seção retangular com armadura simples 183 4112 Seção retangular com armadura dupla 190 412 Seções T submetidas à flexão simples 197 4121Largura colaborante de vigas de seção T 197 4122 Cálculo de dimensionamento 199 4123 Caso 1 Seção T calculada como seção retangular x xf β β 201 4124 Caso 2 Seção T calculada como seção T x xf β β 202 413 Vãos efetivos e larguras mínimas de vigas 204 Capítulo 5 Vigas de concreto armado detalhamento longitudinal 207 511 Cobertura de diagramas de momento fletor 209 52 Ancoragem 222 521 Introdução 222 522 Zonas de ancoragem 225 523 Resistência de aderência 227 524 Comprimento básico de ancoragem 230 525 Ganchos 233 526 Comprimento de ancoragem necessário efetivo 236 527 Ponto de início de ancoragem 238 528 Ancoragem nos apoios 246 529 Apoios extremos comprimento mínimo de ancoragem 250 5210 Armaduras construtivas e porta estribos 257 5211 Ancoragens de barras comprimidas 259 53 Emendas de barras por aderência 260 531 Introdução 260 532 Emendas por traspasse 263 Capítulo 6 Vigas de concreto armado cisalhamento 269 61 Cisalhamento verificação do estadolimite último 272 62 Verificação de esmagamento de bielas 274 63 Cálculo da armadura transversal 275 631 VSd Cargas próximas aos apoios 276 632 Cálculo da parcela a ser absorvida pelo concreto 277 633 Cálculo da parcela a ser absorvida pela armadura 278 634 Exemplo de cálculo 284 635 Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado 293 Capítulo 7 Pilares de concreto armado dimensionamento 301 711 Classificação dos pilares quanto à sua posição em planta 303 71 Pilares de concreto armado dimensionamento 303 72 Classificação dos pilares quanto à sua esbeltez 307 721 Índice de esbeltez raio de giração comprimento de flambagem 309 722 Exemplo de determinação do índice de esbeltez de um pilar 312 723 Classificação dos pilares quanto ao índice de esbeltez 314 73 Tipos de excentricidades 319 731 Excentricidade de forma ef ou er 320 732 Excentricidade acidental ea 320 733 Excentricidade inicial ei 322 724 Excentricidade de segunda ordem e2 327 735 Resumo geral das excentricidades em um pilar 329 736 Exemplos de cálculo das excentricidades 331 74 Ábacos para o cálculo da armadura longitudinal de pilares 337 741 Ábacos para Flexão Normal Composta 337 742 Ábacos para Flexão Composta Oblíqua 341 Capítulo 8 Pilares de concreto armado exercícios e detalhamento 345 81 Pilares de concreto armado exercícios e detalhamento 347 811 Prédimensionamento 348 812 Exemplo 01 350 82 Detalhamento da armadura de pilares de concreto armado 367 821 Relação máxima entre as dimensões da seção 367 822 Armaduras longitudinais 368 823 Armaduras transversais 369 824 Estribos suplementares 370 83 Detalhamento da armadura do exemplo 01 370 84 Exemplo 02 373 841 Cálculo do índice de esbeltez 374 842 Cálculo das excentricidades iniciais 375 843 Cálculo das excentricidades acidentais 377 844 Análise das excentricidades 379 845 Cálculo da armadura longitudinal 382 85 Detalhamento da armadura do exemplo 02 389 CONCLUSÃO 394 REFERÊNCIAS 397 O curso de engenharia civil tem uma grade curricular que apesar de pequenas diferenças de curso para curso caracterizase por uma divisão entre as matérias básicas de formação geral compos ta por exemplo pelas disciplinas de matemática física química método de pesquisa etc e as de formação técnica que se subdivi dem conforme as grandes áreas da engenharia civil Entre as grandes áreas da engenharia civil estão a de Construção Civil Estradas e Geotecnia Hidráulica e Estruturas Estas grandes áreas de formação técnica também têm suas disciplinas básicas e as aplicadas por exemplo na área de estruturas temos as maté rias de Mecânica dos Sólidos I e II e Mecânica das Estruturas como básicas e as de Estruturas de Concreto Aço Madeira Alvenaria Estrutural Pontes Concreto Protendido etc As disciplinas aplicadas normalmente causam certo impacto no acadêmico de engenharia pois trazem consigo uma mudança de paradigma O acadêmico estava acostumado desde o ensino mé dio até agora a exercícios do tipo dados isto e aquilo determine isso Ao final de cada capítulo dos livros destas matérias básicas tínhamos 50 100 as vezes mais de 150 exercícios desse tipo e pelo menos a metade com respostas Isto sem contar os vários exemplos resolvidos A mudança de paradigma é que isto acabou A principal característica das matérias aplicadas é o fato delas se rem voltadas para projeto Nestas matérias aprendemos a construir nossos exercícios por exemplo se vamos dimensionar uma viga o tipo de viga bi apoiada com ou sem balanços contínua etc so Apresentação mos nós que determinamos assim como determinamos os vãos os carregamentos etc Percebeu Agora somos nós que criamos o enunciado dos nossos exercícios e como anteriormente deter minamos os esforços mas quais esforços Aqueles que a nosso critério são importantes e relevantes para o dimensionamento da estrutura Finalmente dimensionamos nossa viga conforme o ma terial concreto aço madeira etc Resumindo agora montamos o enunciado dos nossos exercícios deter minamos os esforços solicitantes e dimensionamos o elemento estrutural para resistir àqueles esforços solicitantes e devemos fazer isto com muito cuidado pois qualquer erro em qualquer uma destas três etapas pode vir a ser uma falha de projeto e inviabilizar a estrutura Mas não se preocupe observamos que isto impacta o acadêmico pela mudança de paradigma ou seja assim que nos habituarmos que assi milarmos esta nova forma de atuação as coisas voltam à normalidade Nesta disciplina Estruturas de Concreto Armado II vamos aprender a concepção de uma estrutura e depois vamos conceituar equacionar e detalhar as lajes as vigas e os pilares de concreto armado No Capítulo I vamos aprender as noções básicas do que é um projeto estrutural e a concepção de uma estrutura ou seja a partir de um projeto arquitetônico vamos estudar como conceber definir uma estrutura e a elaboração das plantas de forma a partir da qual serão elaboradas as plantas de armação dos elementos constituintes da estrutura Nos Capítulos II e III vamos estudar as lajes de concreto armado No Capítulo II vamos aprender a discretizar uma laje vamos vin culálas classificalas determinar os esforços em lajes isoladas momentos fletores e reações de apoio e reagrupalas fazendo a compensação dos momentos fletores No Capítulo III vamos conceituar Estados limites aprender a de terminar a altura das lajes pela limitação de seus deslocamentos flechas vamos aprender a organizar os cálculos e a detalhar as armaduras calculadas Nos Capítulos IV V e VI vamos estudar as vigas de concreto armado No Capítulo IV abordaremos o equacionamento do concreto arma do ou seja o dimensionamento das seções de concreto armado Vamos trabalhar com seções retangulares e T com armaduras simples e dupla e calcular mediante equações ou tabelas Vamos aprender também a respeito da durabilidade das estruturas de con creto e ao final detalhar a armadura na seção No Capítulo IV abordaremos detalhamento longitudinal das arma duras ou seja a cobertura de diagramas e ancoragem das barras Aprenderemos também as emendas por traspasse No Capítulo IV abordaremos o cisalhamento em vigas de concreto armado Nos Capítulos VII e VIII vamos estudar os pilares de concreto armado No Capítulo VII aprenderemos a classificar os pilares quanto a sua posição em planta e quanto ao seu índice de esbeltez Abordare mos também o equacionamento dos pilares de concreto armado à Flexão Composta Normal ou à Obliqua No Capítulo VIII exemplificamos o por meio de exercícios o conteú do abordado no Capítulo VII e aprenderemos o detalhamento das armaduras de pilares Bom estudo Professor João Dirceu João Dirceu Nogueira Carvalho Introdução O projeto de estruturas de concreto armado concepção da estrutura e plantas de forma Capítulo 1 O projeto arquitetônico com suas plantas baixas cortes elevações e desenho de detalhes representa a concepção de uma obra de uma edifi cação Vários outros projetos desenvolvidos por profi ssionais especialistas em suas respectivas áreas são necessários para a execução desta obra por exemplo se for um edifício devemos providenciar um projeto de hidráulica água fria água quente esgoto águas pluviais um projeto elétrico energia telefone internet som um projeto de incêndio etc e é claro não podemos nos esquecer de um projeto estrutural afi nal esperamos que o edifício não caia ou apresente fi ssuras trincas ou deslocamentos indesejáveis não é mesmo Todos esses projetos são desenvolvidos a partir do projeto arquitetônico e todos precisam ser compatíveis com o projeto arquitetônico e entre si Nesta matéria o nosso foco será o projeto estrutural Nosso edifício poderá ser em aço em madeira em concreto armado em alvenaria estrutural etc ou seja dependendo do material ou das técnicas construtivas envolvidas será feito um projeto estrutural específi co para aquele material conforme as normas e especifi cações técnicas próprias para aquele material 14 UNIUBE Conceituar projeto estrutural e sua discretização em seus elementos primários vigas lajes pilares Elaborar a planta de forma de um pavimento tipo O Projeto das Estruturas de Concreto Armado O Projeto Estrutural O Anteprojeto O Projeto A Apresentação do Projeto A Planta de Forma Objetivos Esquema Normalmente a primeira concepção que se faz em um projeto estrutural é quanto ao material e neste caso específico do nosso curso vamos optar pelo concreto armado Neste primeiro capítulo vamos aprender as noções básicas do que é um projeto estrutural e a concepção de uma estrutura ou seja a partir de um projeto arquitetônico vamos estudar como conceber definir uma estrutura e a elaboração das plantas de forma a partir da qual serão elaboradas as plantas de armação dos elementos constituintes da estrutura O projeto das estruturas de concreto armado 11 Existem vários métodos processos e técnicas para o cálculo de es truturas O desenvolvimento tecnológico na informática com a con sequente redução do custo tanto a nível de hardware como de sof tware possibilitou aos engenheiros o acesso a este imprescindível instrumento de trabalho A informatização dos escritórios de cálculo proporcionou a utilização das mais sofisticadas técnicas de cálculo Atualmente o método da análise matricial de estruturas e o de ele mentos finitos são utilizados de forma rotineira em aplicativos para o UNIUBE 15 cálculo estrutural Podemos com essas técnicas de cálculo conside rar um edifício como um elemento engastado ou apoiado no solo e a outra extremidade livre e calculálo de forma global contínua Outro procedimento para o cálculo de estruturas consiste na sua discretização em seus elementos primários ou seja as lajes as vigas os pilares e todos os demais elementos complementares da estrutura Este processo com o auxílio de microcomputadores de pequeno porte e até mesmo simples máquinas de calcular pro gramáveis e de programas para cálculo estrutural de baixo custo inclusive vários de domínio público extremamente simples a ponto de ser normal os calculistas elaborarem seus próprios aplicativos proporciona um cálculo relativamente rápido e bastante preciso É por meio deste processo de cálculo discretizando a estrutura em seus elementos básicos que os conceitos teóricos e práticos do cálculo e do detalhamento da armadura são ministrados nas disciplinas de concreto dos cursos de Engenharia Civil Na Figura 1 exemplificamos o procedimento de cálculo A Figura 1a mostra a estrutura de um edifício com o pavimento da cobertura 3 pavimentos tipos o térreo e as fundações A Figura 1b representa de forma simplificada um pavimento com seus elementos estruturais Os pilares P1 a P8 as lajes L01 a L05 e as vigas V101 a V108 Esta planta é denominada Planta de Forma Logo adiante vamos estudála com mais detalhe ok A Figura 1c mostra a distribuição de cargas das lajes para as vi gas Cada uma das vigas ou tramos de vigas que contornam e suportam a laje recebem desta a carga que está sob a sua área de influência O tramo da Viga V101 que apoia a laje L01 tem como área de influência o trapézio de área S1 no trecho entre os pilares P1 e P2 ou seja toda carga atuante nesta região da laje será descarre gada neste tramo da viga V101 16 UNIUBE Figura 1 Esquema de distribuição de cargas em uma estrutura Fonte o autor UNIUBE 17 A Figura 1d mostra a distribuição de cargas das vigas para os pilares A reação da viga V101 no pilar P1 será igual ao esforço cortante Va no pilar P2 será a soma do esforço cortante Vb mais Vc etc Devese observar que a viga V103 está apoiada nas vigas V105 e V106 ou seja cada uma destas vigas estará solicitada por uma carga concentrada que juntamente com as demais cargas atuantes nestas vigas serão descarregadas nos pilares P1 e P5 viga V105 e P2 e P6 viga V106 A Figura 1e mostra o carregamento do pilar P5 pavimento por pa vimento da cobertura ao térreo De cima para baixo a cada pavi mento o pilar P5 recebe o carregamento proveniente das reações de apoio das vigas V105 e V102 para finalmente descarregar a somatória destas cargas no solo por meio das fundações Finalmente a Figura 1f mostra um elemento de fundação neste caso um bloco sobre duas estacas que tem por função receber a carga total do pilar e transmitila ao solo mediante as estacas O procedimento de cálculo para as lajes vigas pilares enfim um elemento estrutural qualquer pode ser descrito de forma sucinta como segue Determinação das cargas atuantes Determinação dos esforços solicitantes Dimensionamento concreto armado 18 UNIUBE 111 O Projeto Estrutural O projeto estrutural é composto por um conjunto de desenhos da dos e informações a serem seguidos para a perfeita execução da estrutura Para isto está implícita sua adequação ao projeto arqui tetônico e a todos os projetos complementares da obra os proje tos elétrico hidráulico de prevenção de incêndio de instalação de gás de telefonia etc O projeto estrutural deverá obedecer rigorosamente às Normas Técnicas da ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas A norma específica para projetos em concreto sim ples armado e protendido é a NBR 61182003 que teve várias revisões a última em 2014 No caso específico de uma edificação tomemos como exemplo a Figura 2 onde temos um esquema da estrutura de um edifício Agora imaginemos que vamos iniciar a construção deste prédio Necessitamos de uma planta que nos dê a locação das estacas em relação a um referencial que normalmente é o alinhamento e uma das divisas proporcionando um sistema cartesiano e as cargas em cada uma das estacas A planta de locação de estacas ou tubu lões geralmente é o primeiro desenho de um projeto estrutural mas em obras de pequeno porte estas informações podem estar dentro da planta de fundações UNIUBE 19 Figura 2 Esquema da estrutura de um prédio Fonte o autor A Planta de Formas da Fundação recebe este nome Planta de Forma por ser a planta que fornecerá ao carpinteiro todas as in formações necessárias para fazer a forma a caixaria a ser pre enchida com a armadura e o concreto Ela deve conter todas as informações relativas à locação forma e dimensões dos blocos de fundação das vigas baldrames vigas alavanca enfim de todos os elementos da fundação Analogamente quando formos executar o primeiro pavimento come çamos com o carpinteiro fazendo as formas deste pavimento A Planta de Forma do primeiro pavimento portanto deverá conter todas as 20 UNIUBE informações relativas à locação forma detalhes elevações dimen sões etc necessários para a execução das vigas lajes enfim de todos os elementos estruturais contidos no primeiro pavimento Observe que na Figura 2 temos três pavimentos de apartamentos e normalmente todos pavimentos são iguais Isto acontece em prédios de oito quinze vinte pavimentos residenciais ou comer ciais e sempre que tivermos pavimentos iguais calculamos e de talhamos apenas um deles que representará todos os demais Este pavimento passa a ser denominado de Pavimento Tipo Desta forma como os três pavimentos da Figura 2 são iguais a Planta de Forma do primeiro pavimento passa ser denominada de Planta de Forma do Pavimento Tipo e representará os três pavimentos IMPORTANTE Vamos supor que o nosso edifício tenha vinte pavimentos sendo os três primeiros destinados a garagens os cinco pavimentos se guintes destinados a escritórios e os doze últimos a apartamen tos O edifício ficou meio bagunçado mas é um bom exemplo para mostrar que ele teria três Plantas de Forma de Pavimento Tipo Teria a Planta de Forma do Pavimento Tipo dos pavimentos 01 a 03 garagens a Planta de Forma do Pavimento Tipo dos pavimentos 04 a 08 escritórios e a Planta de Forma do Pavimento Tipo dos pavimentos 09 a 20 apartamentos UNIUBE 21 SINTETIZANDO Concluindo este raciocínio um projeto estrutural é composto por três tipos de plantas planta de locação de estacas plantas de for ma e suas respectivas plantas de armação Basicamente teríamos esta relação de plantas compondo o projeto estrutural planta de locação de estacas planta de forma da fundação planta de armação e detalhamento dos elementos de funda ção blocos vigas baldrames etc planta de forma do pavimento tipo planta de armação e detalhamento dos elementos do pavi mento tipo lajes vigas etc planta de forma da cobertura planta de armação e detalhamento dos elementos da cober tura lajes vigas etc planta de armação e detalhamento dos pilares planta de forma dos elementos complementares do edifício planta de armação e detalhamento dos elementos comple mentares escadas caixas dágua superior e inferior marqui ses muros de arrimo etc 22 UNIUBE 1111 O anteprojeto O projeto estrutural envolve muitos cálculos muitas pranchas de desenho de estruturas com todas as informações e detalhes para a execução da obra Antes do desenvolvimento de todo este exten so trabalho o calculista deve tomar determinadas decisões quanto ao material a ser utilizado o tipo de estrutura a ser adotado e como esta estrutura será compatibilizada com o projeto arquitetônico hi dráulico elétrico telefonia incêndio etc Isto é o que chamamos de concepção e podemos considerála em três níveis Concepção quanto ao material a ser utilizado A finalidade da obra sua localização geográfica etc permitem uma substancial redução de custos ao se escolher o material de cons trução a ser utilizado A finalidade da obra pode requerer estanquei dade no caso de reservatórios proteção contra o meio agressivo em que a obra se insere etc e neste sentido a escolha adequada do material pode reduzir o custo de revestimentos especiais e sis temas de proteção A primeira concepção será portanto a escolha do material ou seja a alvenaria estrutural a madeira o aço o con creto armado ou protendido etc A localização geográfica pode induzir à utilização de materiais abundantes na região reduzindo custos com fretes mão de obra especializada etc É o caso da utilização da madeira no interior da Amazônia do prémoldado no eixo RioSão Paulo etc Concepção quanto ao esquema estrutural Referese à adoção do esquema estrutural por exemplo uma estrutura em pórticos planos ou espaciais pavimentos em grelhas etc UNIUBE 23 Concepção quanto à compatibilidade arquiteturaestrutura Definido como em nosso caso o uso do concreto armado e a dis cretização da estrutura em lajes vigas e pilares é nesta etapa da concepção da estrutura que se define a forma e dimensões das la jes a forma a posição e a locação dos pilares e das vigas ou seja é a definição o lançamento da estrutura no projeto arquitetônico O anteprojeto consiste em mediante cálculos rápidos apenas uma análise das seções mais solicitadas e um detalhamento su mário a elaboração de um prédimensionamento que permita a quantificação de cada uma das concepções propostas e a compa ração entre elas para que se possa escolher a melhor alternativa estrutural para a obra É nesta fase do anteprojeto que se inicia e se deve resolver as interferências e os conflitos com os projetos de instalações gás telefonia arcondicionado hidráulica elétrica etc 1112 O projeto Definida a estrutura em anteprojeto iniciase o projeto ou seja o cálculo completo com o detalhamento dos elementos estruturais a elaboração dos memoriais de cálculo e as demais informações acordadas em contrato 1113 A apresentação do projeto A apresentação do projeto de estruturas de concreto é normatizada por duas normas a NBR 7191 e a NBR 10067 Os principais itens 24 UNIUBE abordados para execução de desenhos para obras de concreto simples ou armado são Os Tipos de desenhos que podem ser desenhos de conjunto plan tas elevações cortes vistas e perspectivas os desenhos para execução de formas os desenhos para execução de escoramen tos e os desenhos de detalhes A definição dos elementos estruturais de forma que toda peça ele mento ou detalhe da estrutura fique perfeitamente definida nos de senhos de formas por suas dimensões sua locação e posição em relação a eixos divisas etc A designação das peças é feita mediante os seguintes símbolos seguidos do respectivo número de ordem lajes L diagonais D vigas V sapatas S pilares P blocos B tirantes T paredes PAR Lajes a numeração deve ser feita começando pelo canto esquer do superior do desenho prosseguindo para a direita de cima para baixo As espessuras das lajes são obrigatoriamente indicadas em cada laje ou em nota à parte Vigas para as vigas dispostas horizontalmente no desenho a numeração é feita partindose do canto superior esquerdo para o direito de cima para baixo até atingir o canto inferior direito para as vigas dispostas verticalmente partese do canto inferior esquerdo para cima da esquerda para a direita até atingir o UNIUBE 25 canto superior direito As vigas cuja inclinação com a horizontal variar de 0 a 45º inclusive são consideradas como dispostas horizontalmente no desenho Cada vão das vigas contínuas é designado pelo número comum à viga seguido de uma letra maiúscula Junto da designação de cada viga devem ser indicadas suas dimensões V101 bwxd onde bw é a largura da viga e d é a altura útil da viga Pilares e tirantes a numeração dos pilares e tirantes é feita partindo do canto superior esquerdo do desenho para a direita de cima para baixo Junto da designação de cada Pilar devem ser indicadas suas dimensões P01 bwxh onde h é a altura do pilar na direção conside rada ou seja direção paralela à viga que está apoiando o pilar con forme o pavimento tipo Na planta de armação dos pilares estes serão detalhados longitudinalmente elevação e neste caso serão fixadas as dimensões bwxd sempre que forem alteradas Como podemos observar são normas gerais para desenhos de estruturas de concreto e abordam uma série de assuntos como aberturas desenhos para execução de armaduras etc Aqui esta mos apresentandoas para que possa obtêlas se inteirar de suas prescrições e usálas quando necessário 112 A planta de forma Já definimos anteriormente o que é uma Planta de Forma Nos projetos de estruturas sua função é identificar os elementos es truturais nela contidos por nome ou número e mostrar todas as informações relativas à locação forma e dimensões 26 UNIUBE Como adotamos a premissa de discretizar a estrutura em seus elementos básicos lajes vigas e pilares em linhas gerais o que faremos é o seguinte vamos lançar as vigas e os pilares Quando posicionamos as vigas obtemos a delimitação das lajes e quando posicionamos os pilares obtemos a delimitação das vigas RELEMBRANDO Antes de iniciarmos precisamos relembrar os conceitos básicos de vigas pois o cálculo de uma estrutura de concreto é iniciado na concepção da estrutura por exemplo Vigas bi apoiadas têm momentos fletores maiores e conse quentemente alturas maiores e mais adiante veremos na co bertura do diagrama de momentos quase todas as barras vão de apoio a apoio aumentando o consumo de aço Veja que as duas vigas abaixo têm o mesmo vão total ℓ1 Se por um lado o balanço produz um momento fletor negativo que reduz o positivo que a viga teria sem o balanço por outro lado o balanço é mais flexível produzindo maiores flechas Veja a viga hiperestática a seguir e os momentos de engasta mento perfeito de seus tramos à direita UNIUBE 27 A compensação de momentos ideal é a que é feita quando os mo mentos são iguais ou seja SINTETIZANDO A viga contínua ideal submetida a uma carga uniformemente dis tribuída p seria aquela em que os tramos centrais fossem apro ximadamente 22 maiores que os de extremidade por exemplo 300365300 metros mas observe que é aproximadamente 22 ou seja o tramo central com um vão entre 360 e 370 m Se os tra mos de extremidade forem mais carregados que os centrais esta porcentagem aumenta e se os tramos centrais forem os mais car regados esta porcentagem diminui Estamos apenas mostrando que existe uma série de conceitos bá sicos da mecânica das estruturas que devem ser observados na concepção de uma estrutura e quando não puderem ser seguidos que o projetista tenha ciência dessa impossibilidade Em muitos casos o projeto não dá alternativas ao calculista Observe a planta de um prédio de salas de aula salas de aula à esquerda e à direita com um corredor entre elas As vigas transver sais terão vãos do tipo 700400700 metros ou 1100700 metros 28 UNIUBE A planta de forma é a planta baixa da estrutura e deve ser feita a partir da planta baixa e dos cortes e elevações do projeto arquite tônico Como exemplo vamos considerar uma sala e suas duas paredes laterais e vamos supor que nesta direção a sala tenha 350 cm a parede da esquerda tenha 15 cm e a da direita 20 cm Vamos supor ainda que na parede esquerda esteja embutida uma viga de 14 cm de largura e na da direita uma de 15 cm A Figura 3 mostra algumas das situações possíveis a seguir IMPORTANTE Figura 3 Posicionamento da vida dentro de uma pa rede e vãos da planta de forma Fonte o autor Vamos agora analisar os fundamentos da construção de uma planta de forma de um pavimento tipo de um edifício com quatro apartamen tos dois de um lado e dois do outro e no meio as caixas de escada UNIUBE 29 de elevador e o hall comum aos quatro apartamentos Como se trata de um pequeno exemplo vamos simplificar trabalhando com apenas um dos apartamentos conforme apresentado na Figura 4 adotando 15 cm para as paredes internas e 20 cm para as externas Figura 4 Esquema arquitetônico de um apartamento Fonte o autor AMPLIANDO O CONHECIMENTO Outra coisa aquele estágio que todo estudante de engenharia quer começar a fazer começa até mesmo antes de entrarmos na faculda de Ele é iniciado quando começamos a observar os edifícios nossa casa nosso apartamento com um olhar técnico Após essa introdu ção tornase desnecessário dizer vamos tentar esconder embutir nossas vigas dentro das paredes conforme mostrado na Figura 3 e os pilares normalmente vão ser posicionados no encontro de vigas 30 UNIUBE Inicialmente vamos posicionar nossas vigas ou seja vamos apenas desenhar por onde elas podem passar Nesse momento não vamos nos preocupar com os pilares os apoios dessas vigas Na Figura 5 à esquerda posicionamos as vigas verticais e à direita completamos com as vigas horizontais Perceba que já há uma delimitação das lajes Já podemos posicionar os pilares Não Precisamos ver se há alternativas para o posicionamento das vigas Reservamos esta primeira alternativa e vamos desenhar outra e outra e outra até esgotarmos as possibilidades Na Figura 6 apresentamos uma se gunda alternativa Vamos analisálas um pouco Figura 5 Esquema 01 de posicionamento das vigas na planta de forma Fonte o autor Figura 6 Esquema 02 de posicionamento das vigas na planta de forma Fonte o autor UNIUBE 31 DICAS Vejas que algumas lajes estão suportando paredes isso é pos sível Sim nas lajes maciças de concreto armado sem maiores problemas mas nas lajes prémoldadas não é aconselhável e quando for o caso devese tomar muito cuidado com a solidari zação das vigotas fazer as paredes transversais às vigotas Veja que as vigas estão quase todas embutidas nas pare des Quando há mudança de ambientes como é o caso do hall de entrada para a sala jantar ou desta para o corredor que leva aos quartos o aparecimento da viga é normal e não apresenta maiores problemas estéticos No esquema 01 podemos ter a sala de jantar a sala de estar e entre elas um barzinho uma poltrona com uma estante de livros uma cristaleira etc ou seja podemos criar dois três ou mais pequenos ambientes mas veja que é uma laje bem maior que as demais No segundo esquema uma das vigas horizontais foi prolon gada dividindo a sala de estarjantar Por um lado isso unifor mizou o tamanho das lajes o que é interessante mas por ou tro lado criou uma divisão física no ambiente e agora temos duas salas dois ambientes perfeitamente definidos Observe que é uma questão de opção mas se adotada necessitaria da aprovação do autor do projeto arquitetônico No esquema 01 foi feita uma laje contendo os dois banheiros e ou tra para o corredor de acesso aos dormitórios No esquema 02 a viga horizontal foi retirada e apenas uma laje contendo os banheiros e o corredor Como dissemos anteriormente são alternativas pos sibilidades à disposição do calculista ao lançar uma estrutura 32 UNIUBE Vamos optar pelo esquema 02 e agora que já temos a delimitação das lajes obtido com o posicionamento das vigas vamos determi nar as vigas com o posicionamento dos pilares DICAS A distância entre pilares deve ser sempre superior a 20 m Normalmente devemos procurar os encontros de vigas mas não necessariamente afinal as cargas concentradas são pro venientes de uma viga apoiada em outra Os vãos devem ser equilibrados normalmente entre 25 e 50 metros evitando vãos muito grandes e sempre considerar o pé direito da edificação por exemplo prédios mais populares às vezes têm pés direito de 240 m veja que uma porta tem 21 metros de altura se consi derarmos 50 cm para o batente são 215 m ou seja sobram 25 cm até a laje e se adicionarmos a altura da laje as vigas dessa edificação estariam limitadas a 35 cm e os vão de nossas vigas não poderiam ultrapassar os 35 a 40 metros Na Figura 7 apresentamos o esquema de posicionamento dos pi lares Observe que a planta impõe um posicionamento de pilares que nem sempre leva a vãos centrais maiores que o de extremida de etc Veja também que as vigas são normalmente apoiadas nos pilares mas também podem ser apoiadas por outras vigas UNIUBE 33 Figura 7 Esquema de posicionamento dos pilares na planta de forma Fonte o autor Agora já temos todos os elementos para detalharmos nossa planta de forma Vamos colocar as dimensões numerar as lajes vigas e pilares colocar o nivelamento das lajes e das vigas e finalizar A Figura 8 mostra a planta de forma parcial pois fizemos só de um apartamento do pavimento tipo de um edifício de apartamentos SINTETIZANDO As dimensões adotadas foram calculadas conforme explicado an teriormente Por exemplo no esquema arquitetônico apresentado na Figura 4 na parte superior temos uma parede externa 20 cm o dormitório 360 cm uma parede interna 15 cm a área de serviço 220 cm outra parede interna 15 cm a cozinha 350 outra pa rede interna 15 cm o corredor de entrada 120 cm e finalmente a parede interna que separa os apartamentos 15 cm 34 UNIUBE Como as vigas foram centradas nas paredes foram colocadas vi gas com 17 cm de largura nas paredes de 20 cm ou seja 15 17 15 20 cm Nas paredes de 15 cm foram colocadas vigas com 14 cm de largura ou seja 05 14 05 14 cm Para exemplificar esse procedimento detalhamos na Figura 9 a obtenção da primeira linha de cotas horizontais da planta de forma PARADA OBRIGATÓRIA Observe a numeração das vigas das lajes e dos pilares veja a sequência proposta pela norma esquerda para a direita de cima para baixo e veja a denominação dos ele mentos e suas dimensões Como exercício verifique a determina ção das outras cotas da planta de forma Figura 8 Planta de forma parcial do pavimento tipo Fonte o autor UNIUBE 35 Figura 9 Detalhamento da obtenção das cotas da Planta de forma parcial do pavimento tipo Fonte o autor Na planta de forma no canto direito superior aparece um símbo lo composto por duas bandeirinhas inclinadas e cruzadas Esse símbolo é bastante conhecido e usado para determinar simetria espelhamento ou seja está sendo indicado que à direita temos um apartamento igualzinho ao da esquerda Isto também significa que as vigas V101 V102 V104 V105 também são espelhadas ou seja pela simetria elas continuam no apartamento da direita entendeu Estamos dizendo que as vigas V101 V104 e V105 são vigas contínuas de seis tramos e a V102 tem quatro tramos Outra coisa estamos denominando as vigas por V101 V102 ou seja Vcento e alguma coisa Isto é uma forma de diferenciarmos as vigas de cada planta de forma por exemplo na fundação poderíamos denominar nossas vigas por V01 V02 até V99 ou por VB01 VB02 in dicando que são as vigas do primeiro nível ou as vigas baldrames Se houvesse um mezanino por exemplo teríamos uma nova plan ta de forma e outro nível de vigas que seriam as V101 V102 V103 As do pavimento tipo seriam as V201 V202 V203 e as da cobertura seriam as V301 V302 V303 ou as VC01 VC02 indicando que são as vigas da cobertura 36 UNIUBE AMPLIANDO O CONHECIMENTO Na planta de forma também há informações quanto ao nivelamento das lajes O pavimento tem um nivelamento de lajes e pode ter o rebaixamento de uma ou outra laje veja a Figura 10 Figura 10 Representação do nivelamento das lajes de um pavimento tipo Fonte o autor O rebaixo de uma laje é usado em banheiros para execução das instalações de esgoto O rebaixo é preenchido com entulho e um contrapiso podendo também ser utilizado placas prémoldadas apoiadas em pequenas paredinhas de alvenaria Por outro lado podemos ter a laje do pavimento sem rebaixos e as vigas posicionadas de forma diferente em relação à laje As vigas normais usadas na grande maioria dos casos são as que terminam na borda superior das lajes mas podemos ter vigas intermediá rias ou invertidas como mostrado na Figura 11 que serão usadas quando temos esquadrias faceando a laje UNIUBE 37 Figura 11 Posicionamento das Vigas em relação à laje Fonte o autor Considerações finais Ao final deste capítulo já temos condições de elaborar uma planta de forma É por meio da planta de forma que iniciamos o cálculo dos elementos estruturais nela contidos Na verdade a planta de forma e o dimensionamento vão sendo feitos conjuntamente porque as dimen sões dos elementos como as alturas das lajes vigas e pilares só vão ser obtidas mediante o dimensionamento destes elementos O importante é que já estamos prontos para aprender a dimensio nar estes elementos o que começaremos a fazer no próximo capí tulo com o estudo das lajes maciças de concreto armado João Dirceu Nogueira Carvalho Introdução Lajes maciças de concreto armado determinação dos esforços Capítulo 2 Começaremos a estudar as matérias da área de estruturas aprendendo a determinar os esforços nas estruturas isostáticas vigas treliças e pórticos depois nas hiperestáticas vigas contínuas pórticos grelhas etc Estas estruturas que estudamos até agora chamamos de estruturas de barras e neste estágio do nosso curso de engenharia já temos de calcular os esforços externos e internos em uma estrutura de barras Por exemplo temos condições de calcular as reações de apoio esforços reativos externos em uma viga assim como o momento fl etor o esforço cortante o esforço normal e momento torçor esforços solicitantes internos em uma seção qualquer desta viga Isto signifi ca que esta viga está pronta para ser dimensionada ou seja pronta para determinarmos sua seção de concreto e de aço para resistir a estes esforços As lajes são estruturas de placas laminares Neste grupo temos as paredes as vigas parede que são solicitadas no seu plano e as lajes que são solicitadas normalmente ao seu plano No nosso curso vamos nos ater apenas às lajes e já começamos com um problema ainda não aprendemos a determinar os esforços em elementos laminares nas lajes Nos elementos de barra já aprendemos a determinar os esforços em vigas treliças pórticos grelhas etc tanto Vincular as lajes maciças isoladas Conceituar e classificar as lajes maciças de concreto armado Determinar os esforços nas lajes maciças isoladas de concreto armado Lajes Maciças de Concreto Armado Introdução Vinculação das lajes Vão teórico de lajes ou placas NBR6118 item 14722 Classificação das lajes Lajes Armadas em Duas Direções ou em Cruz Processo de Marcus Distribuição das Cargas Teoria das Grelhas Determinação das Reações de Apoio Lajes armadas em Cruz Representação em planta dos momentos e reações calculados Lajes Armadas em Uma Direção Determinação dos esforços O Conceito de faixa Compensação dos momentos fletores Objetivos Esquema isostáticas como hiperestáticas mas nos elementos laminares nas lajes não Neste capítulo vamos começar o estudo das lajes vamos aprender a discretizar uma laje como são suas vinculações como são classificadas como é sua modelagem teórica e vamos aprender a determinar os esforços em lajes isoladas que basicamente são dois as reações de apoio e os momentos fletores UNIUBE 41 Lajes maciças de concreto armado 21 As placas de concreto usualmente denominadas lajes são elementos de superfície plana uma das dimensões muito menor que as outras duas sujeitos principalmente a ações normais ao seu plano Neste curso vamos considerar as lajes retangulares submetidas a cargas uniformemente distribuídas eou cargas de paredes su portadas por vigas em todo o seu contorno As lajes com outras formas circular triangular em L etc com uma ou duas bordas não vinculadas caso das lajes de cobertura de garagens das lajes de muros de arrimo etc não serão abordadas aqui Vamos iniciar o estudo das lajes analisando como elas são vincula das entre si mas antes vamos relembrar a vinculação dos tramos de uma viga contínua RELEMBRANDO Para entendermos as vinculações de uma laje vamos relembrar as vinculações de uma viga pois estamos mais familiarizados com elas Tudo é uma questão de como modelamos uma estrutura e para entendermos direitinho vamos usar a viga contínua mostrada na Figura 12a 42 UNIUBE Figura 12 Modelagem estrutural da vinculação en tre os tramos de uma viga contínua Fonte o autor Quando separamos os seus tramos eles são vinculados conforme mostrado na Figura 12b Nas Figuras 12c 12d e 12e mostramos qual a modelagem estrutural para uma viga contínua Veja que a viga é um elemento único desvinculado de seus apoios os pilares Em uma viga contínua a continuidade o engastamento ocorre entre os tramos da viga sem a participação dos seus apoios os pilares Observe que nada impede que as vigas se vinculem aos pilares ou seja tramo esquerdo tramo direito e o pilar mas se as sim o fizéssemos teríamos um pórtico Em síntese se vincularmos a viga aos pilares ela deixa de ser viga para fazer parte de outro elemento estrutural denominado pórtico Agora que entendemos a desvinculação da viga e os pilares seus apoios vamos entender o que é o engaste Se carregarmos a viga ela tende a trabalhar como uma viga contínua ou seja ocorrerão mo mentos negativos nos apoios e se não houver uma armadura para combater a tração na borda superior como mostrado na Figura 12d UNIUBE 43 haverá a formação de fissuras trincas ou seja a formação de rótulas que transformarão a viga contínua em três vigas bi apoiada O engaste entre os tramos de uma viga contínua como mostrado na Figura 12e é o engastamento de um tramo ao outro 211 Vinculação das lajes As lajes poderão ter suas bordas simplesmente apoiadas engasta das ou livres e será adotada a convenção a seguir para represen tar cada uma destas vinculações Figura 13 Representação da vinculação das bordas de uma laje Fonte o autor Em um pavimento a vinculação das lajes ocorre de maneira análoga a das vigas como acabamos de relembrar observando que a viga é uma estrutura de barra e portanto analisamos a vinculação entre os tramos enquanto as lajes são placas elementos de superfície plana portanto analisamos a vinculação entre os painéis de laje Da mesma forma a modelagem estrutural das vigas as desvincu lam dos pilares na modelagem estrutural das lajes também as desvinculamos de seus apoios as vigas ou seja o engaste é a 44 UNIUBE vinculação entre dois painéis e da mesma forma que as vigas são simplesmente apoiadas em seus apoios extremos as bordas das lajes também são simplesmente apoiadas quando não temos outro painel para viabilizar o engaste Um painel de laje normalmente é engastado em outro painel de laje ou seja a continuidade o engastamento se dá entre lajes Nada impede o engastamento de uma laje em uma viga aliás esta é uma situação característica das lajes de marquise mas nesse caso cuidado a viga passa a sofrer a ação de momento torçor e precisa ser dimensionada e armada para esta solicitação Na Figura 14 elaboramos um pequeno esboço de uma planta de forma para exemplificarmos a vinculação das lajes Devese ob servar que a laje 3 está rebaixada conforme a representação na planta de forma e portanto não fornece o vínculo de engaste a nenhuma das lajes que a cercam A partir da planta de forma é feita a discretização das lajes desta candose uma a uma para a obtenção das lajes isoladas e suas vinculações A Figura 15 ilustra este processo UNIUBE 45 Figura 14 Esboço da planta de forma do pavimento de uma edificação Fonte o autor Figura 15 Discretização das lajes constituin tes da planta de forma e suas vinculações Fonte o autor 46 UNIUBE IMPORTANTE Vinculação entre as lajes 01 Em relação à vinculação entre as lajes o engaste entre painéis de lajes acontece desde que as duas lajes tenham rigidez de mesma ordem de grandeza ou seja as alturas devem ser próximas afinal vão ser elevadas ao cubo Para entendermos melhor vamos considerar duas lajes uma com 80 cm de altura e a outra com 150 Sob carregamento as lajes vão fletir vão se deformar e como uma é muito mais rígida que a outra a laje de menor altura não terá rigidez para interferir na deformação da laje de maior altura ou seja é como um cabo de guerra entre o ratinho e o elefante Para que haja o engaste entre as lajes a diferença de altura entre elas não deverá ultrapassar 2 a 25 cm Se a diferença de alturas for maior consideramos que a laje de maior altura com esta borda apoiada e a de menor altura com sua borda engastada Figura 16 Influência da rigidez das lajes na vinculação entre elas Fonte o autor UNIUBE 47 Vinculação entre as lajes 02 Na Figura 14 apresentamos um esquema de planta de forma e na Figura 15 a discretização das lajes e suas vinculações Facilmente detectamos que as lajes 01 e 05 são do Tipo 3 a laje 06 é do Tipo 5 a laje 03 é do Tipo 1 e a laje 04 é do Tipo 2 Quais os Tipos das lajes 02 e 07 Um dos lados destas lajes tem uma parte engastada e outra apoiada No caso da laje 02 a parte apoiada é bem maior que a engastada mas na laje 07 é meio a meio Isto é o que vamos chamar de predominância de uma vinculação sobre a outra Se uma vinculação ocupar mais de ou igual 23 do lado ela será considerada predominante e será estendida para todo o lado Se nenhuma vinculação for predominante ou seja entre 13 e 23 do lado a laje será com todo o lado apoiado depois com todo o lado engastado os esforços serão determinados para cada caso e serão considerados em cada direção os maiores valores a 23 ℓ e a 23 ℓ Figura 17 Predominância ou não de uma vinculação sobre a outra Fonte o autor 48 UNIUBE 212 Vão teórico de lajes ou placas NBR6118 item 14722 No capítulo I quando fizemos nossa planta de forma adotamos as dimensões das vigas e determinamos as dimensões das lajes como sendo de face a face das vigas Agora vamos determinar as dimen sões de cálculo denominadas de vãos teóricos ou vãos efetivos O vão teórico ou vão efetivo de uma laje deve ser calculado pela seguinte expressão ℓef ℓ0 a1 a2 Sendo ℓ0 o vão livre distância entre as faces internas dos apoios já descontando os revestimentos de cada lado Obs para as lajes é usual se tomar a distância de centro a centro dos apoios vigas uma vez que a diferença normalmente é peque na a exceção seria o caso das vigas de maior largura as vigas de transição por exemplo Vamos recuperar nossa planta de forma detalhada na Figura 8 e determinar os vãos teóricos ou efetivos das lajes Na planta dos vãos teóricos apresentada na Figura 18 apresenta mos as duas dimensões a de centro a centro e entre parênteses a dimensão menor obtida pela expressão 0 03 03 Laje Laje h h Como exemplo vamos calcular os vãos teóricos da laje 01 que tem uma altura de 85 cm UNIUBE 49 Na horizontal temos um uma viga de 17 um vão de 362 e uma viga de 14 1 1 1 05 05 17 85 255 03 03 85 255 t a a cm h 2 2 2 05 05 14 70 255 03 03 85 255 t a a cm h Portanto o vão teórico correto será 255 362 255 3675 de centro a centro seria 3775 cm Para as vigas usuais de edifícios em que a largura normalmente é adotada igual a 140 150 ou 170 cm adotase como vãos teóricos a distância de centro a centro Observe que temos uma diferença entre o menor valor calculado em função da altura da laje e o valor obtido de centro a centro inferior a 10 cm 50 UNIUBE Figura 18 Planta de forma parcial do pavimen to tipo e planta dos vãos teóricos Fonte o autor 213 Classificação das lajes Para entendermos melhor esta classificação analisemos como se realiza a transferência de cargas para os apoios em uma grelha A Figura 19 apresenta duas grelhas simplesmente apoiadas sendo uma de vãos ℓ1ℓ2 e a outra com ℓ32ℓ2 ambas submetidas a uma carga concentrada P aplicada no cruzamento das vigas nó cru zamento da longarina com a transversina UNIUBE 51 Figura 19 Grelhas submetidas à ação de uma carga concentrada Fonte o autor Na grelha da esquerda todas as reações são iguais a 14 da carga P enquanto na grelha da direita o cálculo nos fornece 118 P para as reações do lado maior e 818 P para as reações do lado menor ou seja para os vão iguais há uma transferência da carga na razão de 50 em cada direção e para ℓ3 2ℓ2 aproximadamente 11 da carga é transferida na direção do vão maior e 89 na direção do vão menor À medida que a relação entre os vãos aumenta ℓ3 ℓ2 maior será a transferência de carga para os apoios do vão menor ou seja para uma relação de vãos entre 1 e 2 temse uma transferência bidirecional de cargas e para relação de vãos maior do que 2 ten dese para uma transferência unidirecional das cargas IMPORTANTE A transferência bidirecional de cargas é típica dos elementos bidi mensionais as placas lajes enquanto a transferência unidirecio nal das cargas é típica dos elementos unidimensionais as barras vigas Sendo r a relação entre os vãos vamos convencionar r 2 Laje armada em uma direção r 2 Lajes armada em duas direções em Cruz 52 UNIUBE A laje armada em uma direção será calculada como uma viga trans ferência unidirecional das cargas mas ela continua sendo uma pla ca uma laje Parece estranho não é mesmo A norma de concreto considera que a distribuição das cargas é nas duas direções mas na direção do lado maior é tão tão pequena que não vale a pena calcu lar Porém teremos que colocar uma armadura mínima prescrita pela norma que é muito superior à que obteríamos pelo cálculo 214 Lajes Armadas em Duas Direções ou em Cruz O cálculo das placas por processos exatos é extremamente complexo uma vez que envolve a solução de uma equação diferencial de quarta ordem A expressão a seguir mostra a equação geral de placas 4 4 4 4 2 2 4 2 w w w p D x x y y onde 3 2 12 1 E h D ν Sendo w o deslocamento vertical x e y coordenadas de um ponto qualquer p carga uniformemente distribuída D Rigidez à flexão E módulo de deformação longitudinal do concreto ν coeficiente de Poisson UNIUBE 53 Calculadas segundo a teoria das placas os métodos de cálculo são di vididos em dois grupos o Método Clássico Teoria da Elasticidade su pondo os materiais trabalhando em regime elástico linear e o Método da Ruptura Teoria da Plasticidade supondo os materiais trabalhando em regime rígidoplástico Teoria das charneiras plásticas Pelo método clássico o cálculo das lajes pelos métodos das Diferenças Finitas ou dos Elementos Finitos levam a resultados quase que exatos porém estes métodos pela sua complexidade demandam conhecimentos não domi nados pela grande maioria dos profissionais da área de engenharia A ne cessidade de se ter um cálculo rápido com um nível de precisão coerente com a atividade da engenharia e acessível aos profissionais levanos aos processos de cálculo simplificados 215 Processo de Marcus O processo de Marcus é um processo de cálculo simplificado oriun do do Método Clássico que assimila a laje uma grelha formada por faixas independentes entre si Marcus introduziu coeficientes de correção αx e αy nas expressões dos momentos fletores positivos de tal forma que seus resultados se aproximassem aos obtidos por meio da Teoria da Elasticidade IMPORTANTE Pelo Processo de Marcus convencionase que os lados da laje se rão denominados ℓx e ℓy ℓx está na direção mais vinculada e caso ambas as direções sejam igualmente vinculadas ℓx estará na direção com o menor vão E a relação entre os lados será definida como y x λ 54 UNIUBE 216 Distribuição das Cargas Teoria das Grelhas O cálculo aproximado é feito supondose a laje composta por uma sé rie de faixas de 10 m de largura independentes entre si submetidas a uma carga suposta uniformemente distribuída Sendo p a carga por metro quadrado que atua na laje temos inicialmente que parte desta carga p atua em uma direção e a outra parte na outra direção x y p p p A determinação dos quinhões px e py é feita admitindose a Teoria das Grelhas a partir da hipótese de que a laje é composta por vi gas fictícias independentes entre si de 10 m de largura Para a laje Armada em Cruz suposta isolada e apoiada em seus quatro lados conforme a Figura 20 temse os seguintes valores para as flechas em cada direção Veja que tanto na direção horizontal como na vertical as vigas fictí cias são bi apoiadas e havendo empate de vinculações ℓx será a direção do lado menor e conforme a Figura 20 a direção vertical Figura 20 Vigas fictícias em uma laje armada em cruz Fonte o autor UNIUBE 55 E dessa forma obtémse os quinhões de carga para as direções x e y 4 4 4 4 4 4 4 4 y x x x x y x x y x y x x y y p p p p l p p l p l p l p l p l l p l 4 4 4 y x x y l p p l l ou fazendo y x λ 4 4 1 px p λ λ 4 4 4 x y x y l p p l l ou fazendo y x λ 4 1 1 py p λ Alterandose a vinculação de cada um dos apoios por engastamento perfeito temse um total de seis tipos de lajes armadas em cruz Observe que os quinhões de carga determinados anteriormente correspondem à laje Tipo 1 Para a determinação dos quinhões de carga para os demais tipos em cada caso devese usar as fle chas correspondentes à vinculação das vigas fictícias A seguir são apresentadas as equações das flechas para vigas submetidas a cargas uniformemente distribuídas considerando os três tipos de vinculações simplesmente apoiadas apoiadas em uma borda e engastadas na outra e bi engastadas 56 UNIUBE Por exemplo para uma laje do Tipo 5 teríamos UNIUBE 57 Veja que na direção horizontal a viga fictícia é engastada e apoiada e na vertical é bi engastada Como a direção vertical é mais vincu lada que a horizontal ℓx será a direção vertical a mais vinculada Os momentos fletores em uma laje são determinados supondose uma faixa da laje de 10 m de largura carregada pelo quinhão de carga atuante na direção da mesma O efeito da grelha é introduzido no cálculo destas vigas fictícias mediante os coeficientes αx e αy propostos por Marcus e aplicados apenas nos momentos positivos 2 2 2 2 y y y y x x x x x x y y x y x y x y p p p p M M X X i i j j α α Onde ix e iy são os denominadores dos momentos positivos 8 1422 ou 24 conforme o tipo de vinculação apoioapoio engasteapoio ou engasteengaste e jx e jy são os denominadores dos momentos negativos 8 ou 12 conforme o tipo de vinculação engasteapoio ou engasteengaste Os coeficientes de Marcus αx e αy são dados pelas expressões a seguir 2 2 20 20 1 1 3 3 y x x y y x k k i i λ α α λ 58 UNIUBE A equação de Mx por exemplo para uma laje do Tipo 5 2 2 2 20 1 3 x x x x x x x x x x x p K p k M M i i i α λ 4 4 2 4 4 2 2 2 20 1 2 1 2 1 3 x x x x p M i i λ λ λ λ λ Podemos definir 2 x x x p M m fazendo 4 4 4 4 2 2 20 1 2 2 1 1 2 3 x x x i m i λ λ λ λ λ Por exemplo para a laje Tipo 5 ix 24 e adotando ℓx 40 m e ℓy 48 m teremos 2 2 50 120 144 20736 40 y x e λ λ λ substituindo na equação de mx teremos 24 35268 080572 1 0155424 x m Como o coeficiente mx depende apenas de λ podemos tabelar este coeficiente simplesmente variando λ de 05 a 2 para as lajes Tipos 2 4 e 5 e variando λ de 1 a 2 para as lajes Tipos 1 3 e 6 Entendeu o porquê disso Nas lajes Tipos 1 3 e 6 há empate de vinculações e como quando há empate ℓx é sempre o menor lado λ será sempre maior que 1 Nas lajes Tipos 2 4 e 5 e não há empate de vinculações e portanto ℓx estará sempre na direção mais vinculada podendo ser maior ou menor que ℓy portanto λ irá variar entre 05 a 2 UNIUBE 59 A tabela destes coeficientes mx e my para os momentos positivos e nx e ny para os momentos negativos é conhecida como Tabela de Marcus Da mesma forma que determinamos para a laje Tipo 5 o coeficiente mx 35 correspondente a λ 12 podemos determinar todos os coeficientes para cada tipo de laje obtendo desta forma a Tabela de Marcus Da mesma forma que para os momentos positivos trabalhamos com o coeficiente ix e iy 8 1422 e 24 para os momentos negati vos vamos ter os coeficientes jx e jy assumindo os valores 8 ou 12 de acordo com a vinculação engasteapoio ou engasteengaste Apenas os momentos fletores positivos são corrigidos pelos coefi cientes αx e αy Os momentos fletores negativos NÃO IMPORTANTE Veja que pela convenção adotada nos numeradores são sempre 2 x p 2 2 2 2 x x x x x y x y x y x y p p p p M M X X m m n n Sendo os coeficientes mx my nx e ny tabelados em função de λ 60 UNIUBE Tabela 1 Tabela de Marcus Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 λ mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny 050 141 45 59 137 50 50 146 71 108 36 052 126 43 52 124 48 45 216 68 94 34 054 113 42 46 112 47 40 192 65 83 32 056 102 40 41 103 46 36 171 62 73 31 058 93 39 36 96 45 33 153 59 65 29 060 85 38 33 88 45 31 139 57 58 28 062 79 37 30 82 44 28 126 56 53 27 064 73 37 27 76 44 26 115 54 48 26 066 68 36 25 71 44 25 106 53 44 25 068 63 35 23 67 44 23 98 52 40 25 070 59 35 21 64 44 22 91 51 37 24 072 56 35 20 60 44 21 84 50 34 24 074 52 35 19 58 45 20 79 49 32 23 076 50 34 18 55 45 19 74 49 30 23 078 47 34 17 53 46 18 70 49 28 23 080 45 34 16 50 46 18 66 48 27 23 082 43 34 15 49 47 17 63 48 25 23 084 41 34 14 47 48 17 60 48 24 23 086 39 35 14 45 48 16 57 48 23 23 088 37 35 13 44 49 16 55 48 22 23 090 36 35 13 42 50 16 53 49 21 23 092 34 35 12 41 51 15 51 49 20 23 094 33 36 12 40 52 15 49 49 20 23 096 32 36 12 39 53 15 47 50 19 23 098 31 36 11 38 55 15 46 50 19 24 100 27 27 30 37 11 37 37 16 16 37 56 14 44 51 18 24 56 56 24 24 102 26 27 29 37 11 36 37 15 16 37 57 14 43 51 18 24 54 56 23 24 104 25 27 28 38 11 34 37 15 16 36 58 14 42 52 17 25 52 56 22 24 106 24 27 27 38 11 33 37 14 16 35 60 14 41 52 17 25 50 56 22 24 108 24 27 27 39 10 32 37 14 16 35 61 14 40 53 16 26 48 56 21 24 110 23 27 26 39 10 31 38 13 16 34 63 14 39 54 16 26 47 57 20 24 112 22 27 25 40 10 30 38 13 16 34 64 14 38 55 16 26 45 57 20 25 114 21 27 25 41 10 29 38 13 17 33 66 13 37 56 16 27 44 57 19 25 116 21 27 24 41 10 28 38 12 17 33 67 13 37 57 15 27 43 58 19 25 118 20 27 24 42 10 28 39 12 17 32 69 13 36 58 15 28 42 58 18 25 120 19 27 23 43 10 27 39 12 17 32 71 13 35 59 15 29 41 59 18 26 122 19 27 23 43 9 26 39 12 17 32 72 13 35 60 15 29 40 59 17 26 124 18 27 22 44 9 26 40 11 18 31 74 13 34 61 15 30 39 60 17 26 126 18 27 22 45 9 25 40 11 18 31 76 13 34 62 14 30 38 61 17 27 128 17 29 22 46 9 25 40 11 18 31 78 13 33 63 14 31 38 62 16 27 130 17 29 21 47 9 24 41 11 18 30 80 13 33 64 14 32 37 62 16 27 132 17 29 21 47 9 24 41 11 19 30 82 13 32 65 14 32 36 63 16 28 134 16 29 21 48 9 23 42 10 19 30 84 13 32 67 14 33 36 64 16 28 UNIUBE 61 136 16 29 21 49 9 23 42 10 19 30 86 13 32 68 14 34 35 65 16 29 138 16 30 20 50 9 22 43 10 19 29 88 13 31 69 14 35 35 66 15 29 140 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30 140 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30 142 15 30 20 52 9 22 44 10 20 29 92 13 31 72 13 36 34 68 15 30 144 15 30 20 53 9 21 45 10 20 29 94 13 30 73 13 37 33 69 15 31 144 15 30 20 53 9 21 45 10 20 29 94 13 30 73 13 37 33 69 15 31 146 14 31 19 54 9 21 45 10 21 29 96 13 30 75 13 38 33 70 15 31 148 14 31 19 55 9 21 46 10 21 28 98 13 30 76 13 39 32 71 15 32 150 14 31 19 56 9 21 46 10 22 28 101 12 30 78 13 40 32 72 14 32 152 14 32 19 57 9 20 47 9 22 28 103 12 29 79 13 40 32 73 14 33 154 13 32 19 58 9 20 48 9 22 28 105 12 29 81 13 41 31 74 14 34 156 13 32 19 60 9 20 48 9 23 28 108 12 29 82 13 42 31 76 14 34 158 13 33 18 61 9 20 49 9 23 28 110 12 29 84 13 43 31 77 14 35 160 13 33 18 62 8 19 50 9 24 28 113 12 29 86 13 44 31 78 14 35 162 13 33 18 63 8 19 51 9 24 28 115 12 29 87 13 45 30 79 14 36 164 13 34 18 64 8 19 51 9 24 27 118 12 28 89 13 46 30 81 14 37 166 12 34 18 66 8 19 52 9 25 27 120 12 28 91 13 47 30 82 14 37 168 12 34 18 67 8 19 53 9 25 27 123 12 28 93 13 48 30 84 14 38 170 12 35 18 68 8 19 54 9 26 27 125 12 28 94 13 49 29 85 13 39 172 12 35 18 69 8 18 55 9 26 27 128 12 28 96 13 50 29 86 13 40 174 12 36 17 71 8 18 55 9 27 27 131 12 28 98 13 51 29 88 13 40 176 12 36 17 72 8 18 56 9 27 27 134 12 28 100 13 52 29 89 13 41 178 12 37 17 73 8 18 57 9 28 27 136 12 27 102 13 53 29 91 13 42 180 11 37 17 75 8 18 58 9 28 27 139 12 27 104 13 54 29 92 13 43 182 11 38 17 76 8 18 59 9 29 27 142 12 27 106 13 55 28 94 13 43 184 11 38 17 77 8 18 60 9 29 27 145 12 27 108 13 57 28 96 13 44 186 11 39 17 79 8 18 61 9 30 26 148 12 27 110 13 58 28 97 13 45 188 11 39 17 80 8 18 62 9 31 26 151 12 27 112 12 59 28 99 13 46 190 11 40 17 82 8 17 63 9 31 26 154 12 27 114 12 60 28 100 13 47 192 11 40 17 83 8 17 64 9 32 26 157 12 27 116 12 61 28 102 13 47 194 11 41 17 85 8 17 65 9 32 26 160 12 27 118 12 62 28 104 13 48 196 11 41 17 86 8 17 66 9 33 26 163 12 27 120 12 64 27 106 13 49 198 11 42 17 88 8 17 67 9 33 26 166 12 27 122 12 65 27 107 13 50 20 11 42 16 89 8 17 68 9 34 26 168 12 27 124 12 66 27 109 13 51 2 2 2 2 x x x x x y x y x y x y p p p p M M X X m m n n Fonte o autor 62 UNIUBE 217 Determinação das Reações de Apoio Lajes armadas em Cruz A NBR 6118 item 1476 permite o cálculo das reações de apoio de lajes maciças retangulares com cargas uniformemente distribu ídas considerandose para cada apoio carga correspondente aos triângulos e trapézios obtidos traçandose a partir dos vértices na planta da laje retas inclinadas de 45º entre dois apoios do mesmo tipo 60º a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado 90º a partir do apoio quando a borda vizinha for livre Uma laje Tipo 2 por exemplo tem as áreas de influência dos apoios conforme apresentado na figura a seguir onde S1 é a área de influência da Viga V101 S2 é a área de influência da Viga V102 e S3 e S4 das vigas V103 e V104 respectivamente UNIUBE 63 A expressão de cada uma das áreas é determinada a seguir Área S1 S2 Como a carga por metro quadrado de laje é p a carga por metro linear a ser descarregada na V101 será a carga total aplicada na área S1 distribuída no vão da Viga 101 1 1 1 0683 2 y y x p p S p V λ 1 2 y y y p p V K sendo 1 0683 Ky λ Área S3 64 UNIUBE Área S4 Onde p é a carga por metro quadrado que solicita a laje p1 é a carga por metro linear que solicita a viga V101 devido à laje p3 é a carga por metro linear que solicita a viga V103 devido à laje p4 é a carga por metro linear que solicita a viga V104 devido à laje Ky é o coeficiente de carga na direção y Kx é o coeficiente de carga na direção x para o lado apoiado Kx é o coeficiente de carga na direção x para o lado engastado A seguir são tabelados os coeficientes x y x y k k k e k em função de λ para os diferentes tipos de lajes UNIUBE 65 Tabela 2 Tabela das Expressões das Reações de Apoio NBR 6118 item 1476 2 2 2 2 y y x x x x y y x x y y p p p p V k V k V k V k Fonte o autor 66 UNIUBE Mas não vamos usar essa tabela Fizemos a adaptação desta ta bela à convenção de Marcus e tal qual a Tabela de Marcus com os coeficientes mx my nx e ny para momentos fletores apresentamos a seguir a tabela com os coeficientes kx kx ky e ky para as reações de apoio conforme a convenção de MARCUS Tabela 3 Tabela de Reações de Apoio Convenção de Marcus Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 λ kx ky kx kx ky kx kx ky ky kx ky kx ky ky kx ky 050 025 043 066 043 057 032 050 087 052 026 045 065 045 055 033 049 085 054 027 047 063 047 053 034 048 083 056 028 048 062 048 052 036 047 082 058 029 050 060 050 050 037 046 080 060 030 052 059 052 048 038 045 079 062 031 054 058 053 047 039 044 077 064 032 055 056 055 045 041 043 075 066 033 057 055 056 044 042 042 074 068 034 059 054 057 043 043 042 072 070 035 061 052 059 041 044 041 071 072 036 062 051 060 040 046 040 069 074 037 064 049 061 039 047 039 067 076 038 066 048 062 068 048 038 066 078 039 068 047 063 037 050 037 064 080 040 069 046 064 036 051 036 063 082 040 071 045 065 035 052 035 061 084 041 072 043 065 035 053 035 060 086 042 073 042 066 034 054 034 058 088 043 074 041 067 033 055 033 057 090 043 076 041 068 032 056 032 060 092 044 077 040 068 032 057 032 054 094 045 078 039 069 031 058 031 053 096 045 079 038 070 030 059 030 052 098 046 080 037 070 030 060 030 051 100 050 050 046 081 037 036 063 037 064 071 029 060 029 050 050 050 102 051 049 047 082 036 037 065 036 063 072 028 061 028 049 051 049 104 052 048 047 082 035 038 066 035 062 072 028 062 028 048 052 048 106 053 047 048 083 034 039 067 034 061 073 027 063 027 047 053 047 108 054 046 048 084 034 039 068 034 059 073 027 063 027 046 054 046 110 055 045 049 085 033 040 069 033 058 074 026 064 026 045 055 045 112 055 045 049 086 033 040 070 033 057 074 026 065 026 045 055 045 114 056 044 050 086 032 041 071 032 056 075 025 065 025 044 056 044 UNIUBE 67 116 057 043 050 087 031 042 072 031 055 075 025 066 025 043 057 043 118 058 042 050 088 031 042 073 031 054 075 025 067 025 042 058 042 120 058 042 051 088 030 043 074 030 053 076 024 067 024 042 058 042 122 059 041 051 089 030 043 075 030 052 076 024 068 024 041 059 041 124 060 040 051 090 029 044 076 029 051 077 023 068 023 040 060 040 126 060 040 052 090 029 044 077 029 050 077 023 069 023 040 060 040 128 061 039 052 091 029 044 077 029 050 077 023 069 023 039 061 039 130 062 038 052 091 028 045 078 028 049 078 022 070 022 038 062 038 132 062 038 053 092 028 045 079 028 048 078 022 070 022 038 062 038 134 063 037 053 092 027 046 080 027 047 078 022 071 022 037 063 037 136 063 037 053 093 027 046 080 027 047 079 021 071 021 037 063 037 138 064 036 054 093 026 047 081 026 046 079 021 071 021 036 064 036 140 064 036 054 094 026 047 082 026 045 079 021 072 021 036 064 036 142 065 035 054 094 026 047 082 026 045 080 020 072 020 035 065 035 144 065 035 054 095 025 048 083 025 044 080 020 073 020 035 065 035 146 066 034 055 095 025 048 084 025 043 080 020 073 020 034 066 034 148 066 034 055 096 025 048 084 025 043 080 020 073 020 034 066 034 150 067 033 055 096 024 049 085 024 042 081 019 074 019 033 067 033 152 067 033 055 097 024 049 085 024 042 081 019 074 019 033 067 033 154 068 032 056 097 024 049 086 024 041 081 019 074 019 032 068 032 156 068 032 056 097 023 050 086 023 041 081 019 075 019 032 068 032 158 068 032 056 098 023 050 087 023 040 082 018 075 018 032 068 032 160 069 031 056 098 023 050 087 023 040 082 018 075 018 031 069 031 162 069 031 057 098 023 050 088 023 039 082 018 076 018 031 069 031 164 070 030 057 099 022 051 088 022 039 082 018 076 018 030 070 030 166 070 030 057 099 022 051 089 022 038 083 017 076 017 030 070 030 168 070 030 057 099 022 051 089 022 038 083 017 076 017 030 070 030 170 071 029 057 100 021 052 090 021 037 083 017 077 017 029 071 029 172 071 029 057 100 021 052 090 021 037 083 017 077 017 029 071 029 174 071 029 058 100 021 052 091 021 036 083 017 077 017 029 071 029 176 072 028 058 101 021 052 091 021 036 084 016 078 016 028 072 028 178 072 028 058 101 021 052 091 021 036 084 016 078 016 028 072 028 180 072 028 058 101 020 053 092 020 035 084 016 078 016 028 072 028 182 073 027 058 102 020 053 092 020 035 084 016 078 016 027 073 027 184 073 027 058 102 020 053 092 020 035 084 016 079 016 027 073 027 186 073 027 059 102 020 053 093 020 034 084 016 079 016 027 073 027 188 073 027 059 102 019 054 093 019 034 085 015 079 015 026 073 027 190 074 026 059 103 019 054 094 019 033 085 015 079 015 026 074 026 192 074 026 059 103 019 054 094 019 033 085 015 079 015 026 074 026 194 074 026 059 103 019 054 094 019 033 085 015 080 015 026 074 026 196 074 026 059 103 019 054 095 019 032 085 015 080 015 026 074 026 198 075 025 060 104 018 055 095 018 032 085 015 080 015 025 075 025 200 075 025 060 104 018 055 095 018 032 085 015 080 015 025 075 025 2 2 2 2 y y x x x x y y x x y y p p p p V k V k V k V k Fonte o autor 68 UNIUBE IMPORTANTE Para as reações de apoio os numeradores variam Na direção x o numerador é x p Na direção x o numerador é y p Exemplo 01 Na Figura 16 temos uma planta de forma e a planta de vãos efetivos ou vão teóricos Determinar os esforços momento fle tores e reações de apoio das lajes L04 e L08 sendo a primeira um ambiente de banheiros e um hall íntimo e a segunda um dormitório Coeficientes de Marcus mx 52 my 56 nx 22 ny 24 Coeficientes de Reações kx 052 ky 049 UNIUBE 69 Observe tanto na Tabela de Marcus como na Tabela de Reações não temos os coeficientes para λ 103 temos para λ 102 e para λ 104 Vamos usar os coeficientes favoráveis à segurança des tes dois lambdas ou seja como os coeficientes de Marcus estão no denominador usamos os menores valores e como os coeficien tes de reações estão no numerador usamos os maiores Coeficientes de Marcus Reações de apoio Tipo 6 Tipo 6 λ mx my nx ny kx ky 102 54 56 23 24 051 049 104 52 56 22 24 052 048 IMPORTANTE OBSERVE 2 x p x y p p As equações de momentos obtidos pelo processo de Marcus têm sem pre o mesmo numerador independente de ser na direção x ou na y Nas equações de reações de apoio na direção x usamos o vão ℓx e na direção y usamos o vão ℓy 70 UNIUBE Determinação dos momentos Determinação das Reações de apoio É uma laje Tipo 5 λ ℓy ℓx 107 A direção horizontal é mais vinculada portanto ℓx está na horizontal Coeficientes de Marcus Reações de apoio Tipo 5 Tipo 5 λ mx my nx ny kx ky ky 106 41 52 17 25 063 027 047 108 40 53 16 26 063 027 046 Coeficientes de Marcus mx 40 my 52 nx 16 ny 25 Coeficientes de Reações kx 063 ky 027 ky 047 UNIUBE 71 Determinação dos momentos Determinação das Reações de apoio 218 Representação em planta dos momentos e reações calculados Na Figura 21 exemplificamos a representação em planta dos momen tos fletores e das reações de apoio para uma laje Tipo 5 e uma Tipo 6 Isto será feito para a planta do pavimento e com todas as lajes Figura 21 Exemplo de representação em plan ta dos momentos fletores e reações de apoio Fonte o autor 72 UNIUBE A representação esquemática dos momentos fletores nas lajes é feita conforme a Figura 22 Planta dos Momentos Fletores não Compensados A partir destes momentos fletores é feita a com pensação dos momentos Em outra planta é desenhada a Planta das reações de Apoio Figura 22 Esquema representativo de uma Planta de momentos fletores não compensados Fonte o autor 219 Lajes Armadas em Uma Direção Conforme visto anteriormente para uma relação entre os lados maior ou igual a 2 a transferência de cargas na direção do lado maior tornase desprezível Estas lajes serão calculadas apenas na direção do menor lado ou seja em apenas uma direção É importante observar que na realidade estas lajes também são armadas nas duas direções Como na direção de maior vão as soli citações são muito pequenas desprezase o cálculo nessa direção adotandose uma armadura mínima conforme recomendações da NBR 6118 uma armadura de distribuição com seção transversal de área igual ou superior a 15 da área da armadura principal com um mínimo de 09 cm2 composta de pelo menos três barras UNIUBE 73 Figura 23 Disposição das armaduras nas lajes armadas em uma direção Fonte o autor 2191 Determinação dos esforços Os esforços nas lajes armadas em uma direção serão determina dos por meio do cálculo de uma viga fictícia de 10 m de largura Esta viga fictícia de acordo com as vinculações da laje poderá ser bi apoiada apoiadaengastada ou bi engastada A determinação dos esforços nessas vigas é bastante simples A primeira delas a bi apoiada é uma estrutura isostática e como já foi visto em Teoria das Estruturas não há necessidade de maio res comentários As outras duas a engastadaapoiada e a bi en gastada são hiperestáticas e para relembrar vamos rapidamente abordar a determinação dos seus esforços com a ajuda da Tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito Estas vigas de apenas um tramo é o que se chama de estrutura ele mentar e já foram calculadas submetidas aos mais diversos carrega mentos sempre aplicados individualmente Por exemplo carga concen trada carga uniformemente distribuída carga uniformemente distribuída parcialmente carga momento carga triangular trapezoidal etc Estes cálculos foram feitos literalmente ou seja como resultado temse uma equação Estas equações estão dispostas em forma de tabelas denomi nadas Tabelas de Momentos de Engastamento Perfeito 74 UNIUBE Dependendo do momento ser no apoio esquerdo ou direito da viga as equações poderão vir com o sinal positivo ou negativo Isto se deve ao fato de estas tabelas serem utilizadas para estruturas de barras em geral vigas contínuas pórticos etc e seguirem uma convenção denominada Convenção de Grinter Este assunto foi visto em detalhes em Teoria das Estruturas Por enquanto como estamos trabalhando com vigas os momentos fle tores nos apoios serão sempre negativos A tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito nos fornece a incógnita hiperestática Mf ou seja a viga à direita pode ser fa cilmente calculada como uma viga isostática o fato de não haver cargas horizontais torna nula a incógnita horizontal do apoio do segundo gênero à esquerda Nesse exemplo da tabela de Momentos de Engastamento Perfeito 2 8 f P M m Reações nos apoios A e B UNIUBE 75 O momento fletor máximo positivo acorrerá no ponto onde o esfor ço cortante será nulo RELEMBRANDO Para cargas uniformemente distribuídas 76 UNIUBE Se esta viga estivesse submetida a uma combinação de cargas como o exemplo a seguir o Princípio da Superposição do Efeitos nos permite fazer 1 n i i Mf MEP Ou seja a somatória dos momentos de engastamento perfeito de cada uma das cargas que carregam a viga e o momento fletor má ximo positivo acorrerá no ponto onde o esforço cortante será nulo IMPORTANTE As lajes armadas em cruz ou em duas direções conforme a vincu lação de suas quatro bordas são classificadas como Tipos 1 2 3 4 5 ou 6 As lajes armadas em uma direção não têm Tipo elas são unidirecionais trabalham apenas na direção do lado menor como se fosse uma viga fictícia de 10 m de largura bi apoiada apoiada engastada ou bi engastada Figura 24 Bordas consideradas nas lajes armadas em uma direção Fonte o autor UNIUBE 77 2192 O Conceito de faixa Como já vimos a laje armada em uma direção tem o comporta mento unidirecional e é calculada é representada como se fosse uma viga fictícia de 10 m de largura bi apoiada apoiadaengasta da ou bi engastada Qualquer alteração nessa viga fictícia faz com que uma região da laje seja representada por uma viga fictícia 01 outra região por uma viga fictícia 02 e assim sucessivamente Estas regiões são denominadas como faixas A viga fictícia pode ser alterada por duas razões mudança da carga ou do carregamento Na Figura 25 exemplificamos essas situações Figura 25 Laje em uma direção divisão em faixas Fonte o autor Cada faixa terá uma armadura diferente ou seja barras de mesmo diâmetro porém com espaçamentos diferentes 2110 Compensação dos momentos fletores Na Figura 14 apresentamos um esquema de planta de forma e na Figura 15 discretizamos as lajes para que cada uma fosse calcula da isoladamente Aprendemos também a representar os momentos fletores nas lajes conforme mostrado na Figura 21 e terminamos 78 UNIUBE apresentando um esquema da Planta dos Momentos Fletores não Compensados apresentado na Figura 22 Finalmente observamos que a partir da Planta de Momentos não Compensados será feita a compensação dos momentos obtendo a Planta de Momentos Compensado ou seja os momentos obti dos pela interação entre as lajes que seriam os momentos a serem usados no dimensionamento de concreto armado RELEMBRANDO Quando calculamos uma viga contínua fazemos esta mesma se quência descrita para as lajes Vamos relembrar Inicialmente discretizamos os tramos adotando as vinculações refe rentes à sua posição na viga contínua apoioengaste para os de extre midade e engasteengaste para os centrais calculamos os Momentos de Engastamento Perfeito para cada tramo isoladamente e finalmen te reagrupamos os tramos na viga contínua para fazer a interação entre eles ou seja compensar os momentos mediante um método hiperestático qualquer por exemplo o Método dos Deslocamentos A compensação dos momentos fletores em lajes ao contrário das vigas é um processo bastante simplificado rápido e que fornece resultados razoavelmente próximos dos reais desde que se obser ve algumas restrições a carga permanente deve ser maior que a acidental o carregamento das lajes deve ser simultâneo e com carga total UNIUBE 79 as lajes devem ter rigidez e vãos que não difiram muito entre si os momentos devem ser de mesma ordem de grandeza Mfmaior 2 a 3 x Mfmenor Ao contrário das vigas contínuas onde ocorre a propagação dos momentos ao longo dos tramos nas lajes esta propagação não será considerada A compensação será feita uma a uma indepen dente das demais Tomandose como exemplo as lajes L5 L6 e L7 a compensação das lajes L5 e L6 poderá alterar o momento fletor Mx o momento na direção horizontal mas ao se fazer a compen sação das lajes L6 e L7 devem ser tomados todos os valores origi nais como se a compensação L5 e L6 não tivesse sido realizada Por meio da Figura 26 exemplificase o processo de compensação Tomando como exemplo as lajes L1 e L2 a figura representa o nó a ser compensado e os esforços envolvidos na compensação Pela laje L1 temse o momento positivo Mx1 e o negativo Xx1 e pela laje L2 os momentos Mx1 e Xx1 positivo e negativo respectivamente Em tracejado está o diagrama de momentos compensado com os esforços Mx1 X e Mx2 Figura 26 Compensação dos momentos fletores Fonte o autor 80 UNIUBE O processo de compensação bastante simplificado será Com estas correções alterase os valores dos momentos positivos que também serão corrigidos somandose δ2 ao momento po sitivo correspondente ao lado de Mx1 uma vez que o diagrama de momento fletor da laje L1 desceu reduzindo o momento negativo e aumentando o momento positivo Ao contrário o diagrama de momento fletor da laje L2 subiu aumentando o momento fletor negativo e reduzindo o momento fletor positivo sendo neste caso a redução desprezada a favor a segurança ou seja sendo Xx1 o maior momento fletor somente a laje que o contém terá seu mo mento fletor positivo majorado Se os momentos não forem da mesma ordem de grandeza Mfmaior 2 a 3 x Mfmenor o lado da laje do momento maior é considera do apoiado e o da laje de momento menor é considerado engastado IMPORTANTE Como já foi dito anteriormente estas compensações serão feitas caso a caso laje a laje como se cada uma delas estivesse sendo feita pela primeira vez Desta forma quando for feita a compensa ção das lajes L2 e L7 serão utilizados os momentos Mx2 Xx2 Xx7 e Mx7 independente de o momento Mx2 ter sido alterado ou não na UNIUBE 81 compensação das lajes L1 e L2 Dessa forma pode acontecer de a laje L2 apresentar dois momentos Mx2 tomandose neste caso o maior dos dois Finalmente temos a Planta dos Momentos Compensados que jun tamente com a Planta das Reações de apoio encerram a determi nação dos esforços em nossas lajes No Capítulo III veremos ra pidamente as prescrições de norma relativas ao cisalhamento em lajes e concluiremos que salvo honrosas exceções extremamente excepcionais apenas o concreto resiste ao cisalhamento não ne cessitando de armaduras para combater este esforço Assim com a Planta dos Momentos Compensados estamos prontos para dimensionar o concreto armado e com a Planta das Reações de apoio estamos prontos para montar o carregamen to de nossas vigas E assim podemos encerrar este capítulo Na Figura 27 apresentamos esquematicamente estas duas plantas 82 UNIUBE Figura 27 Planta dos Momentos Fletores Compensados e das Reações de apoio Fonte o autor Considerações finais Ao término deste capítulo já temos condições de determinar os esforços de momento fletor necessários para o dimensionamento das lajes de concreto armado e as reações de apoio das lajes ne cessárias para montar o carregamento das vigas Dada uma planta de forma aprendemos a discretizar as lajes iso lando cada uma com suas vinculações e calculamos seus esfor ços Agora precisamos reagrupálas e considerar a interação entre elas ou seja precisamos compensar seus momentos Outra característica das lajes que precisamos olhar com mais cui dado é a questão da altura As lajes são elementos extremamente deformáveis ou seja a altura necessária para que ela não entre em ruptura é insuficiente para impedir que ela tenha grandes des locamentos grandes flechas UNIUBE 83 No próximo capítulo vamos priorizar a compensação dos momen tos fletores e o estudo do estado limite de utilização ou seja a de terminação da altura da laje para que ela tenha rigidez necessária para que suas flechas sejam aceitáveis João Dirceu Nogueira Carvalho Introdução Lajes maciças de concreto armado altura e detalhamento Capítulo 3 No capítulo anterior discretizamos as lajes de uma planta de forma aprendemos a classifi cálas conforme a relação entre seus lados e em relação à vinculação das suas bordas Aprendemos ainda a calcular os esforços os momentos fl etores e as reações de apoio em cada uma isoladamente e reagrupálos em uma Planta de Momentos Compensados e em uma Planta de Reações de apoio Neste momento estamos prontos para iniciar o dimensionamento de concreto armado mas No Capítulo II em várias oportunidades foi dito que as lajes seriam calculadas como uma série de vigas fi ctícias de um metro de largura uma ao lado da outra formando uma grelha fi ctícia Então não aprenderemos a dimensionar lajes de concreto armado vamos aprender a dimensionar as vigas de concreto armado e ao fi nal teremos apenas que aprender a detalhar as armaduras das lajes que é diferente do detalhamento das armaduras de vigas Os assuntos abordados neste capítulo serão utilizados após o equacionamento dimensionamento e o detalhamento das vigas mas optamos por colocálos neste capítulo para mantêlos próximos aos desenvolvidos no Capítulo II Uma característica das lajes é a sua deformabilidade As lajes são elementos extremamente deformáveis ou seja a altura necessária Conceituar estados limite último e de serviço Determinar a altura de lajes Conceituar e detalhar a armação de lajes maciças de concreto armado Lajes maciças de concreto armado altura e detalhamento Estados limites Limites para deslocamentos em uma laje Espessuras mínimas para lajes maciças de concreto armado Estimativa da altura das lajes maciças de concreto armado Determinação da altura das lajes pela limitação dos deslocamentos A altura útil e a altura mínima Organização dos cálculos Dimensionamento e detalhamento da armadura Objetivos Esquema para que ela não entre em ruptura é insuficiente para impedir que ela tenha grandes deslocamentos grandes flechas A ruptura significa estado limite último ou de ruína e como não queremos que ela entre em ruptura vamos dimensioná la para que isto não aconteça Mas a altura da laje não será fornecido por este dimensionamento A deformabilidade da laje a limitação de seus deslocamentos significa estado limite de serviço ou de utilização ou seja a laje deverá ser suficientemente rígida para que seus deslocamentos sua flecha sejam aceitáveis Dessa forma a altura da laje será determinada pela limitação de flechas e posteriormente quando formos dimensionála determinaremos apenas a armadura UNIUBE 87 Lajes maciças de concreto armado altura e detalhamento 31 311 Estados limites Podemos dizer que uma estrutura atinge seu estado limite quando se torna imprópria para o uso para o qual foi projetada Isto pode acontecer de duas formas A estrutura ou parte dela rompeu ou seja atingiu a ruína Quando isso acontece dizemos que a estrutura atingiu seu Estado Limite Último ELU ou seu Estado Limite de Ruína A estrutura não vai ruir não vai cair ou seja ela não vai atin gir seu estado limite último mas ela apresenta problemas de ordem estética ou sensorial que inabilitam sua utilização Dizemos então que a estrutura atingiu seu Estado Limite de Serviço ELS ou seu Estado Limite de utilização O Estado Limite Último ELU é facilmente entendido não é mes mo Afinal se uma estrutura está caindo devemos desocupála imediatamente e chamar a defesa civil corpo de bombeiros etc não é mesmo O Estado Limite de Serviço ELS também é simples de ser en tendido quer ver Fim de semana ensolarado quarenta graus na sombra e moramos pertinho da praia Vestimos um maiô pegamos o guardasol uma cadeira o isopor com muiiita cerveja e vamos para a praia Mas ao chegar lá o mar está cheio de algas muita águaviva e pasme várias manchas de óleo na água Como se não bastasse a areia está imunda e ainda por cima com um mau cheiro terrível de esgoto 88 UNIUBE Você eu não sei mas eu assim como muita gente voltaria para casa afinal a praia atingiu seu estado limite de utilização ou de serviço Entendeu O mar a praia eles não acabaram apenas precisam ser limpos tanto a praia como a água do mar as algas e as águas vivas precisam ser eliminadas controladas e pronto na próxima semana ou próximo mês talvez possamos ir à praia Em uma estrutura é a mesma coisa o estado limite de utilização não significa o fim da estrutura significa apenas que ela está com problemas e necessita de reparos mas cuidado significa também que se estes reparos não forem feitos sua vida útil está comprome tida e com o tempo poderá ir à ruína Entre os principais problemas que levam ao estado limite de utili zação estão Deformações excessivas Vibrações excessivas Fissuras excessivas O dimensionamento de uma estrutura consiste em determinar as seções de concreto e de aço e detalhálas corretamente para re sistir aos esforços solicitantes ou seja para que ela não atinja o Estado Limite Último Isto é o que vamos aprender a partir do Capítulo IV mas veja que sem termos aprendido isto precisamos determinar a altura de nossas lajes A questão é que as lajes são estruturas extremamente deformáveis Uma viga calculada pelo estado limite último por exemplo com 80 m de vão terá uma seção de 17 a 20 de largura por 70 a 80 cm de UNIUBE 89 altura e como um dos fatores de rigidez é dada pela altura ao cubo a viga não apresentará flechas muito significativas Inclusive mais para frente vamos aprender no dimensionamento da viga impomos as menores alturas como forma de economia de formas No dimensionamento das lajes devese ter um cuidado especial com a determinação de suas alturas O seu dimensionamento à ruptura ELU como vigas fictícias de 100 cm de largura e sujeitas a carregamentos relativamente pequenos possibilita a obtenção de pequenas espessuras para as lajes mas uma característica das placas e sua grande deformabilidade ou seja flechas excessivas Dessa forma para o dimensionamento das lajes suas alturas de vem ser obtidas em função do Estado Limite de Serviço ou seja as alturas devem ser determinadas de forma a limitar flechas ex cessivas e uma vez determinadas calculase a armadura neces sária pelo Estado Limite Último A altura de uma laje armada cal culada pelo Estado Limite de Serviço pode até dobrar em relação à altura calculada pelo Estado Limite Último 312 Limites para deslocamentos em uma laje A NBR 6118 2003 em seu item 133 prescreve os deslocamentos limites e em sua Tabela 133 apresenta os limites para os desloca mentos considerando a aceitabilidade sensorial o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável b efeitos específicos os deslocamentos podem impedir a utili zação adequada da construção 90 UNIUBE c efeitos em elementos não estruturais deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que ape sar de não fazerem parte da estrutura estão a ela ligados d efeitos em elementos estruturais os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas Na Tabela 4 apresentamos os limites para aceitabilidade sensorial estabelecido pela NBR 6118 Tabela 4 Limites para deslocamentos Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento limite Aceitabilidade sensorial Visual Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Total ℓ250 Outro Vibrações sentidas no piso Devido a cargas acidentais ℓ350 Fonte NBR 6118 Tabela 133 NOTAS para o caso de elementos de superfície os limites prescri tos consideram que o valor ℓ é o menor vão DICAS No caso de edifícios onde a carga permanente é sempre maior que a acidental basta verificar o deslocamento ℓ250 para a carga total p que será sempre maior que o deslocamento ℓ350 relativo apenas às cargas acidentais UNIUBE 91 A questão é que determinaremos a altura h da laje mediante a limi tação da flecha mas para a determinação da flecha precisaremos da carga aplicada ou seja do peso próprio da laje que depende da altura da laje A solução para este círculo vicioso é adotar uma altura determinar o peso próprio da laje e montar seu carregamento para então de terminarmos a altura real da laje por meio da limitação da flecha A questão é como estimar a altura A NBR 61181980 que vigorou até 2003 estabelecia em seu item 423 p22 Em vigas de seção retangular ou T e lajes maciças retangulares de edifícios serão consideradas atendidas as condi ções a e b e dispensarseá o cálculo das flechas quando a altura útil d não for inferior ao valor 2 3 ψ ψ Essa expressão era muito conservadora pois não considerava a carga aplicada e normalmente fornecia alturas de lajes muito supe riores às determinadas em função das flechas máximas mas com algumas adaptações pode ser bastante útil para a estimativa da altura A prática nos leva a substituição nesta fórmula da altura útil d por h e considerar que a altura real será 80 a 90 da altura estimada para lajes de edifícios 313 Espessuras mínimas para lajes maciças de concreto armado A NBR 6118 2014 no item 13241 estabelece as dimensões limi tes para lajes maciças de concreto armado ou seja determinada a altura em função da deformabilidade da laje essa altura deverá respeitar os limites mínimos para a espessura da laje 92 UNIUBE a 7 cm para cobertura não em balanço b 8 cm para lajes de piso não em balanço c 10 cm para lajes em balanço d 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN e 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN DICAS As lajes que suportam veículos são muito comuns em pequenas rampas ou garagens Para estas lajes aconselhase considerar sempre 12 cm de espessura para a laje o que dispensaria a ne cessidade de placas em lugares visíveis e a sua manutenção limi tando o peso dos veículos a 30 kN 314 Estimativa da altura das lajes maciças de concreto armado Conforme sugerimos no final do item 12 para a estimativa da altura da laje propomos a adoção da expressão a seguir observando que a altura hreal obtido pela limitação dos deslocamentos é aproximada mente 80 a 85 da altura estimada hestimado por esta expressão 2 3 h ψ ψ UNIUBE 93 Sendo ℓ o menor lado ψ2 coeficiente dependente das vinculações e dimensões da laje ψ3 coeficiente dependente do tipo do aço Na Tabela 5 apresentamos os coeficientes ψ2 para lajes armadas em duas direções Nessa tabela adaptamos as prescrições da NBR 61171980 à convenção de Marcus ou seja o mesmo λ usa do para as tabelas de Marcus é utilizado para a determinação do coeficiente ψ2 e T1 T2 T6 são os tipos de lajes armadas em cruz Na Tabela 6 apresentamos os coeficientes ψ3 Tabela 5 Valores de 2 Lajes Armadas em Duas Direções NBR 61181980 Tabela 2 adaptado à Convenção de Marcus T1 T2 T3 T4 T5 T6 T1 T2 T3 T4 T5 T6 050 110 120 140 100 150 170 180 190 200 220 051 112 123 142 102 149 169 179 190 199 219 052 115 125 145 104 148 169 178 189 199 218 053 117 128 147 106 148 168 178 189 198 217 054 119 130 149 108 147 168 177 188 198 216 055 121 133 151 110 146 167 176 188 197 215 056 123 135 153 112 145 166 175 188 196 214 057 125 137 155 114 144 166 174 187 196 213 058 127 139 157 116 144 165 174 187 195 212 059 128 141 158 118 143 165 173 186 195 211 060 130 143 160 120 142 164 172 186 194 210 061 132 145 162 122 141 163 171 186 193 209 062 133 147 163 124 140 163 170 185 193 208 063 135 149 165 126 140 162 170 185 192 207 94 UNIUBE 064 136 151 166 128 139 162 169 184 192 206 065 138 152 168 130 138 161 168 184 191 205 066 139 154 169 132 137 160 167 184 190 204 067 140 156 170 134 136 160 166 183 190 203 068 142 157 172 136 136 159 166 183 189 202 069 143 158 173 138 135 159 165 182 189 201 070 144 160 174 140 134 158 164 182 188 200 071 145 161 175 142 133 157 163 182 187 199 072 147 163 177 144 132 157 162 181 187 198 073 148 164 178 146 132 156 162 181 186 197 074 149 165 179 148 131 156 161 180 186 196 075 150 167 180 150 130 155 160 180 185 195 076 151 168 181 152 129 154 159 180 184 194 077 152 169 182 154 128 154 158 179 184 193 078 153 170 183 156 128 153 158 179 183 192 079 154 171 184 158 127 153 157 178 183 191 080 155 173 185 160 126 152 156 178 182 190 081 156 174 186 162 125 151 155 178 181 189 082 157 175 187 164 124 151 154 177 181 188 083 158 176 188 166 124 150 154 177 180 187 084 159 177 189 168 123 150 153 176 180 186 085 159 178 189 170 122 149 152 176 179 185 086 160 179 190 172 121 148 151 176 178 184 087 161 180 191 174 120 148 150 175 178 183 088 162 180 192 176 120 147 150 175 177 182 089 163 181 193 178 119 147 149 174 177 181 090 163 182 193 180 118 146 148 174 176 180 091 164 183 194 182 117 145 147 174 175 179 092 165 184 195 184 116 145 146 173 175 178 093 165 185 195 186 116 144 146 173 174 177 094 166 186 196 188 115 144 145 172 174 176 095 167 186 197 190 114 143 144 172 173 175 096 168 187 198 192 113 142 143 172 172 174 097 168 188 198 194 112 142 142 171 172 173 098 169 189 199 196 112 141 142 171 171 172 099 169 189 199 198 111 141 141 170 171 171 200 110 140 140 170 170 170 Valores de ψ2 Vigas e lajes armadas em uma direção Fonte NBR 61181980 p23 Fonte o autor UNIUBE 95 Tabela 6 Valores de ψ3 Aço ψ3 Vigas e lajes nervuradas Lajes maciças CA 25 25 35 CA 50 17 25 CA 60 15 20 Fonte NBR 61181980 p23 DICAS Como hreal obtido pela limitação dos deslocamentos é aproxima damente 80 a 85 de hestimado conforme a solicitação acidental ou seja uma laje com altura estimada de até 90 cm teria uma al tura real inferior a 80 cm que é a altura mínima para lajes de piso 3141 Exemplo de estimativa da altura de uma laje Estimar a altura da laje ao lado considerando o aço CA50 Tratase de uma laje Tipo 3 Como há empate de vinculações ℓx é o menor lado 96 UNIUBE Sabemos que esta estimativa é conservadora o valor real será 80 a 85 deste valor mas teremos que adotar para esta laje uma altura de 80 cm o valor mínimo admitido pela norma para lajes de piso 315 Determinação da altura das lajes pela limitação dos deslocamentos A determinação da altura das lajes será obtida pela limitação dos deslocamentos ou seja a laje deverá ser rígida o suficiente para que sua flecha não ultrapasse os valore limites de ℓ250 para a car ga total p igual à soma das cargas permanentes e acidentais ou ℓ350 quanto solicitada apenas pelas cargas acidentais A flecha a ser considerada é a composta pela flecha elástica ou imediata e a flecha diferida no tempo 3151 Flecha imediata elástica As flechas elásticas em lajes são determinadas por meio da expressão 4 3 100 x elast p f E h α O coeficiente α é dado em função da vinculação das lajes confor me esquemas fornecidos na Figura 28 e do coeficiente k Observa se que ℓx é sempre é o menor lado e disposto na horizontal e k é igual a ℓyℓx sempre maior ou igual a um UNIUBE 97 Figura 28 Esquema de vinculação das lajes para de terminação das flechas imediatas Fonte o autor Para cada caso de vinculação o coeficiente α pode ser obtido pe las equações a seguir ou pelos ábacos apresentados na Figura 29 p carga uniformemente distribuída h altura da placa ℓx menor lado k ℓyℓx k sempre 1 E módulo de elasticidade serviço do concreto Ecs 085 Eci 0855600fck NBR6118 828 98 UNIUBE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Valores de alfa Valores de K Coeficientes alfa Alfa A Alfa B Alfa E 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Valores de alfa Valores de K Coeficientes alfa Alfa C Alfa D Alfa G UNIUBE 99 10 15 20 25 30 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Valores de alfa Valores de K Coeficientes alfa Alfa F Alfa H Alfa I Figura 29 Gráficos dos coeficientes alfa Fonte o autor 3152 Flecha diferida no tempo A flecha adicional diferida NBR 6118 item 173212 é decorren te das cargas de longa duração em função da fluência e pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha ime diata pelo fator αf dado pela expressão 1 50 f ξ α ρ 4 3 100 x dif f elast f p f f E h α α α Onde sA b d ρ Como na flexão simples não temos armadura comprimida sA 0 e ρ 0 Desta forma 1 50 1 0 f ξ ξ α ξ ρ 100 UNIUBE ξ é um coeficiente função do tempo que pode ser obtido direta mente na Tabela 7 ou ser calculado pelas expressões seguintes 0 t t ξ ξ ξ 068 0996 032 t t t ξ ξ para t 70 meses 2 ξ t para t 70 meses Tabela 7 Valores do coeficiente ξ em função do tempo NBR 6118 Tabela 171 Tempo t meses 0 05 1 2 3 4 5 10 20 40 70 Coeficiente ξt 0 054 068 084 095 104 112 136 164 189 2 Sendo t é o tempo em meses quando se deseja o valor da flecha diferida t0 é a idade em meses relativa à data de aplicação da carga de longa duração A flecha total é a soma da flecha imediata com a diferida Total elast dif elast f elast f f f f f α 1 Total f elast f f α Exemplo de aplicação determinar as alturas para as lajes abaixo Vamos retomar o exemplo anterior onde estimamos a altura para a laje como h 765 com a expectativa de se obter um h real entre 80 a 85 deste valor UNIUBE 101 Determinar a altura da laje ao lado Tratase de uma laje Tipo 3 aço CA50 e vamos ado tar concreto C20 e para a determinação do peso pró prio a altura mínima h 80 cm P peso próprio revestimento acidental 08 25 10 15 45 kNm2 Cuidado aqui não seguimos a convenção de Marcus ℓx é sempre o menor lado e disposto na horizontal e k é igual a ℓyℓx k 1 sempre Neste caso a convenção aqui adotada para os valores de ℓx e de ℓy por coincidência batem com a convenção de Marcus e portanto k λ 55 157 35 y x l k l Conforme a Figura 28 tratase de uma laje Tipo D 194 2 873 435 D k k α 194 24649 873 157 435 4574 D α Calculamos αD pela equação mas poderíamos têlo obtido pelo gráfico da Figura 29 4 3 100 x elast cs p f E h α cuidado com as unidades trabalhar em kN e metro é melhor 102 UNIUBE Adotandose t 70 meses e o carregamento aplicado a 1 meses t0 1 mes Ou obtemos na Tabela 7 o valor do coeficiente ξ para t0 1 mês 1 068 ξ t 0 t t ξ ξ ξ 2 068 132 ξ Determinação da flecha total Flecha total flecha imediata flecha diferida Flecha limite para a carga total aplicada max 350 14 cm 0014 m 250 250 f UNIUBE 103 Estimamos a altura para esta laje como h 765 com a expectati va de se obter um h real entre 80 a 85 deste valor Observe que 62 cm é 81 de 765 316 A altura útil e a altura É importante que se diferencie o conceito de altura e altura útil A altura h é a espessura total da laje da viga ou de um elemento estrutural qualquer enquanto a altura útil d e a distância do centro de gravidade da armadura até a borda comprida do elemento A Figura 30 exemplifica para o caso das lajes a diferença entre estas duas alturas ou seja h d ycg Onde ycg é a distância do centro de gravidade da armadura até a borda tracionada Figura 30 Altura e altura útil de lajes Fonte o autor h altura da laje d altura útil distância do cg da armadura à borda comprida φ é o diâmetro da armadura longitudinal c cobrimento de concreto proteção da armadura 104 UNIUBE A armadura usada em lajes de edifícios normalmente tem diâme tros de 50 ou 63 mm Excepcionalmente lajes de grandes vãos e carregamentos usase em edificações φ 80 mm O item 64 da NBR 6118 Tabela 61 classifica o risco de deteriora ção da estrutura em função da agressividade do ambiente Este as sunto será visto detalhadamente quando estudarmos as vigas mas por enquanto devemos saber que toda armadura necessita de uma camada de concreto para protegêla da agressividade ambiental e evitar o processo de corrosão dos aços que ocorre com a simples umidade do ar comprometendo a vida útil da estrutura Esta proteção normalmente é feita mediante uma camada de con creto com uma espessura mínima em função do revestimento ou não do elemento e das condições ambientais agressividade do meio ambiente Observase que o cobrimento da armadura é fun damental para a qualidade e durabilidade do concreto armado Uma laje de concreto em um ambiente de baixa agressividade re vestida protegida da unidade com drenos que evitem o acúmulo de água deve ter um cobrimento mínimo de 15 cm Esta mesma laje no litoral em uma indústria mecânica em uma indústria quími ca teria cobrimentos bem maiores Como a armação das lajes é disposta em duas ma lhas ortogonais superpostas devese atentar para o cen tro de massa das armaduras conforme mostrado na Figura 31 onde se mostra que uma das malhas tem um ycg cnom 05 φ e a outra malha um ycg cnom 15 φ Como não se sabe qual das amaduras estará na malha inferior ou na superior considerase ycg referente à malha superior e dessa forma podese adotar para ycg os valores dados a seguir UNIUBE 105 Figura 31 Altura e altura útil de lajes Fonte o autor O posicionamento da armadura dentro da forma para que mesmo durante a concretagem e vibração do concreto as barras perma neçam em suas posições conservando o cobrimento de concreto especificado em projeto é feito por meio do uso de distanciadores que podem ser feitos na obra ou industrializados Os distanciadores bolachas pastilhas cocadas etc feitos na obra con sistem de uma pequena placa de pasta de concreto com a espessura que se pretende dar ao cobrimento de concreto com traço superior ao do elemento a ser concretado com um pedaço de arame recozido trança do chumbado na mesma conforme mostra a Figura 32 Figura 32 Distanciadores de armadura executados na obra Fonte o autor 106 UNIUBE Os distanciadores industrializados normalmente são de plástico de alta resistência apresentando forma e dimensões variadas Como exemplo na Figura 33 são apresentados alguns dos dis tanciadores No Brasil existem vários fabricantes destes distan ciadores podendo ser citados a COPLAS JERUELPLAST e a HOMERPLAST Figura 33 Distanciadores de armadura industrializados Fonte catálogo Homerplast DICAS Na internet conseguese facilmente os sites dessas indústrias onde são disponibilizados catálogos e material técnico sobre o assunto Um distanciador muito comum para armaduras de laje negativas é o caranguejo feito na obra com sobras de ferros 50 mm Veja o detalhe da fixação na Figura 34 uma perna pé virada para frente e a outra para trás O distanciador é amarrado na malha da armadura positiva não encostando nas formas UNIUBE 107 Figura 34 Distanciador de armadura feito na obra para posicionamento da armadura superior Fonte o autor 317 Organização dos cálculos Dispositivos auxiliares de cálculo O projeto de uma estrutura compreendendo a memória de cál culo os desenhos de forma de armação assim como todas as anotações sobre considerações feitas no projeto devem ser guardadas para sempre Vinte trinta anos após a execução de uma obra esta pode ser objeto de uma reforma que implique em alterações no projeto estrutural Diante disto temse a necessi dade de se ter memórias de cálculo de fácil entendimento com todas as informações envolvidas na elaboração do projeto e da forma mais concisa possível A seguir propomos a Tabela 8 como exemplo de uma rotina de cál culo mediante tabelas possibilitando a sistematização do cálculo e uma melhor visualização das informações Esta sistematização é importante para o uso de planilhas eletrônicas 108 UNIUBE Tabela 8 Modelo de tabela para organização dos cálculos Laje Tipo ℓy ℓx λ ψ2 ψ3 d h pp rev alv out ST Acd TT 1 2 425 315 135 2 3 3a 30 3b 30 Fonte o autor Obs Laje 3a 3b indicam faixas de lajes armadas em uma direção pp peso próprio da laje por metro quadrado rev peso próprio do revestimento alv peso próprio da alvenaria quando houver carga de paredes out outras cargas permanentes como carga de enchimen to carga proveniente de base de máquinas etc ST subtotal ou soma das cargas permanentes acd sobrecarga ou carga acidental TT carga total por metro quadrado atuante na laje DICAS Este tipo de tabela pode ser adaptado às conveniências do calculista e ampliado para a determinação dos esforços solicitantes momentos fletores e reações de apoio alturas etc O uso de planilhas de cálculo no EXCEL por exemplo facilita bastante este trabalho UNIUBE 109 318 Dimensionamento e detalhamento da armadura A partir dos momentos fletores compensados as lajes serão di mensionadas à flexão como vigas fictícias de 10 metro de largura e altura h Alguns cuidados a serem tomados na escolha das bito las além daqueles prescritos em norma são utilizar apenas uma bitola para a armação dos momentos fletores positivos e apenas uma bitola para a armação dos momentos fletores negativos que pode ser a mesma utilizada para os positivos ou não Desta forma esforços diferentes implicarão na utilização da mesma bitola com espaçamentos diferentes DICAS Usar a mesma bitola do aço para a armação dos momentos fleto res positivos e outra ou não para todos os momentos negativos é muito importante Estas bitolas são de 50 ou 63 mm e podem induzir a erros quando utilizadas juntas ou seja na fiscalização antes da concretagem uma engenheiroa pode confundilas Para a armadura das lajes usase uma tabela de ferros feita es pecificamente para esse tipo de armação Na Tabela 9 adotado o diâmetro da armadura na coluna correspondente a esse diâmetro buscase a seção de aço maior ou igual à calculada obtendose à esquerda o espaçamento correspondente a esta armadura 110 UNIUBE Tabela 9 Tabela de ferros para lajes espaçamento As cm2 cm φ 50 mm φ 63 mm φ 80 mm φ 100 mm 50 392 624 1006 1570 55 356 567 915 1427 60 327 520 838 1308 65 302 480 774 1208 70 280 446 719 1121 75 261 416 671 1047 80 245 390 629 981 85 231 367 592 924 90 218 347 559 872 95 206 328 529 826 100 196 312 503 785 105 187 297 479 748 110 178 284 457 714 115 170 271 437 683 120 163 260 419 654 125 157 250 402 628 130 151 240 387 604 135 145 231 373 581 140 140 223 359 561 145 135 215 347 541 150 131 208 335 523 155 126 201 325 506 160 123 195 314 491 165 119 189 305 476 170 115 184 296 462 175 112 178 287 449 180 109 173 279 436 185 106 169 272 424 190 103 164 265 413 195 101 160 258 403 200 098 156 252 393 Fonte o autor UNIUBE 111 Trabalhamos com esta tabela da seguinte forma calculamos a ar madura da laje em uma direção Mx por exemplo e determinamos As 18 cm2 Na tabela buscamos uma armadura As maior ou igual a 18 cm2 e iniciamos com o φ 50 mm Na coluna do φ 50 mm encontramos As 187 e na coluna do espaçamento na mesma linha do 187 encontramos s 105 cm Analogamente na coluna do φ 63 mm encontramos As 184 e na coluna do espaçamento na mesma linha do 184 encontramos s 170 cm Veja que para o φ 80 mm o menor As é 252 cm2 para o espaça mento máximo de 20 cm Em princípio parece que seria adotado φ 50 mm Observe que não precisamos consultar a tabela basta sabermos a área dos ferros de 50 63 e 80 mm Pois a tabela é montada da se guinte forma As n Asφ 100s Asφ por exemplo sabendo que A favor da segurança o espaçamento sempre múltiplo de 05 é arredondado para baixo portanto para o φ 50 mm s 105 para o φ 63 mm s 170 cm e para o φ 80 mm s 275 cm 112 UNIUBE IMPORTANTE Observase que o espaçamento máximo entre as barras das arma duras de laje é limitado em 20 cm ou 2 hlaje NBR 6118 3181 Armaduras mínimas Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção assim como controle da fissuração são estabelecidos valores mí nimos para a armadura passiva Tabela 10 Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas Esta tabela também especifica a armadura construtiva que é co locada nas lajes armadas em uma direção Lembrase Nas lajes armadas em uma direção calculamos apenas a armadura corres pondente ao lado menor e para o lado maior seria colocado uma armadura segundaria ou de distribuição Tabela 10 Valores mínimos para armaduras passivas aderentes Armadura de lajes Concreto armado Armaduras negativas ρs ρmin Armaduras positivas lajes armadas em cruz ρs 067ρmin Armadura positiva principal lajes em uma direção ρs ρmin Armadura positiva secundária lajes armadas em uma direção armadura de distribuição Ass 20 da armadura principal Ass 09 cm2m ρs 05 ρmin Fonte NBR 6118 Tabela 191 UNIUBE 113 Onde s s A bw h ρ ρmin é dado na Tabela 38 e s é o espaçamento das barras Os valores de ρmin são apresentados na Tabela 11 Tabela 173 da NBR 6118 Tabela 11 Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas de seção retangular Valores de ρmin AsminAc fck ωmín 20 25 30 35 40 45 50 0035 0150 0150 0173 0201 0230 0259 0288 Fonte NBR 6118 Tabela 173 Valores de ρmin estabelecidos para aço CA50 γc 14 e γs 115 ωmin taxa mecânica mínima de armadura longitudinal para valores diferentes de fck fyk γc e γs min min cd yd f f ρ ω 114 UNIUBE 31811 Disposições gerais de detalhamento NBR 6118 item 20 IMPORTANTE O diâmetro mínimo das barras da armadura de flexão deve ser 50 mm O diâmetro máximo das barras da armadura de flexão deve ser h8 O espaçamento máximo s das barras da armadura principal de flexão na região dos maiores momentos fletores deve ser menor ou igual a 2h ou 20 cm Nas lajes armadas em uma direção a armadura secundária de flexão deve ser maior ou igual a 20 da armadura princi pal mantendose ainda um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm mínimo de três barras por metro Em bordas livres e junto às aberturas devem ser respeitadas as prescrições mínimas conforme disposto na Figura 35 Figura 35 Bordas livres e abertura Fonte NBR 6118 Figura 201 UNIUBE 115 As armaduras positivas devem ser distribuídas de modo a cobrir a superfície de momentos fletores o que é impraticável pois as tabelas geralmente só fornecem valores correspondentes às faixas centrais Em virtude deste problema existem processos simplifica dos que para os casos correntes resultam bastantes eficientes para efetuar esta distribuição A prática tem consagrado uma simplificação onde os comprimen tos das barras que já inclui os comprimentos de ancoragem são dados em função do vão em que será disposta a armadura Nas lajes maciças armadas em uma ou em duas direções toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios não se permitindo o escalonamento desta armadura A armadura deve ser prolonga da no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio Figura 36 Comprimento reto das barras Fonte o autor Recomendase sempre o uso de ganchos São facilmente executa dos e melhoram sensivelmente a ancoragem das barras No caso de bordas admitidas simplesmente apoiadas devese do brar as barras para armar a borda superior das lajes próximas às laterais com a finalidade de limitar a fissuração Recomendase o 116 UNIUBE detalhamento da armadura positiva conforme proposto na Figura 37 observandose que o esquema proposto no detalhe A deve ser usado nas bordas das lajes simplesmente apoiadas Estas barras com o detalhe A podem ser intercaladas com barras com ganchos nas duas extremidades ou seja 50 das barras armando a borda superior das lajes próximas às laterais e 50 apenas com gancho Figura 37 Detalhamento da armadura de lajes bordas apoiadas e engastadas Fonte o autor Para as armaduras negativas em lajes retangulares de edifícios submetidas a cargas uniformemente distribuídas e cargas aciden tais q inferiores às permanentes g as barras da armadura prin cipal sobre os apoios deverão estenderse de acordo com o dia grama triangular de momentos considerado já deslocado de base igual ao valor adiante indicado a Em Lajes atuando em duas direções ortogonais Em uma borda engastada sendo cada uma das outras três bordas livremente apoiada ou engastada 025 do menor vão Nos dois lados de um apoio da laje contínua 025 do maior dos vãos menores das lajes contínuas UNIUBE 117 b Em lajes atuando em uma só direção Em uma borda engastada 025 do vão A prática tem consagrado como simplificação o detalhamento da armadura apresentado na Figura 38 onde o comprimento reto da barra é 34 do intervalo 05 ℓ2 intercalandose as armaduras à esquerda e à direita Observese que assim como na armadura positiva a zona central fica armada com As enquanto as zonas laterais com As2 indicando que o critério é satisfatório Figura 38 Disposição da armadura negativa e comprimento das barras em lajes Fonte o autor Observações Em uma planta de armação sempre que um ferro for idêntico a outro mesma geometria bitola comprimentos etc terão o mesmo número É por este motivo que na Figura 37 os ferros verticais de ambas as lajes recebem a denominação N1 Cada um dos ferros horizontais está recebendo um número diferente uma vez que ou diferem quanto a geometria ou quanto aos seus comprimentos 118 UNIUBE Os ferros são sempre apresentados esquematicamente indi candose a quantidade o número do ferro e o espaçamento a citação do diâmetro é opcional quando os ferros são deta lhados a parte IMPORTANTE Quando se tratar de lajes contínuas com diferentes condições de apoio no lado comum lajes com rigidez muito diferentes a arma dura negativa que vem da laje considerada deve prolongarse na laje vizinha pelo menos até o ponto onde se possa prever que o momento fletor negativo na direção considerada mude o sinal 319 Cisalhamento em lajes As placas lajes têm uma boa resistência ao esforço cortante e as lajes comuns de edifícios salvo situações extraordinárias de car regamento não são armadas ao cisalhamento apenas o concreto resiste a este esforço A NBR 6118 item 94 estabelece que quan do a força cortante de cálculo for menor ou igual à força resistente ao cisalhamento de projeto as lajes maciças ou nervuradas podem prescindir dessa armadura transversal 1 Sd Rd V V A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por 1 1 12 40 015 Rd Rd cp w V k b d τ ρ σ UNIUBE 119 Obs Sd cp c N A σ NSd é a força longitudinal na seção protensão ou carregamento 1 1 12 40 Rd Rd w V k b d τ ρ concreto armado sem forças longitudinais onde τRd 025 fctd 2 3 inf 2 3 07 0703 021 ctk ctm ck ctd ctd ck c c c c f f f f f f γ γ γ γ k 1 quando 50 da armadura inferior não chega até o apoio k 16 d 1 com d em metros para os demais casos 1 1 002 s w A ρ b d fctd é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento As1 é a área da armadura de tração bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d Quando da verificação de elementos sem armadura de cisalha mento a resistência de cálculo VRd2 é dada por 120 UNIUBE Considerações finais Ao término deste capítulo já temos condições de determinar os es forços de momento fletor compensados necessários para o dimen sionamento das lajes de concreto armado e as dimensões a altura das lajes para que elas não tenham flechas excessivas Encerramos o ciclo de determinação dos esforços que iniciamos com os elementos de barras as vigas treliças pórticos grelhas etc e aqui concluímos com os elementos de placas neste caso as lajes Isto significa que estamos prontos para dimensionarmos estes ele mentos estruturais de concreto armado de aço de madeira etc assim como nosso curso é de concreto armado no próximo capítu lo vamos aprender a equacionar os elementos de concreto armado João Dirceu Nogueira Carvalho Introdução Vigas de concreto armado equacionamento detalhamento da seção Capítulo 4 Em Materiais de Construção Civil estudamos os materiais que compõem o concreto armado o concreto e o aço Já vimos que entre as desvantagens do concreto está a sua baixa resistência aos esforços de tração que é inferior a 110 de sua resistência à compressão O cálculo de um elemento de concreto armado seja uma viga uma laje um pórtico etc consiste em determinar seus esforços e a partir do diagrama de momento fl etor armar colocar ferros nas regiões tracionadas Veja os exemplos apresentados na Figura 39 Figura 39 Posicionamento da armadu ra de tração em uma viga bi apoiada Fonte o autor Figura 40 Definição das regiões zonas de armação Fonte o autor Esta viga tem duas zonas de armação as regiões A e B Seu dimensionamento consistirá no cálculo das seções mais solicitadas de cada uma destas regiões a seção SA a mais solicitada da região A e a seção SB a mais solicitada da região B O dimensionamento da seção SA é extrapola do para toda a região A e o dimensionamento da seção SB é extrapolado para toda a região B IMPORTANTE O dimensionamento do concreto armado consiste por tanto em dimensionar uma seção de concreto que re sista às tensões de compressão uma seção de aço que resista às tensões de tração e que ambos concreto e aço trabalhem solidariamente Isto se aplica a qualquer elemento em concreto armado seja uma viga um pórtico uma grelha uma laje etc mas isso é um assunto para o próximo capítulo Neste capítulo abordaremos o equacionamento do concreto armado ou seja o dimensionamento das seções de concreto armado Objetivos Estabelecer as hipóteses de cálculo para o modelo teórico do concreto armado Definir o ábaco de domínios Equacionar a flexão normal simples em seções retangulares Durabilidade das estruturas de concreto Detalhar a armadura na seção Equacionar a armadura dupla Calcular mediante tabelas Equacionar as seções T submetidas à flexão simples Esquema Cálculo no Estado Limite Último Hipóteses de cálculo NBR 6118 2003 item 1722 Distribuições possíveis de deformação na seção Flexão normal simples em seções retangulares Equacionamento do Problema para armadura simples Rsc 0 Equações de equilíbrio Cálculo de dimensionamento Domínio 2 Domínio 3 Domínio 4 Exemplo geral Durabilidade das estruturas de concreto Agressividade do ambiente Detalhamento da armadura na seção A altura e a altura útil Armadura dupla Armadura dupla equacionamento Valores de d Valores de s σ Cálculo mediante tabelas Seção retangular com armadura simples Seção retangular com armadura dupla Seções T submetidas à flexão simples Largura colaborante de vigas de seção T Cálculo de dimensionamento Caso 1 Seção T calculada como seção retangular Caso 2 Seção T calculada como seção T Vãos efetivos e larguras mínimas de vigas 124 UNIUBE Cálculo no Estado Limite Último 41 Começamos este capítulo com o título Cálculo no Estado Limite Último e isto significa que vamos estudar como dimensionar nos sos elementos estruturais para que não atinjam a ruptura Vamos trabalhar com as Solicitações Normais ou seja aquelas que originam tensões normais sobre as seções retas e são cons tituídas por um Momento Fletor e uma Força Normal referidos ao centro de gravidade da seção de concreto As seções de peças de concreto armado submetidas a solicitações normais podem alcançar o estado limite último por ruptura da zona comprimida do concreto ou por excesso de deformação plástica de armaduraer um cálculo exato perfeitamente exato significa fazer matemática porém teríamos procedimentos complexos extensos e demorados que inviabilizariam os procedimentos normais do en genheiro então vamos estabelecer simplificações que viabilizem nossos cálculos fornecendonos resultados confiáveis Isto é o que chamamos modelagem matemática e é o que faremos agora ao estabelecer nossas hipóteses de cálculo 411 Hipóteses de cálculo NBR 6118 2003 item 1722 As hipóteses que seguem são válidas para o cálculo no estado limite último nos casos de flexão simples ou composta normal ou oblíqua e de compressão ou tração uniforme As seções transversais planas antes do carregamento per manecem planas até a ruptura distribuição linear das de formações na seção UNIUBE 125 A deformação em cada barra é a mesma do concreto adjacen te perfeita aderência entre o aço e o concreto não fissurado A resistência do concreto à tração é desprezada O encurtamento de ruptura do concreto nas seções não intei ramente comprimidas é de 35 domínios 3 4 e 4a Nas seções inteiramente comprimidas o encurta mento da borda mais comprimida na ocasião de ruptura varia de 35 a 2 mantendose inalterada e igual a 2 a deformação a uma distância igual a 37 da altura total da seção contada a partir da bor da mais comprimida domínio 5 NBR 6118 O alongamento máximo permitido ao longo de armadura de tração domínios 1 e 2 é de 10 a fim de prevenir deforma ção excessiva A distribuição das tensões do concreto na seção é feita de acordo com o diagrama retangular parabólico parábola de 2º grau É permitida a substituição deste diagrama pelo re tângulo de altura y 08x Figura 41 com a tensão 085 fcd quando a largura da seção medida paralelamente à linha neu tra não diminuir a partir desta para a borda mais comprimida ou 080 fcd em caso contrário Figura 42 126 UNIUBE Figura 41 Diagramas de tensões RetangularParabólico e Retangular Fonte o autor Figura 42 Critério para adoção dos valores de σc para o bloco de tensões Fonte o autor A tensão na armadura é a correspondente à deformação de terminada de acordo com as hipóteses anteriores e obtida nos diagramas tensãodeformação do aço Figura 43 UNIUBE 127 Figura 43 Diagrama tensõesdeformações dos aços para concreto armado Fonte o autor 42 Distribuições possíveis de deformação na seção Na Figura 44 apresentamos o Ábaco de Domínios que mostra a distribuição das deformações na seção transversal Ambas as bor das podem ser tracionadas ou comprimidas mas vamos conside rar a borda superior como preferencialmente comprimida que pode estar tracionada e a inferior como uma borda preferencialmente tracionada que pode estar comprimida Figura 44 Diagrama de Domínios de deformações Fonte NBR 6118 Figura 171 128 UNIUBE Retas a e b Tração uniforme reta a e compressão uni forme reta b Domínio 1 Tração não uniforme sem tensões de compressão tração excêntrica ou flexotração Domínio 2 Flexão simples ou composta sem ruptura à com pressão do concreto εc 35 e com o máximo alonga mento permitido na armadura Domínio 3 Flexão simples ou composta com simultaneidade de escoamento do aço tracionado com tensão de ruptura do concreto seção normalmente armada Domínio 4 Flexão simples ou composta sendo que o concre to atinge a tensão de ruptura antes que o aço entre em esco amento εsd εyd seção superarmada Domínio 4a Flexão composta com armaduras comprimidas Domínio 5 Compressão não uniforme sem tração 43 Flexão normal simples em seções retangulares A flexão normal simples ocorre nos domínios 2 3 e 4 ou seja nos domínios onde a linha neutra corta a seção e consequentemente temos tração em uma borda e compressão na outra Na Figura 45a uma viga bi apoiada AB de vão ℓ é submetida a uma carga uniformemente distribuída p Cortandose a viga em uma seção C distante x do apoio A o equilíbrio do segmento AC UNIUBE 129 é dado por ΣFx 0 ΣFy 0 e ΣMi 0 mas como neste caso não atuam forças horizontais RHA 0 no segmento de viga AC atuam apenas a parcela da carga uniformemente distribuída p no trecho x a reação vertical no apoio A e os esforços internos solicitantes V e Mf atuantes na seção Figura 45 Solicitações internas em uma seção genérica da viga Fonte o autor Admitindose a consideração individualizada dos efeitos da força cortante e do momento fletor para o dimensionamento à flexão sim ples as Figuras 45b e 45c mostram as forças atuantes em cada caso Portanto para o equacionamento do concreto a flexão será considerado somente o momento fletor como esforço solicitante in terno Figura 45b e para o equacionamento do cisalhamento apenas o esforço cortante Figura 45c Os esforços internos resistentes e as deformações na seção são apresentados na Figura 46 Em a mostrase uma elevação longi tudinal terminando na seção C em b a seção transversal em c o diagrama de deformações e em d o diagrama de tensões 130 UNIUBE Figura 46 Deformações e esforços internos resistentes na seção Fonte o autor Na Figura 46 Rsc ou Rs resultante do aço comprimido Rcc resultante do concreto comprimido Rst resultante do aço tracionado x profundidade da linha neutra y altura do bloco de tensões σcd 085 fcd e εc 35 Observase que εs depende do domínio em que a seção trabalha Como já foi visto o domínio em que uma seção trabalha é dado pelas deformações nas bordas superior ou inferior da seção de formação do aço quando a borda for tracionada Observe no dia grama de deformações que a deformação das barras comprimidas εs é inferior à da borda superior εc 35 porém esta defor mação no aço não indica domínio UNIUBE 131 A Figura 46 mostra ainda uma seção com armaduras em baixo e em cima Toda seção necessita de um número mínimo de barras longitudinais para fixação dos estribos no caso da seção retangu lar são necessárias quatro barras uma em cada canto do estribo As barras calculadas para a flexão podem assumir também essa função construtiva e neste caso na armadura inferior As com 5 barras as duas barras dos cantos inferiores serão usadas para amarração dos estribos e na parte superior também serão neces sárias duas barras para essa finalidade construtiva porém pode rão ser consideradas no cálculo ou não Se forem consideradas a seção terá duas armaduras ou seja armadura dupla uma de tração As e outra de compressão As Se não forem conside radas no cálculo essas barras comprimidas terão apenas função construtiva porta estribos e a seção terá apenas a armadura de tração ou seja armadura simples Dessa forma a Figura 46 será usada para o equacionamento da se ção com armadura simples e dupla No primeiro caso simplesmente não se considerará As no equacionamento Estas barras serão acres centadas como porta estribos ou seja armaduras construtivas 44 Equacionamento do Problema para armadura simples Rsc 0 441 Equações de equilíbrio Conforme o diagrama de esforços apresentado na Figura 46 d a ausência de forças normais externas permite escrever 0 0 x cc st F R R Σ Equação 1 132 UNIUBE 0 2 2 f f cc st y y Mf M R d R d γ Σ Equação 2 Sendo cc w c R b y σ Resultante das tensões de compressão no concreto st s s R A σ Resultante das tensões de tração na armadura Mf Momento fletor característico que atua na seção em estudo Temse então 085 ck w c s s w s s c f b y A b y A σ σ σ γ Equação 3 085 2 2 ck f f w c f f w c f y y M b y d M b y d γ σ γ γ Equação 4 2 f f s s y M A d γ σ Equação 5 UNIUBE 133 Observações a As equações 4 e 5 não são independentes entre si pois tratase de uma combinação das anteriores Veja que substi tuindo 3 em 4 obtémse a equação 5 b O coeficiente 085 que aparece minorando a tensão fcd tem por finalidade considerar o efeito da redução da resistência do concreto quando solici tado por cargas de longa duração efeito Rush a redução da resistência do concreto em consequência da evaporação mais rápida de água que aflora à parte superior do elemento estrutural 442 Equações de compatibilidade Do diagrama de deformações apresentado na Figura 46 c temse c s x d x ε ε Equação 6 Estas equações podem ser arrumadas para facilitar sua utilização nos cálculos Ao invés de trabalharmos com valores para a profun didade da linha neutra podemos colocála em função da altura útil introduzindo a variável βx xd Muitos autores trabalham com o bloco de tensões fazendo βy yd É muito comum também a subs tituição de β por k usando kx ky etc Podemos então reescrever as equações como 134 UNIUBE 085 08 d 068 w cd x w cd x s s b f b d f A β β σ Equação 7 2 068 1 04 f w cd x x Mf b d f γ β β Equação 8 04 1 04 f s s x s s x Mf A d d A d γ σ β σ β Equação 9 E a equação 6 pode ser rearranjada para a determinação de x εc e de εs c s c c s s c c s x d x x d x d x d x x ε ε ε ε ε ε ε ε ε Equação 10 Essas equações de compatibilidade de deformações podem ser colocadas em função de βx 1 1 1 c s c x x x c s s c x x c s x x d d ε ε ε β β β ε ε ε ε β β ε ε β β Equação 11 As equações 7 a 11 permitem resolver problemas de dimensio namento e verificação de seções nas quais a armadura As é dis posta de tal maneira que a resultante de tensão possa ser aplicada no centro de gravidade das barras UNIUBE 135 IMPORTANTE A NBR 6118 permite que os esforços nas armaduras possam ser considerados concentrados em seu centro de gravidade de mas sa se a distância deste centro ao ponto da seção da armadura mais afastado da linha neutra medida normalmente a esta for me nor que 10 de h A Figura 47 exemplifica a concentração dos esforços no centro de gravidade da armadura considerando a armadura composta por 5 barras sendo 3 φ 125 mm na primeira camada e 2 φ 100 mm na segunda Essas cinco barras poderiam ser substituídas por uma barra fictícia de seção igual a 535 cm2 com centro distando 156 cm da linha da base da armadura Para as vigas usuais de edifícios não há restrições quanto ao uso das armaduras dispostas em duas camadas porém para a dispo sição da armadura em três ou mais camadas há a necessidade de maiores alturas Figura 47 Concentração das barras da armadura em seu centro de massa Fonte o autor 136 UNIUBE 45 Cálculo de dimensionamento As variáveis envolvidas no dimensionamento equações 7 8 e 10 são bw d fcd βx As σs γf Mf x d εc e εs Como se vê são muitas variáveis para poucas equações mas algumas são adotadas e ou tras são dados do problema veja bw Adotada em função da espessura da pare de bw 14 cm excepcionalmente 12 cm Normalmente o valor de bw é a espessura da parede me nos 30 cm de reboco observandose as especificações do projeto arquitetônico que poderá especificar vigas de concreto aparente aparente de um lado revestida do ou tro etc As larguras normais de vigas são 14 cm para a parede de 15 15 ou 17 cm para a parede de 20 etc d Sua determinação é o objetivo do dimensionamen to portanto uma das incógnitas principais fcd Especificada pelo contratante ou adota do pelo calculista fck 20 MPa x βx A posição da linha neutra é uma das princi pais incógnitas pois indica o domínio As Sua determinação é o objetivo do dimensionamen to portanto uma das incógnitas principais σs A tensão do aço depende do aço adotado e do domínio γf γs γc Coeficientes de majoração e de seguran ça são adotados valores normalizados Mf Dado do problema é dimensiona do para resistir a uma solicitação εc εs Dependem respectivamente do concre to e do domínio e do aço e do domínio Em seções retangulares de concreto armado nos problemas de di mensionamento as incógnitas geralmente são d As eou As Os casos mais frequentes são UNIUBE 137 Dados fck fyk γc γs γf bw e Mf Pedese a altura útil da seção d e a seção transversal da armadura As Dados fck fyk γc γs γf bw d e Mf Pedese As arma dura simples ou As e As armadura dupla Além dos problemas de dimensionamento há os de verificação Nesses é dada uma seção e sua armadura bw h As e pedese o momento fletor Esses problemas de verificação são muito comuns em recálculos de estruturas para novas solicitações ou reformas ou adaptações em edifícios ou seja a estrutura já existe e pre tendese determinar sua capacidade de carga DICAS Unidades vamos trabalhar com unidades de comprimento e seção bw d As e de força σc σs Mf As unidades de comprimento são determi nantes pois também estão nas tensões e nos momentos e em função dos valores usuais em concreto armado adotase o cm e para a força o kN Desta forma trabalhase com cm cm2 kNcm2 kNcm Obs 1 MPa 1 Nmm2 01 kNcm2 Vamos analisar cada um dos casos nos domínios 2 3 e 4 sepa radamente e delinear suas principais características As variáveis x e y profundidades da linha neutra e bloco de tensões respec tivamente representadas nas equações por βx são diretamente ligadas ao domínio em que a seção irá trabalhar 138 UNIUBE 451 Domínio 2 10 0 35 s c cte ε ε 23 23 0 0 s yd x x f x x σ β β O valor de x23 é determinado por semelhança de triângulos 23 23 23 23 23 23 23 35 10 0259 0259 c s x x x d x d x x d x d ε ε β 452 Domínio 3 10 yd s ε ε 35 c ε cte s σ fyd 23 34 x x x UNIUBE 139 O valor de x34 é determinado por semelhança de triângulos Enquanto no domínio 2 todos os aços CA 25 50 e 60 têm εs cte 10 e portanto o mesmo valor para x23 o valor de x34 depende de εyd que é diferente para cada aço e dessa forma o valor de x34 depende do aço utilizado A Tabela 12 apresenta um resumo desses valores 34 34 34 34 34 yd c s c c c yd x yd yd c yd s c c s s f x d x d f f x d x E E E ε ε ε ε ε ε β ε ε ε ε Tabela 12 Valores de εyd β23 e β34 Aço fyk kNcm2 fyd kNcm2 εyd βx23 βx34 CA 25 25 2174 10352 02593 07717 CA 50 50 4348 20704 02593 06283 CA 60 60 5217 24845 02593 05848 Fonte o autor 453 Domínio 4 0 s yd ε ε 35 εc s s Es σ ε x34 x d 140 UNIUBE Os valores de x34 para os diferentes aços foram determinados ante riormente na análise do domínio 3 O problema do dimensionamen to no domínio 4 são as tensões e deformações no aço enquanto nos domínio 2 e 3 os aços trabalham com σs fyd no domínio 4 trabalhase com fyd σs 0 ou seja o material mais nobre e mais caro do concreto armado o aço passa a ser utilizado com tensões menores e portanto em maiores quantidades Na Figura 48 apre sentase a caracterização dos domínios em um diagrama tensão deformação de aço Figura 48 Diagramas tensãodeformação dos aços Domínios de deformações Fonte o autor DICAS Não se dimensiona uma seção no domínio 4 Como será visto adiante quando houver a ocorrência de βx βx34 adotarseá como solução a alteração das dimensões da seção ou a utilização da armadura dupla UNIUBE 141 46 Exemplo geral Calcular a altura útil d e a área de aço As para seção retangular Dados Concreto C25 e Aço CA50 adotados pelo calculista bw 15 cm em função das paredes e Mf 100 kNm solicitação máxima Equação 7 068 w cd x s s b d f A β σ Equação 8 2 068 1 04 f f w cd x x M b d f γ β β Equação 10 c c x c s c s x d ε ε β ε ε ε ε Incógnitas na equação 7 d βx As e σs na equação 8 d e βx na equação 10 εc ou εs A princípio têmse seis incógnitas para três equações mas 142 UNIUBE Em todos os domínios têmse uma incógnita a mais que o número de equações e a solução consiste em se adotar uma das incógnitas para então resolver o sistema de três equações com três incógnitas no domínio 4 são quatro a quatro Como se vê o problema admite infinitas soluções em função da incógnita adotada e para enten dermos bem os domínios e vermos a amplitude das respostas pos síveis vamos resolver adotando valores de βx no início do domínio 2 no limite entre os domínios 2 e 3 no limite entre os domínios 3 e 4 e no final do domínio 4 Com essas quatro soluções para o mes mo problema teremos uma noção bastante ilustrativa do dimensio namento do concreto armado em cada um desses domínios Solução 01 Considerando βx 001 Concreto C25 e Aço CA50 b 15 cm Mf 100 kNm 23 35 35 0259 35 10 135 c x c s ε β ε ε βx 001 βx23 início do domínio 2 UNIUBE 143 Equação 8 2 068 1 04 f f w cd x x M b d f γ β β 14000 2781 068 1 04 0182 0996 f f w cd x x M d cm b f γ β β Equação 7 068 w cd x s s b d f A β σ Domínios 2 e 3 yk s yd s f f σ γ σs 4348 kNcm2 2 068 0681527811786001 5066 116 4348 4348 w cd x s s b d f A cm β σ Absurdo não é mesmo Observe que a altura útil poderia ser bem maior pois βx tendendo a zero a altura útil tende para infinito Solução 02 Considerando βx βx23 Concreto C25 e Aço CA50 b 15 cm Mf 100 kNm 23 35 35 0259 35 10 135 c x c s ε β ε ε Equação 8 2 068 1 04 f f w cd x x M b d f γ β β 1410000 575 068 1 04 0681517860259 1 040259 f f w cd x x M d cm b f γ β β 144 UNIUBE Equação 7 068 w cd x s s b d f A β σ 2 068 0681557517860259 624 4348 w cd x s s b d f A cm β σ Solução 03 Considerando βx βx34 Concreto C25 e Aço CA50 b 15 cm Mf 100 kNm 34 35 00035 00035 0628 50 115 00035 000207 00035 35 21000 c x yd c s s f E ε β ε ε Equação 8 2 068 1 04 f f w cd x x M b d f γ β β 1410000 4043 068 1 04 0681517860628 1 040628 f f w cd x x M d cm b f γ β β Equação 7 068 w cd x s s b d f A β σ 2 068 06815404317860628 1064 4348 w cd x s s b d f A cm β σ Solução 04 Considerando βx 08 Concreto C25 e Aço CA50 b 15 cm Mf 100 kNm 34 0628 1 x x β β domínio 4 βx 08 meio do domínio 4 UNIUBE 145 Equação 8 2 068 1 04 f f w cd x x M b d f γ β β 1410000 3759 068 1 04 06815178608 1 0408 f f w cd x x M d cm b f γ β β Observe que ao contrário do exemplo anterior não podemos deter minar a armadura por meio da equação 7 pois no domínio 4 o valor de σs é variável e precisamos determinálo primeiro No domínio 4 0 s fyd σ 1 351 08 0875 08 x s c c x d x mm m x β ε ε ε β Lei de Hook s s s E σ ε 21000 x 0000875 18375 s σ kNcm2 E agora sim podemos determinar a armadura Equação 7 2 068 068153759178608 2981 18375 w cd x s s b d f A cm β σ 146 UNIUBE Solução 05 Considerando βx 098 Concreto C25 e Aço CA50 b 15 cm Mf 100 kNm 34 0628 1 x x β β domínio 4 βx 098 final do domínio 4 Equação 8 2 068 1 04 f f w cd x x M b d f γ β β 1410000 3591 cm 068 1 04 068151786098 1 04098 f f w cd x x M d b f γ β β No domínio 4 0 s fyd σ 1 351 098 007 mmm 098 x s c c x d x x β ε ε ε β s s s E σ ε 21000007 1000 147 σs kNcm2 Equação 7 068 w cd x s s b d f A β σ 2 0681535911786098 43615 147 sA cm Absurdo não é mesmo As 43615 cm2 e essa armadura poderia ser bem maior pois βx tendendo a 1 a seção de aço tende para infinito UNIUBE 147 IMPORTANTE Observe que na quarta e quinta solução ao contrário das três ante riores não se usou σs fyd Como se vê na Figura 49 no domínio 2 a deformação do aço é εs cte 10 extremidade do patamar e no domínio 3 a deformação varia entre εyd e 10 todo o pata mar e portanto em ambos os casos σs cte fyd No domínio 4 a deformação varia entre 0 e εyd e nessa região a tensão do aço é variável 0 σs fyd mas como a variação é linear a tensão σs pode ser relacionada à deformação mediante a Lei de Hooke σs Es εs A Figura 49 mostra graficamente a solução desse problema para βx variando de 01 a 092 aproximadamente Como se pode ver o problema não tem uma solução mas inúmeras soluções Algumas soluções são muito boas outras boas e muitas ruins ou péssimas 148 UNIUBE Figura 49 Altura útil e armadura em função de βx nos domínios 2 3 e 4 Fonte o autor Vamos analisar o comportamento da altura útil d e da seção de aço As obtidos nesses exemplos A Figura 49 mostra as caracte rísticas de cada domínio com bastante clareza O domínio 2 começa com alturas extremamente grandes ab surdas e seções de aço muito pequenas por exemplo para valores de βx próximos a zero a altura útil tende para o infinito e a armadura para zero para βx 001 obtevese d 2781 cm e As 116 cm2 A menor altura útil obtida no domínio 2 foi na interface com o domínio 3 com βx βx23 0259 na qual obtivemos d 575 e As 624 cm2 solução 02 ou seja nes se exemplo em particular as alturas úteis no domínio 2 variam UNIUBE 149 de 400500 a 575 cm e as seções de aço de aproximadamen te 10 a 624 cm2 Em síntese a altura útil sofreu uma redução superior a 85 e a armadura um aumento superior a 600 Assim o domínio 2 tem como característica seções de grande al tura e pouco aço e as seções dimensionadas nesse domínio são conhecidas como seções subarmadas Essa grande seção de con creto é mal aproveitada 0 εc 35 e a reduzida seção de aço trabalha no limite εs cte 10 σs cte fyd Nesse domínio a ruptura ocorre por escoamento do aço colapso por meio de de formações excessivas da armadura e portanto antes do colapso há a ocorrência de fissuras trincas etc O domínio 3 começa com os resultados da segunda solução e termina com os da terceira ou seja a altura útil é reduzida de 575 para 4043 cm e a armadura é aumentada de 624 para 1064 cm2 Veja que a altura útil foi reduzida em 1707 cm 297 e a armadura foi aumentada em 44 cm2 705 Como as reduções de altura foram da ordem de 30 e o aumento da seção de aço da ordem de 70 à primeira vista pode pare cer antieconômico pois colocase muito mais aço para reduzir um pouco a altura Mas não se pode esquecer que alturas grandes além de problemas relativos ao pé direito esquadrias de portas e janelas implicam em maior área lateral de formas e o custo das formas é alto daí a busca pelas menores alturas Ressaltamos que no domínio 3 obtêmse seções mais coerentes para o concreto e para o aço pois nesse domínio o concreto traba lha com deformações de encurtamento máximas εc cte 35 e o aço com deformações de alongamento no patamar e conse quentemente com tensões máximas εyd εs 10 σs cte fyd As seções neste domínio são denominadas seções normalmente 150 UNIUBE armadas O concreto e o aço desenvolvem ao máximo suas capa cidades resistentes constituindose portanto o melhor dimensio namento tanto do ponto de vista econômico como do funcional O domínio 4 começa com os resultados da solução 03 para βx34 0628 obtevese d 4043 cm e As 1064 cm2 e termi na com resultados similares aos da solução 05 para βx 098 obtevese d 3591 cm e As 43615 cm2 ou seja a altura útil é reduzida em 452 cm 1118 e a armadura é aumenta da 713 cm2 superior a 4000 À medida que βx tende para 1 temse uma pequena redução da altura útil e a seção de aço tende para o infinito trabalhando com menos de 35 de sua capacidade mas vamos deixar para lá afinal o valor da seção de aço encontrado é tão absurdo que não há condições de colocar esta armadura na seção de concreto O domínio 4 caracterizase pelas seções de concreto com as me nores alturas e menor altura significa menores áreas de formas área lateral Essa é uma característica importante pois as formas têm um custo significativo no custo do metro cúbico de concreto armado Entretanto o aumento exponencial da seção de aço e o mau aproveitamento dessa armadura a redução da tensão do aço que se acentua à medida que se aprofunda no domínio 4 tornam proibitivo o dimensionamento neste domínio As seções dimensio nadas no domínio 4 são conhecidas como seções superarmadas nas quais grandes seções de aço trabalham com tensões reduzi das 0 εs εyd 0 σs fyd Além dos problemas relativos à armadura o dimensionamento no domínio 4 apresenta também problemas relativos ao concreto Como foi visto é nesse domínio que se obtém as menores alturas e os maiores valores de βx βx34 βx 1 ou seja as menores UNIUBE 151 seções transversais menores alturas úteis com as maiores se ções de concreto comprimido maiores valores de βx e pior com deformações de encurtamento máximas εc cte 35 Em síntese as seções no domínio 4 entram em colapso mediante o esmagamento do concreto o que é muito ruim pois é uma ruptura sem avisos fissuras trincas etc Veja que os valores obtidos na solução 4 com βx 08 ou seja na região média do domínio 4 d 376 cm e As 2981 cm2 compa rados aos obtidos com βx34 0628 mostram uma pequena redução da altura que em alguns casos pode ser interessante ou até mes mo necessária A seção de aço triplicou 1064 para 2981 cm2 ou seja um aumento considerável mas nada absurdo como os 436 cm2 obtidos para βx 098 IMPORTANTE Concluindo essa pequena discussão estabeleçamos o seguinte o aumento significativo da seção de aço e a ruptura por esmagamento do concreto inviabilizam o dimensionamento no domínio 4 portanto não se dimensiona no domínio 4 Mas e aquela pequena redução de 5 a 10 na altura útil que o domínio 4 nos propicia Como será visto adiante isso será possível por meio da armadura dupla IMPORTANTE Domínio 2 SUBarmadas pouco aço MUIIITO CONCRETO Domínio 3 NORMALMENTE armadas aço e concreto normais Domínio 4 SUPERarmadas MUIIITO AÇO e pouco concreto 152 UNIUBE A Figura 50 apresenta as seções transversais com os resultados dos cálculos efetuados As soluções 01 e 05 feitas com objetivos meramente didáticos foram descartadas por apresentarem resulta dos absurdos e para representar um dimensionamento dentro do domínio 2 foi acrescentada uma solução com βx 005 A seção de aço é representada por um círculo de área equivalente Essa figura explicita com bastante clareza as equações de equilíbrio no dimensionamento do concreto e o dimensionamento em cada do mínio O domínio dois por exemplo usa pouco a resultante das ten sões e abusa do braço de alavanca para o momento reativo Analogamente no domínio 4 ocorre o inverso Nesse domínio têmse as maiores profundidades da linha neutra x34 x d e consequentemente os blocos de tensões de maior altura y 08 x e as maiores resultantes do concreto comprimido im plicando em maiores resultantes do aço tracionado Conforme a equação 8 f f cc st M R z R z γ como Rcc Rst são maiores o braço z dy2 sendo inversamente proporcional é pequeno o que explica as menores alturas no domínio 4 UNIUBE 153 Figura 50 Representação das seções transver sais calculadas nos domínios 2 3 e 4 Fonte o autor 47 Durabilidade das estruturas de concreto Antes de prosseguirmos no equacionamento do concreto armado precisamos ver melhor essa questão da durabilidade do concreto armado Esse conceito de durabilidade foi incluído na NBR 6118 2003 pois até então a norma de concreto tinha como caracterís tica o estado limite último ou seja uma série de regulamentações para que os elementos de concreto armado não entrassem em 154 UNIUBE colapso não chegassem à ruptura A partir de 2003 esta norma adotou a premissa de que a estrutura de concreto além de não atingir o estado limite último seja durável ou seja ao longo de sua vida útil conserve suas características de segurança estabilidade e aptidão à utilização para a qual foi projetada Observase que o conceito de vida útil implica na utilização ade quada e em manutenções periódicas que devem ser prescritos pelo projetista e pelo construtor manual de utilização conforme item 254 da NBR 6118 2003 471 Agressividade do ambiente A exposição da estrutura à ação do meio ambiente está sujeita à agressividade ambiental por meio de ações físicas e químicas por exemplo regiões industriais regiões próximas ao litoral etc A Tabela 13 apresenta a classificação da agressividade ambiental Tabela 13 Classes de agressividade ambiental Classe de agressivida de ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterio ração da estrutura I Fraca Rural Insignificante Submersa II Moderada Urbana1 2 Pequeno III Forte Marinha Grande Industrial IV Muito forte Industrial 13 Elevado Respingos de maré Fonte NBR 6118 2003 Tabela 61 UNIUBE 155 No desenvolvimento do projeto devem ser adotados alguns crité rios visando a durabilidade da estrutura por exemplo devemse tomar os cuidados necessários para evitar o acú mulo de águas de chuva ou de águas de limpeza e lavagem sobre as superfícies das estruturas de concreto assim como a proteção das juntas de movimento ou de dilatação os topos de platibandas paredes beirais etc devese também evitar formas arquitetônicas e estruturais que possam reduzir a durabilidade da estrutura e prever aces sos para inspeção nas partes da estrutura que necessitem manutenção tais como aparelhos de apoio caixões inser tos impermeabilizações e outros A Qualidade do concreto de cobrimento A durabilidade das estruturas é altamente dependente das carac terísticas do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura A relação águacimento tem grande influ ência na resistência à compressão e na durabilidade do concreto A Tabela 14 fornece os valores máximos da relação águacimento para as diferentes classes de agressividade 156 UNIUBE Tabela 14 Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto Concreto Armado Classe de agressividade Tabela 13 I II III IV Relação águacimento em massa 065 060 055 045 Classe de concreto NBR 8953 C20 C25 C30 C40 Fonte NBR 6118 2003 Tabela 71 B Cobrimento proteção da armadura A proteção da armadura visa principalmente evitar o processo de cor rosão dos aços que ocorre com a simples umidade do ar compro metendo a vida útil da estrutura Esta proteção se aplica a qualquer barra da armadura inclusive as de distribuição de montagem e estri bos e normalmente é feita com uma camada de concreto com uma espessura mínima em função da classe de agressividade ambiental A Tabela 15 fornece os cobrimentos nominais para estruturas em con creto armado em função da agressividade ambiental cobrimento nominal cobrimento mínimo tolerância de execução cnom cmin c Nas obras correntes o valor de c tolerância de execução deve ser maior ou igual a 10 mm permitindose a redução para 5 mm quando ficar explícito nos desenhos de projeto a obrigatoriedade de controles de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medi das durante a execução exigências de controle rigoroso UNIUBE 157 Tabela 15 Cobrimentos nominais c 10mm referentes à classe de agressi vidade ambiental Componente ou elemento de con creto armado Classe de agressividade ambiental Tabela 13 I II III IV Cobrimento nominal mm Laje 20 25 35 45 VigaPilar 25 30 40 50 Fonte NBR 6118 2003 Tabela 72 O cobrimento nominal mínimo para qualquer barra da armadura deve ser a cnom φbarra b cnom φfeixe φn φn c cnom 05 φbainha d dmáx 12 cnom Nas lajes e vigas revestidas com argamassa de contrapiso com revestimentos finais de cerâmica carpete e madeira as exigências da Tabela 15 para cobrimentos da face superior de lajes e vigas podem ser substituídas pelos cobrimentos nominais dados em a b c e d respeitado um valor mínimo 15 mm Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios estações de tratamento de água e esgoto condutos de esgoto canaletas de 158 UNIUBE efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm Em condições de exposição adversas devem ser tomadas medidas especiais de proteção e conservação do tipo aplicação de reves timentos hidrofugantes e pinturas impermeabilizantes sobre as su perfícies do concreto revestimentos de argamassas de cerâmicas ou outros sobre a superfície do concreto galvanização da armadu ra proteção catódica da armadura e outros Para que o posicionamento da armadura dentro da forma não seja alterado mesmo durante a concretagem e vibração do concreto conservando o cobrimento de concreto especificado em projeto é feito usando distanciadores vistos anteriormente no Capítulo III 48 Detalhamento da armadura na seção Já vimos que a NBR 7480 1996 especifica as barras e fios de aço destinados a armaduras de concreto armado Em conformidade com essa norma a Tabela 16 apresenta os diâmetros suas massas e seções das barras Determinada a seção de aço As devese transformar essa arma dura em um número de barras com seção maior ou igual à seção de aço calculada e distribuílas na seção Essas barras podem ser isoladas normalmente usadas ou agrupadas em duas três ou quatro barras formando um feixe Quando agrupadas em feixes elas são consideradas como uma barra isolada com diâmetro igual ao do círculo de área UNIUBE 159 equivalente sendo dado então o mesmo tratamento das barras A Tabela 17 apresenta as áreas e diâmetros equivalentes dos feixes permitidos por norma Por exemplo consideremos um feixe formado por três barras de 125 mm Tabela 16 Tabela de ferros φ massa Área em função do número de barras mm kgm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 1154 020 039 059 078 098 118 137 157 176 196 30 55 80 105 130 155 180 205 230 63 0245 031 062 094 125 156 187 218 25 281 312 33 59 85 112 138 164 190 217 243 8 0395 05 101 151 201 252 302 352 402 453 503 36 64 92 12 148 176 204 232 26 10 0617 079 157 236 314 393 471 55 628 707 785 4 7 10 13 16 19 22 25 28 125 0963 123 245 368 491 614 736 859 982 1104 1227 45 78 11 143 175 208 24 273 305 16 1578 201 402 603 804 1006 1207 1408 1609 181 2011 52 88 124 16 196 232 268 304 34 20 2466 314 628 943 1257 1571 1885 2199 2514 2828 3142 160 UNIUBE 6 10 14 18 22 26 30 34 38 22 2984 38 76 114 152 1901 2281 2661 3041 3421 3801 66 11 154 198 242 286 33 374 418 25 3853 491 982 1473 1964 2455 2945 3436 3927 4418 4909 75 125 175 225 275 325 375 425 475 32 6313 804 1608 2413 3217 4021 4825 5629 6434 7238 8042 96 16 224 288 352 416 48 544 608 40 9865 1257 2513 377 5026 6283 754 8796 10053 11309 12566 12 20 28 36 44 52 60 68 76 Fonte NBR 7480 Tabela 17 Barras agrupadas em feixes UNIUBE 161 Fonte o autor 49 A altura e a altura útil É importante que se diferencie o conceito de altura e altura útil A altura é a espessura total da laje da viga ou de um elemento estrutural qualquer enquanto a altura útil é a distância do centro de gravidade da armadura até a borda comprida do elemento A Figura 51 exemplifica para o caso das lajes e das vigas a diferença entre estas duas alturas ou seja cg h d y Equação 12 Onde ycg é a distância do centro de gravidade da armadura até a borda tracionada Figura 51 Centro de massa ou de gravidade da armadura em lajes e vigas Fonte o autor Obs Não se fará distinção entre centro de gravidade de massa ou centroide da seção pois todas as barras têm o mesmo peso especí fico do aço e são representadas na seção transversal do elemento Normalmente adotamse para as alturas das vigas valores múltiplos 162 UNIUBE de 50 cm e para as lajes valores múltiplos de 05 cm Para melhor entendimento desta variável ycg a Figura 52 detalha a seção da viga anterior Figura 52 Detalhamento do ycg da armadura em vigas Fonte o autor Conforme a NBR 6118 2003 itens 1821 e 18322 o arranjo das armaduras além de atender à sua função estrutural deve pos sibilitar condições adequadas de execução particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto Dessa for ma os espaços devem prever a introdução de vibradores impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural A Figura 53 mostra o detalhamento de uma seção em relação aos espaçamentos das barras IMPORTANTE O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudi nais medido no plano da seção transversal deve ser igual ou su perior ao maior dos seguintes valores a na direção horizontal eh UNIUBE 163 20 mm diâmetro da barra do feixe ou da luva 12 vezes o diâmetro máximo do agregado he b na direção vertical ev 20 mm diâmetro da barra do feixe ou da luva 05 vezes o diâmetro máximo do agregado ve Figura 53 Detalhamento transversal espaçamento entre barras Fonte o autor O centro de massa das barras é determinado conforme os concei tos ministrados em Mecânica dos Sólidos O diâmetro do estribo será visto mais adiante no tópico Cisalhamento sendo normalmen te usados para as vigas de edifícios ferros de 50 ou 63 mm Vamos exemplificar o cálculo do centro de massa da armadura Para a seção da figura anterior suponhamos que a primeira cama da seja composta por 2 φ 125 mm nas extremidades e 1 φ 100 mm no centro e a segunda camada por 2 φ 100 mm 164 UNIUBE Nesse exemplo os espaçamentos vertical e horizontal serão ado tados iguais a 20 cm e como eixo de referência para o cálculo do centro de massa será adotado a borda inferior da primeira camada Conforme a Figura 54 as barras alinhadas na horizontal formam uma seção única Asi sendo a distância do seu centro de massa ao eixo de referência yi calculada conforme segue Figura 54 Determinação do cg d armadura Fonte o autor Asi barras seção yi As1 2 φ 125 mm 25 cm2 0625 cm As2 1 φ 100 mm 08 cm2 05 cm As3 2 φ 100 mm 16 cm2 375 cm 1 1 2 2 3 3 sTOTAL s s s A cg A y A y A y 1 1 2 2 3 3 79625 1625 cm 49 s s s sTOTAL A y A y A y cg A A seguir apresentamos na Tabela 18 as combinações usuais de fer ros para edifícios de barras de diâmetros iguais ou diferentes e dis postas em uma ou duas camadas Para cada combinação de barras apresentamos a largura necessária b0 face externa a face externa das UNIUBE 165 barras o valor de As apenas para a camada inferior e o valor de As para as duas camadas a armadura total e o centro de massa da ar madura cg também para a camada inferior e para as duas camadas Observe que a opção pelo cg devese ao fato de que este depende apenas da armadura enquanto o ycg depende também do cobrimen to c e do diâmetro do estribo φt que são variáveis Tabela 18 Tabela de Ferros Combinações usuais de armaduras em edifícios Camada inferior Camada superior duas barras no diâmetro indicado Valores de As e cg correspondentes às duas camadas φ b0 As 63 80 100 125 160 200 222 250 2φ63 326 062 032 125 163 3φ63 589 094 032 156 137 2φ80 360 101 040 163 144 201 180 2φ80 1φ63 623 132 038 194 126 232 160 3φ80 640 151 040 213 120 252 152 4φ80 920 201 040 264 104 302 133 2f100 400 157 050 258 163 314 200 166 UNIUBE 2f100 1φ80 680 207 048 308 143 364 178 2f100 1f1250 725 280 055 437 170 2f100 2φ80 960 258 046 358 129 415 161 3f100 700 236 050 336 137 493 170 4f100 1000 314 050 415 120 471 150 2f125 450 245 063 402 185 491 225 2f125 1f100 750 324 059 481 162 569 201 2f125 1f16 810 446 070 692 195 2f125 2f100 1050 402 058 559 147 648 183 3f125 775 368 063 525 156 614 193 4f125 1100 491 063 648 139 736 171 2f160 520 402 080 647 210 804 260 UNIUBE 167 2f160 1f125 845 525 076 770 186 927 234 2f160 1f20 920 716 089 1118 230 2f160 2f125 1170 647 073 893 169 1049 214 3f160 880 603 080 848 179 1005 224 4f160 1240 804 080 1049 160 1206 200 Seção de ferros em cm2 centro de massa da armadura em cm Camada inferior Camada superior duas barras no diâmetro indicado Valores de As e cg correspondentes às duas camadas φ b0 As 63 80 100 125 160 200 222 250 2f200 600 628 100 1030 248 1257 300 2f200 1f160 960 829 095 1231 221 1458 270 2f200 1f22 1060 1009 104 1637 271 2f200 2f160 1320 1030 092 1432 201 1659 247 3f200 1000 943 100 1345 214 1571 260 168 UNIUBE 4f200 1400 1257 100 1659 192 1885 233 2f22 660 760 110 1389 305 1520 330 2f22 1f200 1080 1074 107 1703 267 1835 291 2f22 1f25 1190 1251 116 2011 303 2f22 2f200 1500 1389 105 2017 241 2149 262 3f22 1100 1140 110 1769 263 1901 286 4f222 1540 1520 110 2149 236 2281 257 2f250 750 982 125 1742 337 1964 375 2f250 1f22 1220 1362 121 2122 296 2344 332 2f250 2f22 1690 1742 118 2502 267 2724 301 3f250 1250 1473 125 2233 290 2455 325 4f250 1750 1964 125 2724 260 2945 292 Seção de ferros em cm2 centro de massa da armadura em cm Fonte o autor UNIUBE 169 Camada inferior trabalhase apenas com uma camada Camada superior trabalhase com as duas camadas Número superior As seção de aço Número inferior cg centro de massa da armadura cg t y cg c φ e cg h d y 0 h b e Σφ Σ e 0 2 2 w t b b c φ Sendo c cobrimento φt diâmetro do estribo e φl diâmetro da armadura longitudinal tração Um último exemplo para vermos a relação entre a solicitação e o compor tamento da seção Agora vamos fixar a seção e variar a carga aplicada na viga para analisarmos sua seção mais solicitada meio do vão Considerese uma viga biapoiada com vão de 40 m submetida a uma carga distribuída p Para o concreto adotase fck 20 MPa Aço CA 50 e seção 15x45 bw 15 e h 45 cm 170 UNIUBE Veja o comportamento de βx profundidade da linha neutra e da armadura para valores crescentes de p seção 15x45 peso pró prio de 169 kNm À medida que a solicitação aumenta βx au menta a resultante de concreto comprimido é maior e portanto a área de aço é maior Rst Rcc Tabela 19 Dimensionamento de uma seção 15x45 cm variando a solicitação p kNm Mf kNm Mfd kNcm d βx εs σs kN cm2 As cm2 25 5 700 42 0028 10 43478 039 50 10 1400 42 0056 10 43478 079 75 15 2100 42 0085 10 43478 120 100 20 2800 42 0114 10 43478 160 125 25 3500 42 0145 10 43478 204 150 30 4200 42 0176 10 43478 248 175 35 4900 42 0208 10 43478 293 200 40 5600 415 0248 10 43478 345 20815 4163 58282 415 0259 10 43478 360 225 45 6300 415 0283 207 a 10 43478 394 250 50 7000 415 0320 207 a 10 43478 445 275 55 7700 405 0380 207 a 10 43478 516 300 60 8400 405 0423 207 a 10 43478 574 325 65 9100 405 0469 207 a 10 43478 637 350 70 9800 40 0535 207 a 10 43478 717 375 75 10500 40 0589 207 a 10 43478 790 As 39139 7828 10959 40 0628 207 a 10 43478 842 cm2 400 80 11200 40 0649 000189 39690 953 8727 410 82 11480 40 0674 000169 35490 1107 9076 420 84 11760 39 0764 000108 22680 1914 10038 430 86 12040 39 0798 000089 18690 2426 10483 440 88 12320 39 0834 000070 14700 3224 10966 UNIUBE 171 450 90 12600 39 0874 000050 10500 4730 11489 460 92 12880 39 0919 000031 6510 8022 12090 As armadura calculada com σs fyd apenas para evidenciar o aumento da seção de aço As devido à redução da tensão do aço Fonte o autor IMPORTANTE Veja que cada linha da Tabela 19 é um exercício pasme com resposta Observe que neste exemplo foi dada a altura da viga e neste caso o valor da altura útil deve ser estimado e posteriormente conferido Veja a Para uma carga de 50 kNm obtevese As 079 cm2 e confor me a Tabela 18 para 3 φ 63 As 094 b0 589 e cg 032 Como 0 2 2 w t b b c φ b0 15 2 20 05 b0 100 cm ok As 3 barras cabem em 1 camada Como cg t y cg c φ ycg 032 20 05 282 cm cg h d y cg d h y d 45 30 420 cm ok Foi adotado um valor correto para a altura útil 172 UNIUBE b Para uma carga de 250 kNm obtevese As 445 cm2 e conforme a Tabela 18 Para 4 φ 10 2 φ 10 As 471 cm2 b0 10 100 cm e cg 15 d 45 4 410 cm ok Para 2 φ 125 2 φ 125 As 491 cm2 b0 45 100 cm e cg 225 d 45475 40 cm ok Para 2 φ 125 1 φ 10 2 φ 10 As 481 cm2 b0 75 100 cm e cg 162 d 45412 405 cm ok Para 2 φ 125 1 φ 16 As 446 cm2 b0 81 100 cm e cg 070 d 4532 415 cm ok Ainda é um pouco cedo para discutirmos qual a melhor das opções anteriores mas a princípio o valor de d deveria ser alterado para viabilizar a primeira ou a terceira alternativa por serem mais eco nômicas A quarta alternativa é a única com o valor correto de d porém a mais antieconômica Como parâmetro para adoção da armadura a escolha mais viável tanto técnica quanto econômica é a de barras de menor diâmetro ou seja um número de barras próximo ao que preenche a primeira ca mada e mais duas barras na segunda camada A última alternativa é a que mais se aproximou da seção calculada para a seção transversal mas longitudinalmente é a que dará maior peso de aço UNIUBE 173 Os exemplos apresentados na Tabela 19 mostram que o aumento do esforço solicitante tem como consequência o aumento do esfor ço reativo ou seja à medida que a solicitação aumenta βx aumen ta a resultante de concreto comprimido é maior e portanto a área de aço é maior Rst Rcc DICA A Figura 55 mostra a relação entre a seção de aço e o momento fletor característico apresentados na Tabela 19 Nessa figura é bas tante nítida a relação aproximadamente linear nos domínios 2 e 3 até Mf34 7806 kNm e o crescimento exponencial da armadura no domínio 4 174 UNIUBE Figura 55 Diagrama As x Mfk para uma seção transversal 15x45 Fonte o autor Vamos analisar os exemplos efetuados para p 3903 e 430 kNm apresentados na Tabela 19 p kNm Mf kNm Mfd kNcm d kc βx εs σs kNcm2 As cm2 3903 7806 109284 400 2196 0628 207 a 10 43478 8419 430 860 12040 390 1895 0802 08641 18146 25117 Como vimos anteriormente o aumento da solicitação implica em um aumento da resultante de concreto comprimido ou seja como Rcc Acσc 08bwx 085fcd o aumento da solicitação implica em um aumento da profundidade da linha neutra pois a tensão de compressão do concreto fcd e a largura da seção bw são cons tantes A Figura 56 apresenta as seções transversais dos exemplos UNIUBE 175 analisados e mostra um fator relevante ao dimensionamento o au mento da profundidade da linha neutra implica em uma redução do braço do momento reativo 08 085 08 2 f f c c w cd M A z b x f d x γ σ Figura 56 Situação esquemática das seções trans versais para βx 0628 e 0802 Fonte o autor O momento fletor teve um incremento de 7806 para 860 kNm 10 correspondente ao aumento da área de concreto comprimido bw 08x de 300 para 3744 cm2 25 e à redução do braço dos momentos fletores de 30 para 265 cm 1167 Observe que 125 08833 11 ou seja a redução do braço do momento acarreta um aumento 25 na altura da área de concreto comprimido bw é cons tante para responder ao aumento de 10 no momento solicitante 410 Armadura dupla Antes de equacionarmos a armadura dupla voltemos ao exemplo 176 UNIUBE apresentado na Figura 56 para apresentarmos seu conceito A so lução do problema com armadura simples iniciase pela determi nação de βx por meio da equação 8 e como βx βx34 pela deter minação de εs usando a equação 10 e σs pela lei de Hooke e finalmente determinar a armadura utilizando a equação 7 Nesse exemplo o momento fletor de 7806 kNm implicou em βx βx34 e portanto qualquer incremento na solicitação implicará em βx βx34 ou seja a seção trabalhando no domínio 4 e conse quentemente com a redução na tensão do aço para 18146 kNcm e o aumento brutal da armadura O aumento do momento fletor para 860 kNm implicou em um aumento na altura do bloco de tensões do concreto comprimido y 08x de aproximadamente 20 cm para y 2496 cm ou seja um aumento de 496 cm e portanto um incremento na área igual a 15x496 744 Dessa forma o incremento na resultante de con creto comprimido será Rcc Ac fcd 744 085214 9034 kN O conceito da armadura dupla é o de manter a seção no domínio 3 portanto com um braço de alavanca maior e com σs fyd O braço de alavanca maior implicará em uma resultante de compres são menor porém superior à que o concreto comprimido poderá propiciar e essa diferença será proporcionada por uma pequena armadura de compressão pois esta trabalhará com um braço de alavanca maior que o do concreto Veja o dimensionamento apre sentado nas Figuras 57 e 58 UNIUBE 177 Figura 57 Armadura dupla contribuição do concreto comprimido Fonte o autor Como se pode ver o concreto contribui com 109631 kNcm para um momento solicitante total de 12040 kNcm ou seja a igualdade colocada na Figura 57 está incorreta pois faltam 10769 kNcm para que ela se verifique Essa parcela de momento será fornecida por uma pequena quantidade de aço comprimido assim os momentos resistentes são mostrados na Figura 58 Figura 58 Armadura dupla contribuição do aço comprimido 178 UNIUBE Fonte o autor Considerando cobrimento de 20 cm estribos de 50 mm e barras de diâmetro inferior a 10 mm dispostas em uma camada adotase d 30 cm e z d d 37 cm e a seção de aço comprimido pode ser determinada por 10769 s s M A z σ 2 10769 067 cm 50 37 115 sA Até agora verificamos que para uma seção 15x45 cm com fck 20 MPa e armada com aço CA 50 a resultante de concreto com primido Rcc correspondente a βx β34 e a resultante de uma ar madura de compressão com seção igual a 067 cm2 produzem um momento resistente igual a 860 kNm ou seja até aqui aplicamos a equação 0 ΣM Se aplicarmos agora 0 ΣFx determinamos a armadura de tração Conforme apresentado na Figura 58 à seção relativa ao concreto com primido corresponde uma armadura de tração As1 e à relativa ao aço comprimido corresponde uma armadura de tração As2 desse modo 2 1 1 068 068154014290628 842 cm 4348 w cd x s yd cc s yd b d f A f R A f β 2 2 2 067 cm s yd sc yd yd s s A f R f f A A Portanto 2 1 2 842 067 909 cm s s s A A A Neste exemplo foram adotados alguns valores que serão detalha dos adiante por exemplo fyd fyd valores adotados para d etc A UNIUBE 179 adoção do mesmo valor da altura útil para ambos os casos apesar da grande diferença entre as armaduras As1 e As2 explicase pelo fato de que o valor de d referese à armadura As e não às suas parcelas As As1 As2 4101 Armadura dupla equacionamento A armadura dupla como o próprio nome diz é o uso de duas ar maduras uma de tração e outra de compressão Como já foi visto precisase distinguir a situação real e o modelo adotado para equa cionála Na situação real temse a ocorrência apenas da armadura dupla visto que ao equacionarmos a armadura simples adotamos um modelo em que não se considerou os portaestribos na região comprimida de concreto e eles necessariamente estão lá apenas foram considerados como armadura construtiva Já vimos o equacionamento do concreto armado para armadura simples e as características desse dimensionamento nos domínios 2 3 e 4 Vimos também que com a seção trabalhando no domínio 4 temse uma seção superarmada na qual o aço em excesso é mal aproveitado ao trabalhar com tensões inferiores a fyd Vimos ainda que nesse domínio a ruptura se dá por esmagamento do concreto ou seja uma ruptura sem avisos Além disso vimos também que no domínio 4 obtinhamse as menores alturas para a seção ou seja além de viabilizar pés direitos menores implica em menor área de formas e portanto seções mais econômicas Nesses casos em que se precisa das reduções de altura dadas 180 UNIUBE pelo dimensionamento no domínio 4 usase a armadura dupla O equacionamento da armadura dupla é análogo ao da armadu ra simples inclusive as deformações e tensões apresentadas na Figura 59 são as mesmas apresentadas na Figura 46 A diferença em relação à armadura simples é que agora vamos considerar a armadura de compressão As Figura 59 Deformações e esforços internos resistentes na seção Fonte o autor Equações de Equilíbrio Conforme o diagrama de esforços apresentado na Figura 59 d 0 0 y x cc sc st F F R R R Σ Σ Equação 13 0 2 2 f f cc sc st sc y y Mf M R d R d d R d R d γ Σ Equação 14 Onde UNIUBE 181 cc w c R b yσ Resultante das tensões de compressão no concreto st s s R A σ Resultante das tensões de tração na armadura sc s s R A σ Resultante das tensões de compressão na armadura Mf Momento fletor característico que atua na seção em estudo Temse então 068 w c s s s s w cd x s s s s b y A A b d f A A σ σ σ β σ σ Equação 15 2 f f w c s s y M b y d A d d γ σ σ 2 068 1 04 f f w cd x x s s M b d f A d d γ β β σ Equação 16 2 2 f f s s s s y y M A d A d γ σ σ 1 04 04 f f s s x s s x M A A d γ σ β σ β Equação 17 Equações de compatibilidade Do diagrama de deformações apresentado na Figura 59 c temse c s s x d x x d ε ε ε Equação 18 182 UNIUBE Exemplo Dimensionar a seção transversal para a viga biapoiada ao lado adotandose seção 15x45 bw 15 e h 45 cm fck 20 MPa e Aço CA 50 Mf 860 kNm Mfd 12040 kNcm Supondo armadura simples e d 40 cm ycg 50 cm Equação 8 2 068 1 04 f f w cd x x M b d f γ β β βx 0729 βx βx34 0628 domínio 4 armadura dupla Adotado d 30 cm e βx βx34 0628 Equação 16 Equação 15 UNIUBE 183 068 s s w cd x s s A b d f A σ β σ 2 36614 2913 39527 909 cm s s A As σ Últimas considerações Calculado anteriormente como armadura simples no domínio 4 obtevese uma área de aço superior a 25 cm2 178 a mais Parte da armadura de compressão já está na seção pois cal culada como armadura simples os porta estribos não foram considerados no cálculo Finalmente determinadas as armaduras As e As e escolhida a armadura a ser usada é preciso verificar a seção e se os valores adotados para d e d estão corretos 4102 Valores de d O valor de d é sempre adotado pelo calculista pois seu valor pou co se altera Normalmente a armadura de compressão é pequena da ordem de 10 a 20 da armadura de tração podendo ser dis posta na maioria dos casos em uma camada Nos casos em que a armadura de compressão é disposta em uma camada o valor de d é obtido pela soma dos valores do cobrimento do estribo e da metade do diâmetro da armadura de compressão φLC ou seja 184 UNIUBE Observase que o cobrimento nominal depende da agressividade ambiental e o estribo normalmente de 50 mm para vigas usuais pode ter diâmetros de 63 ou 80 mm em vigas de edifícios e de 10 ou 125 em longarinas de pontes Nos casos de seções mais solicitadas e de menores larguras nas quais é necessária a disposição da armadura em duas camadas usase para d o mesmo critério usado para ycg e então d poderá assumir valores de 40 a 50 cm 4103 Valores de s σ O aço é um material com características isotrópicas porém no concreto armado suas tensões de serviço à compressão e à tração podem ser diferentes Enquanto seus alongamentos são limitados a 10 seus encurtamentos são inferiores aos máximos permitidos pelo concreto ou seja 35 portanto próximo do valor de εyd que para o aço CA50 é igual a 207 Para valores de εs inferiores a εyd a tensão do aço é variável A Figura 60 mostra o diagrama de deformações da seção de concreto armado UNIUBE 185 Figura 60 Deformações da armadura de compressão Fonte o autor Equação 18 c s s x d x x d ε ε ε s c x d x ε ε Para a armadura dupla foi adotado βx βx34 0628 CA50 e como εc 35 a equação 18 possibilita verificar a possibilidade da ocorrência de valores de σs inferiores a fyd Para isso basta determinar os valores de d para que εs sejam inferiores a εyd 207 CA50 35 207 0628 0256 35 c s c d x d d ε ε ε Como valores de d da ordem de 25 da altura útil são absurdos impossíveis de ocorrer comprovase que a armadura de compres são sempre terá σs σs fyd Na Tabela 20 são apresentados os valores das constantes dos aços 186 UNIUBE Tabela 20 Valores das constantes dos aços Aço CA fyk fyd εyd βx34 kNcm2 kNcm2 25 25 21739 1035 07717 50 50 43478 2070 06283 60 60 52174 2484 05848 Fonte o autor 411 Cálculo mediante tabelas O uso das tabelas para o dimensionamento das seções de concre to armado visa dar rapidez ao cálculo e o conhecimento da elabo ração dessas tabelas também pode ser interessante para a elabo ração de pequenos programas e planilhas 4111 Seção retangular com armadura simples Vamos rever os conceitos e as equações para armadura simples Equação 7 068 w cd x s s b d f A β σ Equação 8 2 068 1 04 f f w cd x x M b d f γ β β Equação 10 UNIUBE 187 1 1 c s c x x x c s s c c s x x x d x ε ε ε β β β ε ε ε ε ε ε β β No domínio 2 εs cte 100 e 0 εc 35 Como εs cte 100 todos os aços trabalham com σs fyd No domínio 3 εyd εs 100 e εc cte 35 εs é variável sendo que εs23 100 e εs34 εyd ou seja todos os aços trabalham com σs fyd porém ao contrário do domínio 2 onde εc variava e εs era constante no domínio 3 εs é variável e como cada aço tem um valor diferente para εyd cada aço terá um valor de β34 diferente Vamos agora analisar as equações Veja a equação 8 2 068 1 04 d w cd x x Mf b d f β β 2 068 1 04 w c c d ck x x b d k Mf f γ β β Equação 19 Em um membro colocamos as características geométricas da viga e o momento solicitante e no outro os coeficientes de segurança majora ção das solicitações e minoração do concreto e os valores referentes 188 UNIUBE à resistência característica do concreto e à posição da linha neutra E ambos os membros iguais a KC o coeficiente a ser tabelado Veja agora a equação 7 068 w cd x s s b d f A β σ Complicou não A intenção era novamente dar ao aço o mesmo tratamento que foi dado ao concreto por meio da criação de um coeficiente KS mas a equação 7 está meio complicada A solução seria usar a equação 9 somatória de momentos em relação Rcc que como foi visto anteriormente é redundante podendo ser obti da pela substituição da equação 7 na 8 equação 9 1 04 f f s s x M A d γ σ β Agora vamos criar o coeficiente KS 1 1 04 s f d s x A d M σ β ou seja 1 04 s s yk x K e f γ β f s s M A K d Equação 20 Agora criar a Tabela 21 em que para diferentes valores de βx UNIUBE 189 tabelamos Kc em função da classe do concreto fck e Ks em função do tipo do aço fyk Observações esta tabela é para os domínios 2 e 3 As seções com βx βx34 serão dimensionadas para armadura dupla alguns autores usam o bloco de tensões y outros a profun didade da linha neutra x e a letra β pode ser substituída pela letra k etc o valor de βx pode ser obtido a partir de kc 2 235294 235294 125 125 1 125 125 1 d x c cd w cd Mf k f b d f β Equação 21 Tabela 21 Valores de kc e ks 2 100 w d c s d f k d b d Mf k As k Mf Mf Mf d γ bw e d em cm As em cm2 Mfd em kNcm 190 UNIUBE Valores de kc fβx fck Valores de ks fβx fyk βx C20 C25 C30 C40 C50 CA 25 CA 50 CA 60 002 5189 4151 3459 2594 2075 464 232 193 DOMÍNIO 2 003 3473 2778 2315 1737 1389 466 233 194 004 2615 2092 1744 1308 1046 467 234 195 005 2101 1681 1401 1050 840 469 235 196 006 1758 1406 1172 879 703 471 236 196 007 1513 1210 1009 756 605 473 237 197 008 1329 1063 886 665 532 475 238 198 009 1187 949 791 593 475 477 239 199 010 1072 858 715 536 429 479 240 200 011 979 783 653 489 392 481 241 200 012 901 721 601 451 360 483 242 201 013 835 668 557 418 334 485 243 202 014 779 623 519 389 312 487 244 203 015 730 584 487 365 292 489 245 204 016 687 550 458 344 275 491 246 205 017 650 520 433 325 260 494 247 206 018 616 493 411 308 247 496 248 207 019 586 469 391 293 235 498 249 207 020 559 448 373 280 224 500 250 208 021 535 428 357 268 214 502 251 209 022 513 410 342 257 205 504 252 210 023 493 394 329 246 197 507 253 211 024 474 380 316 237 190 509 254 212 025 458 366 305 229 183 511 256 213 0259 443 355 296 222 177 513 257 214 026 442 354 295 221 177 513 257 214 DOMÍNIO 3 027 427 342 285 214 171 516 258 215 028 414 331 276 207 166 518 259 216 029 402 321 268 201 161 520 260 217 030 390 312 260 195 156 523 261 218 031 379 303 253 190 152 525 263 219 032 369 295 246 184 148 528 264 220 033 359 288 240 180 144 530 265 221 034 350 280 234 175 140 532 266 222 035 342 274 228 171 137 535 267 223 036 334 267 223 167 134 537 269 224 037 327 261 218 163 131 540 270 225 038 319 256 213 160 128 542 271 226 039 313 250 208 156 125 545 273 227 040 306 245 204 153 123 548 274 228 UNIUBE 191 Tabela 21 Valores de kc e ks Continuação Valores de kc fβx fck Valores de ks fβx fyk βx C20 C25 C30 C40 C50 CA 25 CA 50 CA 60 041 300 240 200 150 120 550 275 229 DOMÍNIO 3 042 295 236 196 147 118 553 276 230 043 289 231 193 145 116 556 278 231 044 284 227 189 142 114 558 279 233 045 279 223 186 139 112 561 280 234 046 274 219 183 137 110 564 282 235 047 270 216 180 135 108 567 283 236 048 265 212 177 133 106 569 285 237 049 261 209 174 131 105 572 286 238 050 257 206 172 129 103 575 288 240 051 254 203 169 127 101 578 289 241 052 250 200 167 125 100 581 290 242 053 246 197 164 123 099 584 292 243 054 243 195 162 122 097 587 293 244 055 240 192 160 120 096 590 295 246 056 237 190 158 118 095 593 296 247 057 234 187 156 117 094 596 298 248 058 231 185 154 116 092 599 299 250 0585 230 184 153 115 092 601 300 250 059 228 183 152 114 091 602 301 060 226 181 150 113 090 605 303 061 223 179 149 112 089 608 304 062 221 177 147 110 088 612 306 0628 219 175 146 109 088 614 307 063 218 175 146 109 087 615 064 216 173 144 108 086 618 065 214 171 143 107 086 622 066 212 170 141 106 085 625 067 210 168 140 105 084 628 068 208 166 139 104 083 632 069 206 165 137 103 082 635 070 204 163 136 102 082 639 071 202 162 135 101 081 642 072 201 161 134 100 080 646 073 199 159 133 100 080 650 074 198 158 132 099 079 653 075 196 157 131 098 078 657 076 195 156 130 097 078 661 077 193 155 129 097 077 665 0772 193 154 129 096 077 666 Fonte o autor 192 UNIUBE Exemplos com a utilização da Tabela 21 a tabela de kc e ks a Calcular a altura útil d e a área de aço As para seção retangular Dados Concreto C25 e Aço CA50 bw 15 cm Mf 100 kNm e considerando βx βx23 b Dados Concreto C25 e Aço CA50 b 15 cm e d 4043 cm Qual o máximo momento fletor que esta seção suporta com armadura simples e qual será a armadura Máximo momento fletor com armadura simples Momento Limite βx βx34 UNIUBE 193 MOMENTO LIMITE máximo momento que uma seção normal mente armada suporta ou máximo momento que uma seção suporta no domínio 3 MOMENTO LIMITE βx34 kc34 ks34 4112 Seção retangular com armadura dupla O máximo Momento Fletor que uma seção retangular com dimensões préfixadas pode suportar com armadura simples no domínio 3 é 2 w fd Lim c Lim b d M k Equação 22 Quando o Momento Solicitante Mfd for maior que o Momento Limite Mfdlim será adotado o procedimento descrito a seguir conforme Figura 61 194 UNIUBE Figura 61 Deformações e esforços internos resis tentes na seção com armadura dupla Fonte o autor A situação 0 é a situação real uma seção com armadura dupla As de compressão e As de tração e será decomposta em duas outras situações Na situação 1 as partes resistentes serão a armadura tra cionada As1 é uma parcela de As e o concreto comprimido o mesmo da situação real Na situação 2 as partes resistentes serão constituídas ape nas por armaduras uma vez que o concreto comprimido já foi considerado na situação 1 As é a armadura de compressão existente na seção real e As2 é a armadura tracionada As2 é a parcela complementar de As tal que AsAs1As2 Seção 1 1 34 Limite Mf Mf Mf UNIUBE 195 Seção 2 2 0 1 Mf Mf Mf Para contrapor ao Momento Fletor Mf2 há o binário formado pelas resultantes de compressão As2 fyd e tração As σs 2 2 f s s s yd Mf A d d A f d d γ σ Como β βlimite β34 as deformações nas armaduras As1 e As2 serão iguais a εyd e portanto as tensões serão iguais a fyd 2 2 2 2 2 1 1 100 1 d d s d s yd yd Mf Mf k Mf A f d d d d d f d 2 2 2 1 1 100 1 d d s d s s s Mf Mf k Mf A d d d d d d σ σ Ou seja 1 2 1 2 2 100 100 d d s s s s s Mf Mf A A A k k d d Equação 23 2 100 s s Mf A k d Equação 24 196 UNIUBE Determinação de σ s para o coeficiente ks Conforme estabelecido em 52 normalmente d varia entre 3 e 35 cm para armaduras dispostas em uma camada e entre 40 e 45 cm para armaduras dispostas em duas camadas e conforme estabele cido em 53 σs σs fyd Tabela 20 Assim nas equações 23 e 24 2 1 1 s s yd k k k d f d O coeficiente k pode ser tabelado em função de dd e do aço fyd Na Tabela 22 esses coeficientes são apresentados para o Aço CA 50 Tabela 22 Valores de ks e ks2 domínios 2 e 3 Aço CA 50 Fonte o autor Vamos refazer o exemplo com armadura dupla usando as tabelas Calcular a altura útil d e a área de aço As para uma seção re tangular dados Concreto C25 e Aço CA50 b 15 cm Mf 100 kNm e conside rando βx 072 UNIUBE 197 34 34 34 34 23 34 35 0628 0628 yd yd s c x f E x d x d x x d x ε ε β 34 1 x x β β domínio 4 Equação 8 2 068 1 04 f f w cd x x M b d f γ β β 1410000 3872 068 1 04 068151786072 1 04072 f f w cd x x M d cm b f γ β β Armadura dupla βx34 0628 e vamos adotar d 30 cm 20 cm de cobrimento 05 de estribo e 05 do cg de As 2 2 1 34 153872 1285061 175 w d d Lim cLim b d Mf Mf Mf k 1 2 14000 d d d Mf Mf Mf 2 114939 Mfd ks 307 e dd 33872 0077 k ks2 ks 25 1 1 1285061 307 1019 100 1003872 d s s Mf A k d 2 2 25 114939 0742 100 100 3872 d s s Mf k A A d 2 1 1 1019 0742 1093 cm s s s A A A e sA 0742 cm2 198 UNIUBE Observe que sem as tabelas foram obtidos As 0746 cm2 e As 1093 cm2 Mas o problema ainda não acabou É preciso verificar e detalhar a seção Detalhamento da seção Armadura de tração As 1093 cm2 Veja que temos 10 cm de largura para dispor essa armadura pois bw 15 e em cada lateral temos o cobrimento e o estribo 20 05 portanto temos que obter uma armadura maior ou igual à cal culada e com b0 10 cm Na Tabela 18 de combinações de armaduras encontramos 2φ200 1φ160 na primeira camada 2φ160 na segunda camada tota lizando uma área de 1230 cm2 com b0 960 cm e cg 221 cm Observe que estamos usando uma seção 125 maior sendo que o usual seria até 10 mas nesse caso não temos muitas alternativas Armadura de compressão As 074 cm2 Na Tabela 18 encontramos 2φ80 totalizando uma área de 10 cm2 com cg 04 cm Observe que estamos usando uma seção 347 maior mas também nesse caso não temos muitas alternativas Essa armadura é colocada na borda superior onde o concreto é lançado e por onde entrará o vibrador O usual é deixar uma distân cia entre as barras maior ou igual a 50 cm que nesse exemplo não seria possível com uma terceira barra UNIUBE 199 Altura adotase sempre múltiplo de 5 Assim uniformizamse um pouco as alturas e melhora o uso das formas Como se determinou d 3872 cm a primeira opção seria h 40 cm é impossível adota se h 45 cm IMPORTANTE Mas o exercício ainda não acabou A seção foi alterada Adotado h 45 qual o Momento fletor que esta seção com essa armadura suporta 200 UNIUBE IMPORTANTE Veja que esse exemplo contém propositalmente um erro em sua sequência de solução Quando em seu início determinouse a al tura útil d 3872 cm e utilizouse esse valor na sequência da so lução o correto seria a adoção imediata da altura e em função desta a adoção de um valor para a altura útil d Veja d 3872 cm a primeira opção h 40 cm é impossível 45 ou 50 cm cg h d y d d Veja que isso é impossível para valores de d entre 36 e 40 Adotase então h 45 cm Com h 45 cm estimase um novo valor para d por exemplo d 40 cm e agora sim darseia continuidade ao cálculo Por que é necessário fazer isso Observe que na equação 8 traba lhase com a altura útil na segunda potência e dessa forma corrigir o valor da altura útil para 40 cm mais próximo do valor real implica em um ganho de 67 em relação ao valor de 3872 e 234 em relação a um valor de 360 cm por exemplo 412 Seções T submetidas à flexão simples 4121Largura colaborante de vigas de seção T Nos casos em que a estrutura é discretizada em lajes vigas pi lares a NBR 6118 permite que se considere a ação conjunta de lajes e vigas com uma parte da laje trabalhando solidariamente com a viga ou seja a adoção de uma largura colaborante da laje UNIUBE 201 associada à viga compondo uma seção transversal T conforme apresentado na Figura 62 Figura 62 Largura de mesa colaborante Fonte NBR 6118 Sendo bw largura real da nervura b0 largura da nervura fictícia b0 bw soma dos menores catetos dos triângulos das mísu las correspondentes b2 distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas Tanto para o cálculo de resistência quanto para o cálculo de defor mações adotamse 1 2 010 05 a b b e 3 010 b a Observase que a NBR 6118 que vigorou entre 1975 e 2003 con siderava também a espessura da laje como limitante dos valores 202 UNIUBE de b1 e b3 O valor de b1 devia ser inferior a 8 hf e o de b3 inferior a 6 hf Recomendamos a utilização desses parâmetros pois julgamos que a espessura da laje é um fator importante para a adoção da largura colaborante O valor do parâmetro a é estimado em função do vão do tramo considerado conforme segue viga simplesmente apoiada a 100 tramo com momento em uma só extremidade a 075 tramo com momentos nas duas extremidades a 060 tramo em balanço a 200 4122 Cálculo de dimensionamento Como já vimos anteriormente na flexão simples temos a seção de concreto com uma borda comprimida e a outra tracionada Vimos também que a resistência à tração do concreto é desprezada NBR 6118 item 1722 Veja as seções de concreto apresentadas na Figura 63 As seções a b e c embora sejam geometricamente diferentes têm áreas de concreto comprimido iguais assim como mesma altura útil e área de ferro ou seja as três seções têm o mesmo momento resistente Figuras 63d e 63e UNIUBE 203 Figura 63 Forma da seção e seção de cálculo Fonte o autor Observe que a seção de cálculo é dada pela seção de concreto comprimido ou seja as três seções na Figura 63 têm a mesma lar gura b1 e a mesma profundidade da linha neutra Nessas seções o concreto tracionado por hipótese com resistência à tração nula tem a função de posicionar e proteger a armadura A Figura 63a é a seção retangular usual a 63b é sem dúvi da um erro de concepção pois o aumento da área de concreto tracionado além de não trazer nenhum benefício implica em um aumento do peso próprio e a 63c muito usada em elementos prémoldados ao contrário da b busca uma redução da área de concreto tracionado em relação à seção a e consequentemente do volume de concreto peso próprio A análise feita anteriormente é importante para se distinguir a for ma da seção da seção de cálculo Essa análise é importante no caso das seções T Tomemos como exemplo a seção T da Figura 64 Observe que assim como as seções da Figura 63 analisadas anteriormente a forma geométrica é um T mas a seção de cálculo pode ser retan gular ou T Enquanto o bloco de tensões estiver dentro da mesa de 204 UNIUBE compressão teremos uma seção de cálculo retangular e quando o bloco de tensões ultrapassar a altura da mesa de compressão e atingir a nervura teremos uma seção de cálculo em T Figura 64 A seção com formato de T Fonte o autor 2 f c x c d b d k f k Mf β 125 125 f f f xf h x y h x h d d β Seção de cálculo Retangular Seção de cálculo T x xf x xf β β β β 4123 Caso 1 Seção T calculada como seção retangular x xf β β A altura do bloco de tensões y não ultrapassa a mesa y hf Neste caso o dimensionamento é feito como se fosse uma seção retangular bf x h inclusive podendose utilizar o cálculo pelas ta belas já vistas uma vez que a zona tracionada não interfere no cálculo Observe que não é uma seção retangular mas sim uma seção T calculada como retangular Figura 65 ou seja a seção de cálculo é dada pela seção do concreto comprimido UNIUBE 205 Figura 65 Seção T calculada como retangular Seção T falsa Fonte o autor 2 100 f s d c x x s s d b d K Mf k K A Mf d β β 4124 Caso 2 Seção T calculada como seção T x xf β β A altura do bloco de tensões y ultrapassa a mesa cortando a nervura y hf Para que se possa aproveitar as tabelas para seções retangulares será empregado o artifício de decompor a seção T em outras duas Na a Figura 66 a seção 1 tem como altura do bloco de tensões y hf mediante a qual podemos determinar kc Com o valor de kc determinamos o valor de Mf1 correspondente à parcela de Mf que a seção 1 pode resistir 206 UNIUBE Figura 66 Seção T calculada como T Seção T verdadeira Fonte o autor 085 f w cd s s b b y f A 1 085 05 cd f w d f b b y d y Mf Nas duas equações fazendo y hf 1 085 05 d cd f w f f Mf f b b h d h 1 085 f w f cd s yd b b h f A f Mf2 Mfd Mf1 A seção 2 tem a linha neutra em sua posição real e é calculada normalmente como uma seção retangular podendo estar nos do mínios 2 3 ou 4 nesse último caso seção T com armadura dupla 2 2 2 2 2 2 2 2 100 w s d c x s s d b d K Mf K K A Mf d β UNIUBE 207 413 Vãos efetivos e larguras mínimas de vigas As estruturas de elementos lineares são abordadas pela NBR 6118 2003 em seu item 146 Para os elementos lineares vigas pila res tirantes arcos pórticos grelhas treliças admitemse as se guintes hipóteses a manutenção da seção plana após a deformação b representação dos elementos por seus eixos longitudinais c comprimento limitado pelos centros de apoios ou pelo cruza mento com o eixo de outro elemento estrutural O vão efetivo de uma viga é determinado e mostrado na Figura 67 Figura 67 Vão efetivo Fonte NBR 6118 Em seu item 132 a NBR 6118 2003 fixa as dimensões limites para os elementos estruturais Essas dimensões mínimas visam as condições adequadas de desempenho e execução concretagem do elemento estrutural Dessa forma as vigas devem ter larguras maiores ou iguais a 14 cm podendo em casos excepcionais serem reduzidos para 12 cm quando não houver prejuízo do alojamento das armaduras espaçamentos e coberturas estabelecidos por nor ma e do lançamento e vibração do concreto João Dirceu Nogueira Carvalho Introdução Vigas de concreto armado detalhamento longitudinal Capítulo 5 Na introdução do Capítulo IV usamos uma viga bi apoiada com balanço para conceituar as zonas de armação Vimos que ela tem a região do tramo com momento positivo e a do apoio com momento negativo e conforme o diagrama de momentos fl etores esta viga é composta por infi nitas seções cada uma submetida a esforços diferentes dos das demais seções Vimos também que não há necessidade de se calcular a viga inteira com suas infi nitas seções basta calcularmos a seção mais solicitada de cada região de cada zona de armação O dimensionamento da viga consistirá no cálculo das seções mais solicitadas de cada uma destas regiões e o dimensionamento desta seção é extrapolado para a toda a região representada por ela Terminamos a introdução do capítulo afi rmando que este procedimento se aplica a qualquer elemento em concreto armado seja uma viga um pórtico uma grelha uma laje etc No Capítulo IV aprendemos a dimensionar uma seção de concreto armado submetida a uma determinada solicitação e detalhar a armadura nesta seção e agora chegamos ao momento em que o dimensionamento das seções mais solicitadas de cada uma das zonas de armação é extrapolado para a toda a região representada por ela Conceituar e elaborar a cobertura de diagramas de momento fletor Conceituar e equacionar a ancoragem de armaduras no concreto armado Conceituar a utilização de ganchos em armaduras no concreto armado Conceituar e equacionar a ancoragem nos apoios Conceituar a ancoragem de barras comprimidas Conceituar e equacionar as emendas de barras por aderência Detalhamento longitudinal da armadura Cobertura de diagramas de momento fletor Ancoragem Introdução Zonas de ancoragem Resistência de aderência Comprimento básico de ancoragem Ganchos Comprimento de ancoragem necessário efetivo Ponto de início de ancoragem Ancoragem nos apoios Apoios extremos comprimento mínimo de ancoragem Objetivos Esquema O que vamos aprender agora é trabalhar com as vigas longitudinalmente Vamos aprender a distribuir longitudinalmente as barras detalhadas na seção vamos aprender onde as barras começam e terminam e como terminam com ganchos ou sem ganchos etc Armaduras construtivas e porta estribos Ancoragens de barras comprimidas Emendas de barras por aderência Introdução Emendas por traspasse Emendas supostas na mesma seção transversal Proporção máxima de barras tracionadas emendadas na mesma seção Comprimento de traspasse de barras tracionadas isoladas Comprimento por traspasse de barras comprimidas isoladas Detalhamento longitudinal da armadura 51 511 Cobertura de diagramas de momento fletor Vamos retomar nossa viga bi apoiada com balanço Figura 68 Observase que ela tem duas regiões distintas de armação Região A com tração na borda inferior e compressão na superior Região B com tração na borda superior e compressão na inferior O dimensionamento da seção SA a seção mais solicitada da re gião A é extrapolado para toda esta região este procedimento é denominado de cobertura de diagrama e analogamente o mes mo procedimento será adotado para a seção SB a seção mais solicitada da região B Perceba que se for uma viga contínua o procedimento é o mes mo O diagrama de momentos fletores nos dará uma região de 212 UNIUBE momento fletor positivo em cada tramo uma região de momento fletor negativo em cada apoio central e se tiver balanços uma re gião de momento negativo no apoio do balanço Neste caso pode remos ter 3 5 10 zonas de armação O mesmo raciocínio se aplica a um pórtico ou a qualquer elemento estrutural que possamos determinar os diagramas de esforços Figura 68 Regiões de armação em uma viga bi apoiada com balanço à direita Fonte o autor Agora por meio de um exemplo vamos explicitar a rotina para se fazer a cobertura do diagrama de momento fletor que é extrapolar o dimensionamento da seção mais solicitada de uma região de ar mação para esta região Vamos adotar os valores necessários para o dimensionamento da viga apresentada na Figura 68 e iniciar o cálculo e detalhamento da UNIUBE 213 armadura longitudinal dimensionandoa até a cobertura do diagrama de momentos fletores O dimensionamento das seções de concreto armado será efetuado conforme aprendemos no capítulo anterior Exemplo 1 Dimensionar a viga de concreto armado ao lado sendo dados Aço CA50 concreto C25 e bw 20 cm Determinando os esforços temos RA 80 kN RB 160 kN Mfmax 10667 kNm a 267 m do apoio A Mfmax 600 kNm no apoio B Como o momento fletor positivo é o maior momento solicitante ele é usado para iniciar o dimensionamento e para a adoção da altura da seção da viga Mfmax 10667 kNm Adotandose βx βx34 0628 Kc 2452 d 3616 cm ks 00307 As 1268 cm2 214 UNIUBE Adotandose para h o primeiro múltiplo de cinco superior a d tere mos h 40 Observe que com h 40 cm teremos ycg 384 cm h d ycg que é insuficiente para acomodar a armadura Adotandose h 45 cm e ycg 45 cm teremos d 405 valor muito maior que o 3616 cm obtido o que justifica refazer o cálculo h 45 cm d 405 kc 2197 βx 0459 βx34 0628 domínio 3 Ks 00282 As 1040 cm2 Adotandose 4φ16 2φ125 mm temos As 1049 cm2 104 cm2 OK ycg 16 25 41 cm 45 cm OK b0 1240 20 25 25 15 cm OK A seção está verificada Mfmax 60 kNm Observe que a altura da viga já foi determinada e em função da expectativa da armadura ycg o valor da altura útil poderá sofrer pequenas variações UNIUBE 215 Análise para a adoção da altura útil o valor do momento fletor foi reduzido de 10667 para 60 kN e como foram mantidas as dimensões da seção trabalhase com a expectativa de um As em torno da metade do anterior ou seja em torno de 50 cm e tratase de um momento fletor negativo a armadura será co locada na borda superior Neste caso devese deixar espaço para o lançamento do concreto e para a entrada de vibrado res ou seja um espaço entre as barras de no mínimo 45 cm o ideal seria acima de 5 cm antes de iniciar o cálculo já se tem uma ordem de grandeza do resultado Por exemplo 4φ125 mm As 491 ycg 32 e b0 11 cm e 3φ16 mm As 60 ycg 33 e b0 88 cm h 45 cm ycg 35 d 415 kc 4101 βx 022 βx23 0259 domínio 2 Ks 00252 As 510 cm2 216 UNIUBE Adotandose 2φ16 1φ125 mm temos As 525 cm2 51 cm2 OK ycg 076 25 33 cm 35 cm OK b0 845 20 25 25 15 cm OK A seção está verificada conforme as expectativas A Figura 69 detalha a armação destas duas seções Figura 69 Detalhamento do posicionamento das barras na seção Fonte o autor Foram dimensionadas as seções mais solicitadas de cada uma das duas regiões de armação a do tramo AB e a do apoio B A seguir vamos fazer a cobertura do diagrama de momento fletor ou seja extrapolar o dimensionamento destas seções para suas respecti vas regiões UNIUBE 217 Região do Tramo AB Para um momento fletor de 10667 kNm foi determinada uma ar madura As 104 cm2 e adotado 4φ16 2φ125 mm totalizando As 1049 cm2 Observe que as seções desta região são solicitadas por momentos fletores variando entre zero e o máximo e a inten ção é adequar a armadura calculada conforme a solicitação das seções ou seja uma seção solicitada por metade deste momento fletor terá metade desta armadura Isto será feito interrompendo as barras na medida em que a solicitação decrescer Portanto devemos estabelecer um esquema de corte das barras conforme apresentado na Figura 41 Observe que se buscou a simetria e que longitudinalmente temos a região central com todas as barras uma região intermediária com as quatro barras de 16 mm e as regiões das extremidades com duas barras de 16 mm Figura 70 Esquema de corte da armadura longitudinal Fonte o autor IMPORTANTE Na Figura 70 À esquerda é apresentado o esquema da disposição real das barras e à direita o esquema de corte das barras 218 UNIUBE As barras A B e C são fictícias A barra A por exemplo indica duas barras de φ16 mm idênticas ou seja mesmo diâmetro comprimento e forma A barra B difere da A por apresentar comprimento diferente e a C por apresentar diâmetro e com primento diferentes A armadura está disposta em duas camadas na primeira es tão as quatro barras de 16 mm e na segunda as duas barras de 125 mm No esquema de corte apresentado à direita as barras A B e C não estão dispostas em três camadas as barras A e B estão na primeira camada e a barra C na segunda camada O esquema está apenas indicando a sequência de corte das barras O próximo passo é determinar o comprimento e o posicionamento longitudinal dessas barras e isso será feito por meio da cobertura de diagrama Para o momento fletor de 10667 kNm foi determinada uma ar madura As 104 cm2 ou seja cada cm2 de armadura absorve 10257 kNm 10667 10257 1 104 Mf As Mf x x x As A cobertura de momento fletor consiste portanto em dispormos a armadura no tramo para que esta resista ao momento fletor atuan te em cada seção Conforme o esquema de corte adotado Figura 70 inicialmente é colocada a barra A 2φ16 depois a barra B 2φ16 e finalmente a barra C 2φ125 UNIUBE 219 Como temos a seção de aço das barras A B e C 2φ16 tem uma seção de 40 cm2 e 2φ125 tem uma seção de 245 cm2 e já de terminamos que cada centímetro quadrado de armadura absorve 10257 kNm podemos determinar o momento absorvido pelas barras A B e C As cm2 Mf Absorvido kNm Σ Mf Absorvido kNm A 2φ16 mm 40 4103 4103 B 2φ16 mm 40 4103 8206 C 2φ125 mm 245 2513 10719 Agora fazemos a cobertura do diagrama A Figura 71 mostra a sequência da cobertura do diagrama de mo mento fletor Inicialmente é colocada a barra A 2φ16 mm que irá absorver 4103 kNm e na sequência adicionamos a barra B 2φ16 mm que juntamente com a barra A irão absorver 8206 kNm e finalmente adicionamos a barra C 2φ125 mm as barras A B e C irão absorver 10719 kNm IMPORTANTE Observe que a armadura vai absorver um momento de 10719 kNm maior que o momento fletor calculado de 10667 kNm isto se deve ao fato de que foi determinada uma armadura As 104 cm2 e adotamos uma armadura As 1049 cm2 220 UNIUBE Mf kNm 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 vão m barras A 2φ16 mm Mf kNm 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 vão m barras A 2φ16 mm barras B 2φ16 mm UNIUBE 221 Figura 71 Cobertura do diagrama de momento fletor Tramo AB Fonte o autor A Figura 72 mostra as dimensões das barras obtidas na cobertura do diagrama de momento fletor Ainda não são as dimensões fi nais pois falta ancorálas o que aprenderemos logo adiante 222 UNIUBE Figura 72 Cobertura do diagrama de momento fletor Tramo AB Fonte o autor IMPORTANTE Observemos que foi adotado um eixo de referência passando pela seção do momento fletor máximo e foram tomadas as dimensões à esquerda e à direita deste eixo Isto é muito importante pois como veremos ao calcular a ancoragem à esquerda as barras terminam muito próximas do apoio e à direita o apoio está mais distante Além disso este eixo está deslocado para a esquerda do tramo e o posicionamento da armadura deverá constar do projeto pois se a armadura for centrada as seções à direita do eixo de momento fletor máximo estarão com mais armadura que o necessário e as da esquerda com menos UNIUBE 223 Região do Apoio B Na cobertura do diagrama de momentos para a região do apoio B procederemos de forma análoga Para um momento fletor de 60 kNm foi determinada uma armadura As 51 cm2 e adotado 2φ16 1φ125 mm totalizando As 525 cm2 Na Figura 73 apresentamos o esquema de corte Figura 73 Esquema de corte da armadura longitudinal Fonte o autor 60 11765 1 51 Mf As Mf x x x As Cada cm2 de armadura absorve 10257 kNm Conforme o esque ma de corte a armação começa com a barra D 2φ16 e depois com a barra E 1φ125 ou seja As cm2 Mf Absorvido Σ Mf Absorvido D 2φ16 mm 40 4706 4706 E 1φ125 mm 125 1447 6153 A cobertura do diagrama é apresentada na Figura 74 224 UNIUBE Figura 74 Cobertura do diagrama de momento fletor Apoio B Fonte o autor Com isto determinamos a cobertura de diagramas de momento fletor para esta viga o primeiro passo no detalhamento da armadu ra longitudinal No próximo capítulo abordamos a ancoragem das barras e como exemplo continuamos este exercício 52 Ancoragem 521 Introdução O concreto simples é composto pelos agregados areia e brita pelo aglomerante cimento e a água Sabemos que possui boa UNIUBE 225 resistência à compressão e uma resistência à tração muito peque na aproximadamente um décimo da resistência à compressão Com a adição da armadura ao concreto simples posicionada nas re giões tracionadas temse o concreto armado um compósito ou seja um material composto por dois ou mais tipos de materiais diferentes Uma das características fundamentais do concreto armado é o tra balho conjunto do concreto e o aço aliás uma das denominações da armadura de concreto armado é armadura passiva e esta de nominação devese a esse trabalho solidário ou seja se a seção estiver em repouso a armadura também estará e se for solicitada tração ou compressão a armadura também o será Essa solidariedade é obtida pela aderência que existe entre os materiais componentes do concreto armado particularmente entre o concreto e o aço A aderência bond em inglês é responsável pela união pela solidariedade entre esses materiais impedindo o escorregamento da armadura em relação ao concreto e provocan do o trabalho conjunto desses dois materiais seja em termos de transferência de esforços entre aço e concreto seja em termos de compatibilidade de deformações que é uma das hipóteses funda mentais do concreto armado Podemos dizer que a aderência compreende três parcelas a ade rência por adesão a por atrito e a mecânica Aderência devida à adesão é a cola que liga os materiais São ligações físicoquímicas que se formam na interface en tre os materiais iniciandose com a concretagem e aumen tando com a pega e o endurecimento do concreto 226 UNIUBE Aderência por Atrito são as forças de atrito existentes na in terface de contato entre dois materiais e como tal manifestase sempre que existe tendência ao deslocamento relativo destes materiais A sua influência é tanto maior quanto for a rugosidade da superfície e a compressão externa exercida pelo concreto re tração apoios diretos das vigas e nas partes curvas das barras Aderência Mecânica ao contrário das anteriores buscase com a aderência mecânica um aumento significativo da aderên cia global No processo de fabricação são introduzidas na super fície das barras saliências ou reentrâncias para a criação de for ças localizadas contrárias ao movimento relativo dos materiais Essas armaduras são chamadas de barras de alta aderência A aderência mecânica também se manifesta nas barras lisas embora de forma reduzida em virtude das imperfeições da superfície das barras Ao dimensionar as seções de concreto armado observamos que a arma dura está submetida a uma tensão σs nos domínios 2 e 3 σs fyd mas nas extremidades das barras essa tensão é nula pois não existe nenhu ma força aplicada nas extremidades da barra ou seja estas barras ne cessitam de um comprimento adicional em suas extremidades para gerar essa tensão de serviço Esse trecho é o que denominamos ancoragem por aderência IMPORTANTE Ancoragem portanto é a região de término das barras Esta região é geradora da tensão de serviço σs ou dito de outra forma é nesta região que os esforços atuantes na barra são transferidos para o concreto UNIUBE 227 522 Zonas de ancoragem Como vimos nessa introdução a aderência está diretamente vincu lada à relação entre a armadura e o concreto que a envolve e essa relação pode ser prejudicada por uma série de fatores entre os quais a região da seção de concreto que acomoda a armadura as camadas inferiores são mais adensadas que as superiores em função do volume de concreto sobre elas a vibração do concreto necessária para a eliminação dos bolsões de ar tem como efeito colateral a descida do material mais pesa do e a elevação do mais leve ou seja há uma movimentação da água excedente na mistura para as camadas superiores que com a evaporação afloram à superfície superior para a atmosfera Este fenômeno chamado de exsudação torna a camada superior mais porosa veios capilares que a inferior e uma barra colocada nessa região pode estar em contato com esses vazios a direção da extremidade da ancoragem as barras posicionadas verticalmente têm uma capacidade de ade rência significativamente maior que as posicionadas horizontalmente Os comprimentos de barras necessários para a ancoragem depen derão destas barras estarem localizadas em regiões de boa ou má aderência ou seja uma barra em uma região de má aderência necessitará de um comprimento de ancoragem maior do que o ne cessário em uma região de boa aderência 228 UNIUBE A NBR 6118 introduz o conceito de regiões de boa e má aderência e conforme o posicionamento das barras nestas regiões estas po derão estar em situação de boa ou má aderência Consideramos em situação de boa aderência os trechos das barras que estejam em uma das seguintes posições a Com inclinação não inferior a 45 sobre a horizontal b Com inclinação menor que 45 sobre a horizontal desde que h 60 cm localizadas no máximo 30 cm acima de face infe rior da peça ou da junta de concretagem mais próxima h 60 cm localizadas a mais de 30 cm abaixo da face supe rior da peça ou da junta de concretagem mais próxima Os trechos das barras em outras posições ou quando do uso de formas deslizantes devem ser considerados em má situação quanto à aderência IMPORTANTE As barras com gancho estão automaticamente em situação de boa ade rência assim como todas as barras em elementos com altura menor ou igual a 30 cm é o caso da armadura de lajes maciças por exemplo UNIUBE 229 A Figura 75 exemplifica as situações de boa e má aderência Em a b e c temos elementos com alturas inferiores ou iguais a 30 cm entre 30 e 60 cm e superiores ou iguais a 60 cm em d temos a situação de um encontro laje com viga onde a região de boa ade rência da laje se encontra com a de má aderência da viga e em e o caso das barras inclinadas a mais de 45 com a horizontal Figura 75 Regiões de boa e má aderência Fonte o autor 523 Resistência de aderência A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na anco ragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão 1 2 3 bd ctd f f η η η Onde 23 2 inf 3 07 07 03 015 ctk ct m ck ctd ck c c c f f f f f γ γ γ 230 UNIUBE 1 10 para barras lisas 14 para barras entalhadas 225 para barras nervuradas η 2 10 para situações de boa aderência η 07 para situações de má aderência 3 10 para 32 mm 132 100 para 32 mm φ η φ φ Onde φ é o diâmetro da barra em milímetros RELEMBRANDO Vamos relembrar um pouco a notação e a simbologia usada em concreto armado A notação é composta por símbolos base e por símbolos subscritos fbd f é um símbolo base usado para designar resistência cuidado que F significa força os símbolos subscritos eles funcionam como adjetivos para tipi ficar o símbolo base b significa adesão em inglês bound lembrase de uma cola super d significa cálculo projeto em inglês design fbd portanto significa resistência da aderência de cálculo A seguir temos fctd que significa resistência de cálculo do con creto à tração Veja a seção Capítulo IV da NBR 6118 se ainda está com dúvidas ok UNIUBE 231 Exemplo 2 Considerando concreto C25 e barras de aço CA50 com diâmetro inferior ou igual a 32 mm em uma região de boa aderência deter mine a resistência de aderência fbd 2 2 015 25 3 1282 MPa 01282 kNcm fctd Considerando situação de boa aderência η2 10 aço CA50 barras nervuradas η1 225 e sempre φ 40 mm η3 10 2 225 01282 0289 kNcm fbd DICAS Atenção Sempre que tivermos uma raiz de fck devemos usar fck em MPa e como normalmente trabalhamos com unidades em kN e cm devemos converter para MPa extrair a raiz e retornar para kNcm 1 MPa 10 kNcm2 O nosso aço estrutural é o CA50 portanto sempre vamos ter η1 225 Espero sinceramente que nunca use um diâmetro de 40 mm A partir do diâmetro de 22 mm a concentração de tensões na armadura e também no concreto que a envolve começa a ficar complicada com problemas de fissuração etc portanto teremos sempre η3 10 φ 40 mm 232 UNIUBE A Tabela 23 apresenta os valores de fbd para o Aço CA50 em fun ção da classe de resistência do concreto Tabela 23 Valores da resistência de aderência fbd para aços CA50 com φ 32 mm 1 2 3 bd ctd f f η η η kNcm2 Concreto 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa Boa Aderência 02487 02886 03259 03612 03948 0427 04581 Má Aderência 01741 0202 02281 02528 02764 02989 03207 Fonte o autor 524 Comprimento básico de ancoragem Vamos definir comprimento básico de ancoragem o comprimento mínimo necessário para ancorar uma barra reta ou seja o com primento necessário para que por meio da aderência os esforços atuantes na barra sejam transferidos para o concreto O ensaio clássico para a quantificação de aderência é o ensaio de arrancamento apresentado esquematicamente na Figura 76 Uma barra de aço incrustada em um bloco de concreto é submetida a uma força F e pretendese obter o comprimento mínimo da barra incrustada no bloco UNIUBE 233 Figura 76 Comprimento básico de ancoragem Fonte o autor O problema consiste em determinar a resultante das tensões de aderência que equilibra a forca F aplicada Inicialmente temos que a tensão na armadura não pode exceder a fyd e como a barra é circular 2 4 yd F f π φ E a resultante das tensões de aderência bd b R f π φ Portanto 2 4 bd b yd f f π φ π φ 4 yd b bd f f φ 234 UNIUBE Exemplo 3 Determinar o comprimento de ancoragem básico de uma barra de 16 mm aço CA50 concreto C20 em situação de boa aderência 2 2 015 20 3 1105 MPa 01105 kNcm fctd aço CA50 barras nervuradas η1 225 situação de boa aderência η2 10 φ 16 mm 40 mm η3 10 2 225 01105 02487 kNcm fbd 2 50 115 43478 kNcm fyd 16 43478 4371 70 cm 4 02487 b φ Observemos que caso essa barra estivesse em uma situação de má aderência o valor de η2 seria 07 ou seja a resistência de ade rência seria reduzida em 428 e consequentemente o compri mento de ancoragem básico seria aumentado nessa porcentagem A Tabela 24 fornece os valores básicos de ancoragem para o aço CA50 com diferentes resistências características do concreto considerando as situações de boa e de má aderência Ainda não apresentamos os ganchos mas por enquanto vamos entendêlos como barras com extremidade inclinada a mais de 45 com a hori zontal As barras com gancho estão automaticamente em situação de boa aderência e como veremos a seguir o comprimento de ancoragem é multiplicado por um fator α1 07 UNIUBE 235 Tabela 24 Comprimentos básicos de ancoragem b b k φ Aço CA50 φ 32 mm η1 225 Concreto b b k φ Valores do coeficiente k Boa aderência Má aderência c Gancho s gancho s gancho C20 31 44 63 C25 27 38 54 C30 24 34 48 C35 22 31 43 C40 20 28 40 C45 18 26 37 C50 17 24 34 Fonte o autor 525 Ganchos A utilização de ganchos nas extremidades das barras aumenta substancialmente sua capacidade de ancoragem A utilização do gancho independente da barra estar localizada em uma região de boa ou má aderência traz a barra para a situação de boa aderência A Figura 76 mostra o esquema de arrancamento de uma barra por meio do qual foi deduzida a expressão do comprimento de anco ragem básico ou reto Imaginemos agora que a barra tenha este comprimento de ancoragem reto um pouco menor e um gancho em sua extremidade O arrancamento da barra com a ancoragem reta ocorre com a fa lência da aderência entre a barra e o concreto enquanto que no caso da barra com gancho é necessário também a ruptura da barra ou o esmagamento do concreto na região interna do gancho 236 UNIUBE A NBR 6118 2003 possibilita a ancoragem reta ou com gancho para as barras tracionadas com algumas exceções a as barras lisas são ancoradas obrigatoriamente com gancho b as barras comprimidas são ancoradas sem ganchos c as barras com alternância de solicitação de tração e com pressão são ancoradas sem gancho d as barras com φ 32 mm são ancoradas sem gancho recomendação e os feixes são ancorados sem gancho recomendação IMPORTANTE As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos pois a aplicação de esforços de compressão nos ganchos pode originar efeitos de segunda ordem Os ganchos nas extremidades das barras da armadura longitudinal compreendem uma curva seguida de um trecho reto e podem ser a semicirculares com ponta reta de comprimento não inferior a 2 φ b em ângulo de 45 interno com ponta reta de comprimento não inferior a 4 φ c em ângulo reto com ponta reta de comprimento não inferior a 8 φ UNIUBE 237 IMPORTANTE Para as barras lisas os ganchos devem ser semicirculares A Figura 77 ilustra os diferentes tipos de ganchos das armaduras de tração D é o Diâmetro interno de curvatura ou diâmetro dos pinos de dobramento Figura 77 Ganchos das armaduras de tração Fonte o autor O diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudi nais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 25 Tabela 25 Diâmetro dos pinos de dobramento D Bitola mm Tipo de aço CA25 CA50 CA60 20 4 φ 5 φ 6 φ 20 5 φ 8 φ Fonte NBR 6118 Tabela 91 238 UNIUBE Os estribos devem ser ancorados por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas Os ganchos podem ser a semicirculares ou em ângulo de 45º interno com ponta reta de comprimento igual a 5 φt porém não inferior a 5 cm b em ângulo reto com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φt porém não inferior a 7 cm este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos O diâmetro interno da curvatura dos ganchos dos estribos deve ser pelo menos igual ao estabelecido na Tabela 26 Tabela 26 Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos Bitola mm Tipo de aço CA25 CA50 CA60 10 3 φ 3 φ 3 φ 10 φ 20 4 φ 5 φ 20 5 φ 8 φ Fonte NBR 6118 Tabela 92 526 Comprimento de ancoragem necessário efetivo Ao se dimensionar uma seção de concreto armado determinase uma armadura As correspondente à resultante de tração Como vimos na Figura 76 as barras necessitarão do comprimento de an coragem b Em algumas situações pode ocorrer a adoção de uma armadura efetiva Asefet maior que a armadura calculada Ascalc UNIUBE 239 e como a resultante de tração permanece constante a armadura estará solicitada por uma força proporcionalmente menor neces sitando dessa forma de um comprimento de ancoragem menor 1 min s calc b nec b b s efet A A α Em que b é o comprimento básico de ancoragem 1 10 para barras sem gancho 07 para barras tracionadas com gancho com cobrimento 3 no plano normal ao do gancho α φ b mim é um limitante para a redução do comprimento de ancoragem b min 03 10 100 mm b φ Entre as situações nas quais se tem uma armadura efetiva maior que a armadura calculada duas possibilidades ocorrem com muita frequência ao dimensionar uma seção de concreto armado determina mos As e transformamos essa área de aço em barras de diâmetros comerciais com área maior ou igual à calculada Observe que às vezes adotamos uma combinação de barras com área próxima da calculada mas normalmente essa área supera a calculada em torno de 5 sendo que em alguns casos pode chegar a 10 ou mais Na prática não se consi dera a redução do comprimento de ancoragem nesses casos 240 UNIUBE os comprimentos de ancoragem disponíveis nos apoios são muito inferiores aos necessários conforme os valores obtidos na Tabela 24 O uso de ganchos nas ancoragens das barras que vão aos apoios tornase portanto imperativo mas ainda assim 31 27 ou 24φ são comprimentos de ancoragens muito grandes para apoios Nesses casos a solução é a redução desses comprimentos de ancoragens por meio da adoção de uma armadura efetiva maior que a calculada conforme a dis ponibilidade de ancoragem oferecida pelo apoio 527 Ponto de início de ancoragem Conforme o item 183231 da NBR 6118 2003 o ponto do início da ancoragem da barra situase na seção teórica onde a tensão σs começa a diminuir o esforço da armadura começa a ser transferido para o concreto e deve prolongarse pelo menos 10 φ além do ponto teórico de tensão σs nula não podendo em nenhum caso ser infe rior ao comprimento necessário de ancoragem bnec Na armadura longitudinal de tração dos elementos estruturais solicitados por flexão simples o trecho de ancoragem da barra deve ter início no ponto A Figura 78 do diagrama de forças RSd MSdz decalado do comprimen to a conforme item 1742 da NBR 6118 2003 max max 1 cotg cotg 05 2 Sd Sd c V a d d V V α α α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural portanto para estribos verticais α 90 max max 05 2 Sd Sd c V a d d V V UNIUBE 241 VSdmax Força cortante solicitante de cálculo máximo esforço cortante na face do apoio Vc é parcela de força cortante absorvida pela seção de concreto Figura 78 Cobertura do diagrama de força de tra ção solicitante pelo diagrama resistente Fonte NBR 6118 2003 Figura 183 À primeira vista parece que a determinação do ponto de início de ancoragem é alguma coisa muito complexa mas vamos ver com este exemplo que é relativamente simples 242 UNIUBE Exemplo 4 Retomar o exemplo 1 e determinar o comprimento total da barra C Mostrar para esta barra o ponto de início de ancoragem e as parcelas referentes à decalagem e à ancoragem Repetindo os dados do exemplo 1 Concreto C25 e aço CA50 bw 20 cm RA VSkAdir 80 kN RB 160 kN VSkBesq 100 kN VSkBdir 60 kN Ap Bp 20 cm dimensão dos pilares na direção da viga Portanto o maior esforço cortante é no apoio B à esquerda VSkmax VSkBesq 100 kN A Figura 72 mostra o resultado da cobertura de diagrama feita no exemplo 1 Como o apoio B tem 20 cm de largura o eixo do apoio estará cen trado ou seja a 10 cm da face e portanto um trecho de 10 cm UNIUBE 243 da viga estará dentro do pilar e esta parcela pode ser reduzida do esforço cortante portanto uma redução de 01 x 30 3 kN Este é o valor do esforço cortante da face do apoio a ser adotado max 14 100 3 1358 VSd kN Vc a parcela do esforço cortante a ser absorvida pelo concre to será determinada conforme modelo I na flexão simples item 17422b da NBR 6118 2003 06 c ctd w V f b d 2 3 inf 07 07 03 14 ctd ck c ct m c ck f f f f γ γ 2 3 015 ctd ck f f 2 3 2 015 25 1282 MPa 01282 kNcm fctd 06 01282 20 415 6387 kN c V Agora podemos determinar o valor de a o valor da decalagem do diagrama de momento fletor max max 1358 0944 05 2 1358 6387 2 Sd Sd c V a d d d d V V 3918 40 cm a 244 UNIUBE A Figura 79 mostra o diagrama de momento fletor decalado O dia grama pontilhado é o diagrama original o real e em traços cheios o diagrama decalado Na decalagem do diagrama os pontos do diagrama real são transladados horizontalmente de a afastando se em relação aos seus eixos de momento fletor máximo Ordenadas momento fletor em kNm e abscissas vão da viga em metros Figura 79 Decalagem do diagrama de momento fletor Fonte o autor A Figura 80 mostra as parcelas do comprimento de uma barra À esquerda e à direita do eixo de momento máximo temos a parcela referente à cobertura do diagrama a parcela referente à decala gem a e o comprimento de ancoragem fornecido na Tabela 24 UNIUBE 245 Figura 80 Detalhamento das parcelas do comprimento de uma barra Fonte o autor Com o valor de a 40 cm e com o comprimento de ancoragem reta básico fornecido pela Tabela 24 para concreto C25 igual a 38 φ 38 x 125 475 cm o comprimento da barra C será barra C à esquerda 128 40 475 2155 cm barra C à direita 128 40 475 2155 cm barra C Total 2155 2155 4310 cm Exemplo 5 Neste exemplo vamos analisamos as demais barras As Figuras 81 e 82 mostram a cobertura de diagrama com o diagrama real e o decalado Observe que é a partir do diagrama decalado que as barras têm o início de sua ancoragem e esse comprimento é de 38 φ para as barras sem gancho Tabela 24 concreto C25 ou seja 475 cm para a barra de 125 mm e 61 cm para a de 16 mm 246 UNIUBE Figura 81 Tramo AB decalado Ponto de início de ancoragem das barras Fonte o autor Figura 82 Apoio B decalado Ponto de início de ancoragem das barras Fonte o autor UNIUBE 247 As Figuras 81 e 82 nos mostram várias barras com problemas mostram também por que a necessidade de se verificar os compri mentos à esquerda e à direita das barras A Figura 83 mostra o esquema longitudinal da viga considerando seus apoios A e B com dimensões a b 20 cm adotadas no exemplo 4 O vão da viga referese à distância entre centros de apoios e o vão do balanço à distância do centro do apoio B à extremidade do balanço É possível visualizar por meio desta figura que as barras da armadura do tramo AB têm um comprimento limite à esquerda que não pode ser ultrapassado da mesma forma que as barras do apoio B são limitadas à direita pelo comprimento do balanço Figura 83 Esquema longitudinal da viga com apoios Fonte o autor Conforme mostra a Figura 83 a viga termina no apoio A portan to nenhuma das barras no tramo AB podem ter um comprimento superior à distância do eixo do momento fletor máximo positivo à lateral externa do apoio A ou seja 267 a2 e desse valor devese ainda descontar o cobrimento de concreto Adotando se um cobrimento c 20 cm e a dimensão do pilar a 20 cm nenhuma das barras poderá ter à esquerda um comprimento su perior a 267 10 20 275 cm e portanto 248 UNIUBE barra A esquerda Aesq 267 40 anc 275 cm problema barra B esquerda Besq 209 40 anc 310 cm 275 cm problema barra C esquerda Cesq 128 40 anc 2155 cm 275 cm OK O ponto de início de ancoragem da barra A está fora da viga e a ancoragem da barra B iniciase dentro da viga porém termina fora da viga Estas duas barras estão com problemas No apoio B à direita a viga não termina neste apoio temos um balanço ou seja a armadura pode se estender até o término do ba lanço menos o cobrimento de concreto ou seja 200 20 198 cm Esse é o comprimento máximo permitido para as barras portanto barra D direita Ddir 200 40 61 301 cm adotase Ddir 198 cm barra E direita Edir 23 40 475 1105 cm OK O fato de algumas barras terem apresentado problemas significa que precisamos de mais elementos para analisálas 528 Ancoragem nos apoios A NBR 6118 estabelece alguns critérios para as armaduras longi tudinais que resistem aos esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas UNIUBE 249 em cada tramo uma parcela mínima da armadura calculada para a seção mais solicitada deve ser prolongada até os apoios se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto Mapoio 05 Mvão um mínimo de 13 Asvão deve ser prolongada até o apoio se Mapoio for negativo e de valor absoluto Mapoio 05 Mvão um mínimo de 14 Asvão deve ser prolongada até o apoio A Figura 84 exemplifica a armadura mínima a ser prolongada aos apoios por meio de duas vigas bi apoiadas com balanço à direita Em ambas o momento fletor máximo no tramo ocorre na seção C seção de aço AsC o momento no apoio A é nulo e consequente mente inferior a 12 MfC portanto 13 da armadura AsC deve ser prolongada até o apoio A Em ambas as vigas têmse balanço à direita e consequentemente momentos negativos nos apoios B porém na viga da esquerda o momento em B em módulo é inferior à metade do momento em C e portanto 13 da armadura AsC deve ser prolongada até o apoio B da viga esquerda Na viga à direita o momento em B em módulo é superior à metade do momento em C e portanto 14 da armadura AsC deve ser prolongada até o apoio B da viga direita Figura 84 Armadura mínima de tração prolongada até os apoios Fonte o autor 250 UNIUBE Nos apoios intermediários e extremos se o ponto de início de ancoragem estiver na face do apoio ou além dela e a força RSd diminuir em direção ao centro de apoio o trecho de ancora gem deve ser medido a partir dessa face É a situação da barra A do exemplo 5 que é apresentada de forma detalhada na Figura 85 Observe que o eixo do apoio da viga está dentro do pilar e o ponto de início de ancoragem está além da face externa do apoio está 30 cm fora da viga A Figura 85 mostra à direita a barra seu ponto de início de anco ragem e o comprimento disponível para ancorar a barra que será igual à largura do pilar menos o cobrimento da armadura adotado Figura 85 Ponto de início de ancoragem além da face do apoio Fonte o autor Nos apoios extremos para garantir ancoragem da diagonal de compressão as armaduras devem resistir a uma força de tração sd d d a R V N d Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente ou seja salvo os casos de flexocompressão Nd é nulo e dessa forma UNIUBE 251 sd d a R V d Isto nos dá condições para determinar a armadura mínima Ascal para garantir a ancoragem da diagonal de compressão sd s calc yd R A f Nos apoios intermediários as barras prolongadas até o apoio deverão atingir a face do apoio e ultrapassála em 10 φ res peitando o comprimento mínimo de ancoragem Voltamos à situação da barra A ou seja das barras que deverão ir de apoio a apoio 13 ou 14 da armadura referente ao Mfmax de verá ser prolongada até os apoios Vamos supor que somados os comprimentos de cobertura do diagrama de decalagem e de anco ragem a barra não atinja 10 φ além da face do apoio intermediário Nesse caso a barra deverá ser prolongada até ultrapassar a face do apoio em 10 φ A Figura 86 caracteriza esta situação Figura 86 Barras prolongadas até o apoio intermediário Fonte o autor 252 UNIUBE Nos apoios intermediários se houver qualquer possibilidade da ocorrência de momentos positivos nessa região provoca dos por situações imprevistas particularmente por efeitos de vento ou eventuais recalques as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio 529 Apoios extremos comprimento mínimo de ancoragem Nas ancoragens da armadura de tração nos apoios externos vi mos que as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir da face do apoio e devem ter comprimento igual ao fornecido pelo comprimento de ancoragem necessário bnec O espaço disponí vel para essa ancoragem é bastante reduzido pois podemos ter como apoio pilares ou vigas com até 12 cm de espessura e ainda é necessário descontar um mínimo de dois centímetros para o co brimento da armadura A NBR 6118 2003 permite para as ancoragens de apoio de extre midade o comprimento de ancoragem necessário bnec com com primento superior ou igual ao maior dos seguintes valores 1 55 60 mm s calc b nec b s efet r A A φ α Sendo b o comprimento básico de ancoragem 1 10 para barras sem gancho 07 para barras tracionadas com gancho com cobrimento 3 no plano normal ao do gancho α φ UNIUBE 253 d sd s calc yd yd a V R d A f f φ é o diâmetro da barra e r é o raio interno de curvatura da barra Tabela 25 A Tabela 27 apresenta os comprimentos mínimos de ancoragem em apoios de extremidade condicionados aos valores do compri mento de ancoragem necessário bnec Tabela 27 Comprimento de ancoragem mínimo para barras com gancho chegando ao apoio φ mm r55φ cm Diâmetro interno de curvatura 5 φ para φ 20 mm 8 φ para φ 20 mm 50 6 63 6 80 7 100 8 125 10 160 13 200 19 220 21 250 24 320 30 400 38 Fonte o autor 254 UNIUBE A Tabela 28 sintetiza uma padronização para a representação grá fica dos ganchos conforme apresentado na Figura 86 O gancho de 90 compreende uma curva de 90 com ponta reta de comprimento não inferior a 8φ e é graficamente representado por um segmento de comprimento G perpendicular à extremidade da barra Nessa tabela consideramse armaduras longitudinais aço CA50 e os di âmetros internos de curvatura 5φ e 8φ respectivamente para φ 20 mm e para φ 20 mm Para φ 20 mm obtevese o coeficiente k 9213 e para φ 20 k 1007 Figura 87 Representação esquemática do gancho de 90 Fonte o autor Tabela 28 Valores do gancho de 90 para representação gráfica φ A B C K G cm G cm Calculado Adotado 50 40 24 18 92 46 10 63 50 30 22 58 80 64 38 28 74 100 80 47 35 92 125 100 59 44 115 15 160 128 75 56 147 UNIUBE 255 200 160 141 100 1007 201 25 222 178 157 111 220 250 200 177 125 252 30 320 256 226 160 322 35 400 320 283 200 403 45 Fonte o autor Exemplo 6 Retomar os exemplos 4 e 5 e concluir o exercício Antes de iniciar vamos recuperar as informações já obtidas Obs será usada ancoragem com gancho Tabela 24 C25 27 φ a 40 cm φ 125 bnec 27 φ 34 cm e φ 16 bnec 27 φ 44 cm 256 UNIUBE Barra A Ancoragem de apoio Apoio A 0944 14 80 10573 kN sd d a d R V d d 2 10573 243 cm 50 115 sd s calc yd R A f 1 s calc b nec b s efet A A α 2 1 27 10498 243 583 cm 18 18 b s efet s calc b nec A A α φ 55 25 55 16 128 mm 18 cm 60 mm b nec r φ Exemplo 1 AsAB 1040 cm2 adotado 4 φ 16 2 φ 125 1049 cm2 Apoio A ancorar no mínimo de 13 de As 347 cm2 como 583 13 de As 347 cm2 ok No apoio A devem ser ancoradas as barras A e B 4 φ 16 80 cm2 Apoio B ancorar no mínimo de 14 de As 26 cm2 No apoio B deve ser ancorada a barra A 2 φ 16 40 cm2 Tramo AB à esquerda 257 18 275 cm à direita distância à face do apoio B 323 cm UNIUBE 257 barra Aesq ancoragem de apoio 257 18 275 barra Adir 267 40 44 351 cm 323 10x16 339 face apoio 10 φ ok barra Besq ancoragem de apoio 257 18 275 barra Bdir 209 40 44 293 barra Cesq Cdir 128 40 34 202 cm Apoio B à direita disponível pelo balanço 200 2 198 cm barra Desq 67 40 44 151 cm barra Ddir Balanço 198 cm barra Eesq 14 40 34 88 cm barra Edir 23 40 34 97 cm Ganchos Tabela 28 para φ125 e φ16 mm o valor de G 15 cm Na Figura 88 é apresentado um esquema da armadura longitudinal da viga calculada neste exemplo Vamos observar um pouco a figu ra para explicar algumas alterações feitas no desenho 258 UNIUBE Figura 88 Representação esquemática da armadura longitudinal Fonte o autor Observações a Em uma prancha de armação são desenhadas várias vigas e as barras são numeradas em cada viga da esquerda para a direita de cima para baixo e desta forma a barra D tornou se a N2 a barra E a N3 a barra C a N4 a barra B a N5 e a barra A a N6 b Sempre que tivermos barras idênticas com mesma geometria e dimensões na mesma viga ou em outras vigas da mesma prancha elas terão a mesma numeração c Para os comprimentos das barras foram tomados múltiplos de cinco Para a barra N2 barra D por exemplo foram de terminados 151 cm à esquerda e 198 cm à direita totalizando 349 cm Este comprimento foi arredondado para 350 cm que somados aos 30 cm dos ganchos totalizam os 380 cm apre sentados como comprimento total da barra UNIUBE 259 d As barras precisam ser locadas na viga As barras N2 N5 e N6 são posicionadas 20 cm afastadas da forma A barra N5 está a 75 cm da forma lateral do Apoio A e Para a barra N3 foram feitas três locações 88 e 97 respecti vamente à esquerda e à direita do centro do apoio e 103 cm a partir da forma da extremidade do balanço Esta redundância de locações não só é desnecessária como deve ser evitada f Os pontos de momento fletor máximo positivo devem ser evi tados para a locação das barras pois primeiro teríamos que locálos no projeto e as referências para locação devem ser físicas como as formas os eixos de apoios etc g Em um projeto o eixo do momento fletor máximo positivo não seria desenhado assim como a palavra cobrimento não seria escrita e nem as contas 277202 e 20097 seriam indicadas 5210 Armaduras construtivas e porta estribos As barras N1 e N7 não foram calculadas elas simplesmente foram acrescentadas ao detalhamento Estas barras são denominadas armaduras construtivas Cada seção deve ter um número mínimo de barras para fixação dos estribos na seção retangular devemos colocar uma barra em cada canto As barras da armadura estrutural estas que calculamos para a armadura de flexão podem ser usadas para a fixação dos estribos mas na viga ficaram algumas regiões sem armadura de flexão Na borda superior te mos um longo trecho do apoio A até a barra N2 e na borda inferior toda a região do balanço Daí a necessidade das barras N1 e N7 260 UNIUBE A barra N1 é o que denominamos como porta estribo Deve ter diâmetro maior ou igual ao do estribo 50 mm e maior ou igual a ¼ do maior diâmetro da armadura longitudinal ¼ 16 40 mm Esta barra é construtiva não tem função estrutural portanto não necessita de ganchos e seu comprimento deve ter início na face do apoio A ir até alcançar a barrar N2 e ultrapassála 10 ou 15 cm o necessário para amarrála à N2 com arame recozido A barra N7 também vai trabalhar como porta estribo porém é di ferente da barra N1 Observe que durante a construção a extre midade do balanço pode estar apoiada aliás durante a vida útil da estrutura isto pode acontecer portanto a armadura na borda inferior deve atender aos quesitos da armadura mínima de flexão No Capítulo III quando estudamos as lajes apresentamos na Tabela 11 as taxas mínimas de armadura de flexão para vigas de seção retangular Está estranhando esta tabela estar no con teúdo referente a lajes Não se esqueça de que as lajes foram modeladas como vigas fictícias de 10 m de largura Vamos repetir esta tabela aqui ok Tabela 29 Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas de seção retangular Valores de ρmin AsminAc fck ωmín 20 25 30 35 40 45 50 0035 0150 0150 0173 0201 0230 0259 0288 Fonte NBR 6118 item 1735 Tabela 173 UNIUBE 261 Valores de ρmin estabelecidos para aço CA50 γc 14 e γs 115 ωmin taxa mecânica mínima de armadura longitudinal para valores diferentes de fck fyk γc e γs min min cd yd f f ρ ω Como nossa viga tem 20 x 45 cm e concreto C25 da tabela temos ρmin 015 portanto Asmin ρmin Ac 00015 20 45 10 cm2 Duas barras de 80 mm seriam suficientes mas vamos adotar para a barra N7 φ de 100 mm A barra N7 pode ter função estrutural portanto seu comprimento deve ir da face do balanço respeitado o cobrimento e penetrar 10φ a face do apoio B no caso fomos até a outra face 5211 Ancoragens de barras comprimidas Na construção de um edifício normalmente executamos os pila res as vigas e as lajes de cada pavimento sistematicamente até a cobertura É comum vermos que a armadura dos pilares do pa vimento concretado fica esperando as armaduras dos pilares do pavimento superior Figura 89 Esta é a armadura de espera de arranque ou de emenda por aderência Nas estruturas usuais de concreto armado o exemplo mais co mum do uso das armaduras comprimidas acontece nos pilares e são nestes que acontece com mais frequência a necessidade da 262 UNIUBE emenda por aderência das barras comprimidas Outro caso bas tante comum do uso de barras comprimidas ocorre nas vigas cal culadas com armadura dupla Figura 89 Representação esquemática de emen das das armaduras longitudinais de pilares Fonte o autor O comprimento de ancoragem das barras comprimidas é calculado como o comprimento de ancoragem reta sem gancho das barras tracionadas 53 Emendas de barras por aderência 531 Introdução As emendas de barras de aço são bastante comuns nos projetos e obras de concreto armado Podemos ter vigas de grandes vãos em que as barras precisam ser emendadas para atingir o comprimento UNIUBE 263 necessário ou a ligação de elementos estruturais executados em diferentes etapas como são os casos por exemplo das armadu ras de espera de escadas marquise pilares etc As emendas das barras para concreto armado podem ser Por traspasse Por luvas com preenchimento metálico rosqueadas ou prensadas Por solda Por outros dispositivos devidamente justificados Neste texto vamos abordar apenas as emendas por traspasse ou seja as emendas baseadas na aderência entre o aço e o concreto Quando introduzimos os conceitos de aderência e ancoragem vi mos que o comprimento de ancoragem era um trecho na extremi dade da barra em que os esforços atuantes na barra são transfe ridos para o concreto ou dito de outra forma a região em que se gera a tensão de serviço de zero na extremidade da barra até σs Este é o princípio da emenda por traspasse e é mostrado na Figura 90 Acima temos uma barra A com seus trechos de ancoragem e a seguir duas barras B e C emendadas por traspasse com o mesmo comprimento da barra A 264 UNIUBE Figura 90 Princípio da emenda por traspasse Fonte o autor No detalhe da região do traspasse podemos observar que as duas barras juntas têm a tensão de serviço por exemplo na seção A temos σs para a barra B e zero para a barra C Na seção D temos 14 e 34 de σs ou seja a barra B a partir da seção A inicia a trans ferência dos esforços atuantes na barra para o concreto e a barra C a partir da seção A inicia a geração da tensão de serviço por meio da aderência Evidentemente estamos apenas expondo o conceito o princípio da emenda por traspasse Como veremos a seguir o comprimento da emenda deverá ser um pouco maior que o comprimento de ancora gem pois uma barra única inteira é muito mais segura que duas barras emendadas e dessa forma quanto mais crítica mais desfavo rável forem as condições da emenda por exemplo a proporção de barras emendadas a proximidade das barras emendas etc maior será a majoração do comprimento de ancoragem para a emenda UNIUBE 265 532 Emendas por traspasse A NBR 6118 2003 estabelece algumas restrições para as emendas de barras por traspasse ou por aderência não permitindo seu uso para barras de bitola superior a 32 mm feixes com o diâmetro do círculo de mesma área superior a 45 mm elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracio nada tirantes e pendurais O comprimento das emendas será determinado em função de três fatores distância livre entre barras emendadas proporção de barras emendadas na mesma seção comprimento de ancoragem necessário A Figura 91 mostra quatro barras em planta e na seção transversal da viga sendo que as barras laterais A e D estão emendadas por traspasse Apoiados nesta figura tecemos algumas considerações sobre as emendas por traspasse Figura 91 Distância livre entre barras emendadas Fonte o autor 266 UNIUBE Começamos por algumas questões de ordem prática por exemplo evitar fazer as emendas na região de momentos fletores máximos pois é a região mais armada com maior número de barras As emendas devem ser feitas preferen cialmente nos quartos extremos dos vãos Um ponto negativo das emendas por traspasse é a dificulda de de acomodar as barras na seção da viga pois cada barra emendada é duplicada na região da emenda Dividir o número de barras emendadas entre os dois lados da viga além de melhorar a acomodação das barras na seção reduz a proporção de barras emendadas na seção 5321 Emendas supostas na mesma seção transversal Se a distância entre o término de uma emenda e o início de outra for inferior a 20 do maior comprimento do trecho de traspasse essas emendas são consideradas na mesma seção transversal Observando a Figura 92 e considerando 01 e 02 os comprimentos de ancoragem das barras 1 e 2 com 01 100 cm e 02 80 a distância entre o tér mino de uma e o início da outra emenda deveria ser superior a 20 cm para que não sejam consideradas na mesma seção transversal UNIUBE 267 Figura 92 Emendas supostas na mesma seção transversal Fonte NBR 6118 Figura 93 Quando as barras têm diâmetros diferentes usamos o maior diâ metro para o cálculo do comprimento de traspasse 5322 Proporção máxima de barras tracionadas emendadas na mesma seção A proporção máxima de barras tracionadas da armadura principal emendadas por traspasse na mesma seção transversal do elemen to estrutural deve ser a indicada na Tabela 30 Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição todas as barras podem ser emendadas na mesma seção 268 UNIUBE Tabela 30 Proporção máxima de barras tracionadas emendadas Tipo de barra Situação Tipo de carregamento Estático Dinâmico Alta aderência em uma camada em mais de uma camada 100 50 100 50 Lisa φ 16 mm φ 16 mm 50 25 25 25 Fonte NBR 6118 Tabela 93 Considerando que o aço estrutural para concreto armado é o CA 50 um aço de alta aderência a proporção máxima de barras tra cionadas emendadas conforme a Tabela 29 será 100 quando as barras estiverem dispostas em apenas uma camada e 50 quan do em mais de uma camada 5323 Comprimento de traspasse de barras tracionadas isoladas Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compre endida entre zero e 4φ o comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas será 0t 0t bnec 0tmin α Sendo α0t o coeficiente função da porcentagem de barras emenda das na mesma seção Tabela 31 0t b 0tmin 03 15 200 mm α φ UNIUBE 269 Se distância livre entre barras emendadas for maior que 4φ ao compri mento 0t deve ser acrescida a distância livre entre barras emendadas Tabela 31 Valores do coeficiente α0t Barras emendadas na mesma seção 20 25 33 50 50 Valores de α0t 12 14 16 18 20 Fonte NBR 6118 Tabela 94 5324 Comprimento por traspasse de barras comprimidas isoladas Conforme a NBR 6118 2003 item 9523 o comprimento de traspas se das barras comprimidas é determinado por meio da expressão 0c nnec 0cmin Sendo b 0cmin 06 15 200 mm φ Considerações finais Neste capítulo aprendemos o conceito de ancoragem de emendas por traspasse e por fim aprendemos o detalhamento longitudinal da armadura de flexão Terminamos fazendo o cálculo e detalha mento completo da armadura de flexão de uma viga O detalhamento da armadura de flexão apresentado na Figura 88 está pronto completo inclusive com as armaduras construtivas Este detalhamento está pronto para ser desenhado em uma planta 270 UNIUBE de armação das vigas de uma planta de forma de um pavimento tipo por exemplo Isto significa que estamos quase chegando ao final No próximo capítulo vamos ver o cisalhamento vamos aprender a calcular e detalhar a armadura de cisalhamento os estribos Ao acrescentarmos o detalhamento dos estribos à Figura 88 o de talhamento da nossa viga exemplo estará completo e esta etapa do nosso curso concluída João Dirceu Nogueira Carvalho Introdução Vigas de concreto armado cisalhamento Capítulo 6 Fazer um cálculo exato perfeitamente exato signifi ca fazer matemática porém teríamos procedimentos complexos extensos e demorados que inviabilizariam os procedimentos normais do engenheiro então vamos estabelecer simplifi cações isto é o que chamamos modelagem matemática ou modelagem teórica e é o que faremos agora ao estabelecer nossas hipóteses de cálculo Anteriormente conceituamos modelagem matemática como sendo a adoção de hipóteses simplifi cadoras que viabilizem nossos cálculos fornecendonos resultados rápidos e confi áveis Há muito tempo mais precisamente no início do século 20 o estudo do concreto armado ainda estava engatinhando um engenheiro alemão chamado Emil Mörsch 18721950 propôs um método para calcular vigas de concreto armado Mörsch propôs uma analogia entre uma viga fi ssurada e uma treliça ou seja resolvendo esta treliça teríamos todas as informações relativas à viga de concreto Um século depois essa treliça é conhecida como Treliça Clássica de Mörsch Ritter Considerando uma viga bi apoiada de seção retangular Mörsch admitiu que após a fi ssuração seu comportamento é similar ao de uma treliça como a indicada na Figura 93 Figura 93 Treliça clássica de Mörsch Ritter Fonte o autor Supondo vigas de seção constante com armadura longitudinal suficientemente ancorada temos Banzo comprimido zona comprimida de concreto de altura x Banzo tracionado barras da armadura longitudinal de tração Montantes tracionados formado pela reunião dos estribos contidos na distância z supostos como um único estribo equivalente adotados como estribos verticais Diagonais comprimidas admitidas fissuras a 45º com a horizontal o concreto não fissurado entre duas fissuras formam as bielas de compressão z é o braço de alavanca o braço do binário formado pela resultante de concreto comprimido e pela resultante de aço tracionado Resolvendo a treliça a força nas barras do banzo superior nos fornecia a resultante de compressão no concreto a força nas barras do banzo inferior nos fornecia a resultante de tração no aço a força nos montantes verticais nos permitia verificar o cisalhamento e a força nas diagonais nos permitia analisar o esmagamento do concreto A chamada treliça clássica de RitterMörsh foi uma das concepções mais fecundas na história do concreto armado O dimensionamento à flexão foi muito modificado ao longo dos anos muitos modelos teóricos foram adotados em vários países do mundo No Brasil o dimensionamento à flexão já foi feito pelo Estádio I Estádio II Estádio III e desde 1975 pelos Estados Limites mas quanto ao cisalhamento um século depois calculamos os nossos estribos para combater o cisalhamento e verificamos o esmagamento do concreto com base na treliça Clássica de Morsch Ritter Evidentemente cem anos se passaram e nesse período os ensaios laboratoriais e as pesquisas foram aprimorados afinal foram desenvolvidas novas tecnologias novos equipamentos uma revolução nos instrumentos de medição e é claro os meios computacionais Este desenvolvimento científico nos mostraram imperfeições na teoria da treliça de Mörsch por exemplo a inclinação das fissuras é inferior a 45 na região próxima aos apoios o banzo superior inicia um processo de arqueamento inclinandose até encontrar o banzo inferior A treliça isostática por hipótese é na realidade muito hiperestática As bielas e o banzo superior ambos comprimidos se conectam rigidamente As normas de concreto adotam o modelo teórico proposto por MörschRitter com as correções devidas ao desenvolvimento científico e tecnológico ocorridas neste período Objetivos Conceituar o cisalhamento em vigas de concreto armado Desenvolver uma metodologia de cálculo conforme as prescrições estabelecidas pela NBR 6118 Cisalhamento verificação do estadolimite último Verificação de esmagamento de bielas Cálculo da armadura transversal Cargas próximas aos apoios Cálculo da parcela a ser absorvida pelo concreto Cálculo da parcela a ser absorvida pela armadura Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado Cálculo da armadura transversal com a utilização de tabelas Esquema Cisalhamento verificação do estadolimite último 61 A verificação do cisalhamento em elementos lineares é tratada pela NBR 6118 a partir do item 1741 de uma forma bastante simples e clara delineando toda a sequência de cálculo São admitidos dois modelos de cálculo que pressupõem a analogia com modelo em treliça de banzos paralelos associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc Em uma seção qualquer de uma viga ela estará submetida a um esforço cortante que terá uma parcela absorvida pelo concreto e a outra pela armadura Sd c sw V V V Onde VSd esforço cortante atuante na seção Vc parcela do esforço cortante absorvida pelo concreto Vsw parcela do esforço cortante absorvida pela armadura UNIUBE 275 Modelo de cálculo I neste modelo são admitidos as diagonais de compressão têm uma inclinação constan te θ 45 em relação ao eixo longitudinal do elemento a parcela complementar Vc tem um valor constante indepen dentemente de VSd Modelo de cálculo II neste modelo são admitidos as diagonais de compressão têm uma inclinação variável 30º θ 45 em relação ao eixo longitudinal do elemento a parcela complementar Vc sofre reduções com o aumento de VSd A norma nos apresenta dois modelos para verificar o cisalhamento o Modelo I mais simples e o Modelo II um pouquinho mais com plicado e nos é permitido optar por qualquer um dos dois A nossa opção será pelo Modelo I e mais como a expressiva maioria dos autores abordaremos apenas o Modelo I Na introdução observamos que ao resolver a treliça de Mörsch Ritter a força nas barras do banzo superior nos fornecia a resultan te de compressão no concreto a força nas barras do banzo inferior nos fornecia a resultante de tração no aço a força nos montantes verticais nos permitia verificar o cisalhamento e a força nas diago nais nos permitia analisar o esmagamento do concreto As forças nos banzos superior e inferior é a parte referente à fle xão e na introdução observamos que seria resolvida com base em outro modelo teórico Temos então três problemas para resolver 276 UNIUBE as bielas diagonais de compressão os montantes estribos verticais resolver o problema de usarmos dois modelos teóricos ao tra balharmos em uma mesma viga O que faremos a seguir será resolver estes três problemas o primeiro será verificar o esmagamento das bielas de compressão o segundo em uma seção qualquer submetida a um determinado esforço cortante determinar quanto o concreto absorve e com a di ferença que caberá ao aço determinar a armadura de cisalhamento o terceiro será compatibilizar os dois modelos mediante a de calagem do diagrama de momento fletor 62 Verificação de esmagamento de bielas A resistência do elemento estrutural em uma determinada seção transversal deve ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições O esforço cortante solicitante VSd deve ser inferior à força cortante resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto VRd2 2 Sd Rd V V Sendo 2 2 027 Rd v cd w V f b d α UNIUBE 277 Onde 2 1 250 v fck α fck expresso em megapascal MPa 2 1 25 v fck α fck expresso em kN cm2 IMPORTANTE Em edifícios nas vigas de seção retangular nunca teremos esma gamento de bielas Nas vigas de seção T o esforço cortante atinge valores muito altos mas raramente produzem o esmagamento das bielas Em pontes de concreto armado de duas longarinas as vi gas são calculadas como seção T e é comum o esmagamento de bielas Neste caso a solução é próxima aos apoios alargar a seção pelo lado de dentro da viga 63 Cálculo da armadura transversal DICAS Nas vigas temos a armadura de flexão que denominamos armadura lon gitudinal e representamos por φℓ Para o cisalhamento usamos os estri bos chamados como armadura transversal e representados por φt 278 UNIUBE 3 Sd Rd c sw V V V V VRd3 é a força cortante resistente de cálculo relativa à ruína por tração diagonal Vc é a parcela de força cortante absorvida pelo concreto e Vsw é a parcela a ser absorvida pela armadura transversal con forme os modelos I ou II 631 VSd Cargas próximas aos apoios A Norma permite que próximo aos apoios diretos carga e a reação de apoio aplicado em faces opostas comprimindoo se faça redu ções no esforço constante para carga distribuída 2 Sd Sd d V V permite tomar como VSd o valor do esforço cortante a uma distância d2 a partir da face do apoio Figura 94 Figura 94 Redução do esforço cortante cargas distribuídas Fonte do autor para carga concentrada aplicada a uma distância a 2d do eixo teórico do apoio a parcela do esforço cortante referente à carga concentrada pode ser reduzida multiplicandoa por a2d UNIUBE 279 ATENÇÃO Estas reduções não se aplicam à verificação do esmagamento das bielas Somente são válidas para o cálculo da armadura transversal 632 Cálculo da parcela a ser absorvida pelo concreto 06 c ctd w V f b d inf 23 23 07 07 03 015 14 ctk ctd ct m ck ck c c f f f f f γ γ Vc parcela a ser absorvida pelo concreto bw largura na alma da viga menor largura ao longo da altura útil d altura útil fctd resistência de cálculo do concreto à tração fctm resistência média do concreto à tração DICA Sempre que tivermos uma raiz de fck devemos entrar com o valor em Mpa É preciso tomar muito cuidado porque o cálculo é feito em kNcm2 280 UNIUBE 633 Cálculo da parcela a ser absorvida pela armadura Sd c sw sw Sd c V V V V V V Onde 09 cos sw sw ywd V A s d f sen α α Asw Seção da armadura transversal de um estribo fywd é a tensão na armadura transversal passiva limitada ao valor fyd não se tomando valores superiores a 435 MPa α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural podendose tomar 45 α 90 IMPORTANTE A armadura de cisalhamento pode ser constituída apenas por estribos que podem ser verticais ou inclinados ou por estribos e barras dobradas As barras dobradas são o aproveitamento da armadura de flexão com suas extremidades dobradas a 45º para combater o cisalha mento Quando utilizadas elas não podem resistir a uma parcela superior a 60 do esforço cortante Seu uso é desaconselhado por inviabilidade técnica e econômica Muito comum até a década de 1960 atualmente é raramente usada Os estribos inclinados por atuarem normalmente à abertura das fissuras de cisalhamento em princípio poderiam proporcionar uma redução de diâmetro porém por estarem inclinados a 45º teriam UNIUBE 281 um comprimento 40 maior Devemos considerar também os pro blemas construtivos decorrentes da fixação de armaduras inclina das Por estes motivos não são muito utilizados Considerando a armadura transversal composta apenas por estri bos verticais teremos α 90º e portanto sen α 1 e cos α 0 desta forma 09 sw Sd c sw sw ywd V V V V A s d f O que nos dá o espaçamento dos estribos em função do diâmetro do estribo adotado sw 09 ywd sw A d f s V DICAS Normalmente adotamos estribos de 50 mm o menor diâmetro permitido para estribos Se o espaçamento for muito pequeno por exemplo 50 ou 60 cm adotamos o diâmetro 63 mm e assim sucessivamente As tensões de cisalhamento são tensões pequenas e distribuídas e devem ser combatidas por ferros finos e bem distribuídos ao longo da viga Em edifícios normalmente resolvemos com o diâmetro de 50 mm e excepcionalmente com o 63 mm É preciso ser uma viga muito solicitada para usarmos um estribo de 80 mm em edifícios 282 UNIUBE Saiba mais Em uma longarina de ponte uma viga com vão de 25 a 30 m e seção bw x h 25 a 30 x 220 a 230 cm usamos estribos de 10 mm ou 125 mm Os estribos podem ser de 2 3 ou 4 ramos Ramos são as pernas os montantes dos estribos e a seção transversal dos estribos é dada pelo produto da seção da barra pelo número de ramos Na Figura 95 exemplificamos estes estribos Figura 95 Desenho esquemático de estribos Fonte o autor 6331 Taxa mínima de armadura de cisalhamento Aprendemos a calcular a armadura de cisalhamento para um deter minado esforço cortante no caso adotado um diâmetro o esforço cortante no apoio esquerdo nos dará um determinado espaçamen to de estribos e o esforço cortante no apoio direito nos dará outro ou o mesmo espaçamento de estribos UNIUBE 283 Tomemos como exemplo uma viga bi apoiada submetida a uma carga uniformemente distribuída O esforço cortante é positivo à esquerda terminando negativo à direita sendo nulo no meio da viga A questão é que calculamos o espaçamento dos estribos para os esforços cortantes nos apoios ou seja os esforços cortantes má ximos portanto calculamos os espaçamentos mínimos São estes espaçamentos que vamos utilizar no meio da viga Aliás não che gará um momento em que apenas o concreto poderá absorver todo o esforço cisalhante A resposta é não para a primeira pergunta e sim para a segunda mas a segunda pergunta tem um problema a norma não permite que apenas o concreto absorva todo esforço cisalhante ela exige uma taxa mínima de armadura de cisalhamento mesmo que o es forço cortante seja nulo No item 14411 a NBR 6118 prescreve que todos os elementos lineares submetidos a força cortante de vem conter armadura transversal mínima constituída por estribos com taxa geométrica 02 ct m sw sw w ywk f A b s sen f ρ α como sen α 1 02 ct m sw sw w ywk f A b s f ρ Como 23 03 ct m ck f f e 435 500 ywd ywk f MPa f MPa po demos tabelar ρswmim em função de fck Veja a Tabela 63 284 UNIUBE 6332 Esforço cortante relativo à taxa mínima de armadura de cisalhamento Se podemos determinar a armadura de cisalhamento para um esforço cortante podemos fazer o caminho inverso a partir da armadura de cisalhamento podemos determinar o esforço cortante que a produz Temos que 09 sw sw ywd V A s d f é a parcela do esforço cortante que cabe ao aço sw sw w A b s ρ é a taxa da armadura de cisalhamento portanto 09 09 09 sw sw sw ywd w ywd sw w ywd w A A V d f b d f b d f s s b ρ 02 ct m sw ywk f f ρ é a taxa mínima da armadura de cisalhamento portanto max min sw sw sw sw mim w w sw A A s b s b ρ ρ ρ é o espaçamento máximo min min 09 sw sw w ywd V b d f ρ Como min min Sd sw c Sd sw V V V V V V min Sd Sd k k mim f f V V V V γ γ UNIUBE 285 DICAS Em um diagrama de esforço cortante temos condições de deter minar o esforço cortante que para valores abaixo dele teremos a taxa mínima de armadura de cisalhamento portanto os maiores espaçamentos e para valores acima dele teremos a armadura de cisalhamento a ser determinada portanto com taxas de armadura de cisalhamento acima da mínima e com espaçamentos menores 6333 Prescrições de norma para a armadura de cisalhamento Já aprendemos a determinar as regiões onde vamos ter que cal cular a armadura de cisalhamento as regiões onde vamos colocar a taxa mínima de armadura e a calcular estas armaduras Para encerrarmos precisamos ver algumas prescrições da norma para a armadura de cisalhamento O diâmetro da barra que constitui o estribo deve ser maior ou igual a 5 mm e menor ou igual a 110 da largura da alma da viga No caso de estribos formados por telas soldadas o diâ metro mínimo pode ser reduzido para 42 mm desde que se jam tomadas precauções contra a corrosão dessa armadura O espaçamento mínimo entre estribos medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador garantindo um bom adensamento da massa O espaçamento máximo deve atender às seguintes condições 2 máx Se 067 então 06 d 300 mm d Rd V V s 2 máx Se 067 então 03 d 200 mm d Rd V V s 286 UNIUBE Os estribos para armaduras de cisalhamento devem ser fe chados por meio de um ramo horizontal envolvendo as bar ras da armadura longitudinal de tração e ancorados na face oposta a superior Quando essa face também estiver tracionada caso de balanços ou regiões de momento negativo em vigas contínuas o estribo deve ser fechado também para envolver a armadura superior Propõese colocar nestas regiões os estribos com os ganchos na par te inferior e estribos com os ganchos na parte superior intercalados 634 Exemplo de cálculo Pronto já temos condições de fazer um exercício completo para aplicarmos o que aprendemos Vamos retomar a viga que usamos no capítulo anterior para deta lhar a armadura de flexão e finalizar o dimensionamento dela com o cálculo e detalhamento da armadura de cisalhamento Dados concreto C25 aço CA60 para os estribos bw 20 cm O Apoio A e B têm 20 e 25 cm na direção da viga A viga já foi calculada a flexão obtendose h 45 cm e d 405 415 cm UNIUBE 287 As 4φ16 2φ125 e As 2φ125 1φ125 Redução do cortante nos apoios Apoio A sA 0102025 03025 m red sA p 9075 VkAred 7093 kN Apoio Besq sBesq 012502025 03275 m red sBesq p 9825 kBered 9018 kN Apoio Bdir sBdir 012502025 03275 m red sBdir p 9825 VkBdred 5018 kN 288 UNIUBE a Verificação do esmagamento de bielas 2 1 25 09 1 25 25 v fck α fcd 1786 kNcm2 2 2 027 Rd v cd w V f b d α 2 027 09 1786 20 405 VRd 35154 kN max 2 14 1000 140 Sd Rd V V max 2 040 Sd Rd V V ok b Determinação da parcela Vc absorvida pelo concreto 23 23 2 015 015 25 128 0128 kNcm ctd ck ctd f f MPa f 06 06 0128 20 405 62208 c ctd w V f b d kN c Determinação de Vkmin min min 09 sw sw w ywd V b d f ρ min 0103 20 09 405 435 327 kN Vsw min min 327 6221 9491 kN Sd sw c V V V min min min 14 6779 kN Sk sd f sd V V V γ d Determinação das regiões a serem armadas e as com taxa mínima No diagrama de esforço cortante os valores inferiores a VSkmin 6779 kN serão armados com a taxa mínima de estribos e as regi ões com valores superiores terão seus estribos calculados UNIUBE 289 Quando colocados o valor de Vkmin no diagrama de esforço cor tante observamos que na viga temos quatro regiões As regiões A e C onde o esforço cortante supera o valor de Vkmin Nestas regiões deveremos calcular os estribos As regiões B e D onde o esforço são inferiores a Vkmin usa remos a taxa mínima de estribos Apoio A REGIÃO A Já calculamos as reduções de cortante nos apoios mas vamos detalhar o cálculo para o VkA O apoio A tem 20 cm na direção da viga e a altura útil da viga é 405 ou seja podemos tomar o esforço cortante a uma distância 202 4052 3025 cm Como temos p 30 kNm em 3025 cm teremos uma redução de 03025 30 9075 kN ou seja 290 UNIUBE No apoio A consideraremos VkA reduzido 80 9075 7093 kN y 80 6779 y 96 kN p x y comprimento da região A x 041 m Apoio Besq REGIÃO C Vk reduzido 100 9825 9018 kN y 100 6779 y 3221 p x y comprimento da região C x 107 m REGIÃO B Se o vão tem 60 m a região A tem 041m e a região C tem 107 m A Região B terá 60 041 107 452 m UNIUBE 291 REGIÃO D É a região do balanço A Região D terá 20 m e Determinação das armaduras de cisalhamento adotado φt 50 mm Região A Vkreduzido 7093 kN VSdred 99302 x 048 m Vc 62208 kN 7093 14 62208 3709 sw Sd c V V V 09 0392 09 405 435 3709 sw ywd sw A d f s V 168 s 165 cm Intervalo 41 10 31 cm n 31165 188 adotase 2 n 2 1 3 estribos c165 o intervalo passa a ser 2165 33 cm Obs não se coloca estribos dentro do pilar por isso retiramos 100 cm do intervalo Ao número inteiro de estribos somamos 1 O intervalo começa e termina com estribos Região C Vkreduzido 9018 kN VSdred 12625 x 107 m Vc 62208 kN 292 UNIUBE 9018 14 62208 64044 sw Sd c V V V 09 0392 09 405 435 64044 sw ywd sw A d f s V 97 s 95 cm Intervalo 107 125 945 cm n 945 95 995 adotase 10 n 10 1 11 estribos c 95 o intervalo passa a ser 10 95 95 cm IMPORTANTE Não se coloca estribos dentro do pilar por isso retiramos a me tade da largura do pilar do intervalo determinamos o número de estribos arredondamos para o inteiro superior e somamos 1 pois vamos fazer esse intervalo começar e terminar com estribos Região B e D Taxa mínima Vc cte 4908 kN max min 0392 19 20 0103 sw w sw A s b ρ IMPORTANTE Não podemos nos esquecer que o espaçamento máximo é dado por três fatores o obtido pela taxa mínima o obtido em função da altura útil e o dado por uma distância máxima wmín max 2 max 2 max taxa mínima de armadura 067 06 30 067 03 20 Sd Rd Sd Rd s V V s d cm V V s d cm ρ UNIUBE 293 No item a quando verificamos esmagamento das bielas determi namos max 2 039 Sd Rd V V wmín max 2 max taxa mínima de armadura 19 cm 067 06 06 405 243 cm 30 cm Sd Rd s V V s d ρ Adotamos portanto max 243 cm 190 cm 30 cm s DICAS max min sw w sw A s b ρ Quanto mais larga a seção menor será o espaçamento máximo dos estribos Quanto maior o fck maior será o ρwmin e portanto menor será o espaçamento máximo dos estribos Região B e D As regiões A e C tiveram seus comprimentos recalculados em fun ção do número de estribos e do espaçamento entre eles A região B passou de 31 para 33 cm e a região C de 945 para 95 cm Devemos portanto recalcular a região B para estes valores Neste caso as alterações foram mínimas porque o número de estribos deu muito próximo do inteiro superior Região B sem os pilares e descontando as regiões A e C 294 UNIUBE IMPORTANTE Nos intervalos A e C somamos 1 estribo Estes intervalos começa ram e terminaram com estribos O intervalo B começa com o último estribo do intervalo A e termina com o último do intervalo C portanto vamos adotar o número intei ro superior e subtrair um estribo Intervalo 600 10 125 33 95 4495 cm smax 190 cm n estribos 4495 19 237 adoto 230 estribos Região D balanço Descontando a metade do pilar Intervalo 200 125 1875 cm smax 190 cm n estribos 1875 19 99 adoto 110 estribos IMPORTANTE O intervalo D começa com um estribo na face do pilar e termina com um estribo na extremidade do balanço portanto vamos adotar o número inteiro e adicionar um estribo UNIUBE 295 Agora é só fazer o detalhamento final Na planta de armação terí amos o esquema longitudinal da viga acima desse esquema te ríamos o detalhamento da armadura de flexão negativa abaixo o da armadura de flexão positiva e abaixo da armadura de flexão positiva o detalhamento da armadura de cisalhamento A Figura 96 mostra o detalhamento final completo com o detalhamento da armadura de flexão e de cisalhamento pronto para execução 635 Decalagem do diagrama de força no banzo tracionado Como havíamos visto adotamos um modelo teórico para a flexão e outro para o cisalhamento agora temos que compatibilizar estes mo delos A NBR 6118 considera que os efeitos provocados pela fissura ção oblíqua provocados pela armadura longitudinal de tração deter minada mediante o equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural podem ser substituídos no cálculo pela decala gem do diagrama de força no banzo tracionado dada pela expressão max max 1 cotg cotg 2 Sd Sd c V a d d V V α α 296 UNIUBE Figura 96 Detalhamento da viga V117 Fonte o autor A legenda do estribo indica 36 N1 φ 50 mm cvar c114 cm Tratase do ferro N1 Nesta viga vão ser usados 36 estribos O diâmetro é de 50 mm O espaçamento a cada é variável O comprimento do ferro é de 1140 cm UNIUBE 297 α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural portanto para estribos verticais α 90 max max 05 2 Sd Sd c V a d d V V Onde aℓ d para Vsdmáx Vc aℓ 05 d no caso geral aℓ 02 d para estribos inclinados a 45 Essa decalagem pode ser substituída aproximadamente pela corres pondente decalagem do diagrama de momentos fletores ou seja IMPORTANTE Uma forma bastante fácil de entendermos o que significa esta de calagem e a diferença entre os dois modelos teóricos é que no caso da flexão os esforços variam a cada seção da viga por exemplo uma seção a 20 m do apoio A está submetida a esforços diferentes de uma seção a 2001 m No caso do cisalhamento nosso modelo teórico baseiase em uma treliça e sabemos que ao longo de uma barra da treliça as forças normais são constantes Na treliça clássi ca verificase que a força Nst calculada na seção A A permanece constante até a seção A A significando que o diagrama de Nst 298 UNIUBE deve ser deslocado de um certo valor aℓ Na Figura 97 apresen tamos um desenho esquemático para visualizar esta explicação Figura 97 Desenho esquemático da decalagem aℓ Fonte o autor Cálculo da armadura transversal com a utilização de tabelas Tabela 32 Valores de Vc em função de bw e d 06 c ctd w V f b d 23 015 ctd ck f f 009 23 c ck w V f b d fck 20 MPa fck 25 MPa fck 30 MPa bw bw bw d 14 15 17 20 d 14 15 17 20 d 14 15 17 20 300 279 298 338 398 300 323 346 392 462 300 365 391 443 521 305 283 303 344 405 305 329 352 399 469 305 371 398 451 530 310 288 308 349 411 310 334 358 406 477 310 377 404 458 539 315 292 313 355 418 315 339 364 412 485 315 383 411 465 547 320 297 318 361 424 320 345 369 419 492 320 389 417 473 556 350 325 348 395 464 350 377 404 458 539 350 426 456 517 608 355 330 353 400 471 355 382 410 464 546 355 432 463 524 617 360 334 358 406 477 360 388 416 471 554 360 438 469 532 626 365 339 363 411 484 365 393 421 477 562 365 444 476 539 634 370 343 368 417 491 370 399 427 484 569 370 450 482 547 643 400 371 398 451 531 400 431 462 523 616 400 487 521 591 695 405 376 403 457 537 405 436 467 530 623 405 493 528 598 704 410 381 408 462 544 410 442 473 536 631 410 499 534 606 713 415 385 413 468 550 415 447 479 543 639 415 505 541 613 721 420 390 418 473 557 420 452 485 549 646 420 511 547 620 730 UNIUBE 299 450 418 448 507 597 450 485 519 589 693 450 547 587 665 782 455 422 453 513 603 455 490 525 595 700 455 554 593 672 791 460 427 458 519 610 460 496 531 602 708 460 560 600 680 799 465 432 463 524 617 465 501 537 608 716 465 566 606 687 808 470 436 468 530 623 470 506 542 615 723 470 572 613 694 817 500 464 497 564 663 500 539 577 654 769 500 608 652 739 869 505 469 502 569 670 505 544 583 661 777 505 614 658 746 878 510 473 507 575 676 510 549 589 667 785 510 620 665 753 886 515 478 512 581 683 515 555 594 674 793 515 627 671 761 895 520 483 517 586 690 520 560 600 680 800 520 633 678 768 904 550 511 547 620 729 550 593 635 719 846 550 669 717 812 956 555 515 552 626 736 555 598 641 726 854 555 675 723 820 965 560 520 557 631 743 560 603 646 733 862 560 681 730 827 973 565 525 562 637 749 565 609 652 739 870 565 687 736 835 982 570 529 567 643 756 570 614 658 746 877 570 693 743 842 991 600 557 597 676 796 600 646 693 785 923 600 730 782 886 1043 605 562 602 682 802 605 652 698 791 931 605 736 789 894 1051 610 566 607 688 809 610 657 704 798 939 610 742 795 901 1060 615 571 612 693 816 615 663 710 805 946 615 748 802 908 1069 620 576 617 699 822 620 668 716 811 954 620 754 808 916 1077 650 603 647 733 862 650 700 750 850 1000 650 791 847 960 1130 655 608 652 738 869 655 706 756 857 1008 655 797 854 968 1138 660 613 656 744 875 660 711 762 863 1016 660 803 860 975 1147 665 617 661 750 882 665 716 768 870 1023 665 809 867 982 1156 670 622 666 755 889 670 722 773 876 1031 670 815 873 990 1164 700 650 696 789 928 700 754 808 916 1077 700 852 912 1034 1217 705 655 701 795 935 705 759 814 922 1085 705 858 919 1041 1225 Fonte o autor 300 UNIUBE Tabela 33 Valores de Vs em função de sd sw Sd c V V V 1 09 sw sw ywd V A f s d estribos de 2 ramos bitolas em mm sd 5 6 63 8 10 sd 5 6 63 8 10 010 15347 22159 24430 39385 61466 036 4263 6155 6786 10940 17074 011 13952 20144 22209 35804 55878 037 4148 5989 6603 10645 16612 012 12789 18466 20358 32821 51221 038 4039 5831 6429 10364 16175 013 11805 17045 18792 30296 47281 039 3935 5682 6264 10099 15760 014 10962 15828 17450 28132 43904 040 3837 5540 6107 9846 15366 015 10231 14773 16286 26257 40977 041 3743 5405 5958 9606 14992 016 9592 13849 15269 24616 38416 042 3654 5276 5817 9377 14635 017 9028 13035 14370 23168 36156 043 3569 5153 5681 9159 14294 018 8526 12311 13572 21881 34148 044 3488 5036 5552 8951 13969 019 8077 11663 12858 20729 32350 045 3410 4924 5429 8752 13659 020 7673 11079 12215 19692 30733 046 3336 4817 5311 8562 13362 021 7308 10552 11633 18755 29269 047 3265 4715 5198 8380 13078 022 6976 10072 11104 17902 27939 048 3197 4616 5090 8205 12805 023 6673 9634 10622 17124 26724 049 3132 4522 4986 8038 12544 024 6395 9233 10179 16410 25611 050 3069 4432 4886 7877 12293 025 6139 8864 9772 15754 24586 051 3009 4345 4790 7723 12052 026 5903 8523 9396 15148 23641 052 2951 4261 4698 7574 11820 027 5684 8207 9048 14587 22765 053 2896 4181 4609 7431 11597 028 5481 7914 8725 14066 21952 054 2842 4104 4524 7294 11383 029 5292 7641 8424 13581 21195 055 2790 4029 4442 7161 11176 030 5116 7386 8143 13128 20489 056 2741 3957 4362 7033 10976 031 4951 7148 7881 12705 19828 057 2692 3888 4286 6910 10783 032 4796 6925 7634 12308 19208 058 2646 3821 4212 6791 10598 033 4651 6715 7403 11935 18626 059 2601 3756 4141 6675 10418 034 4514 6517 7185 11584 18078 060 2558 3693 4072 6564 10244 035 4385 6331 6980 11253 17562 Fonte o autor UNIUBE 301 Tabela 34 Valores da taxa mínima da armadura de cisalhamento ρswmim 02 ct m sw mín ywk f f ρ Aço CA50 e CA60 fck 20 25 30 35 40 45 50 ρswmin 0088 0103 0116 01284 014 0152 0163 Fonte o autor Tabela 35 Valores de smáx em função de bw e fck 23 03 ct m ck f f 02 ct m sw mín ywk f f ρ max min sw w sw A s b ρ fck 20 MPa fck 25 MPa fck 30 MPa φ 5 6 63 5 6 63 5 6 63 bw 14 276 300 300 237 300 300 210 300 300 15 257 300 300 222 300 300 196 283 300 16 241 300 300 208 300 300 184 266 293 17 227 300 300 196 282 300 173 250 276 18 214 300 300 185 267 294 164 236 260 19 203 293 300 175 253 278 155 224 247 20 193 278 300 166 240 265 147 213 234 22 175 253 279 151 218 241 134 193 213 Fonte o autor 302 UNIUBE Considerações finais Na conclusão do capítulo anterior observamos que o detalhamento da armadura de flexão apresentado na Figura 88 estava pronto completo que um armador poderia executar a armação de flexão para aquela viga usada como exemplo Neste capítulo estudamos o cisalhamento Aprendemos a calcular e detalhar a armadura de cisalhamento os estribos Concluímos este capítulo retomando a Figura 88 para acrescentar mos o detalhamento dos estribos O detalhamento da nossa viga exemplo conforme apresentado na Figura 98 está completo é o detalhamento final desta viga Este detalhamento juntamente com os detalhamentos das outras vigas deste pavimento constantes da planta de forma irão compor a planta de armação das vigas deste pavimento Isto significa que esta etapa do nosso curso está concluída Nos Capítulos VII e VIII vamos trabalhar com os pilares de concreto armado João Dirceu Nogueira Carvalho Introdução Pilares de concreto armado dimensionamento Capítulo 7 Estamos chegando ao fi nal do nosso curso Discretizamos nossa estrutura em seus elementos básicos as lajes as vigas e os pilares As lajes recebem as cargas de utilização as variáveis ou acidentais e somadas à sua carga permanente peso próprio revestimento etc descarregam em seus apoios as vigas As vigas recebem as cargas das lajes e somadas ao seu peso próprio cargas de parede etc descarregam em seus apoios os pilares Os pilares são elementos de barra lineares retos e normalmente verticais solicitados por esforços normais de compressão excêntricos ou seja solicitados à fl exo compressão Excepcionalmente podem ser solicitados por esforços de tração denominados então como tirantes e também excepcionalmente podem estar inclinados Os pilares a partir da cobertura pavimento por pavimento recebem as reações das vigas e somado ao seu peso próprio descarrega estas cargas nos elementos de fundação que por sua vez irão transmitilos ao solo Dentre os elementos estruturais são os que mais nos preocupam pois a ruptura de apenas um pilar pode levar ao colapso em cadeia ao colapso progressivo de toda a estrutura Os pilares normalmente são classifi cados de duas formas Conceituar e classificar os pilares retangulares de concreto armado Equacionar o dimensionamento dos pilares de concreto armado Pilares de concreto armado dimensionamento Classificação dos pilares quanto à sua posição em planta Pilares intermediários Pilares de extremidade Pilares de canto Classificação dos pilares quanto à sua esbeltez Índice de esbeltez raio de giração comprimento de flambagem Exemplo de determinação do índice de esbeltez de um pilar Classificação dos pilares quanto ao índice de esbeltez Objetivos Esquema Quanto à sua posição em planta Quanto à sua esbeltez Em nosso curso vamos adotar os pilares de seção retangular Em relação à posição em planta veremos as três posições possíveis os intermediários ou centrais os laterais ou de extremidade e os de canto já em relação à esbeltez vamos limitála em 90 Neste capítulo vamos conceituar este elemento estrutural e equacionar seu dimensionamento conforme as recomendações da NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto Procedimento e dentre os vários métodos de cálculo propostos vamos abordar os métodos do pilar padrão com curvatura e rigidez aproximadas UNIUBE 305 Tipos de excentricidades Excentricidade de forma ef ou er Excentricidade acidental ea Excentricidade inicial ei Excentricidade de segunda ordem e2 Resumo geral das excentricidades em um pilar Exemplos de cálculo das excentricidades Ábacos para o cálculo da armadura longitudinal de pilares Ábacos para Flexão Normal Composta Ábacos para Flexão Composta Oblíqua Pilares de concreto armado dimensionamento 71 711 Classificação dos pilares quanto à sua posição em planta Vamos retomar nossa planta de forma desenvolvida no Capítulo II e apresentada na Figura 18 Veja o pilar P11 por exemplo é um pi lar central e as vigas passam por ele formando uma cruz tanto em sua base como em seu topo ele é um apoio interno paras as duas vigas O pilar P09 por exemplo está na lateral da planta e na dire ção vertical ele é um apoio interno da viga V106 mas na horizontal para a viga V104 ele é um apoio de extremidade Finalmente o pilar P01 tanto na horizontal como na vertical é o apoio de extre midade tanto para a viga V101 como para a viga V106 Explicando de uma forma bem simples essa ligação da viga com o pilar provoca um giro na cabeça do pilar ou seja um momento que pode ser representado por uma carga excêntrica e esta é uma das excentricidades que vamos considerar no dimensionamento do nosso pilar 306 UNIUBE Figura 99 Planta de forma parcial do pavimen to tipo e planta dos vãos teóricos Fonte o autor Bem voltemos aos nossos pilares P11 P09 e P01 Quando o pilar é um apoio interno da viga ou seja quando a viga passa pelo pilar o tramo esquerdo provoca um giro antihorário e o tramo direito um giro horário e dessa forma teremos uma excen tricidade para a esquerda anulando ou reduzindo muito a excen tricidade para a direita Quando o pilar é um apoio extremo da viga ou seja quando a viga termina no pilar o tramo provoca um giro na cabeça do pilar ou seja teremos uma excentricidade para apenas um dos lados do pilar UNIUBE 307 Após esta pequena explicação vamos classificar nossos pilares como pilares intermediários de extremidade e de canto e na Figura 100 mostraremos a caracterização de cada um deles 7111 Pilares intermediários São os pilares internos das vigas nas duas direções Os pilares P06 P10 P11 e P12 são pilares intermediários Para eles não se considera a excentricidade provocada pelas vigas 7112 Pilares de extremidade São os pilares nas laterais da planta de forma quando em uma das direções é um apoio interno da viga e na outra é um apoio de extremidade da outra viga Os pilares P02 P03 P04 e P07 P09 P14 P15 e P16 enquadramse nesta definição não é mesmo Para eles não se considera a excentricidade provocada pela viga em que eles são pilares internos e considerase a excentricidade provocada pela viga em que eles são pilares de extremidade Veja que os pilares P05 e P08 não são pilares laterais mas são pilares de extremidade IMPORTANTE É comum às vezes ouvirmos Pilares centrais ou intermediários Precisamos tomar cuidado porque um pilar central é intermediário 308 UNIUBE quando ele é um apoio interno para ambas as vigas quando am bas as vigas passam por ele Os pilares de extremidade normalmente são pilares laterais mas os Pilares centrais também podem ser Pilares de extremidade como é o caso dos P05 e P08 7113 Pilares de canto São os pilares de extremidade para ambas as vigas e recebem essa denominação por estarem nos cantos da plante de forma Os pilares P01 e P13 são pilares de canto Para eles considerase a excentricidade provocada pelas vigas em ambas as direções IMPORTANTE Para que serve tudo isso Veremos a seguir que os pilares inter mediários serão calculados à flexão normal composta e de uma forma um pouquinho mais simples que os de extremidade que tam bém serão calculados à flexão normal composta Os pilares de canto serão calculados à flexão composta oblíqua UNIUBE 309 Figura 100 Posição dos pilares em uma estrutura Fonte Fusco 1981 p238 72 Classificação dos pilares quanto à sua esbeltez Já vimos esse assunto em Mecânica dos Sólidos resistência dos Materiais vamos apenas relembrar ok Vamos pegar algumas ré guas de plástico com tamanhos variados mas de mesma seção transversal Inicialmente vamos pegar a de 50 cm colocála na vertical com uma extremidade apoiada na mesa e a outra com a palma de nossa mão comprimindoa ligeiramente Se a pressio narmos um pouquinho a régua vai dar aquela embarrigada não é mesmo Se pressionarmos mais um pouquinho ela vai entortar mais ainda e mais um pouquinho de pressão ela irá romper 310 UNIUBE Com a régua de 40 cm de comprimento vai acontecer a mesma coi sa mas precisaremos fazer um pouquinho mais de pressão Com a régua de 30 cm teremos que aumentar a pressão para acontecer a mesma coisa o mesmo valendo para a régua de 20 cm de com primento e para a de 10 cm Verificamos que diminuindo o comprimento da régua temos que aplicar uma força de compressão cada vez maior e a régua vai en tortando cada vez menos não é mesmo Imagine se pegarmos um pedacinho de 2 cm de uma das réguas e tentarmos fazer o mesmo Vamos aplicar uma baita força de compressão vamos machucar a palma de nossa mão e o pedacinho de régua de 2 cm de compri mento não irá entortar quanto mais atingir a ruptura De uma forma muito simples estamos descrevendo o processo de flambagem e as nossas réguas estão atingindo a ruptura por perda de estabilidade devido à flambagem ou seja o estado de deforma ção provoca esforços internos Isto é o que chamamos de efeito de segunda ordem Veja a Figura 101 Figura 101 Momento de segunda ordem Fonte o autor UNIUBE 311 Como no início estabelecemos que todas as réguas teriam a mes ma seção transversal e variamos o comprimento da régua percebe se que a esbeltez é proveniente de uma relação entre uma carac terística geométrica da seção e o vão o comprimento do elemento 721 Índice de esbeltez raio de giração comprimento de flambagem O índice de esbeltez λ dos pilares de concreto armado é uma grandeza que depende do comprimento equivalente do pilar ℓe e do raio de giração i da sua seção transversal y e x x y y I i i A λ ey x y x x I i i A λ Em que λ índice de esbeltez ℓe comprimento de flambagem nas direções x ou y depende das condições de apoio raio de giração em x ou y momento de inércia em x ou y A área da seção transversal do pilar 312 UNIUBE Para peças com seção transversal retangular resulta IMPORTANTE Lembrase do exemplo das réguas Todas as réguas tinham a mesma seção transversal mesmo raio de giração e variamos o comprimento da régua ℓe ou seja maior o comprimento de flam bagem maior o índice de esbeltez λ Maior o índice de esbeltez maior a possibilidade de haver flamba gem do pilar O pilar terá um índice de esbeltez para a direção x e um para a dire ção y e irá flambar na direção que tiver o maior índice de esbeltez IMPORTANTE Muito cuidado Podemos dizer na direção x ou em torno do eixo y e estaremos dizendo a mesma coisa Na literatura técnica preci samos prestar atenção na convenção que o autor está usando Às vezes adotase a seguinte convenção λx significa na direção x e λxx significa em torno do eixo x portanto λxx λy Entendeu UNIUBE 313 Na Figura 102 são mostrados os comprimentos de flambagem para outros tipos de vinculação das extremidades apoioapoio apoio engaste engasteengaste e engasteborda livre rótularótula rótulaengaste engasteengaste livreengaste Figura 102 Comprimentos de flambagem Fonte o autor Em edifícios os pilares são considerados contraventados pelo vi gamento de cada pavimento e esse contraventamento é represen tado pelo vínculo de apoio Em cada pavimento o pilar é suposto vinculado em ambas as ex tremidades e seu comprimento equivalente ℓe pode ser adotado conforme mostra a Figura 103 como o menor valor entre 0 e h Onde ℓ é a distância de centro a centro de vigas o mesmo que cen tro a centro de lajes 314 UNIUBE ℓ0 é a distância entre a base da viga do pavimento superior e o topo da viga do andar inferior h é a altura do pilar na direção considerada Figura 103 Determinação do comprimento equivalente Fonte o autor 722 Exemplo de determinação do índice de esbeltez de um pilar Vamos supor um pilar de 17x25 cm considerando vigas de 15x45 cm na direção horizontal e 15x35 cm na direção vertical A distância entre as faces dos pisos é 270 cm UNIUBE 315 Na direção x ℓ 270 cm ℓ0 270 45 225 ℓe 27022517 242 cm Na direção x ℓ 270 cm ℓ0 270 35 235 ℓe 27023525 260 cm Vamos fazer e I onde i i A λ Na direção x b 25 h 17 A 425 Ix 1023542 ix 4907 λx ℓex ix 242 4907 493 Na direção y b 17 h 25 A 425 Ix 2213542 ix 7217 λy ℓey iy 260 7217 360 316 UNIUBE Mas poderíamos ter feito 346 346 e y e x x y b h λ λ λx 346 242 17 493 λy 346 260 25 36 723 Classificação dos pilares quanto ao índice de esbeltez Vamos retomar novamente o exemplo das réguas Todas tinham a mesma seção transversal mesmo raio de giração e maior o com primento da régua ℓe maior o índice de esbeltez λ Podemos perceber facilmente que a régua de 50 cm de comprimen to era extremamente instável bastando uma pequena compressão com o dedo mindinho para ela se vergar e romper Em compensa ção um pedacinho de régua de 5 cm dificilmente perderia a estabi lidade Se comprimíssemos esse pedacinho de régua com a palma da mão com bastante força provavelmente iríamos machucar nos sa mão e a reguinha de 5 cm não perderia a estabilidade Com os pilares acontece exatamente isso Em função do índice de esbeltez podemos ter Pilares curtos λ λ1 Pilares medianamente esbeltos λ1 λ 90 Pilares esbeltos 90 λ 140 Pilares muito esbeltos 140 λ 200 Pilares com λ 200 UNIUBE 317 À medida que o índice de esbeltez aumenta aumenta a instabilida de do pilar e consequentemente modelos teóricos de cálculo cada vez mais rigorosos são exigidos pela NBR 6118 Para pilares com λ 90 devese considerar a fluência e o mo delo teórico mais rigoroso Para pilares com λ 140 a consideração da fluência é obri gatória e tornase obrigatório o cálculo pelo Método Geral um modelo teórico muito mais rigoroso A NBR 6118 não admite pilares com λ 200 DICAS Normalmente dimensionase pilares curtos λ λ1 e mediana mente esbeltos λ1 λ 90 Para valores de λ superiores a 90 aumentamse as dimensões do pilar 7231 Pilares curtos λ λ1 É possível a utilização de modelos simplificados de cálculo como o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada que adotare mos neste texto e os esforços locais de segunda ordem e2 M2 Figura 101 podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valorlimite λ1 determinado pela expressão 318 UNIUBE 1 1 25 125 90 35 b e h λ α Onde e1 é a excentricidade de 1ª ordem não inclui a excentricidade acidental ea h é a altura da seção na direção considerada os valores de αb são analisados a seguir a Pilares bi apoiados sem cargas transversais 040 060 04 100 B b A M M α Os momentos de primeira ordem MA e MB são os momentos nos extremos do pilar Tomase para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar bi apoiado MB tem o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário b Pilares bi apoiados com cargas transversais significati vas ao longo da altura αb 1 UNIUBE 319 c Pilares em balanço 085 080 02 100 C b A M M α MA é o momento fletor de 1ª ordem no engaste MC é o momento fletor de 1ª ordem no meio do pilar em balanço d Pilares bi apoiados ou em balanço com momentos fleto res menores que o momento mínimo αb 1 O momento mínimo é fornecido pela NBR 6118 no item 113343 como o momento mínimo de 1ª ordem que pode ser usado para substituir o efeito das imperfeições locais nos pilares em estruturas reticuladas 1 min 0015 003 d d M N h Onde M1dmín é o momento total de primeira ordem isto é o momento de primeira ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais 0015 é dado em metros h é a altura total da seção transversal na direção considerada em metros Nd é o esforço normal de cálculo 320 UNIUBE No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta esse momento mínimo deve ser respeitado em cada direção principal separadamente o pilar deve ser verificado sempre à flexão oblíqua composta onde em cada verificação pelo menos um dos momen tos respeita o mínimo acima A expressão de M1dmín também pode ser expressa em função de uma excentricidade mínima 1 min 1 min 0015 003 d d d M e h N DICAS O valor de αb depende da vinculação dos extremos da coluna iso lada e do carregamento atuante Temos quatro possibilidades de vinculações e carregamentos A NBR 6118 que vigorou de 1975 a 2003 fixava para pilares curtos λ 40 Sugerimos que se adote curtos λ 35 para limitar os pilares curtos 7232 Pilares pouco esbeltos λ1 λ 90 Ainda é possível a utilização do Método do pilarpadrão com cur vatura aproximada como modelo simplificado de cálculo porém os esforços locais de segunda ordem devem ser considerados UNIUBE 321 73 Tipos de excentricidades Agora vamos ter a consideração de duas situações a de projeto e a de cálculo Na Figura 104 apresentamos dois pilares internos e intermediários e a situação de projeto nos mostra que em planta o pilar à esquerda está submetido a uma compressão axial centra da pois os eixos do pilar e da viga estão coincidentes O pilar da direita nos mostra que o eixo da viga horizontal está afastado do eixo do pilar ou seja está excêntrica Figura 104 Situações de projeto Fonte o autor As situações de projeto apresentadas na Figura 104 são o que con sideraremos como ponto de partida para a situação de cálculo por exemplo a NBR 6118 considera efeitos de desaprumo ou falta de retilineidade do eixo do pilar ou seja a incerteza quanto ao posi cionamento da aplicação da carga e desta forma todo pilar estará sujeito a uma excentricidade acidental 322 UNIUBE Na Figura 104 o pilar da esquerda na direção x e na direção y a partir do centro do pilar coincidente com o centro das vigas tere mos a aplicação desta excentricidade acidental em cada direção portanto flexão normal composta O pilar da direita na direção x aplicase a partir do eixo vertical a mesma excentricidade acidental mas na direção y a viga horizontal está excêntrica ou seja além da excentricidade acidental temos uma excentricidade real ou tam bém chamada de excentricidade de forma 731 Excentricidade de forma ef ou er É a excentricidade real produzida por uma viga ou pilar descarre gando fora do centro do pilar ou seja as reações das vigas estão excêntricas em relação ao centro do pilar 732 Excentricidade acidental ea No dimensionamento NBR 6118 considera efeitos de desaprumo ou falta de retilineidade do eixo do pilar conforme mostra a Figura 105 UNIUBE 323 Figura 105 Imperfeições geométricas locais Fonte NBR 6118 Figura 112 Repetindo excentricidade acidental é a incerteza quanto ao po sicionamento da aplicação da carga portanto ocorre em todos os pilares independentemente do índice de esbeltez e deve ser adi cionada à excentricidade inicial ei quando houver A excentricidade acidental é determinada por meio das expressões 1 2 ae θ onde 1 1min 1 100 θ θ Sendo θ1 desaprumo de um elemento vertical contínuo altura de um pavimento em metros 324 UNIUBE θ1min 1300 para imperfeições locais θ1max 1200 IMPORTANTE Não podemos esquecer que no item 7231c vimos que o momen to de primeira ordem mais os efeitos das imperfeições locais deve respeitar o momento mínimo 1 min 0015 003 d d M N h 1 min 1 min 0015 003 d d d M e h N 733 Excentricidade inicial ei Quando classificamos os pilares quanto à posição em planta men cionamos a ligação da viga com o pilar onde a viga provoca um giro na cabeça do pilar ou seja um momento que pode ser repre sentado por uma carga excêntrica Vimos que nos pilares inter mediários aqueles em que o pilar é um apoio interno da viga os efeitos provocados pelo tramo de um lado do pilar é compensado pelos efeitos provocados pelo tramo do outro lado do pilar A excentricidade inicial ei ocorre quando o pilar é um apoio extre mo da viga ou seja quando a viga termina no pilar o tramo provoca um giro na cabeça do pilar e não é compensado ou seja teremos apenas a excentricidade para um dos lados do pilar A excentricidade inicial será obtida supondo o engastamento da viga no pilar e a distribuição deste momento de engastamento UNIUBE 325 perfeito entre a viga o pilar superior e o pilar inferior Desta forma o valor da excentricidade inicial é dado pelo quociente da parcela de momento que cabe ao pilar e a força normal aplicada no pilar Em um edifício o conjunto de pilares alinhados e o conjunto das vi gas dos vários pavimentos que interligam estes pilares formam um pórtico uma estrutura altamente hiperestática A NBR 6118 permite que se discretize os elementos estruturais ou seja que se desvincule o pilar a viga e a laje dessa forma uma viga contínua é considerada simplesmente apoiada nos pilares como mostra o esquema de cálcu lo apresentado na Figura 106 Com esta simplificação permitida por norma se não temos o engaste a solidarização perfeita pilarviga pois não calculamos e nem armamos para isso temos uma vincula ção pilarviga muito mais forte do que um simples apoio Dessa forma a NBR 6118 permite a consideração da viga contínua como simples mente apoiada nos pilares porém exige que nos apoios extremos se considere um momento igual ao Momento de Engastamento Perfeito MEP Figura 106 produzido pelo tramo de extremidade e distribu ído entre este tramo o pilar superior e o inferior Figura 106 Modelo simplificado de uma viga contínua simples mente apoiada nos pilares e a correção nos apoios extremos Fonte o autor 326 UNIUBE Na Figura 107 detalhamos a distribuição do Momento de Engastamento Perfeito MEP produzido pelo tramo de extremi dade Consideramos o vigamento de três pavimentos para anali sarmos o pavimento central Observe que é o tramo de extremida de com Momento de Engastamento Perfeito apresentado na Figura 106 vinculado ao pilar superior e ao inferior Na Figura 108 apresentamos o esquema estático adotado para a dis tribuição do Momento de Engastamento Perfeito Esta distribuição será feita considerando a rigidez de cada um dos elementos envolvi dos em relação à rigidez total por exemplo a rigidez do pilar superior em relação à soma da rigidez do pilar superior inferior e da viga Esta será a parcela do Momento de Engastamento Perfeito que caberá ao pilar superior e de forma análoga ao inferior e à viga Figura 107 Esquema de distribuição dos Momentos de Engastamento Perfeito MEP das vigas aos pilares Fonte NBR 6118 Figura 112 UNIUBE 327 Figura 108 Esquema estático para a distribuição do Momento de Engastamento Perfeito MEP Fonte NBR 6118 Figura 148 RELEMBRANDO Aprendemos a determinar o vão do pilar neste capítulo Figura 103 Para o vão da viga considerase o vão teórico lembrase como determinálo 0 1 2 a a Sendo ℓ0 a distância entre as faces internas dos apoios h a altura da viga t1 t2 espessura dos apoios pilares esquerdo e direito da viga 1 2 1 2 2 2 03 03 t t a e a h h 328 UNIUBE A NBR 6118 em seu item 14661 permite algumas simplificações no cálculo de estruturas usuais de edifícios É neste item que se permite a utilização do modelo clássico de viga contínua simples mente apoiada nos pilares impondo a necessidade de algumas correções entre elas quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga deve ser considerado nos apoios extremos momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coefi cientes estabelecidos nas seguintes relações na viga inf sup inf sup viga r r r r r no tramo superior do pilar sup inf sup viga r r r r no tramo inferior do pilar inf inf sup viga r r r r Sendo sup inf viga sup inf sup inf 4 3 3 05 05 viga e viga e e I I I r r r IMPORTANTE Os coeficientes 3 e 4 foram introduzidos nas fórmulas anteriores para considerar o vínculo de apoio e a metade dos tramos dos pilares UNIUBE 329 Para finalizar vimos que o momento fletor na extremidade do pi lar será o produto do coeficiente determinado anteriormente pelo Momento de Engastamento Perfeito da viga e assim determinamos a excentricidade inicial dpilar i d M e N A excentricidade inicial foi determinada para as extremidades do pilar onde normalmente temos os máximos momentos iniciais po rém como já mencionamos anteriormente a excentricidade de 2ª ordem é máxima no meio do pilar conforme mostrado na Figura 101 portanto é necessário que se considere uma excentricidade inicial na seção do meio do pilar 1 06 04 04 iA iB C iA e e e e Sendo eiC a excentricidade inicial no meio do pilar eiA a maior entre as excentricidades iniciais no topo e na base do pilar eiA a menor entre as excentricidades iniciais no topo e na base do pilar 724 Excentricidade de segunda ordem e2 A teoria de 2ª ordem trata dos esforços provocados pela defor mação dos elementos estruturais como é o caso da flambagem Figura 101 que provoca uma flecha no pilar ou seja na seção intermediária do pilar teremos uma excentricidade de segunda 330 UNIUBE ordem A modelagem teórica deste fenômeno pode ser mais simpli ficada para os índices de esbeltez menores e se tornando cada vez mais rigorosa à medida que o índice de esbeltez vai aumentando Neste texto como observamos anteriormente em 7231 e 7232 quando classificamos os pilares quanto ao índice de esbeltez para os pilares curtos λ λ1 os esforços locais de segunda ordem po dem ser desprezados e para os pilares pouco esbeltos λ1 λ 90 ainda é permitida a utilização de modelos teóricos simplificados como o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada que usaremos porém considerando os esforços locais de segunda ordem A excentricidade de segunda ordem é dada pela expressão 2 2 1 10 e e r Sendo 1r a curvatura do pilar submetido à flexão composta 1 05 c s r h ε ε ν Onde d d c cd cd F F A f b h f ν é o valor adimensional da força normal cε 00035 deformação específica do concreto 435 000207 210000 yd s yd s f E ε ε deformação específica do aço 000557 0005 c s ε ε UNIUBE 331 1 0005 05 r h ν com 05 1 ν Dessa forma a expressão para o cálculo da excentricidade de se gunda ordem ficará 2 2 0005 10 05 e e h ν 735 Resumo geral das excentricidades em um pilar a Excentricidade de forma ef ou er Eixos do pilar e da viga não coincidentes b Excentricidade acidental ea Ocorre em todo o pilar nas seções de topo base e intermediária Considerar sempre observando que ea e1dmin 1dmin 0015 003 h em m e h Seção extrema θ1 Seção intermediária 1 2 θ 1 1 1 200 100 θ 332 UNIUBE c Excentricidade mínima e1dmin Ocorre em todo o pilar nas seções de topo base e intermediária Como o próprio nome diz é o valor mínimo 1dmin 0015 003 h em m e h d Excentricidade inicial ei Em todo o pilar com valores diferentes para as seções de topo e base e para a intermediária Pilares intermediários não se considera ei 0 em ambas as direções Pilares laterais ei 0 na direção da viga que termina no pilar Pilares de canto ei 0 em ambas as direções na direção da viga que termina no pilar dpilar i d M e N no topo e na base do pilar 1 06 04 04 iA iB C iA e e e e no meio do pilar e Excentricidade de segunda ordem e2 É máxima na seção intermediária UNIUBE 333 λ λ1 e2 0 não se considera a excentricidade de segunda ordem λ1 λ 90 e2 0 considerase a excentricidade de segunda ordem 2 2 0005 10 05 h e e ν IMPORTANTE Temos também a excentricidade suplementar fluência que não estamos abordando neste texto pois ela deve ser considerada a partir de λ 90 736 Exemplos de cálculo das excentricidades No item 722 já aprendemos a determinar o índice de esbeltez de um pilar agora vamos trabalhar com as excentricidades Retomando o exemplo do item 722 um pilar de 17x25 cm con siderando vigas de 15x45 cm na direção horizontal e 15x35 cm na direção vertical A distância entre as faces dos pisos é 270 cm 334 UNIUBE Na direção x ℓe 27022517 242 cm Na direção x ℓe 27023525 260 cm λx 346 242 17 493 λy 346 260 25 36 Portanto tratase de um pilar pouco esbelto em ambas as direções a Excentricidade acidental ea 1 1 1 200 100 θ Na direção x 1x 1 1 200 100 242 θ como 00064 0005 θ1x 0005 θ1 Seção extrema eaxTopo 0005 242 121 cm 1 2 θ Seção intermediária eaxMeio 00065 242 0605 cm UNIUBE 335 b Excentricidade inicial eidx Vamos supor que seja um pilar lateral submetido a uma carga de 500 kN armado com Aço CA 50 e concreto C25 Na direção x tenha uma viga com seção de 14x40 cm e 40 m de vão centro a centro de apoio submetida a uma carga de 20 kNm terminando no pilar O Pilar direito da viga tem 30 cm na direção da mesma Ambos os pilares com a mesma seção acima e abaixo Poderíamos trabalhar com o vão de 40 m centro a centro de apoio mas só para recordar 1 2 1 2 2 2 03 03 t t a e a h h a1 172 03 x 40 a1 85 12 a1 85 cm a2 302 03 x 40 a1 15 12 a2 120 cm Se de centro a centro são 40 m de face a face de pilar serão ℓ0 400 85 15 3765 m 0 1 2 a a 3765 0085 012 397 m 336 UNIUBE A distância de centro a centro para pilares normais normalmente gera resultados bastante satisfatórios A rigidez total será 75231 25377 25377 12599 cm3 E a parcela de rigidez referente ao pilar superior será 25377 12599 0201 O Momento de Engastamento Perfeito da viga é 2 2 20 397 E 26268 kNcm 26268 kNcm 12 12 p M P O Momento no pilar será 0201 26268 52799 kNcm Como a carga no pilar é N 500 kN Excentricidades na base e topo eiA é a maior eiB a menor UNIUBE 337 Excentricidades no meio do pilar eic 1 06 04 04 iA iB C iA e e e e 1 06 106 04 106 0212 04 106 0424 e C 1 0424 cm e C c Excentricidade mínima e1dmim 1dmin 0015 003 h em m e h Dir x e1dmin 0015 003 017 00201 m e1dmin x 201 cm Dir y e1dmin 0015 003 025 00225 m e1dmin y 225 cm d Excentricidade de segunda ordem e2 Pilares curtos λ λ1 Os esforços locais de segunda ordem po dem ser desprezados Pilares pouco esbeltos λ1 λ 90 têm que considerar os esforços locais de segunda ordem Aço CA 50 fyd 50115 4348 kNcm2 Concreto C20 fcd 2014 1429 MPa fcd 1429 kNcm2 338 UNIUBE Na direção x d d c cd cd F F A f b h f ν 14 500 11526 05 ok ν 17 25 1429 1 0005 0005 0000178 05 11526 05 17 r h ν Finalmente 2 2 2 1 242 0000178 1042 cm 10 10 e e x r Na direção y 11526 d c cd F A f ν 1 0005 0005 0000121 05 11526 05 25 r h ν Finalmente 2 2 2 1 260 0000121 08181 cm 10 10 e e y r Terminamos Não não terminamos Precisamos agora analisar estas excentricidades Por exemplo O ponto de partida é uma excentricidade inicial no eixo x No eixo x se a soma das excentricidades iniciais com a aci dental for inferior à mínima usase a excentricidade mínima UNIUBE 339 Na direção y não temos excentricidade inicial então se a ex centricidade acidental for inferior à mínima usase a excentri cidade mínima na direção y mas não nos esqueçamos que o ponto de partida é uma excentricidade inicial no eixo x Algumas excentricidades referemse à seção de topo ou base do pilar outras como a excentricidade de segunda ordem re feremse à seção intermediária então precisamos tomar cui dado temos que fazer a análise da região das extremidades e da região intermediária do pilar Mas isso vamos deixar para o próximo capítulo quando faremos alguns exercícios explicando detalhadamente essas combinações O fato é que teremos uma excentricidade para a direção x e outra para a direção y e consequentemente teremos os momentos em cada direção pois a força normal aplicada no pilar vezes a excen tricidade em uma direção produz o momento nessa direção Com o momento e a força normal estamos prontos para determinar a armadura do pilar 74 Ábacos para o cálculo da armadura longitudinal de pilares 741 Ábacos para Flexão Normal Composta Como falamos anteriormente os pilares são solicitados à flexão composta normal ou à flexão composta oblíqua Detalhar o modelo teórico para esse dimensionamento seria assunto para um outro curso um curso longo e complexo 340 UNIUBE Alguns autores já estudaram o assunto e elaboraram ábacos para a determinação das taxas de armadura para uma série bastante grande de arranjos de armaduras na seção transversal do pilar Neste texto vamos utilizar os ábacos de Venturini 2000 para a Flexão Composta Normal e de Pinheiro 2009 para a Flexão Composta Oblíqua Venturini apresenta uma introdução de trinta e poucas páginas e rapidamente explica e detalha a utilização dos ábacos e a seguir apresenta noventa e seis ábacos Libânio adota o mesmo procedi mento quinze páginas para a apresentação e explicações neces sárias para o uso dos ábacos e na sequência apresenta 92 ábacos A seguir vamos aprender a usar estes ábacos Como escolher um de terminado ábaco quais os parâmetros necessários e como utilizálos Na Figura 109 apresentamos um ábaco para Flexão Normal Composta extraído de Venturini 2000 Veja o que temos O número do ábaco A3 Aço CA50A é o nosso aço CA 50 em 2000 pela norma vi gente usavase a letra A Coeficiente de minoração do aço γs 115 UNIUBE 341 Figura 109 Ábaco para Flexão Normal Composta Fonte Venturini 2000 342 UNIUBE dh d é a distância da armadura comprimida à borda comprimida e h a altura da seção Observe que há uma figura detalhando a seção A figura da seção que aparece no canto superior direito Figura 109 Observe que Nd está na direção vertical e a armadura está disposta na direção vertical Observe também que em alguns ábacos a armadura é repre sentada por uma barra como é o caso deste gráfico e outros a armadura é representada por barras No primeiro caso in dicando a armadura aparece 2 As2 ou seja calculamos As e dividimos meio a meio No segundo caso pode aparecer 4 As8 indicando que obrigatoriamente vamos usar 8 barras 4 de um lado e 4 do outro Embaixo aparece algumas expressões Sd c cd N A f ν h d c cd M A f µ s yd c cd A f A f ω Finalmente observe que o ábaco é cartesiano possui um eixo horizontal µ e um eixo vertical ν portanto usaremos o par µ ν para acessar o ábaco Desta forma a sequência para a obtenção da armadura é a seguinte Primeiro escolhemos se queremos impor o número de barras ou não traço cheio ou não Em função do eixo considerado momento verificamos se a armadura está na mesma direção ou na direção oposta UNIUBE 343 Dentre estas escolhas determinamos dh e buscamos o ába co que mais se aproxima 0015 010 015 020 e 025 ou por exemplo para dh 08 podemos considerar os ábacos para 005 e 010 e interpolamos Determinamos os valores de µ e ν e no ábaco escolhido va mos adotar o valor de ω referente à curva mais próxima do ponto µ ν Com o valor de ω determinamos a armadura As s yd c cd A f A f ω c cd s yd A f A f ω Pronto Agora é só detalharmos a armadura o que faremos no pró ximo capítulo 742 Ábacos para Flexão Composta Oblíqua Para a Flexão Composta Oblíqua usaremos os ábacos propostos por Pinheiro 2009 Os procedimentos para acessar estes ábacos são bastante semelhantes ao que já vimos para a Flexão Normal Composta porém com uma diferença significativa antes trabalha mos com a excentricidade em relação a um dos eixos e portanto com um par de esforços o momento e esforço normal Isto nos possibilitou o ábaco em um sistema cartesiano de eixos µ ν Na Flexão Composta Oblíqua temos excentricidades em rela ção aos dois eixos e portanto agora teremos três esforços a considerar o esforço normal e um momento em cada direção Convenhamos que um ábaco tridimensional vai complicar um pouquinho não é mesmo 344 UNIUBE Libânio mantém o sistema cartesiano de eixos o eixo horizontal para µX e o vertical para µY Cada ábaco com os parâmetros µX µY é feito para um valor específico de ν Na Figura 110 apresentamos um ábaco para Flexão Composta Oblíqua extraído de Libânio 2009 Veja que temos quatro qua drantes no sentido antihorário o primeiro para ν 00 o seguindo para ν 02 o terceiro para ν04 e o quarto quadrante para ν 06 E continua este é o ábaco 3A todos os ábacos são divididos em A e B e no 3B teremos ν 08 10 12 e 14 Dessa forma determinado o valor de ν entramos no quadrante correspondente com os parâmetros µX µY Para um valor de ν diferente poderemos interpolar ou adotar o valor mais conservador favorável à segurança Veja que é o mesmo padrão dos ábacos usados para a Flexão Normal Composta O número do ábaco 3A São fornecidos 46 ábacos A e 46 ábacos B Aço CA50A atualmente não se usa mais a letra A é o nosso aço CA 50 Coeficiente de minoração do aço γs 115 dy 005 hy e dx 025 hx d é a distância da arma dura comprimida à borda comprimida e h a altura da seção Asy As 26 Vamos usar 6 barras sendo que duas delas deverão estar em cada lado menor Asx As 36 Vamos usar 6 barras sendo que três delas deverão estar em cada lado maior UNIUBE 345 Pronto Agora é só detalharmos a armadura o que faremos no pró ximo capítulo No Capítulo VIII vamos fazer alguns exercícios e aprender a detalhar a armadura dos pilares Figura 110 Ábaco para Flexão Composta Oblíqua Fonte Venturini 2000 346 UNIUBE Considerações finais Neste capítulo aprendemos bastante sobre pilares de concreto ar mado Aprendemos a classificálos equacionálos e a rotina para a determinação da armadura por meio dos ábacos de Flexão Normal Composta ou de Flexão Composta Oblíqua Vimos que o objetivo principal é a determinação das excentricida des pois mediante elas determinamos o momento atuante no pilar Mas no final do item 736 quando exemplificamos o cálculo das excentricidades deixamos algumas dúvidas pairando no ar por exemplo quando usávamos a excentricidade mínima as excentri cidades que ocorriam nas extremidades do pilar e as que ocorriam no meio o tipo de flexão composta normal ou oblíqua Da mesma forma apenas esquematizamos a utilização dos ába cos Acreditamos que com a rotina apresentada já é possível utilizá los e determinar a armadura mas sem dúvida uma aplicação real facilitaria bastante não é mesmo Mas o importante é que cumprimos o objetivo proposto para este capítulo Já temos todos os elementos para a determinação da ar madura de um pilar evidentemente falta detalhar melhor ou seja exemplificarmos por meio de alguns exercícios explicando de for ma mais detalhada estes procedimentos Para isto teremos o Capítulo VIII inteirinho para dimensionar e de talhar as armaduras dos pilares João Dirceu Nogueira Carvalho Introdução Pilares de concreto armado exercícios e detalhamento Capítulo 8 No capítulo anterior classifi camos e equacionamos o dimensionamento dos pilares de concreto armado Mas no fi nal do item 736 quando exemplifi camos o cálculo das excentricidades deixamos algumas dúvidas pairando no ar por exemplo quando usávamos a excentricidade mínima as excentricidades que ocorriam nas extremidades do pilar e as que ocorriam no meio o tipo de fl exão composta normal ou oblíqua Da mesma forma apenas esquematizamos a utilização dos ábacos Acreditamos que com a rotina apresentada já é possível utilizálos e determinar armadura mas sem dúvida uma aplicação real facilitaria bastante não é mesmo É o que faremos neste capítulo Vamos resolver alguns exercícios explicando com mais detalhes o dimensionamento dos pilares Mas ainda faltam algumas coisinhas para aprendermos sobre os pilares por exemplo o cálculo dos pilares intermediários de extremidade e de canto E se forem pilares curtos ou pouco esbeltos E mais calculada a armadura longitudinal precisamos aprender o que fazer com ela não é mesmo Taxas mínima e máxima escolha de diâmetros detalhamento na seção comprimentos de ancoragem das barras etc Exemplificar o dimensionamento de pilares retangulares de concreto armado Detalhar as armaduras longitudinal e transversal dos pilares Pilares de concreto armado exercícios e detalhamento Prédimensionamento Exemplo 01 Cálculo do índice de esbeltez Cálculo das excentricidades acidentais Análise das excentricidades Cálculo da armadura longitudinal Detalhamento da armadura de pilares de concreto armado Relação máxima entre as dimensões da seção Armaduras longitudinais Armaduras transversais Estribos suplementares Detalhamento da armadura do exemplo 01 Exemplo 02 Cálculo do índice de esbeltez Objetivos Esquema E mais ainda até agora falamos da armadura longitudinal e a transversal Os estribos qual a função deles nos pilares Afinal não temos cisalhamento nos pilares então para que os estribos E por que tantos Como calculálos Como detalhálos etc Bem já dá para termos uma ideia de que temos uma boa caminhada pela frente mas estamos terminando este é o nosso último capítulo Então vamos a ele Cálculo das excentricidades iniciais Cálculo das excentricidades acidentais Análise das excentricidades Cálculo da armadura longitudinal Detalhamento da armadura do exemplo Pilares de concreto armado exercícios e detalhamento 81 Vamos retomar nossa planta de forma desenvolvida no Capítulo II e apresentada na Figura 18 Para facilitar seu uso vamos refazêla aqui a denominando como Figura 111 Para o dimensionamento de alguns pilares precisamos adotar al guns parâmetros de projeto necessários para isso por exemplo adotar o Aço CA 50 concreto C25 e supor que de nível a nível de pavimento tenhamos uma altura de 270 cm É claro precisamos também da carga aplicada em cada pilar mas isso será feito caso a caso no momento oportuno 350 UNIUBE Figura 111 Planta de forma parcial do pavimen to tipo e planta dos vãos teóricos Fonte o autor Vamos iniciar trabalhando com o pilar P10 por exemplo Tratase de um pilar central e intermediário portanto não teremos excentricidade inicial 811 Prédimensionamento Os pilares geralmente são embutidos nas paredes e portanto os re tangulares têm um dos lados com a dimensão um pouco menor que UNIUBE 351 a dimensão da parede A menor dimensão permitida para pilares é de 19 cm admitindose dimensões entre 19 cm e 14 cm desde que os esforços solicitantes de cálculo sejam majorados por um coeficiente adicional γn conforme disposto na Tabela 36 Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2 Tabela 36 Valores do coeficiente adicional γn para pilares b cm 19 18 17 16 15 14 γn 100 105 110 115 120 125 onde γn 195 005 b b é a menor dimensão da seção transversal expressa em centímetros cm NOTA o coeficiente γn deve majorar os esforços solicitan tes finais de cálculo quando de seu dimensionamento Fonte NBR6118 Tabela 131 A outra dimensão pode ser estimada adotandose para a força nor mal adimensional um valor entre 08 e 12 12 08 12 12 d cd d d cd cd F b f F h F b h f b f ν ν O pilar P10 considerado neste exemplo teria 14 cm como uma das dimensões e a outra Para P 450 kN Nd γf γn P 14 125 450 7875 kN 262 h 378 h 35 cm Para P 300 kN Nd γf γn P 14 125 300 525 kN 175 h 252 h 25 cm 352 UNIUBE DICA Em um edifício o pilar do último pavimento recebe apenas a carga da cobertura e à medida que descemos para o térreo vai receben do a carga dos pavimentos acima dele até que no térreo ele está recebendo a carga correspondente a ele de todo o edifício Isto significa que sua seção varia uma seção maior no térreo diminuin do até sua menor seção no último pavimento Uma das alternativas é manter a seção por alguns pavimentos au mentando a armadura à medida que a carga vai aumentando 812 Exemplo 01 Dimensionar a armadura do pilar P10 Figura 111 Dados Aço CA 50 concreto C25 H nível a nível de pavimento 270 cm P 400 kN b 14 cm Da planta de forma temos que a V104 14x40 e a V107 14x35 Estimativa da seção 12 08 12 12 d cd d d cd cd F b f F h F b h f b f ν ν Para P 400 kN Nd γf γn P 14 125 400 7875 kN 262 h 378 h 35 cm UNIUBE 353 Figura 112 Seção e elevação do pilar P10 nas direções x e y Fonte o autor 8121 Cálculo do índice de esbeltez Na direção x ℓ 270 cm ℓ0 270 40 230 ℓe 27023014 244 cm Na direção y ℓ 270 cm ℓ0 270 35 235 ℓe 27023530 265 cm 346 346 244 603 14 e x x x xh λ λ 35 λ 90 Pilar pouco esbelto 346 346 265 306 30 e y y x yh λ λ λ 35 Pilar curto Na direção x 35 λ 90 Pilar pouco esbelto excentricidade de 2ª ordem Na direção y λ 35 Pilar curto não considera ex centricidade de 2ª ordem 354 UNIUBE 8122 Cálculo das excentricidades acidentais 81221 Cálculo das excentricidades acidentais 1 1 1 1 00033 rad 0005 rad 300 200 θ θ 1 1 1 1 00064 1 adotase 0005 200 100 100 244 x x ex θ θ 1 0005 244 122 cm ax x x ax e e θ seção extrema topo e base do pilar 1 244 0005 061 cm 2 2 x ax x ax e e θ seção intermediária meio do pilar Analogamente na direção do eixo y a excentricidade acidental resulta 1 1 1 1 00061 1 adotase 0005 200 100 100 265 y y ex θ θ 1 0005 265 1325 cm ay y y ay e e θ seção extrema topo e base do pilar 1 265 0005 0663 cm 2 2 y ay y ay e e θ seção intermediária meio do pilar UNIUBE 355 81222 Cálculo das excentricidades iniciais ei Pilar intermediário não tem ei Apenas os pilares extremos de vigas têm excentricidade inicial 81223 Cálculo das excentricidades mínimas 1min 0015 003 0015 003 014 00192 m 192 cm x x e h 1min 0015 003 0015 003 030 0024 m 240 cm y y e h Como as excentricidades acidentais devem ser maiores ou iguais as mínimas teremos como excentricidades de 1ª ordem 1min 1 192 cm 122 cm 192 cm x ax x e e e em todo o pilar 1min 1 240 cm 133 cm 240 cm y ay y e e e em todo o pilar 81224 Cálculo das excentricidades de segunda ordem Valor da força normal adimensional ou força normal reduzida d d c cd cd F F A f b h f ν 14 125 400 0933 30 14 1786 d c cd F A f ν Valor da curvatura na seção crítica do pilar submetido à flexão composta 1 0005 1 0005 0000249 05 0933 05 14 r h r ν com 05 1 ν 356 UNIUBE Valor da excentricidade de 2ª ordem na direção x 2 2 2 2 1 244 0000249 148 cm 10 10 ex x x e e r Observação Para a direção y λ 35 Pilar curto não considera ex centricidade de 2ª ordem 8123 Análise das excentricidades Excentricidades iniciais Como temos um pilar intermediário a situação de projeto é uma carga centrada Se tivéssemos um pilar lateral nosso pilar fosse o apoio extremo de uma viga na situação de projeto teríamos a excentricidade inicial na direção desta viga Agora temos as outras excentricidades que acontecerão na situa ção de cálculo Excentricidades acidentais Determinamos eax 121 cm e eay 133 cm nas extremidades e eax 061 cm e eay 0663 cm no meio do pilar UNIUBE 357 Excentricidades mínimas e1 ea ei e1min A soma das excentricidades inicial e acidental deve ser maior ou igual a mínima caso contrário usamos a mínima em cada direção Como e1xmin 192 121 0 e e1xmin 192 061 0 e1x 192 extremidades e no meio Como e1ymin 240 121 0 e e1ymin 240 061 0 e1y 240 extremidades e no meio Excentricidades de segunda ordem Por ser um pilar intermediário não tivemos excentricidade inicial Na direção x tivemos excentricidade de 2ª ordem 35 λ 90 Pilar pouco esbelto Na direção y não consideramos a excentricidade de 2ª ordem λ 35 Pilar curto Observe que a excentricidade de segunda ordem é máxima no meio do pilar e em uma das extremidades 358 UNIUBE Figura 113 Pilar P10 Situações de projeto e de cálculo Fonte o autor Da análise da situação de cálculo das excentricidades apresenta das na Figura 113 temos a seção intermediária é a mais desfavorável para a direção x com uma excentricidade de cálculo igual a 340 cm na direção y a seção intermediária e a das extremidades apre sentaram a excentricidade mínima igual a 240 cm como a mais desfavorável como a excentricidade de cálculo UNIUBE 359 8124 Cálculo da armadura longitudinal No capítulo anterior mencionamos a utilização dos ábacos de Venturini 2000 para a Flexão Composta Normal No item 741 apresentamos uma rotina para a utilização destes ábacos Então agora vamos a eles mas não se preocupe vamos fazer isso passo a passo explicando tudo ok Inicialmente vamos detalhar os parâmetros dh Na Figura 114 detalhamos a altura d À esquerda o pilar com seus eixos x e y ao centro o pilar seu estribo e uma barra em cada direção para exemplificar o centro de gravidade da armadura visto que arma mos nossos pilares com apenas uma camada de ferros e final mente à direita ampliamos o Detalhe A onde se vê o cobrimento da armadura c o diâmetro da armadura transversal estribo φt e o cg da armadura cg Figura 114 Detalhe da altura d Fonte o autor O cobrimento da armadura já foi visto no Capítulo IV item 48 e depende da classe de agressividade ambiental O diâmetro do es tribo será ¼ do diâmetro da armadura longitudinal maior ou igual a 50 mm e finalmente o cg da armadura será igual à metade do 360 UNIUBE diâmetro da armadura longitudinal que por norma deve ser maior ou igual a 100 mm assim teremos 05 cm para o φ10 mm 10 cm até o φ20 mm 15 cm para os φ22 e φ25 mm etc RELEMBRANDO cnom cmin c cobrimento nominal cobrimento mínimo tolerância de execução Nas obras correntes o valor de c tolerância de execução deve ser maior ou igual a 10 mm permitindose a redução para 5 mm quando ficar explícito nos desenhos de projeto a obrigatoriedade de controles de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medi das durante a execução exigências de controle rigoroso Podese admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda um nível acima para ambientes internos secos sa las dormitórios banheiros cozinhas e áreas de serviço de apar tamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura Tabela 37 Cobrimentos nominais c 10mm referentes à classe de agressividade ambiental Componente ou elemento de con creto armado Classe de agressividade ambiental Tabela 42 I II III IV Cobrimento nominal mm Laje 20 25 35 45 VigaPilar 25 30 40 50 Fonte NBR 6118 2003 Tabela 72 UNIUBE 361 Desta forma para edifícios residenciais e comerciais Classe de agressividade II podemos conforme a norma usar um nível mais brando portanto Classe I e ainda obedecendo as prescrições da norma usar c 05 Desta forma o cobrimento passaria de 30 cm na Classe II para 25 cm na Classe I e finalmente 20 cm com o c de 10 para 05 cm Continuando agora que já definimos todos os parâmetros pode mos facilmente estimar o valor de d para edifícios residenciais ou comerciais Classe II por exemplo Para φℓ 10 mm d c φt ½ φℓ 20 05 05 30 cm Para 125 φℓ 20 mm d c φt ½ φℓ 20 05 10 35 cm Para φℓ φ 22 ou 25 mm d c φt ½ φℓ 20 05 10 35 cm 81241 Direção x a Cálculo de dx No caso do nosso pilar supondo φ 20 mm teremos Direção x d 35 hx 14 d hx 025 b Excentricidade de cálculo na direção x Conforme a Figura 113 na seção intermediária ex eiminx e2x 192 148 340 cm 362 UNIUBE c Valor da Força normal adimensional reduzida calculada em 834 νd 0933 d Cálculo do momento fletor adimensional reduzido na dire ção do eixo x dx c cd M A h f µ Veja que podemos calcular o µ de duas formas diferentes dx d x c cd c cd M N e A h f A h f µ ou rearranjando esta fórmula x d e h µ ν 34 0933 0227 14 x x d x e h µ ν e Ábaco de Flexão Normal Composta Veja a figura a seguir É um esboço de como vamos armar nosso pilar Veja que a armadura deve ser colocada normalmente à me nor dimensão neste caso vamos buscar um ábaco onde a arma dura é normal à direção de Nd Adotaremos o Ábaco A5 d hx 025 UNIUBE 363 Figura 115 Ábaco para Flexão Normal Composta A5 Fonte Venturini 2000 364 UNIUBE Entrando com ν 0933 e µ 0227 veja as linhas pontilhadas na Figura 115 Teremos ω 089 s yd c cd A f A f ω 2 089 1535 cm 4348 c cd c cd s yd A f A f A f ω Adotando φ 125 mm 123 cm2 necessitaremos de 1248 barras Como usaremos metade em um lado e metade no outro teremos que usar 14 barras 14 barras darão uma seção total de 1722 cm2 1218 a mais que o calculado Adotando φ 16 mm 20 cm2 necessitaremos de 768 barras ou seja 4 4 8 barras 8 barras darão uma seção total de 160 cm2 423 a mais que o calculado Adotando φ 20 mm 314 cm2 necessitaremos de 489 barras ou seja 3 3 6 barras 6 barras darão uma seção total de 1884 cm2 2274 a mais que o calculado Independente disso sete barras em cada lado é muita coisa oito ou seis barras é um número melhor Adotaremos portanto 8 φ 16 mm 4 barras em cada lateral do lado maior da direção y UNIUBE 365 81242 Direção y IMPORTANTE O que vamos fazer agora é basicamente um cálculo de verificação Em princípio a armadura já foi calculada pois consideramos a si tuação mais desfavorável Neste cálculo vamos adotar a mesma premissa de colocação das barras calculamos a armadura para a direção y e usaremos a maior entre as armaduras determinadas para a direção x ou y a Cálculo de dy Já foi suposto φ 20 mm teremos Direção y d 35 hy 30 d hy 0117 b Excentricidade de cálculo na direção x Conforme a Figura 113 nas seções intermediária e de extremidades ey 240 cm c Valor da Força normal adimensional reduzida calculada em 834 νd 0933 d Cálculo do momento fletor adimensional reduzido na dire ção do eixo x dx c cd M A h f µ Veja que podemos calcular o µ de duas formas diferentes d y dx c cd c cd N e M A h f A h f µ ou rearranjando esta fórmula y d e h µ ν 24 0933 0075 30 y y d y e h µ ν 366 UNIUBE e Ábaco de Flexão Normal Composta Observe que a armadura é mantida normal mente à menor dimensão mas agora a arma dura está na mesma direção que o momento aplicado Nd ey Não temos um ábaco para o valor de dy hy 0117 e neste caso ou arredondamos para 010 ou usamos os ábacos de 010 e 015 Vamos adotar o ábaco para dy hy 010 Podemos usar o Ábaco A115 ou o Ábaco A25 ambos para d hy 010 UNIUBE 367 Figura 116 Ábaco para Flexão Normal Composta A11 Fonte Venturini 2000 368 UNIUBE Figura 117 Ábaco para Flexão Normal Composta A25 Fonte Venturini 2000 UNIUBE 369 Entrando com ν 0933 e µ 0075 veja as linhas pontilhadas nas Figuras 116 e 117 Teremos ω 033 em ambos os ábacos A única diferença entre os dois ábacos é que o A11 impõe 8 barras 4 de cada lado e o A25 deixa em aberto o número de barras traço cheio ou seja calculamos uma armadura e colocamos metade em cada lado O importante é o seguinte percebeu que o cálculo da armadura terminou Isso mesmo não precisamos mais continuar pois deter minamos ω 033 para a direção y uma taxa de armadura muito inferior ao ω 089 encontrada para a direção x Adotaremos a solução inicial encontrada para a direção x 8 φ 16 mm 4 barras em cada lateral do lado maior da direção y Antes de fazermos outro exercício vamos terminar este mas antes temos que aprender a detalhar a armadura ok 82 Detalhamento da armadura de pilares de concreto armado 821 Relação máxima entre as dimensões da seção Antes vamos diferenciar pilar de pilar parede Os pilares deverão ter a maior dimensão de sua seção menor ou igual a cinco vezes sua menor dimensão 5 Pilar h b 5 Pilar parede h b 370 UNIUBE 822 Armaduras longitudinais O diâmetro das barras longitudinais não pode ser inferior a 10 mm nem superior a 18 da menor dimensão transversal A armadura longitudinal mínima deve ser 015 0004 d s mín c yd N A A f A armadura longitudinal máxima deve ser 008 s max c A A Esta armadura máxima deve considerar inclusive a sobreposição de ar madura existente em regiões de emenda esperas arranques de pilares Em seções poligonais deve existir pelo menos uma barra em cada vértice em seções circulares no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro Na seção retangular portanto um mínimo de quatro barras uma em cada canto O espaçamento mínimo entre as barras longitudinais deve ser maior ou igual a max diâmetro máxim 20 12 o do agregad o mm a d φ Quando estiver previsto no plano de execução da concretagem o adensamento por meio de abertura lateral na face da fôrma o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador UNIUBE 371 O espaçamento máximo sℓ entre os eixos das barras deve ser me nor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado sem exceder 40 cm ou seja 2 40 cm b s 823 Armaduras transversais Nas vigas os estribos são fundamentais para combater o cisalha mento Nos pilares os estribos têm outra função os estribos têm como principal função fixar as barras longitudinais e contraventá las impedindo sua flambagem Entre outras funções eles também confinam o concreto em seu interior aumentando a resistência do pilar e a sua ductilidade Diâmetro dos estribos 5 mm 4 tφ φ Espaçamento dos estribos 372 UNIUBE 824 Estribos suplementares Como vimos os estribos têm como uma de suas principais funções o contraventamento das barras longitudinais impedindo sua flam bagem mas estribos muito compridos perdem esta capacidade na sua região central A NBR 6118 considera que os estribos protegem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus can tos e as situadas no máximo à distância de 20 φt do canto se nes se trecho de comprimento 20 φt não houver mais de duas barras não contando a de canto Quando houver mais de duas barras nes se trecho ou barra fora dele deve haver estribos suplementares Figura 118 Proteção contra a flambagem das barras Fonte NBR 6118 Figura 182 83 Detalhamento da armadura do exemplo 01 Agora já temos condições de terminar nosso exercício detalhando sua armadura O pilar P10 tem uma seção de concreto 14 x 30 cm e foi armado com 8 φ 16 mm 4 barras em cada lateral do lado maior da direção y UNIUBE 373 Menor dimensão 140 cm Área 14 x 30 420 cm2 360 cm2 Área de aço 8 φ 16 mm 80 cm2 Armadura mínima 2 700 015 0004 015 241 cm 4348 d s mín c yd N A A f 2 0004 0004 420 168 cm s mín c A A A armadura longitudinal máxima deve ser 2 008 004 420 168 cm s max c A A DICAS No cálculo feito anteriormente para a determinação da armadura má xima não cometemos nenhum erro A taxa de 8 deve considerar in clusive a sobreposição de armadura nas regiões de emenda portanto devemos considerar uma taxa máxima de 40 para o nosso pilar DICAS As taxas de armadura em pilares variam de calculista para calculista mas normalmente ficam próximas de 1 não ultrapassando 2 25 É uma taxa de armadura ρ As Ac 16 420 381 é alta Isto se deve em parte à dimensão de 14 cm γn 125 e indica a necessidade de um aumento de seção Pilares com dimensões de 14 15 cm embutidos na parede são um luxo não é mesmo Mas lembrese custam caro 374 UNIUBE Comprimento de ancoragem sem gancho Tabela 24 Capítulo V 38 φ 38 16 61 cm Armadura transversal Diâmetro dos estribos 5 mm 16 40 mm 4 4 tφ φ φt 50 mm Espaçamento dos estribos Portanto estribos de 50 mm a cada 14 cm Número de estribos n 270 14 1928 mais um estribo que vai na base n 20 Não há necessidade de armadura suplementar ganchos Figura 119 Pilar P10 Detalhamento da armadu ra longitudinal na seção transversal Fonte o autor UNIUBE 375 Figura 120 Pilar P10 Detalhamento de um tramo Fonte o autor 84 Exemplo 02 Dimensionar a armadura do pilar P07 Figura 111 Dados Aço CA 50 concreto C25 H nível a nível de pavimento 270 cm P 450 kN b 17 cm Vamos adotar para a V103 uma carga de 25 kNm V106 14x40 V103 14x35 P07 17 cm P0814 cm e face a face de pilar com 362 cm 376 UNIUBE Estimativa da seção 12 08 199 012 286 12 d cd d d cd cd F h b f F F b h f h b f ν ν ν Para P 450 kN Nd γf γn P 14 11 470 7238 kN 20 h 29 h 30 cm Figura 121 Seção e elevação do pilar P07 nas direções x e y Fonte o autor 841 Cálculo do índice de esbeltez Na direção x ℓ 270 cm ℓ0 270 35 235 ℓe 27023517 252 cm Na direção y ℓ 270 cm ℓ0 270 40 230 ℓe 27023030 260 cm UNIUBE 377 346 346 252 514 17 e x x x xh λ λ 35 λ 90 Pilar pouco esbelto 346 346 260 300 30 e y y x yh λ λ λ 35 Pilar curto Na direção x 35 λ 90 Pilar pouco esbelto excentricidade de 2ª ordem Na direção y λ 35 Pilar curto não considera excentricidade de 2ª ordem Este exemplo é muito parecido com o anterior a única diferença é que o pilar P10 era intermediário portanto não tinha excentricidade inicial O P07 é um pilar de extremidade ele é o apoio extremo da viga V103 e esta viga provocará excentricidade inicial na direção do eixo x a sua direção 842 Cálculo das excentricidades iniciais 8421 Cálculo do vão teórico da V103 Vão da V103 ℓ0 362 cm t1 2 172 85 cm t2 2 142 70 cm hV103 35 cm a1 03 35 105 ou t12 85 a1 85 a2 03 35 105 ou t12 70 a2 70 ℓ ℓ0 a1 a2 362 85 70 3775 cm 378 UNIUBE A rigidez total será 53002 29244 29244 11149 cm3 E a parcela de rigidez referente ao pilar superior será 29244 11149 0262 O Momento de Engastamento Perfeito da viga é 2 2 25 362 E 273 kNcm 27300 kNcm 12 12 p M P O Momento no pilar será 0262 27300 71526 kNcm Como a carga no pilar é N 470 kN Nd 7238 kN Excentricidades na base e topo eiA é a maior eiB a menor UNIUBE 379 14 71526 10014 138 cm 14 11 470 7238 d pilar iA x d M e N 10014 138 cm 7238 eiB x Excentricidades no meio do pilar eic 1 06 04 04 iA iB C iA e e e e 1 06 138 04 138 0276 04 138 0552 e C 1 0552 cm e C Esta é a situação de projeto a situação 0 iAx iCx iy extremidades e 138 eixo x meio do pilar e 0552 eixo y carga centrada e 0 843 Cálculo das excentricidades acidentais 8431 Cálculo das excentricidades acidentais 1 1 1 1 00033 rad 0005 rad 300 200 θ θ 1 1 1 1 00062 1 adotase 0005 200 100 100 252 x x ex θ θ 1 0005 252 126 cm ax x x ax e e θ seção extrema topo e base do pilar 380 UNIUBE 1 252 0005 063 cm 2 2 x ax x ax e e θ seção intermediária meio do pilar Analogamente na direção do eixo y a excentricidade acidental resulta 1 1 1 1 00062 1 adotase 0005 200 100 100 260 y y ex θ θ 1 0005 260 130 cm ay y y ay e e θ seção extrema topo e base do pilar 1 260 0005 065 cm 2 2 y ay y ay e e θ seção intermediária meio do pilar 8432 Cálculo das excentricidades mínimas 1min 0015 003 0015 003 017 00201 m 201 cm x x e h 1min 0015 003 0015 003 030 0024 m 240 cm y y e h 8433 Cálculo das excentricidades de segunda ordem Valor da força normal adimensional ou força normal reduzida d d c cd cd F F A f b h f ν 14 11 470 0795 30 17 1786 d c cd F A f ν UNIUBE 381 Valor da curvatura na seção crítica do pilar submetido à flexão composta 1 0005 1 0005 0000227 05 0795 05 17 r h r ν com 05 1 ν Valor da excentricidade de 2ª ordem na direção x 2 2 2 2 1 252 0000227 144 cm 10 10 ex x x e e r Observação Para a direção y λ 35 Pilar curto não considera excen tricidade de 2ª ordem 844 Análise das excentricidades Excentricidades iniciais Como temos um pilar de extremidade na direção x a situação de projeto é uma carga excêntrica eiAx nas extremidades e eiCx na seção intermediária Na direção y o pilar não é de extremidade portanto na situação de projeto a carga não é excêntrica Agora temos as outras excentricidades que acontecerão na situa ção de cálculo Como a soma das excentricidades iniciais e acidentais devem ser maio res ou iguais às mínimas teremos como excentricidades de 1ª ordem 382 UNIUBE Direção x Topo e base 138 126 264 iA x aA x e e minx 201 ie 1 264 e A x Intermediária 0552 063 118 iC x aC x e e minx 201 ie 1 201 e C x Direção y Topo e base 00 13 13 iA y aA y e e min 240 i y e 1 y 240 e A Intermediária y 00 065 065 iC y aC e e miny 240 ie 1 240 e C y Excentricidades de segunda ordem Na direção x tivemos excentricidade de 2ª ordem 35 λ 90 Pilar pouco esbelto Na direção y não consideramos a excentricidade de 2ª ordem λ 35 Pilar curto Observe que a excentricidade de segunda ordem é máxima no meio do pilar e nula nas extremidades UNIUBE 383 Figura 122 Pilar P07 Situações de projeto e de cálculo Fonte o autor Da análise da situação de cálculo das excentricidades apresenta das na Figura 122 temos a seção intermediária é a mais desfavorável para a direção x com uma excentricidade de cálculo igual a 201144 345 cm na direção y as seções das extremidades apresentaram a situ ação mais desfavorável Flexão Composta Oblíqua com excen tricidades iguais a 138 cm na direção x e 240 cm na direção y 384 UNIUBE 845 Cálculo da armadura longitudinal Vamos utilizar os ábacos de Venturini 2000 para a Flexão Composta Normal e para a Flexão Composta Oblíqua usaremos os ábacos propostos Pinheiro 2009 Quanto aos ábacos para Flexão Composta Normal apresentamos uma rotina para a utiliza ção destes ábacos em 741 e os usamos no exemplo 01 Quanto aos ábacos para a Flexão Composta Oblíqua vamos usálos pela primeira vez mas lembrese que apresentamos uma rotina para a utilização destes ábacos em 742 RELEMBRANDO Para φℓ 10 mm d c φt ½ φℓ 20 05 05 30 cm Para 125 φℓ 20 mm d c φt ½ φℓ 20 05 10 35 cm Para φℓ φ 22 ou 25 mm d c φt ½ φℓ 20 05 10 35 cm 8451 Direção x a Cálculo de dx No caso do nosso pilar supondo até o φ 20 mm teremos Direção x d 35 hx 17 d hx 0206 adotaremos d hx 020 UNIUBE 385 b Excentricidade de cálculo na direção x Conforme a Figura 122 na seção intermediária ex eiminx e2x 201 144 345 cm c Valor da Força normal adimensional reduzida calculada em 8533 νd 0795 d Cálculo do momento fletor adimensional reduzido na dire ção do eixo x dx c cd M A h f µ Veja que podemos calcular o µ de duas formas diferentes dx d x c cd c cd M N e A h f A h f µ ou rearranjando esta fórmula x d e h µ ν 345 0795 0161 17 x x d x e h µ ν e Ábaco de Flexão Normal Composta Veja a figura a seguir É um esboço de como vamos armar nosso pilar Veja que a armadura deve ser colocada normalmente à menor di mensão neste caso vamos buscar um ábaco onde a armadura é normal à direção de Nd Adotaremos o Ábaco A4 d hx 020 386 UNIUBE Figura 123 Ábaco para Flexão Normal Composta A4 Fonte Venturini 2000 UNIUBE 387 Entrando com ν 0795 e µ 0161 veja as linhas pontilhadas na Figura 123 Teremos ω 069 s yd c cd A f A f ω 2 069 1445 cm 4348 c cd c cd s yd A f A f A f ω Adotando φ 125 mm 123 cm2 necessitaremos de 1175 barras portanto 2 x 6 barras 12 barras darão uma seção total de 1476 cm2 215 a mais que o calculado Adotando φ 16 mm 20 cm2 necessitaremos de 723 barras ou seja 2 x 4 barras 8 barras darão uma seção total de 160 cm2 1073 a mais que o calculado Adotando φ 20 mm 314 cm2 necessitaremos de 46 barras ou seja 2 x 3 barras 6 barras darão uma seção total de 1884 cm2 3038 a mais que o calculado Podemos adotar 12 φ 125 mm 6 barras em cada lateral do lado maior da direção y Podemos adotar 8 φ 16 mm 4 barras em cada lateral do lado maior da direção y Observe que a adoção das 12 φ 125 mm implicará em armadura suplementar e espaçamentos menores de estribos 388 UNIUBE 8452 Direção y IMPORTANTE Assim como no exemplo 01 o que vamos fazer agora é basica mente um cálculo de verificação Em princípio a armadura já foi calculada pois consideramos a situação mais desfavorável Neste cálculo vamos adotar a mesma premissa de colocação das barras calculamos a armadura para a direção y e usaremos a maior entre as armaduras determinadas para a direção x ou y a Cálculo de dx e dy Já foi suposto até φ 20 mm teremos d 35 hx 17 d hx 0206 adotaremos d hx 020 d 35 hy 30 d hy 0117 adotaremos d hy 010 b Excentricidade de cálculo na direção x Conforme a Figura 122 situação mais desfavorável ex 138 cm ey 240 cm UNIUBE 389 c Valor da Força normal adimensional reduzida calculada em 8533 νd 0795 d Cálculo dos momentos adimensionais reduzidos 138 0795 17 x dx d x e h µ ν 240 0795 30 y dy d y e h µ ν e Ábacos de Flexão Composta Oblíqua Pinheiro 2009 Observe que a convenção adotada pelo Pinheiro mudou um pouquinho Estes segmentos com duas flechinhas é a re gra da mão direita aponte o dedão na direção das flechinhas e gire os outros dedos no senti do horário Mxd nesta figura significa momento em torno do eixo y na direção x O ábaco 15 é para d hy 010 e d hx 020 e para oito barras e como temos νd 0795 vamos usar o Ábaco 15B primeiro quadrante Observe que fizermos a opção pelo ábaco de 8 barras no dimensio namento para a direção x teremos a opção para 8 φ 16 mm 390 UNIUBE Figura 124 Ábaco para Flexão Composta Oblíqua 15B Fonte Pinheiro 2009 UNIUBE 391 Veja que as linhas pontilhadas estão se cruzando entre a segunda e a terceira curva ou seja entre as curvas de ω 02 e ω 03 Vamos adotar ω 025 Com o valor de ω 025 podemos calcular a armadura por meio da expressão s yd c cd A f A f ω Mas de novo percebeu que o cálculo da armadura terminou Não precisamos mais continuar pois determinamos ω 69 para a dire ção x uma taxa de armadura muito superior ao ω 025 encontra da para a direção y Adotaremos a solução inicial encontrada para a direção x 8 φ 16 mm 4 barras em cada lateral do lado maior da direção y 85 Detalhamento da armadura do exemplo 02 Agora já temos condições de terminar nosso exercício detalhando sua armadura O pilar P07 tem uma seção de concreto 17 x 30 cm e foi armado com 8 φ 16 mm 4 barras em cada lateral do lado maior da direção y Menor dimensão 170 cm Área 17 x 30 510 cm2 360 cm2 Área de aço 8 φ 16 mm 80 cm2 392 UNIUBE Armadura mínima 2 7238 015 0004 015 25 cm 4348 d s mín c yd N A A f 2 0004 0004 510 204 cm s mín c A A A armadura longitudinal máxima deve ser 008 s max c A A porém vamos fazer 004 s max c A A considerando a sobreposição de ar madura nas regiões de espera emenda de pilares Portanto 2 004 510 204 cm As max Taxa de armadura do pilar 16 314 510 s c A ρ A Comprimento de ancoragem sem gancho Tabela 52 Capítulo V 38 φ 38 16 61 cm Armadura transversal Diâmetro dos estribos 5 mm 16 40 mm 4 4 tφ φ φ t 50 mm Espaçamento dos estribos 20 cm menor dimensão da seção 170 cm 12 para CA50 12 16 192 cm ts φ s 17 cm UNIUBE 393 Portanto estribos de 50 mm a cada 17 cm Número de estribos n 270 17 1928 mais um estribo que vai na base n 20 Não há necessidade de armadura suplementar ganchos Figura 125 Pilar P07 Detalhamento da armadu ra longitudinal na seção transversal Fonte o autor 394 UNIUBE Figura 126 Pilar P07 Detalhamento de um tramo Fonte o autor Considerações finais Com os dois exemplos de dimensionamento de pilares feitos neste capítulo trabalhamos com as situações de pilares curtos e pouco esbeltos e pilares intermediários e de extremidade Aprendemos o dimensionamento à Flexão Normal Composta e à Flexão Composta Oblíqua aprendemos inclusive a utilizar as ta belas propostas por Venturini 2000 Ábacos de Flexão Normal Composta e por Pinheiro 2009 Ábacos para Flexão Composta Oblíqua A propósito estas publicações podem ser obtidas no setor de publicações da Escola de Engenharia de São Carlos USP Aprendemos também as prescrições da NBR 6118 2014 relativas às dimensões dos pilares taxas mínimas e máximas de armadura estribos e ao detalhamento dessas armaduras Mais uma vez o UNIUBE 395 detalhamento que fizemos ao final de cada exemplo está pronto para execução Não fizemos um exemplo para os pilares de canto não é mesmo Não se preocupe é a mesma rotina de cálculo que aprendemos nestes dois exemplos a diferença é que o pilar de canto é de extre midade nas duas direções portanto teremos um dimensionamento apenas à Flexão Composta Oblíqua e isso nos já aprendemos não é mesmo Acabamos de fazer no exemplo 2 396 UNIUBE CONCLUSÃO Após estes oito capítulos quase trezentas páginas com muitos conceitos muitos equacionamentos detalhamentos e longos mui to longos exercícios concluímos nosso objetivo inicial introduzir mos as noções básicas de um projeto estrutural e o conceito do cal culo dimensionamento e o detalhamento dos elementos básicos as lajes as vigas e os pilares de concreto armado Terminamos vários capítulos com o detalhamento completo da ar madura calculada às vezes inclusive com as armaduras construti vas e sempre observamos que estes estavam prontos para serem desenhados em uma planta de armação Mas não esgotamos o assunto aliás para quem se interessar pelo concreto armado e quiser continuar seus estudos nessa área ain da há muita muita coisa para aprendermos Nosso objetivo foi in troduzir o dimensionamento do concreto armado para todos aca dêmicos mas evidentemente alguns se interessarão pela área de hidráulica outros pela de estradas de geotecnia construção ou gestão de obras etc Para aqueles que se interessaram pela área de estruturas e pelo dimensionamento de concreto armado ainda há muito para estu dar e por isso recomendamos uma leitura melhor da NBR 6118 e outras normas voltadas para o concreto armado assim como de livros sobre o dimensionamento do concreto armado Para aqueles que não se interessarem pela área de estruturas in dependente da área da engenharia que que venham a abraçar o concreto armado estará lá É por esse motivo que esperamos uma boa leitura e um bom aprendizado dos conteúdos aqui abordados Bom estudo João Dirceu UNIUBE 397 Referências Bibliografia Associação Brasileira de Normas Técnicas NBR 6118 Projeto de estruturas de concreto procedimento Rio de Janeiro 2003 CARVALHO J D N Concreto Armado Notas de aula B Maringá EDUEM 2010a Coleção Fundamentum 61 Concreto Armado Notas de aula C Maringá EDUEM 2010 Coleção Fundamentum 62 Concreto Armado Notas de aula D Maringá EDUEM 2011 Coleção Fundamentum 64 Bibliografia Básica ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT NBR 61182014 Projeto de estruturas de concreto Procedimento Rio de Janeiro ABNT 2014 NBR 6120 Cargas para o cálculo de estruturas de edificações Rio de Janeiro ABNT 1980 NBR 7480 Aço destinado a armaduras para estruturas de concreto armado Especificação Rio de Janeiro ABNT 2007 NBR 14931 Execução de estruturas de concreto Procedimento Rio de Janeiro ABNT 2004 CARVALHO J D N Concreto armado Notas de aula A Coleção Fundamentum nº 60 Maringá EDUEM 2010 CARVALHO J D N Concreto armado Notas de aula B Coleção Fundamentum nº 61 Maringá EDUEM 2010 CARVALHO J D N Concreto armado Notas de aula C Coleção Fundamentum nº 62 Maringá EDUEM 2010 CARVALHO J D N Concreto armado Notas de aula D Coleção Fundamentum nº 74 Maringá EDUEM 2011 CARVALHO R C FIGUEIREDO FILHO J R Cálculo de detalhamento de es truturas usuais de concreto armado V 1 3 ed São Carlos EdUfscar 2013 398 UNIUBE CARVALHO R C PINHEIRO L M Cálculo de detalhamento de estruturas usuais de concreto armado V 2 São Paulo PINI 2011 Bibliografia complementar BORGES A N Curso prático de cálculo em concreto armado projetos de edifícios Rio de Janeiro Livro Técnico 2009 BOTELHO M H C Concreto armado eu te amo V1 7ed São Paulo Edgard Blücher 2013 BOTELHO M H C Concreto armado eu te amo V2 3ed São Paulo Edgard Blücher 2011 CLÍMACO J C T S Estruturas de concreto armado Fundamentos de pro jeto dimensionamento e verificação 2 ed Brasília Ed UnB FINATEC 2013 FUSCO P B Técnica de armar as estruturas de concreto São Paulo Pini 2003 FUSCO P B Estruturas de concreto solicitações normais estados limites últimos teoria e aplicações Rio de Janeiro Ed Guanabara Dois 1981 GIONGO J S ALVA G M S EL DEBS A L H Concreto Armado Projeto de Pilares de Acordo com a NBR 61182003 São Carlos EESCUSP 2008 PINHEIRO L M BARALDI L T POREM M E Estruturas de concreto ába cos para flexão oblíqua São Carlos EESCUSP 2009 VENTURINI W S RODRIGUES R de O Dimensionamento de peças re tangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta São Carlos EESC USP 2000