Função Primeiro e Segundo Grau

1 01 Os conjuntos são de grande importância na matemática em tratamentos formais modernos a maioria dos objetos matemáticos números relações e funções são definidas em termos de conjuntos Dados os conjuntos A 1 0 1 2 3 4 5 e B 1 0 2 4 5 7 e usando os conceitos adquiridos nos estudos de conjuntos no AVA determine a A U B b A B 02 Qual número não faz parte do domínio da função real abaixo a 1 b 2 c 3 d 4 03 Obtenha a lei da função de 1º grau que passam pelos pares de pontos abaixo e determine respectivamente os coeficientes angular e linear para a função 1 2 e 2 1 04 Classifique em crescente ou decrescente as seguintes funções a y 10x 4 b y 6x c y x 2 d y 2 3 x 05 Observe os gráficos abaixo e determine a função y ax b correspondente a cada um deles fx gx 4 7 1 06 Dada a função do 1º grau fx 4 3x determinar a a função é crescente ou decrescente Justifique b a raiz de fx e os coeficientes angular e linear c o ponto que fx intercepta o eixo y d os valores de x para os quais fx é negativa e o domínio que tem 16 como imagem CÁLCULO DIFERENCIAL VT 01 Profª ELAINE ENTREGAR NO DIA DA N1 VALOR 50 PONTOS 1 O TRABALHO TERÁ QUE SER MANUSCRITO 2 CAPA PADRÃO UNIUBE MANUAL DO ALUNO DIGITADA 3 O TRABALHO PODERÁ SER EM GRUPO DE ATÉ 2 ALUNOS 3 2 f os valores de x para os quais fx é positiva g a imagem que tem domínio 2 h um esboço do gráfico de fx i se a função passa pelo ponto 1 1 Justifique fazendo as contas 07 Uma barra de ferro com temperatura inicial de 10C foi aquecida até 30C O gráfico anterior representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência Calcule em quanto tempo após o início da experiência a temperatura da barra atingiu 0C 08 A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada no gráfico a seguir por 6 pontos de uma mesma reta Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria na promoção pagará por unidade em reais o equivalente a Função do 2ºGrau 01 A função real f de variável real dada por fx x2 12x 20 tem um valor a mínimo igual a 16 para x 6 b mínimo igual a 16 para x 12 c máximo igual a 56 para x 6 d máximo igual a 72 para x 12 e máximo igual a 240 para x 20 02 Com relação ao gráfico da função fx 2x 12 4 são feitas as seguintes afirmações I é uma parábola com concavidade voltada para cima II é uma parábola cujo vértice é o ponto 2 4 III o ponto de intersecção com o eixo y é 02 Nestas condições a somente a afirmação I é verdadeira b somente a afirmação III é verdadeira c as afirmações I II e III são verdadeiras d as afirmações I e III são verdadeiras e as afirmações II e III são verdadeiras 03 O lucro mensal de uma empresa é dado por L x2 30x 5 onde x é a quantidade mensal vendida Qual o lucro mensal máximo possível 04 Suponha que um grilo ao saltar do solo tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo em segundos pela expressão ht 3t 3t2 onde h é a altura atingida em metros a Em que instante t o grilo retorna ao solo b Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo 3 05 Para a função fx x2 3x 2 Calcule a As raízes de fx e o vértice b Os valores de x para os quais fx é crescente e decrescente c O conjunto Imagem d Qual o menor valor de fx Explique e Fx tem valor máximo ou mínimo Explique f Para que valores de x fx é negativa 06 Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame de modo a produzir uma área máxima Determine as dimensões desse curral FUNÇÃO EXPONENCIAL 01 ENEM PPL 2015 O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R 180000 propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho A expressão que corresponde à proposta salarial s em função do tempo de serviço t em anos é St1800 103t De acordo com a proposta do sindicato o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de tempo de serviço será em reais a 741600 b 381924 c 370962 d 370800 e 190962 02 Uma notícia falsa viralizou sendo compartilhada diversas vezes alcançando um número N de pessoas que é dado pela função NT 502t na qual o t é o tempo em minutos desde a divulgação da notícia Determine a A quantidade de pessoas que receberam essa mensagem no instante em que a notícia foi divulgada ou seja imediatamente t 0 b A quantidade de pessoas que receberam essa mensagem 5 minutos após ser divulgada c Em que instante tal divulgação alcançará 12800 pessoas Lista de Exercícios Matemática Questão 1 Dados 𝐴 1 0 1 2 3 4 5 e 𝐵 1 0 2 4 5 7 a A união de 𝐴 e 𝐵 é dada por 𝐴 𝐵 1 0 1 2 3 4 5 7 b A interseção de 𝐴 e 𝐵 é dada por 𝐴 𝐵 1 0 2 4 5 Questão 2 Dada 𝑓 𝑥 3 𝑥4 Como o denominador 𝑥 4 não pode ser nulo então devemos ter 𝑥 4 0 𝑥 4 Logo o número que não faz parte do domínio da função é d 4 Questão 3 Uma reta possui equação fundamental dada por 𝑦 𝑦1 𝑚 𝑥 𝑥1 Como os pontos 1 2 e 2 1 pertencem à reta então temos 𝑚 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥1 1 2 2 1 3 3 1 Substituindo 𝑚 1 e 𝑥1 𝑦1 1 2 na equação fundamental da reta temos 𝑦 2 1𝑥 1 𝑦 2 𝑥 1 𝑦 𝑥 1 Logo a função é dada por 𝑦 𝑥 1 onde os coeficientes angular e linear são respectiva mente 1 e 1 Questão 4 a Dada 𝑦 10𝑥 4 Como o coeficiente angular 𝑎 10 0 então a função é crescente b Dada 𝑦 6𝑥 Como o coeficiente angular 𝑎 6 0 então a função é decrescente c Dada 𝑦 𝑥 2 Como o coeficiente angular 𝑎 1 0 então a função é decrescente d Dada 𝑦 3 2𝑥 Como o coeficiente angular 𝑎 3 2 0 então a função é crescente Questão 5 a Como os pontos 0 4 e 7 0 pertencem ao gráfico da função temos 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑓 0 4 𝑎 0 𝑏 4 𝑏 4 𝑓 7 0 𝑎 7 4 0 7𝑎 4 𝑎 4 7 Logo a função é dada por 𝑓 𝑥 4 7𝑥 4 b Como os pontos 0 3 e 1 0 pertencem ao gráfico da função temos 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑓 0 3 𝑎 0 𝑏 3 𝑏 3 𝑓 1 0 𝑎 1 3 0 𝑎 3 0 𝑎 3 Logo a função é dada por 𝑓 𝑥 3𝑥 3 Questão 6 a Uma função polinomial do 1º grau possui forma 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 onde 𝑎 é o coeficiente angular e 𝑏 é o coeficiente linear Dada 𝑓 𝑥 43𝑥 Como o coeficiente angular 𝑎 3 0 então a função é decrescente b Para 𝑓 𝑥 0 temos 4 3𝑥 0 3𝑥 4 𝑥 4 3 Logo a raiz da função é 𝑥 4 3 Os coeficientes angular e linear da função são respectivamente 3 e 4 c Para 𝑥 0 temos 𝑓 0 4 3 0 4 Logo o ponto de intersecção da função com o eixo 𝑦 é 0 4 d Temos que 𝑓 𝑥 0 4 3𝑥 0 3𝑥 4 𝑥 4 3 Logo a função é negativa para 𝑥 4 3 e Para 𝑓 𝑥 16 temos 4 3𝑥 16 3𝑥 12 𝑥 4 Portanto a função atinge o valor 16 para 𝑥 4 Questão 7 Uma reta possui equação reduzida dada por 𝑦 𝑚𝑥 𝑛 onde 𝑚 é o coeficiente angular e 𝑛 é o coeficiente linear isto é o ponto de intersecção da reta com o eixo 𝑦 Como os pontos 0 10 e 5 30 pertencem à reta então temos 𝑛 10 30 5𝑚 10 5𝑚 40 𝑚 8 Logo a equação reduzida da reta é 𝑦 8𝑥 10 Para 𝑦 0 temos 0 8𝑥 10 8𝑥 10 𝑥 10 8 5 4 125 Portanto a temperatura da barra atingiu 0C após 125 horas isto é 1 hora e 15 minutos Questão 8 Uma reta possui equação fundamental dada por 𝑦 𝑦1 𝑚 𝑥 𝑥1 Como os pontos 5 150 e 30 50 pertencem à reta então temos 𝑚 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥1 50 150 30 5 100 25 4 Substituindo 𝑚 4 e 𝑥1 𝑦1 5 150 na equação fundamental da reta temos 𝑦 150 4𝑥 5 𝑦 150 4𝑥 20 𝑦 4𝑥 170 Para 𝑥 20 temos 𝑦 4 20 170 80 170 90 Logo o preço por unidade é dado por 𝑦 𝑥 90 20 45 Portanto quem comprar 20 unidades dessa mercadoria pagará R 450 por unidade Função Polinomial do 2º Grau Questão 1 Dada 𝑓 𝑥 𝑥2 12𝑥 20 como o coeficiente de 𝑎 1 0 então o gráfico da função é uma parábola com concavidade para baixo Logo o vértice da parábola é um ponto de máximo O vértice da parábola é dado por 𝑥𝑉 𝑏 2𝑎 12 2 1 12 2 6 Substituindo 𝑥 6 na função temos 𝑓 6 62 12 6 20 36 72 20 56 Portanto a função tem um valor c máximo igual a 56 para 𝑥 6 Questão 2 Uma função polinoial do 2º grau possui forma canônica dada por 𝑓 𝑥 𝑎 𝑥 𝑥𝑉2 𝑦𝑉 Dada 𝑓 𝑥 2𝑥 12 4 Como o coeficiente de 𝑎 2 0 então o gráfico da função é uma parábola com concavidade para cima O vértice da parábola é dado por 𝑉1 4 Para 𝑥 0 temos 𝑓 0 20 12 4 2 1 4 2 4 2 Logo o ponto de interseção da função com o eixo 𝑦 é 0 2 Portanto d as afirmações I e III são verdadeiras Questão 3 Dada 𝐿𝑥 𝑥2 30𝑥 5 temos 𝑥𝑉 𝑏 2𝑎 30 2 1 30 2 15 Substituindo 𝑥 15 na função temos 𝐿15 152 30 15 5 225 450 5 220 Logo o lucro mensal máximo é de R 22000 Questão 4 a Dada ℎ𝑡 3𝑡 3𝑡2 temos ℎ𝑡 0 3𝑡 3𝑡2 0 3𝑡1 𝑡 0 𝑡 0 ou 𝑡 1 Logo o grilo retorna ao solo após 1 segundo b O vértice do gráfico da função é dado por 𝑡𝑉 𝑏 2𝑎 3 2 3 3 6 1 2 05 Substituindo 𝑡 05 na função temos ℎ05 3 05 3 052 15 3 025 15 075 075 Logo o grilo atinge a altura máxima de 075 metros Questão 5 a Dada 𝑓 𝑥 𝑥2 3𝑥 2 temos 𝑓 𝑥 0 𝑥2 3𝑥 2 0 𝑥 1𝑥 2 0 𝑥 1 ou 𝑥 2 Logo as raízes da função são 𝑥 1 e 𝑥 2 O vértice do gráfico da função é dado por 𝑥𝑉 𝑏 2𝑎 3 2 1 3 2 15 Substituindo 𝑥 15 na função temos 𝑦𝑉 𝑓 15 152 3 15 2 225 45 2 025 Logo o vértice do gráfico da função é 𝑉15 025 b Como o coeficiente de 𝑎 1 0 então o gráfico da função é uma parábola com concavidade para cima Logo a função é crescente para 𝑥 15 e decrescente para 𝑥 15 c Como o gráfico da função é uma parábola com concavidade para cima então o vértice da parábola é um ponto de mínimo Logo o conjunto Imagem da função é 025 d Como o vértice da parábola é um ponto de mínimo então o menor valor que a função pode assumir é 025 e A função 𝑓 𝑥 possui valor mínimo pois o seu gráfico é uma parábola com concavidade para cima f Como o gráfico da função é uma parábola com concavidade para cima então 𝑓 𝑥 é negativa para 1 𝑥 2 Questão 6 Seja 𝑦 a dimensão do lado oposto à parede de tijolos e 𝑥 a dimensão dos outros lados do curral retangular temos 𝑦 𝑥 𝑥 Logo sua área é dada por 𝐴 𝑥 𝑦 Como será utilizado 400 metros de tela de arame temos que 2𝑥 𝑦 400 𝑦 400 2𝑥 Substituindo 𝑦 na fórmula da área temos 𝐴 𝑥 400 2𝑥 400𝑥 2𝑥2 Logo o gráfico da função da área corresponde a uma parábola com concavidade para baixo e valor máximo em seu vértice O vérice da parábola é dado por 𝑥𝑉 𝑏 2𝑎 400 2 2 400 4 100 Como 𝑦 400 2𝑥 temos que 𝑦𝑉 400 2 100 400 200 200 Portanto as dimensões do curral retangular que maximizam a área são 100 metros e 200 metros Função Exponencial Questão 1 Para 𝑡 2 temos que 𝑠2 1800 1032 1800 10609 190962 Portanto o salário de um profissional com 2 anos de tempo de serviço é dee R 190962 Questão 2 a Para 𝑡 0 temos que 𝑁0 50 20 50 1 50 Portanto 50 pessoas receberam a mensagem no instante em que a notícia foi divulgada b Para 𝑡 5 temos que 𝑁5 50 25 50 32 1600 Portanto 1600 pessoas receberam a mensagem após 5 minutos da divulgação c Para 𝑁𝑡 12800 temos que 12800 50 2𝑡 2𝑡 12800 50 2𝑡 256 𝑡 log2256 𝑡 8 Portanto a divulgação alcançará 12800 pessoas após 8 minutos