Lista de Exercícios Resolvidos: Cálculo de Integrais - Métodos e Substituições

Questão 01 CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO X Voltar Questão 02 CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO Voltar Questão 03 Calculando a integral xlnx dx pelo método da integração por partes teremos CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO Voltar Questão 04 Ao calcular a integral encontramos CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO Voltar Questão 05 Calculando a integral pelo método da integração por partes teremos CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO 1 6312 1 x2 1x2 dx Se x sen u então dx cos u du sen2 u 1sen2 u cos u du sen2 u cos2 u cos u du sen2 u du 12 1 cos2u du u2 sen2u4 Se x senu u arc sen x e como sen2u 2 cos u sen u 2 1sen2 u sen u 2 x 1x2 Logo x2 1x2 dx arc sen x2 x 1x22 C OBS A questão tem erro nas alternativas pois a resposta correta é a descrita acima confere com o programa Wolfram Alpha e as alternativas dadas não corresponde 2 x2 a2 dx Substituição trigonometrica Se x a sec u então dx a sec u tg u du Daí x2 a2 dx a2 sec2 u a2 dx a2 sec2 u 1 a sec u tg u du a a tg u sec u tg u du a2 tg2 u sec u du a2 1 sec2 u sec u du a2 sec u sec3 u du Como sec u du ln tg u sec u e Ainda sec3u du sec2u sen u 2 12 secu du sec2u sen u 2 12 ln tgu secu Daí x2 a2 dx a2 sec2u sen u 2 a2 2 ln tgu secu a2 ln tgu secu a2 2 sec2u senu a2 2 ln tgu secu Como x a secu x2 a2 sec2u e como x a cosu x a 1 sen2u 1 sen2u a x 1 sen2 u a2 x2 sen2 u x2 a2 a2 sen u x2 a2 a tgu sen u cos u sen u a x x x2 a2 a secu x a Logo x2 a2 dx a2 2 x x2 a2 a2 a2 2 ln x x2 a2 a x a x x2 a2 2 a2 2 ln x x x2 a2 a2 2 ln a C constante x2 a2 dx x 2 x2 a2 a2 2 ln x x x2 a2 C 3 x ln x dx Integrando por partes temos u x e v ln x e u x2 2 e v 1 x u v dx uv u v dx x2 2 ln x x2 2 1 x dx x2 2 ln x 1 2 x dx x2 ln x 2 1 2 x2 2 C x2 ln x 2 x2 4 C Portanto x ln x dx x2 ln x 2 x2 4 Constante 4 1 a² x² dx Integração por substituição Se x a tgu dx a sec²u du Daí 1 a² x² dx 1 a² a² tg² u a sec² u du 1 a² 1 tg² u a sec² u du a sec² u a² sec² u du a sec² u a sec u du sec u du ln tg u sec u C Como x a tg u tg u x a sec² u 1 tg² u 1 x² a² a² x² a² sec u a² x² a Logo 1 a² x² dx ln x a² x² a C ln x a² x² ln a C constante 1 a² x² dx ln x a² x² C 5 from 0 to 1 x x² 1⁵ dx Integrando por partes u x e v x² 1⁵ u x² 2 v 5 x² 1⁴ 2x v 10 x x² 1⁴ u v dx uv uv dx x² 2 x² 1⁵ 5 x³ x² 1⁴ dx u v u 5 x⁴ 4 v 4 x² 1² 2x x² x² 1⁵ 5 x⁴ 4 x² 1⁴ 5 x⁴ 4 8 x x² 1³ dx x² x² 1⁵ 2 5 x⁴ x² 1⁴ 4 10 x⁵ 4 x² 1³ dx x² x² 1⁵ 2 5 x⁴ x² 1⁴ 4 10 x⁶ 6 x² 1³ 10 x⁷ x² 1² dx u 10 x⁷ v x² 1² u 10 x⁸ 8 v 4 x x² 1 star 10 x⁸ 8 x² 1² 5 x⁹ x² 1 dx 5 x⁹ x² 1 dx 5 x¹¹ 5 x⁹ dx 5 x¹² 12 x¹º 2 C Logo ₀¹ xx²1⁵ dx x²x²1⁵ 2 5x⁴x²1⁴ 4 10x⁶x²1³ 6 10x⁸x²1² 8 5x¹² 12 x¹⁰ 2 x1 x0 Δ 2⁵ 2 52⁴ 4 102³ 6 108 2 512 12 16 20 403 5 512 12 9 403 512 12 108 160 5 6 12 63 12 Logo ₀¹ xx²1⁵ dx 63 12