Trabalho Álgebra

REVISÃO VETORES NO ESPAÇO Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R3 Na verdade o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma o que difere são as aplicações mais ricas que existem em R3 Qualquer ponto do espaço forma com a base canônica 𝑖 𝑗 𝑘 𝑣 𝑂𝑃 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑧𝑘 VETORES DA BASE CANÔNICA 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 1 𝑖 1𝑖 0𝑗 0𝑘 100 𝑗 0𝑖 1𝑗 0𝑘 010 𝑘 0𝑖 0𝑗 1𝑘 001 OPERAÇÕES COM VETORES 1 Se v v1v2v3 e w w1w2w3 definimos a soma dos vetores v e w por v w v1w1v2w2v3w3 2 Se k é um número real e v abc um vetor em R3 definimos o produto de k por v como Kv kakbkc 3 Condição de paralelismo entre dois vetores 4 Dados A e B um vetor 𝑨𝑩 𝑩 𝑨 5 Distância entre A e B 𝒅𝑨𝑩 𝒙𝑩𝒙𝑨𝟐 𝒚𝑩𝒚𝑨𝟐 𝒛𝑩𝒛𝑨𝟐 PXYZ 𝒊 𝒋 𝒌 EXERCÍCIO AVA 1 Dados os vetores u534 e v21 3 Assinale a alternativa que expressa o resultado do produto 3u 2v2u v a 277 b 277 c 123 d 123 e 150 6 PRODUTO ESCALAR OU NORMA Se 𝑢 𝑥1 𝑦1 𝑧1 e 𝑣 𝑥2 𝑦2 𝑧2 são vetores no 𝑅3 definese produto escalar ou interno entre 𝑢𝑒 𝑣 como o escalar real u v x1x2 y1y2 z1z2 Ou O módulo de um vetor é dado por OBS Vetores ortogonais Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo isto é u v 0 EXERCÍCIO AVA Considere o cubo de vértices A B C D E F G e H ilustrado na figura abaixo e os vetores b c d e f g e h todos com origem em A e extremidades respectivamente em B C D E F G e H Com base nas informações apresentadas é correto afirmar que o vetor cujo produto escalar com f é igual a zero é o vetor Com base nas informações apresentadas é correto afirmar que o vetor cujo produto escalar com f é igual a zero é o vetor A d B c C b D g E h Ângulo entre dois vetores Produto Escalar O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma vwvwcost onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w Este ângulo pode ser maior ou igual a zero mas deve ser menor do que 180 graus π radianos Com esta última definição podemos obter o ângulo t através do cosseno deste argumento t cos𝑡 𝑣 𝑤 𝑣𝑤 EXERCÍCIOS 1 AVA O vetor 𝑢 1 1 0 forma um ângulo θ com o vetor 𝐴𝐵 sendo A4 1 2 e B2 3 1 Encontre o valor do ângulo θ a 142 b 38 c 113 d 668 e 96 Use 𝑨𝑩 𝑩 𝑨 𝐜𝐨𝐬𝒕 𝒗 𝒘 𝒗𝒘 2 AVA Uma caixa é arrastada ao longo do chão por uma corda que aplica uma força de 50 lb em um ângulo de 60º com o chão Quanto trabalho é realizado para movimentar a caixa a uma distância de 15 pés a 375 pés lb b 315 pés lb c 75 pés lb d 175 pés lb Use 50lb d 3 Desta forma dados vetores 𝑢 231 e 𝑣 142 podese dizer que o produto escalar entre 𝑢𝑒 𝑣 e o ângulo 𝜃 formado por eles são respectivamente a u v 12 e 𝜃 456 b u v 13 e 𝜃 486 c u v 10 e 𝜃 353 d u v 18 e 𝜃 456 e u v 12 e 𝜃 483 PROJEÇÃO ORTONORMAL Seja W um vetor não nulo Então a projeção ortogonal de um vetor V em W é dada por EXERCÍCIO AVA 1 Determinando a projeção do vetor v1 3 5 sobre o vetor u4 2 8 teremos como resultado o vetor a 2 1 4 b 2 1 4 c 4 2 8 d 2 1 8 PRODUTO VETORIAL Dados os vetores 𝑢 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 e 𝑣 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 não colineares definimos o produto vetorial entre 𝑢 𝑒 𝑣 denotado por 𝑢𝑥𝑣 como o vetor obtido por onde 𝑖 𝑗 𝑘 são os vetores unitários da base canônica do 𝑅3 Aplicando a regra de Sarrus para o cálculo de determinantes obtémse 𝑢𝑥𝑣 ATENÇÃO 𝑣𝑥𝑤 área do paralelogramo determinado por 𝑣 𝑒 𝑤 EXEMPLO 1 EXERCÍCIOS AVA 1 Sendo u 5i 4j 3k v i k qual das alternativas abaixo representa u x v a 4i 2j 4k b 4i 8j 4k c 4i 8j 4k d 4i 2j 4k 2 Determine a área do triângulo determinado por eles 3 Considere os vetores 𝑢 120 e 𝑣 3 1 2 O produto vetorial 𝑢𝑥𝑣 é a 𝑢𝑥𝑣 4 2 5 4𝑖 2𝑗 5𝑘 b 𝑢𝑥𝑣 42 5 4𝑖 2𝑗 5𝑘 c 𝑢𝑥𝑣 22 5 2𝑖 2𝑗 5𝑘 d 𝑢𝑥𝑣 6 2 5 6𝑖 2𝑗 5𝑘 e 𝑢𝑥𝑣 5 4 5 5𝑖 4𝑗 5𝑘 PRODUTO MISTO APLICAÇÃO VOLUME DO TETRAEDRO EXERCÍCIOS PARA FIXAR 1 Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 𝑢 120 𝑣 3 1 2 e 𝑤 2 1 1 2 Determine o volume do tetraedro determinado por eles 3 Dado o vetor 𝑢 12 6 2 e os pontos A 2 1 1 e B 8 42 determine a O vetor 𝐴𝐵 BA b Verifiquese 𝑢 e 𝐴𝐵 são paralelos c dAB xBxA2 yByA2 zBzA2 CURIOSIDADES APLICAÇÕES NA ENGENHARIA CIVIL 1 Dimensões em uma construção A base e a altura das tesouras do telhado de uma casa tem 32 pés e 5 pés respectivamente ver figura a Ache a distância d do beiral ao pico do telhado dica aplique Pitágoras b O comprimento da casa é de 40 pés Use o resultado da parte a para achar o número de pés quadrados do telhado A base x altura 2 Comprimento de um Fio Um fio é distendido do alto de uma torre de transmissão a 200 pés acima do solo até um ponto no solo a 125 pés da base da torre ver figura Qual o comprimento do fio QUESTÃO 1 Calcular o produto escalar Primeiramente vamos determinar os vetores 𝑢534𝑣213 3𝑢 2𝑣 3 534 2 213 𝟑𝒖 𝟐𝒗 15912 426 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟖 2𝑢 𝑣 2 534 213 𝟐𝒖 𝒗 1068 213 𝟏𝟐 𝟓𝟓 3𝑢 2𝑣 2𝑢 𝑣 111118 1255 132 55 90 𝟐𝟕𝟕 LETRA A QUESTÃO AVA O produto escalar entre dois vetores é zero caso eles sejam ortogonais já que o cos 90 é zero Pela imagem esse produto dará zero entre 𝐴𝐷 𝑒 𝐴𝐹 uma vez que AD tem seu sentido em direção a Z só tendo coordenadas em Z e esse vetor é perpendicular a qualquer vetor no plano xy LETRA A EXERCÍCIOS 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 24 3 𝑢 𝐴𝐵 1 10 24 3 2 4 6 𝑢 12 12 02 1 1 2 𝐴𝐵 22 42 32 4 16 9 29 𝑐𝑜𝑠𝜃 6 58 𝜽 𝟏𝟒𝟐º LETRA A QUESTÃO 2 𝜏 15 50 cos 60 15 50 05 𝟑𝟕𝟓 𝒍𝒃 𝒑é𝒔 LETRA A QUESTÃO 3 231 142 2 12 2 𝟏𝟐 231 4 9 1 14 142 1 16 4 21 𝑐𝑜𝑠𝜃 12 14 21 𝜽 𝟒𝟓 𝟔 LETRA A PROJEÇÃO ORTONORMAL 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢𝑣 135 428 4 28 2 4 28 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢𝑣 4 6 40 16 4 64 4 28 42 84 4 28 𝟐𝟏 𝟒 LETRA A PRODUTO VETORIAL QUESTÃO 1 𝑢543𝑣101 𝑢 𝑥 𝑣 𝑑𝑒𝑡 𝑖 𝑗 𝑘 5 4 3 1 0 1 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 5 4 3 5 4 1 0 1 1 0 4𝑖 3𝑗 4𝑘 5𝑗 4𝑖 2𝑗 4𝑘 𝒖 𝒙 𝒗 𝟒 𝟐𝟒 LETRA A QUESTÃO 2 A área do triângulo é o módulo desse vetor dividido por 2 42 4 16 4 16 36 6 𝐴 6 2 𝟑 QUESTÃO 3 𝑢1 20𝑣31 2 𝑢 𝑥 𝑣 𝑑𝑒𝑡 𝑖 𝑗 𝑘 1 2 0 3 1 2 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 1 2 0 1 2 3 1 2 3 1 4𝑖 𝑘 6𝑘 2𝑗 𝒖 𝒙 𝒗 𝟒 𝟐𝟓 LETRA B EXERCÍCIOS PARA FIXAR QUESTÃO 1 𝑢1 20𝑣31 2 𝑤211 𝑢 𝑥 𝑣 𝑑𝑒𝑡 1 2 0 3 1 2 2 1 1 1 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 8 2 6 𝟓 QUESTÃO 2 Volume do tetaedro 𝑽 𝟓 𝟔 QUESTÃO 3 𝑢1262𝐴211𝐵842 LETRA A 𝑨𝑩 𝟔𝟑 𝟏 LETRA B Verificar se são paralelos Dois vetores são paralelos se eles são proporcionais ou seja se for possível dividir coordenada por coordenada e dar o mesmo número 12 6 6 3 2 1 2 𝑆ã𝑜 𝑷𝑨𝑹𝑨𝑳𝑬𝑳𝑶𝑺 LETRA C 𝑑 36 9 1 𝟒𝟔 CURIOSIDADES QUESTÃO 1 Letra A 322 52 𝑑2 𝑑2 1024 25 𝑑 999 𝒅 𝟑𝟏𝟔𝟏 Letra B 𝐴 3161 40 𝟏𝟐𝟔𝟒𝟐𝟖 QUESTÃO 2 𝑐2 2002 1252 𝑐2 40000 15625 𝒄 𝟐𝟑𝟓 𝟖𝟓 𝒎