Questão de Calculo Aplicado

Considere o sólido homogêneo limitado pelo plano z 0 pelo o cilindro dado por x² y² 2y e pelo cone z x² y²¹² representado pela figura a seguir Calcule o centro de gravidade resolvendo passo a passo e usando integração em coordenadas cilíndricas i Coordenadas cilíndricas x r cos θ y r sen θ z z diferencial de volume em coordenadas cilíndricas dv r dθ dr dz ii Analisando os limites de integração a z 0 z mínimo b x² y² 2y c z x² y²¹² z máximo De i b r² 2 r sen θ r 2 sen θ c z r θ vai de 0 até π V dv r dz dr dθ r dz r² V π 0 2 senθ 0 0 r² dr dθ 2 senθ 0 r² dr r³3 ₀² senθ 83 sen³ θ V π 0 83 sen³ θ dθ V 83 π 0 sen³ θ dθ 83 43 I₆ 43 Apêndice V 329 uv M ρ V M 329 ρ iii xcm 1M x dm dm ρ dV mas x r cos θ xcm 1M r cos θ ρ r dz dr dθ xcm ρM ₀π ₀2 senθ ₀r r² cos θ dz dr dθ ρM ₀π ₀2 senθ r³ cos θ dr dθ ρM ₀π 163 sen⁴ θ cos θ dθ xcm 4ρM ₀π sen⁴ θ cos θ dθ ₀π sen⁴ θ cos θ dθ ₀π 1 2 cos² θ cos⁴ θ cos θ dθ ₀π 1 2 cos³ θ cos⁵ θ cos θ dθ ₀π cos θ dθ 2 ₀π cos θ³ dθ ₀π cos θ⁵ dθ 0 xcm 0 como esperado ₀π cos θ dθ sen π sen 0 0 Apêndices I₁ e I₂ Esperase que xcm 0 devido à simetria ycm ρM 0π 0π 0π r sinθ r dz dr dθ dθ ρM 0π 0π r3 sinθ dr dθ ycm ρM 0π 4 sin5θ dθ ycm 4ρM 0π sin5θ dθ 4ρM 1615 Apendice I5 ycm 64 ρ15M zcm ρM 0π 0π 0π z r dz dr dθ ρ2M 0π 0π r3 dr dθ ρ2M 0π 4 sin4θ dθ Apendice I3 zcm 2ρM 3π8 6ρπ8 932ρ 39π016 27π128 Como M 32ρ9 xcm 0 ycm 65 zcm 27π128 Portanto o CM será o ponto 0 65 27π128 Apêndice I1 0π cos3θ dθ 0π cos2θ cosθ dθ cos2θ senoθ0π 2 0π cosθ sin2θ dθ1 cos2θ u cos3θ dv 2 cosθ sinθ dθ dv cosθ dθ V senoθ I1 cos2θ senoθ0π 2 0π cosθ dθ 2 0π cos3θ dθ 2 I1 3I1 cos2π senoπ cos0 seno0 2 senoπ 2 seno0 I1 0 I2 0π cos5θ dθ 0π cos4θ cosθ dθ senoθ cos4θ0π 4 0π cos3θ sin2θ dθ1 cos2θ u cos4θ dv 4 cos3θ sinθ dθ dv cosθ dθ V senoθ I2 senoθ cos4θ0π 4 0π cos3θ dθ 4 0π cos5θ dθ zero visto acima 4 I2 5I2 seno0 cos π seno0 cos0 0 I2 0 I3 0π sin4θdθ 0π sin2θ 2dθ cos22θ cos2θ sin2θ 1 2sin2θ sin2θ 1 cos2θ2 I314 0π 1 cos2θ 2dθ 14 0π 1 2cos2θ cos2 2θdθ I314 0π dθ 12 0π cos2θ dθ 14 0π cos2 2θ dθ I3 π4 14 sin0π 14 sin 0 14 0π cos22θ dθ I4 I3 π4 π8 3π8 I3 3π8 I4 0π cos22θ dθ 0π cos2θ cos2θ dθ u cos2θ du 2 sin2θ dθ dv cos2θdθ V 12 sin2θ I4 12 cos2θ sin2θ0π 12 0π sin22θ dθ1 cos22θ I4 0π dθ 0π cos 22θ dθ I4 2I4 π I4 π2 I5 0π sin5θ dθ 0π sin3θ sinθ dθ u sin3θ du 4 sin2θ cosθ dθ dv sinθ dθ V cosθ I5 cosθ sin4θ0π 4 0π sin3θ cos2θ dθ1 sin2θ I5 4 0π sin3θ dθ 4 0π sin5θ dθ I5 45 0π sin3θ dθ 43 I5 1615 I6 0π sin4θ dθ 0π sin2θ sinθ dθ u sin2θ du 2 sinθ cosθ dθ dv sinθ dθ V cosθ I6 sin2θ cosθ0π 2 0π sin2θ cos2θ dθ1 sin2θ I6 2 0π sinθ dθ 2 0π sin3θ dθ 3I6 2cosπ cos0 I6 43