Sistemas de Controle II - André Taveira da Silva Scheibel

André Taveira da Silva Scheibel Sistemas de controle II 2016 by Universidade de Uberaba Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Universidade de Uberaba Universidade de Uberaba Reitor Marcelo Palmério PróReitor de Educação a Distância Fernando César Marra e Silva Editoração Produção de Materiais Didáticos Capa Toninho Cartoon Edição Universidade de Uberaba Av Nenê Sabino 1801 Bairro Universitário Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE André Taveira da Silva Scheibel Eng Civil e autor deste material teve sua formação de pósgradua ção iniciando na UEM Universidade Estadual de Maringá Pr e terminando o quinto ano na UNICESUMAR Centro Universitário de Maringá Pr Atualmente o prof André Taveira da Silva Schei bel realiza seu mestrado em estruturas na UEM O prof André também exerce atividades como consultor técnico em patologias da construção além de ser professor na UNICESUMAR Sobre os autores Sumário Capítulo 1 Sistemas Dinâmicos em espaço de estados 9 11 Representação geral no espaço de estados 10 111 Independência Linear 11 112 Controlabilidade 16 113 Considerações Finais 22 Capítulo 2 Observabilidade e realimentação de estados 23 21 Observabilidade 24 211 Matriz de observabilidade 26 212 Realimentação de Estados 30 Capítulo 3 Posicionamento de polos 37 31 Topologia para o posicionamento de polos 38 311 Alocação de polos de processos a controlar na forma de variáveis de fase 41 Capítulo 4 Equivalentes discretos de Sistemas Contínuos51 41 Estruturas de controladores 52 411 Controle Digital por Emulação 53 412 Controle pelo método de Euler 54 Capítulo 5 Controladores PID Digitais 63 51 Controladores PID Digitais 64 511 Algoritmo para Controlador PID Digital 68 Capítulo 6 Compensadores LEADLAG 73 61 Compensadores 74 611 Controlador PI 75 612 Controlador PD 75 613 Controlador PID 79 614 Construção do bloco derivativo puro D 81 615 Implementação prática do bloco derivativo D 81 616 Compensador avanço de fase 82 617 Compensador atraso de fase 84 618 Compensador atrasoavanço 85 Capítulo 7 Algoritmo DeadBeat e de Kalman 87 71 Projeto de controladores digitais 88 711 Controladores Deadbeat 89 712 Algoritmo de Kalman 93 Capítulo 8 Controladores Digitais no Espaço de Estados 109 81 Descrição por Variáveis de Estado 111 814 Observabilidade 116 815 Funções de Transferência 119 816 Realimentação de Estado 120 817 Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos K 121 Conclusão 123 Referências 126 Caroa alunoa Seja bemvindoa à disciplina de Sistemas de Controle II cujo ma terial didático foi elaborado pelo professore Eng Civil André Taveira da Silva Scheibel Os sistemas de controle modernos fazem parte da sociedade atual são grande o números de aplicações que vemos no cotidiano Os sistemas de controle também existem na natureza e podem Na época atual os sistemas de controle se encontram em inú meras aplicações em sistemas de navegação naves espaciais e controle de mísseis aviões etc Os aviões utilizam os sistemas de controle para os comandos elétricos hidráulicos e mecânicos que desenvolvem os comandos das pás das asas que dão resposta ao comando do manche do piloto Podemos observar também esses sistemas em controle de níveis em reservatórios de água potável em fábricas nas espessuras de plásticos metais e demais produtos em montadoras de veículos Um exemplo é a fabricação de antenas que usam plásticos em sua estru tura o plástico entra por uma extrusora e a quantidade a ser injetada é controlada para que não se extrapole a condição imposta pelo molde Esses sistemas não estão disponíveis apenas em industrias No aquecimento residencial ou de uma piscina são geridos por um simples controle em um sistema binário que expande ou contrai com a mudança de temperatura Apresentação Existem inúmeros sistemas de controle que nos cercam dia a dia que podem ser simples ou extraordinários Ao começar estes estu dos de sistemas de controle você verá a imensidão de possibilida des e oportunidades que esses sistemas representam André Taveira da Silva Scheibel Introdução Sistemas Dinâmicos em espaço de estados Capítulo 1 Usamos atualmente duas abordagens para a análise de projeto com retração Uma é a técnica clássica e a outra o domínio de frequência em que uma equação diferencial é transformada em uma função de transferência obtendose um modelo matemático que representa o sistema este se relaciona algebricamente com uma representação de saída ou da entrada A substituição de uma equação diferencial por uma algébrica simplifica os cálculos para uma representação de sistemas individuais e também para sistemas interconectados A desvantagem do sistema clássico é que ele só pode ser utilizado para sistemas lineares e invariantes no tempo ou então para sistemas aproximados para estes As técnicas de domínio de frequência nos fornecem uma rápida informação sobre a estabilidade e resposta transitória Assim verificamos individualmente o efeito que foi produzido no sistema pela alteração e obtemos um projeto aceitável As técnicas clássicas nos permitem modelar a abordagem do domínio no tempo Assim o projetista tem uma outra perspectiva para desenvolver seu projeto a qual apesar de poder ser abordada para uma grande parte dos sistemas não é tão clara 10 UNIUBE Conhecer a representação geral no espaço de estados aplicar o método de variável independente no sistema verificar se o sistema é ou não é controlável e verificar a eficácia de um projeto de retroação de estado Conceito de representação geral no espaço Independência linear Resolução de um sistema com variáveis independentes linearmente Controlabilidade Análise da controlabilidade do sistema Verificação para implementação de projeto de retroação de estado Objetivos Esquema Representação geral no espaço de estados 11 Combinação linear n variáveis xi para i 1 a n é dada S KnXn Kn1Xn1 K1X1 Ki Constante como a abordagem clássica Nesse caso o projetista precisa de vários cálculos para que a interpretação física do modelo se torne aparente no modelo clássico com poucos cálculos o modelo já fornece a interpretação física UNIUBE 11 111 Independência Linear Quando um conjunto de variáveis não pode ser escrito como uma combinação linear das outras Por exemplo se tivermos x1 x2 e x3 5x1 6x3 não são linearmente independentes pois uma delas pode ser escrita como combinação linear da outra Agora se tivermos K2x2 k1x1 k3x3 se não tivermos nenhum xi 0 desta forma xi pode ser escrito como combinação linear das outras variáveis para todo ki 0 Assim dizemos que as variáveis serão independentes se a combinação S 0 e se todos os ki 0 e nenhum xi 0 Variável de sistema variável que responda a uma entrada ou a condições iniciais em um sistema Variáveis de estado o menor conjunto linearmente independente de variáveis de sistema tal que os valores dos membros do conjun to no instante t0 juntamente com as funções forçantes conhecidas determinam completamente o valor de todas as variáveis do siste ma para todos os instantes de tempo tt0 NISE 2002 Vetor de estado os elementos são variáveis no próprio estado Espaço de estados espaço ndimensional cujos eixos são as vari áveis de estado Equações de estados um sistema com n equações diferenciais todas de primeira ordem em que as variáveis n a serem resolvidas formam as próprias variáveis de estado 12 UNIUBE Equações de saída expressam as variáveis de saída como combi nações lineares das variáveis de estado e das entradas Assim um sistema no espaço de estados se representa pelas equações x Ax Bu y Cx Du Temos então que para t t0 e para as condições iniciais xt0 x valor de estado x derivada do vetor de estado em relação ao tempo y vetor resposta u vetor de entrada ou de controle A matriz de sistema B matriz de entrada C matriz de saída D matriz de ação avante Dizemos então que a equação x Ax Bu é a equação de estado e o vetor x vetor de estado UNIUBE 13 Figura 01 Representação gráfica de espaços de estados e de um vetor de estado Fonte SINSE 2002 p 95 Essa equação fornece todas as variáveis do sistema para t t0 Por exemplo Considere um sistema de segunda ordem linear invariante no tem po com uma entrada vt em que as equações de estados podem ter a seguinte forma x1 e x2 são variáveis de estado Havendo uma única saída a aqua ção de saída será A escolha das variáveis para um sistema de estado não é única Deve ser atendido o requisito de elas serem independentes e deve ser escolhido um número mínimo de variáveis 14 UNIUBE EXEMPLO 1 Dado o circuito elétrico abaixo obter uma representação no espaço de estados se a saída for a corrente através do resistor Figura 01 Circuito elétrico para representação no espaço de estados Fonte Nise 2002 p 97 Solução Passo 1 nomear as correntes de todos os ramos do circuito Passo 2 selecionar as variáveis de estado escrevendo a equa ção da derivada relativa a todos os elementos armazenados de energia isto é o indutor e o capacitor Assim 11 12 Com base nas equações 11 e 12 escolhemos como variáveis de estado as grandezas diferenciáveis ou seja vc e iL UNIUBE 15 Passo 3 aplicar a teoria de circuitos como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes para obter iC e vL em termos das variáveis de estado vC e iL No nó 1 13 Que nos dá iC em termos das variáveis de estado vC e iL Ao longo da malha externa temos 14 Que nos dá vL em termos da variável de estado vC e da fonte de tensão vt Passo 4 substituir as equações 13 e 14 nas equações 11 e 12 obtemos 15 16 ou 17 18 Passo 5 obter a equação de saída Como é iRt 19 16 UNIUBE Representando as equações 17 e 18 e 19 na forma matricial vetorial temos 20 21 O ponto sobre a derivada indica derivação em relação ao tempo AMPLIANDO O CONHECIMENTO Livro Engenharia de Controle Moderno Autor Katsuhiko Ogata Sinopse Nesta edição conceitos são expli cados e desenvolvidos por meio de exemplos e apoiados por exercícios que cobrem uma variedade de aplicações Completa o livro uma série de aplicações com o MATLAB na análise e no projeto de sistemas de controle de modo a ensinar não apenas a resolver os problemas matemati camente mas também a utilizar o software como uma ferramenta de auxílio 112 Controlabilidade Considere a forma paralela indicada na figura 02 e o controle da localização de um polo do sistema na malha fechada a partir dis so é possível dizer que o sinal de controle u controla cada uma das variáveis de estado em x Assim se alguma das variáveis de estado não puder ser controlada por u não será possível alocar os polos dentro do sistema na posição desejada UNIUBE 17 Esses conceitos se aplicáveis para a apresentar uma resposta ins tável por uma condição inicial não nula não farão um projeto de retroação para estabilizar x1 Figura 02 Comparação entre sistemas a Controlável b Não controlável Fonte Nise 2002 p 522 18 UNIUBE Com base na discussão anterior temos Se todas as variáveis de estado de um sistema forem transferidas obtendose uma entrada de um valor inicial desejado para um es tado final dizse que o sistema é controlável no caso contrário o sistema é não controlável Assim para a alocação de polos ser viável os sistemas precisam ser controláveis Assim demonstraremos se a alocação de polos em um sistema é viável para o controlador 1121 Controlabilidade por inspeção Pela própria equação de estado podemos analisar a controlabili dade Se a matriz de sistema for diagonal como na forma paralela conseguimos verificar se o sistema é ou não controlável Um exemplo é a seguinte matriz 1211 ou 1212 1213 1214 Conforme podemos verificar em 1211 e nas equações 1212 1213 e 1214 x1 não é controlada por u variável de controle O sistema é não controlável UNIUBE 19 Dessa forma um sistema é dito controlável se nenhuma linha da matriz de acoplamento de entrada B não possuir nenhuma linha nula 1122 A Matriz de Controlabilidade Não conseguimos usar os testes de controlabilidade que estuda mos até o momento para sistemas que assumam a forma paralela ou diagonal com autovalores distintos Se o sistema possuir polos múltiplos a verificação da controlabilidade fica mais difícil mesmo em forma paralela A simples existência de caminhos de entrada para as variáveis não induzem a uma controlabilidade pois não há desacoplamento dos estados Então somente determinamos a controlabilidade para projetar a retroação se todas as variáveis de estado forem controladas pela entrada de processo u sendo a matriz com uma propriedade des sas variáveis e com uma escolha qualquer de variáveis A matriz agora receberá forma nome e propriedade Terá controlabilidade se a matriz For de posto n CM é a matriz de controlabilidade EXEMPLO 2 Dado o sistema da figura 03 representado por um diagrama de fluxo de sinal determinar sua controlabilidade 20 UNIUBE Figura 03 Sistema para o exemplo Fonte Nise 2002 p 524 Solução A equação de estado do sistema será 1215 À primeira vista parece que o sistema é não controlável por cau sa do zero na matriz B Lembrese de que essa matriz terá uma configuração de não controlabilidade se os polos forem distintos e reais Nesta temos polos múltiplos em 1 O posto de CM é igual ao número de linhas ou colunas linearmente independentes O posto pode ser obtido determinandose a sub matriz quadrada de maior ordem que seja não singular O determi nante de CM 1 Como o determinante é não nulo a matriz 3 x 3 é não singular e o posto de CM é 3 Concluímos que o sistema é controlável uma vez que o posto CM é igual à ordem do sistema Portanto os polos do sistema podem ser posicionados usandose o projeto de retroação das variáveis de estado UNIUBE 21 Nesse exemplo vimos que mesmo se um elemento da matriz de acoplamento de entrada for zero o sistema pode ser controlável Observando a figura 03 vemos que as variáveis de estado são todas acionadas por u Assim se desconectarmos alguma das entradas dx1dt dx2dt ou dx3dt ao menos uma das variáveis seria incontrolável Dessa for ma para analisarmos esse efeito vamos desconectar a entrada dx2dt A matriz B ficará então como sendo Agora o sistema se torna não controlável pois x1 e x2 não são con troladas por u Conseguimos confirmar essa hipótese pela matriz de controlabilidade O determinante da matriz é igual a zero e também o determinante de qualquer outra 2 x 2 O posto de CM 1 menor que a ordem 3 do sistema O sistema se torna não controlável EXEMPLO 3 Determine se o sistema a seguir é controlável Resposta o sistema é controlável 22 UNIUBE 113 Considerações Finais Caroa alunoa em resumo o projeto de alocação de polos com a retroação de variáveis de estado pode ser simplificado utilizan dose a forma de variáveis de fase nas equações de estado do processo a controlar Mas a condição de controlabilidade fica mais visível em paralelo pois a matriz de sistema é diagonal quando as raízes são distintas Dessa forma a matriz de controlabilidade irá informar ao projetista se é ou não viável a construção do projeto por retroação André Taveira da Silva Scheibel Introdução Observabilidade e realimentação de estados Capítulo 2 Para se projetar um controlador é requisito que se possa controlar todas as variáveis de estado Se alguma delas não for controlável os ganhos de retroação não poderão ser projetados Essa condição de não controlabilidade é melhor visualizada em sistemas diagonalizados No capítulo anterior vimos no diagrama de fluxo de sinal que a variável de estado estava desconectada de u e assim tornavase incontrolável Outro conceito parecido diz respeito à capacidade de produzir projeto como observador do sistema Nesse caso estamos usando sua saída para encontrar as variáveis No entanto se alguma delas não tiver efeito sobre a saída seu cálculo observando a saída se torna impossível Essa condição de observar uma variável de estado a partir da saída é melhor analisada em sistemas diagonais Analisar a observabilidade de um sistema Verificar por meio da matriz de observabilidade a sua adequação ao projeto Analisar projetos de realimentação de estados Observabilidade Matriz de observabilidade Realimentação de estados Objetivos Esquema Observabilidade 21 Quando há a possibilidade da obtenção de um vetor de estado ini cial x t0 a partir de ut e y em um intervalo de tempo finito medi do de t0 o sistema é observável por outro lado se isso não ocorrer o sistema é não observável Assim a observabilidade é a possibilidade de se deduzir as va riáveis com base no conhecimento da entrada ut e da saída yt Para a alocação de polos para um observador do projeto o sistema necessita ser observável Dessa forma trataremos aqui de demonstrar a técnica de alocação de polos que se torna viável para o observador Com isso podemos falar sobre a observabilidade com base na equação de saída do sistema diagonalizado conforme figura 04a O sistema não observável da figura 04b é UNIUBE 25 Podemos ver que a equação da primeira coluna do sistema não observável é igual a zero Em sistemas na forma em paralelo com autovalores distintos se alguma das colunas da matriz de acopla mento é zero o sistema diagonal se torna não observável Figura 04 Comparação entre sistema observável a e não observável b Fonte Nise 2002 p 536 26 UNIUBE 211 Matriz de observabilidade Se os sistemas forem representados de outra forma que não na forma diagonalizada não podem ser avaliados quanto à sua ob servabilidade Conseguimos determinar se um sistema é ou não observável representado de maneira qualquer ou escolhas de va riáveis de estados por meio de uma matriz com uma propriedade particular quando todas as variáveis de estado se tornam observá veis na saída Falaremos então dos requisitos para a observabilidade e mostra remos a forma o nome e a propriedade dessa matriz Seja assim um processo para controle de ordem n as equações de estado de saída serão Será observável se a matriz for de posto n em que OM é chamada a matriz de observabilidade EXEMPLO 4 Determinar se o sistema a seguir é observável UNIUBE 27 Figura 05 Sistema do exemplo Fonte Nise 2002 p 537 Solução Equações de estado e de saída Assim a matriz de observabilidade será O determinante de OM é 344 assim a matriz OM é de posto total igual a 3 O sistema é observável 28 UNIUBE EXEMPLO 2 Determinar se o sistema a seguir é observável Figura 06 Sistema do exemplo Fonte Nise 2002 p 537 Solução As equações de estado e de saída para o sistema são x Dessa forma a matriz de observabilidade se torna O determinante dessa matriz é zero logo a matriz de observabi lidade não têm posto máximo tonando o sistema não observável UNIUBE 29 DICAS Leia o artigo a seguir ANÁLISE DE OBSERVABILIDADE E CRITICIDADE DE MEDIDAS NA ESTIMAÇÃO DE ESTADOS EM SISTEMAS DE POTÊNCIA CONSIDERANDO MEDIÇÕES FASORIAIS SINCRONIZADAS EMANOELLI CIPRIANI ANTONIO J A SIMÕES COSTA Laboratório de Sistemas de Potência Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal de Santa Catarina Introdução A Estimação de Estados em Sistemas de Potência EESP é respon sável por estimar valores confiáveis para as variáveis de estado do sistema isto é as tensões nodais complexas sendo de fundamen tal importância na monitoração e análise da segurança da operação em tempo real O Estimador de Estados convencional processa um conjunto redundante de telemedidas contaminadas por ruídos di versos obtido por meio do sistema SCADA Supervisory Control and Data Acquisition O surgimento da tecnologia de Medição Fasorial Sincronizada e sua aplicação crescente nos sistemas de potência modernos representam uma mudança de paradigma para a monitoração e controle da operação do sistema elétrico Com a introdução de medidas fasoriais sincronizadas de tensão e cor rente de alta precisão e taxas de amostragem muito superiores ao sistema SCADA a Estimação de Estados deverá apresentar melhorias no que diz respeito à precisão e convergência do método Thorp Phadke e Karimi 1985 Zivanovic e Cairns 1996 O uso da EESP foi inicialmente proposto por Schweppe e colaboradores 30 UNIUBE com a publicação de um artigo de três partes Schweppe Wildes e Rom 1970 A importância e a complexidade do problema de observabilidade na EESP foram reconhecidas pelos autores já na primeira parte do artigo O artigo na íntegra com os resultados está disponível em http wwweletricaufprbranaiscba2010Artigos661851pdfacesso Acesso em 24 abr 2016 212 Realimentação de Estados Existem três técnicas básicas de projeto de sistemas de controle por realimentação 1 Lugar das raízes 2 Resposta em frequência 3 Realimentação de estados Embora haja muitos pontos de equivalência entre as três técnicas de projeto o emprego de modelos por realimentação de estados tem ampliado seu campo de aplicação em virtude da possibilidade de tratar sistemas no domínio do tempo EA721 Prof Von Zuben DCAFEECUnicamp Tópico 21 Realimentação de Estados 3 além de permitir que o sistema seja em algum grau restrito não linear variante no tempo e MIMO Apresentação em 5 etapas UNIUBE 31 1 Projeto do controlador como se todos os estados estivessem disponíveis para uso na implementação da lei de controle reali mentação de ordem completa 2 Introdução do conceito de observador de ordem completa que fornece estimativas dos estados a partir das variáveis de saída monitoradas 3 Utilização do observador do item 2 na implementação do con trolador do item 1 com as estimativas empregadas no lugar dos estados 4 Introdução do conceito de observadores de ordem reduzida 5 Introdução de comandos externos de referência Se houver no sistema uma entrada de referência o sistema resul tará em Agora se a lei de controle for representada por Na qual rk é uma referência a ser seguida k0 é uma constante para ajustar a resposta controlada do siste ma para que não ocorra erro estacionário 32 UNIUBE Isso significa que se a referência a ser seguida for o degrau unitá rio então a saída deverá ser tal que y1 Então o ganho k0 precisa ser ajustado Assim no sistema sua conduta é dada por G HK a mesma para um regulador Por isso as mesmas fórmulas para o ganho de K podem ser utilizadas Figura 07 Controle por realimentação de estado Fonte UFMG EXEMPLO 5 Dado o sistema a seguir calcule o ganho de K UNIUBE 33 Sendo os polos da malha Solução Agora basta encontrar o ganho k0 para que o sistema em malha fechada não tenha erro estacionário Para isso encontrase a FT do sistema Para esse caso temos Potanto Dessa forma para o erro estacionário Assim temos que K0 05 34 UNIUBE Figura 08 Resposta ao degrau unitário do sistema sem con trole e malha fechada com o controlador Fonte UFMG DICAS Alocação robusta de pólos através de realimentação de esta dos dependente de parâmetros Valter Júnior de Souza Leite Vinícius Foletto Montagner Pedro Luis Dias Peres Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas CP 6101 13081970 Campinas SP Brasil UNIUBE 35 RESUMO Uma condição suficiente para a existência de uma realimentação de estados robusta dependente de parâmetros é apresentada nes te trabalho A condição é verificada através do teste de factibilidade de um conjunto de desigualdades matriciais lineares A realimenta ção obtida garante ainda a alocação robusta dos pólos de malha fechada de sistemas lineares incertos em uma região circular do plano complexo através da existência de uma função de Lyapunov dependente de parâmetros Exemplos ilustram os resultados Palavraschave Alocação robusta de pólos Realimentação de estados dependente de parâmetros Função de Lyapunov depen dente de parâmetros Desigualdades matriciais lineares incertezas politópicas O artigo completo está no disponível em httpwwwscielobr scielophpscriptsciarttextpidS010317592004000200002 Acesso em 24 abr 2016 213 Considerações Finais Caroa alunoa neste capítulo usamos as técnicas do lugar das raízes para o projeto de sistemas de controle com uma resposta transitória O projeto em espaço de estados visa verificar as locali zações dos polos do sistema e após projetar um controlador elabo rado com vista em ganhos de retroação das variáveis atendendo a esses requisitos Se as variáveis não forem disponíveis o projeto baseiase em imitar o processo que seria controlável e resulta em variáveis estimadas 36 UNIUBE São visíveis três vantagens neste tipo de projeto em relação com o método de raízes é possível especificar o posicionamento dos polos assegurando um efeito desprezível dos polos que não domi nam o sistema em relação à resposta transitória Assim com a posição das raízes especificamos que os polos não afetavam de maneira relevante a resposta transitória Em segundo lugar adotando o uso de um bom observador podemos não usar mais as variáveis reais para realizar a retroação Com a vantagem de que nem sempre é simples acessar as variáveis fisicamente e podese tornar caro prover o acesso Esse método leva à automação com uso de computadores uma desvantagem é de o método não poder projetar a localização de polos e zeros à malha fechada o que pode afetar a resposta transitória Até o próximo capítulo André Taveira da Silva Scheibel Introdução Posicionamento de polos Capítulo 3 A controlabilidade está ligada à possibilidade de levar o estado de um sistema de um certo ponto para outro no espaço de estado em tempo finito enquanto a observabilidade se refere à possibilidade de determinar o estado do sistema a partir do conhecimento da resposta e da entrada dele em tempo finito Esses conceitos foram introduzidos por Rudolf Kalman no final dos anos 50 do último século e produziram um grande impacto na ciência e tecnologia de controles O conceito de controlabilidade é fundamental para a solução do posicionamento de polos via realimentação do estado enquanto o de observabilidade o é para a solução do problema do observador Um dos problemas a ser resolvido com os métodos de projeto no domínio de frequência seja utilizando o lugar das raízes seja utilizando as técnicas de resposta de frequência é que depois de projetar a localização do par de polos dominantes de segunda ordem cruzamos os dedos torcendo para que os polos de ordem superior não afetem a aproximação de segunda ordem NISE 2002 Aprender como projetar um controlador com retração de estado usando a alocação de polos de modo a atender especificações de resposta unitária Posicionamento de polos Alocação de polos de processos a controlar na forma de variáveis de fase Objetivos Esquema Topologia para o posicionamento de polos 31 Para estabelecer fundamentos para a nossa continuidade consi dere um processo a controlar que seja representado no espaço de estados por Conforme a figura 09 as linhas mais finas são escalares e as mais espessas vetores Em um sistema de controle com retroação típico a saída y é en viada de volta a junção somadora É agora que a topologia do pro jeto muda Em vez de retroagir y que tal utilizar a retroação de todas as variáveis de estado NISE 2002 Nise 2002 Se cada uma das variáveis de estado for empregada de volta no controle u por meio de um ganho ki haverá n ganhos ki A variável de estado está representada na figura 09 pelo vetor de retroação K UNIUBE 39 Assim as equações dos sistemas de malha fechada podem ser Figura 09 a Representação no espaço de estados de um proces so a controlar b processo a controlar com retração de estados Fonte Nise 2002 p 517 Devemos ter um bom conhecimento de como o sistema de retroa ção é implementado conforme a figura 09 suponhamos a repre sentação em diagrama de fluxo de sinal variáveis de fase e um processo a controlar Na entrada do sistema u cada uma das vari áveis de estado é novamente utilizada com um ganho ki Para o projeto de retroação com variáveis de estado temos que igualar a equação característica do sistema a malha fechada à 40 UNIUBE equação característica desejada e dessa forma determinar os va lores dos ganhos de retroação Figura 10 a Representação em variáveis de fase de um proces so a controlar b processo a controlar com retração de estado Fonte Nise 2002 p 518 UNIUBE 41 Se tivermos um processo a controlar de ordem elevada se não estiver representado na forma de variáveis ou na forma canônica controlável a resolução para obter ki tornase complicada Assim é recomendável transformar a representação do sistema em forma canônica ou na forma de variáveis projetar os Ki e depois retornar à sua representação inicial 311 Alocação de polos de processos a controlar na forma de variáveis de fase À aplicação da metodologia da alocação de polos precisamos se guir os seguintes passos 1 Representar o processo a controlar na forma de variáveis de fase 2 Fazer a retroação de cada uma das variáveis de fase para a entrada do processo a controlar por meio de um ganho ki 3 Determinar a equação característica do sistema a malha fe chada e determinar a equação característica equivalente 4 Decidir a localização de todos os polos a malha fechada e determinar a equação característica equivalente 5 Igualar os coeficientes semelhantes das equações caracterís ticas obtidas nos passos 3 e 4 e determinar os valores de ki Ao seguir esses passos a representação em variáveis da fase do processo a controlar é dada pela equação 42 UNIUBE E escrevese em função delas que O processo a controlar apresenta a seguinte equação Em seguida construímos o sistema de malha fechada aplicamos a retroação de cada uma das variáveis de estado e produzimos u formando Em que Os ki são os ganhos de retroação das variáveis de estado Fazendo a equação Com as equações e UNIUBE 43 Temos Podemos observar a relação entre as equações e Nos processos que são representados em forma de variáveis de fase podemos deduzir a equação por inspeção a equação carac terística a malha fechada com a equação da malha aberta adicio nando ki adequado a cada coeficiente Supondo que a equação desejada à alocação dos polos seja Em que os di são os coeficientes desejados Assim se igualarmos as equações e 44 UNIUBE Obtemos Em que EXEMPLO 6 Dado o processo a controlar Projete os ganhos de retroação das variáveis de fase que levam a uma ultrapassagem percentual de 95 e a um tempo de assenta mento de 074s NISE 2002 Solução Começamos pelo cálculo da equação característica a malha fechada desejada Usando os requisitos da resposta transitória os polos a malha fechada são 54 j72 Como o sistema é de terceira ordem devemos selecionar um outro polo a malha fechada Poderíamos es colher o terceiro polo a malha fechada para cancelar o zero a malha fechada Contudo para demonstrar o efeito polo e o procedimento de projeto inclusive a necessidade de simulação escolhamos 51 como localização do terceiro polo a malha fechada Desenhase agora o diagrama de fluxo de sinal do processo a controlar UNIUBE 45 Figura 11 a Representação em variáveis de fase do proces so a controlar b processo a controlar com retração de estado Fonte Nise 2002 p 518 Agora façamos a retroação de todas as variáveis de estado para o controle u por meio dos ganhos ki Escrevendo as equações de estado temos 46 UNIUBE Ao compararmos as equações e Encontramos a matriz de sistema a malha fechada como sendo Para determinar a equação característica do sistema a malha fe chada forme Essa equação deve combinar a equação característica desejada Formada a partir dos polos 54 j72 54 j72 e 51 determi nados anteriormente Igualando as equações Obtemos k1 4131 k2 13208 k3 109 UNIUBE 47 Finalmente o termo referente ao zero da função de transferência a malha fechada é igual ao termo referente ao zero da função de transferência a malha aberta ou seja s 5 Usando Obtemos a seguinte representação no espaço de estados para o sistema a malha fechada A função de transferência é A figura 11 é uma simulação do sistema a malha fechada e mostra uma ultrapassagem de 115 e um tempo de assentamento de 08 s Um novo projeto com o terceiro polo cancelando o zero em 5 levará a um atendimento igual dos requisitos 48 UNIUBE Figura 12 Simulação do sistema a malha fechada do exemplo 6 Fonte Nise 2002 p 521 AMPLIANDO O CONHECIMENTO MÉTODO DE NEWTONRAPHSON PARA POSICIONAMENTO PARCIAL SIMULTÂNEO DE MÚLTIPLOS PÓLOS JÚLIO C R FERRAZ NELSON MARTINS GLAUCO N TARANTO SÉRGIO L VARRICCHIO Programa de Engenharia Elétrica COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro Caixa Postal 68564 21945970 Rio de Janeiro RJ Brasil Resumo Este artigo apresenta uma metodologia para posicionamen to parcial simultâneo de múltiplos pólos utilizando o método de UNIUBE 49 NewtonRaphson e a informação fornecida pelos resíduos da fun ção de transferência VESPVREF associados a autovalores de interesse É feita uma avaliação através de um sistema teste da utilização da metodologia de posicionamento parcial de pólos na coordenação dos Estabilizadores de Sistema de Potência Introdução O problema de estabilidade de sistemas elétricos de potência fren te pequenas perturbações é resolvido através de análise linear e envolve questões relativas à determinação da natureza dos modos críticos do sistema e avaliação da localização e do tipo de controle mais efetivo buscando atender determinados critérios de estabili dade Este artigo aborda a utilização da informação fornecida pe los resíduos de funções de transferência para o posicionamento parcial simultâneo de pólos CIGRE 2000 Elangovan 1987 atra vés do método de NewtonRaphson É avaliada também a possi bilidade de se obter um ajuste coordenado dos ESPs fazendo uso dessa metodologia 2 Metodologia o método proposto permite posicionar simultaneamente múltiplos pólos em sistemas multimá quina utilizando fundamentalmente as informações fornecidas por resíduos associados aos pólos de interesse de funções de transfe rência relativos à malha de estabilização Foram instalados ESPs em duas máquinas de um sistema teste para melhorar o fator de amortecimento de dois modos de oscilação eletromecânica O pro cedimento utilizado no processo de estabilização do sistema in clui determinação dos modos de oscilação eletromecânica críticos com fator de amortecimento baixo ou negativo Leia o artigo completo disponível em httpwwwcoepufrjbrta rangcba2000juliopdf Acesso em 24 abr 2016 50 UNIUBE 312 Considerações Finais Caroa alunoa neste capítulo vimos que o projeto do controla dor consiste em efetuar a retroação das variáveis de estado para a entrada u do sistema por meio de ganhos especificados Os va lores desses ganhos são obtidos igualandose os coeficientes da equação característica do sistema aos coeficientes da equação de sejada NISE 2002 Mostramos como induzir parâmetros adicionais a um sistema para que possamos controlar a localização dos polos a malha fechada Um sistema de controle de ordem n com retroação possui uma equação característica a malha fechada de ordem n Sendo assim o projeto do observador é não efetuar retroação do erro entre a resposta real e a desejada O erro é transformado em retroação para as derivadas das variáveis de estado pelos ganhos específicos das variáveis de estado O projeto é realizado por emulação um controlador contínuo usan do as técnicas vistas anteriormente discretizados ou no plano z UNIUBE 51 André Taveira da Silva Scheibel Introdução Equivalentes discretos de Sistemas Contínuos Capítulo 4 Com o desenvolvimento do minicomputador em meados de 1960 e do microcomputador em 1970 os sistemas físicos não precisam mais ser controlados por computadores de grande porte O computador digital pode executar duas funções supervisão que é externa a malha de retroação e controle interna à malha de retroação NISE NORMAN 2002 O sincronismo de tarefas valores fora da faixa de parâmetros e de variáveis são exemplos de funções supervisórias As funções de controle constituem nosso maior interesse uma vez que um computador operando no interior da malha de retroação substitui os métodos de compensação discutidos até aqui Veremos a partir deste capítulo as vantagens de controle digital que podem controlar vários sistemas de malhas com menor custo Já as alterações que se necessitem realizar no sistema podem ser realizadas no software e não mais no hardware O processo a ser controlado é de percurso direto com o computador Para isto as conversões digitalanalógica e analógica digital precisam ser implementadas no sistema para garantir que rodem Assim podemos controlar e manipular os sistemas tão 52 UNIUBE Apresentar a estrutura de controladores digitais e calcular os controladores discretos pelo método de Euler e Tustin Estruturas de controladores Controle digital por emulação Controle pelo método de Euler Controle pelo Método de Tustin Objetivos Esquema facilmente quanto os contínuos reduzindo os diagramas de blocos portanto os sinais bem como os sistemas podem ser apresentados no domínio z e manipulados algebricamente Estruturas de controladores 41 Análogos aos equivalentes discretos das estruturas de controla dores analógicos são as estruturas dos controladores discretos di gitais Desta forma aqui também podemos ter controladores do tipo avanço e atraso de fase proporcional proporcionalderivado proporcionalintegral e proporcionalintegralderivativo A seguir apresentamos em forma de Tabela um resumo das estru turas dos controladores São apresentadas a função de transferência e a equação de dife rença discreta de cada controlador UNIUBE 53 TIPOS DE CONTROLADORES Proporcional uk Kek Cz K Derivativo uk KPTDek ek1 Integral Avanço Atraso 411 Controle Digital por Emulação Considerando que um projeto de um controlador analógico tenha sido construído este projeto segue exatamente o estudado em ca pítulos anteriores Assim todo o método de amostragem e recons trução do sinal não é considerado Em relação ao método de discretização para o controlador analó gico há vários métodos que podem ser utilizados mas trataremos aqui dos métodos de Euler e Tustin 54 UNIUBE 412 Controle pelo método de Euler Este método consiste em fazer o projeto do controlador analógico como nos capítulos anteriores e em seguida com o controlador analógico aproximar o sinal do controle obtido com Cs utilizando o método de Euler Figura 13 Aproximação de Euler Fonte Projeto de controladores discretos capítulo 12 EXEMPLO 7 Encontre a equação recursiva correspondente a digitalização do controlador analógico Solução Seja et o sinal de entrada do controlador e ut o sinal de saída UNIUBE 55 Temos Aplicando o método temos Logo teremos a seguinte aproximação Temos a equação recursiva Obtemos uk1 em função de uk ek1 e ek de forma recursi va Esta representação em termos de transferência discreta é obti da com o auxílio da transformada Z Com as condições iniciais nulas temos 56 UNIUBE Figura 14 Controle analógico Fonte Projeto de controladores discretos capítulo 12 Figura 15 Controle Digital Fonte Projeto de controladores discretos capítulo 12 Figura 16 Integral Trapezoidal Fonte Projeto de controladores discretos capítulo 12 UNIUBE 57 AMPLIANDO O CONHECIMENTO Baixar link httpwwweneunbbradolfoMonographsGraduation TG0720Bruno20BS20Vieira20e20Rafael20S20 Wyantpdf 413 Controle pelo Método de Tustin Com o método de Euler que obtemos a discretização que pode ser dita como a substituição da derivada pela secante Também podemos aproximar a integral pela regra trapezoidal 58 UNIUBE Aproximandose para área do trapézio temos a relação recursiva A representação da integral pode ser feita pelo bloco Onde et é o sinal cuja área queremos calcular e ut é a área desejada Tomandose a transformada Z da equação recursiva temos Assim para o sistema abaixo teremos UNIUBE 59 Cs Cz Podemos notar que nos dois exemplos acima a relação de Cs e Cz com a aproximação bilinear é dado por Cs Cz então Equação de Tustin Que expressa uma transformação bilinear de s para z EXEMPLO 7 Obtenha um controle digital para que o sistema abaixo tenha em malha fechada uma frequência natural ωn 0 3 radseg e um amortecimento ξ 0 7 Solução Precisamos primeiramente determinar um controlador analógico Cs que possa atender as solicitações de projeto Depois teremos que escolher um método de emulação 60 UNIUBE Figura 17 Implementação Analógica Implementação Digital Com os métodos de projeto de controladores de avanço encontramos Polos S02j02 Equação característica UNIUBE 61 Assim a implementação digital necessita da frequência de amos tragem Esta frequência de amostragem é geralmente em torno de 20 vezes a de banda passante pelo sistema de malha fechada que corresponde a ωn Assim a frequência de amostragem para o exemplo é ωa 0320 6 radseg 1Hz Tendo como período de amostragem T1seg Fazendo a aproximação linear temos Assim ficamos com Teremos assim a equação recursiva 62 UNIUBE Notamos que ek rk yk e desta maneira podemos obter o esquema digital do controlador Cs conforme a seguir Figura 18 Sistema Discreto Fonte Projeto de controladores discretos capítulo 12 414Considerações Finais Tratamos neste capítulo o projeto de sistemas digitais pelos méto dos clássicos Vimos as vantagens de sistemas digitais Lembrese que precisamos primeiro do projeto analógico e depois o transformamos em sinal digital para isto utilizamos o método de Euler e Tustin Vimos comparações com os métodos usados na análise transitória cuja comparação é possibilitada pela discretiza ção do sistema André Taveira da Silva Scheibel Introdução Controladores PID Digitais Capítulo 5 A lei de controle PID Proporcional Integral Derivativa para controlarmos uma indústria não é possível usar um mé todo de modelagem capaz de controlar os subprocessos im plementando um controle para um Assim utilizamos contro ladores de estrutura fixa e com parâmetros ajustáveis Então para este fim o controlador mais utilizado nas últimas déca das é o PID eles são simples e tem propósito geral podem ser otimizados conforme o projeto a ser desenvolvido O PID recentemente passou a ser digital este controlador constitui o núcleo da maioria dos softwares que são desen volvidos para Controle Digital Direto CDD nos processos industriais O ajuste destes operadores é por meio de méto dos empíricos ou mediante regras formuladas mesmo sem um alto grau de conhecimento da teoria de controle Desta forma na prática observamos apesar de uma varie dade de técnicas de ajustes dos parâmetros do PID muitas malhas em indústrias são mal ajustadas ou trabalham em modo manual malha aberta Isto acontece pois as caracte rísticas inerentes do processo sob controle apresentam não linearidades interação com outros processos mudança dos Apresentar a estrutura de controladores digitais e calcular os controladores discretos pelo método de Euler e Tustin Estruturas de controladores Controle digital por emulação Controle pelo método de Euler Controle pelo Método de Tustin Objetivos Esquema parâmetros ruídos etc Podem também ocorrer pela falta de mão de obra especializada ajustes inadequados dos contro ladores desta forma a malha de controle acaba tendo um de sempenho abaixo do projetado Assim com os motivos acima justificamos o interesse no de senvolvimento de controladores PID que por sua vez devem ter capacidade de se adaptar automaticamente a variações de estado do processo controlado e também se auto ajustar se estiver desajustado Esta ação está sendo viabilizada recente mente por meio dos avanços em microeletrônica Controladores PID Digitais 51 Estes sistemas formam a entrada da planta e trabalham a partir do erro da integral e da derivada deste erro no tempo A integral do erro no tempo nos permite que a saída possa verificar a entrada com menor erro UNIUBE 65 Já a derivada do erro trabalha acelerando a saída e assim diminui a lentidão do sistema gerada pela componente integral Todas as considerações para PI e PD podem ser utilizadas para o PID São utilizados na indústria e na robótica apresentam uma boa relação entre precisão velocidade e custo de implementação São muito utilizados em atuadores de precisão servomotores plantas térmicas etc podem ainda ser implementados de maneira analógica utilizando amplificadores operacionais Podemos ver na Figura 19 um diagrama de blocos PID Figura 19 Controladores PD PI e PID Fonte Sponsor sd Alguns prérequisitos são necessários para o desenvolvimento de projeto de controladores PID necessitam ter conversor AD para aquisição de setpoint e realimentação saída PWM para alimenta ção da planta sistemas de controle de posição podem utilizar uma ponte H para o acionamento Os cálculos de derivada e integral assim como a utilização dos coeficientes se realizam internamente ao microcontrolador assim também os erros 66 UNIUBE O algoritmo básico nos confere a aquisição de entrada e saída o cálculo do erro cálculo da derivada do erro analisando o valor do último erro o cálculo da integral do erro e acumula o valor do último erro calculado armazena o valor atual do erro como valor passado e atualiza a saída seguindo a equação do controlador A aquisição da entrada e saída se dá pela leitura de sensores A seguir os cálculos de erros e suas notificações o cálculo de erro Erro Setpoint fazse a realimentação para o cálculo da derivada do erro devese considerar o valor do último erro armazenado dErro Errok1 Errok cálculo da integral do erro acumulando o último valor de erro calculado IntErro IntErro Erro armazenamento do valor atual de erro como valor passado Errok1 Errok atualização da saída seguindo a equação do controlador PWM KpErro KiIntErro KddErro se a saída utiliza Ponte H Se PWM é positiva Sinal 1 Se a saída é negativa Sinal 0 UNIUBE 67 SAIBA MAIS Problemas com a aproximação retangular Apesar do algoritmo por aproximação retangular do termo integral ser versátil e atender uma boa gama de aplicações alguns proble mas começam a surgir à medida que a complexidade do sistema a ser controlado aumenta O primeiro e grande problema tratase da convergência da integral da função de erro para o valor correto quando o valor prévio dessa função erro é igual a zero ou quando a diferença entre o erro cor rente e o anterior passa a ser muito grande esse problema poderia ser corrigido aumentandose o número de iterações para cálculo do termo integral e não baseado entre dois pontos porém as custas de eficiência de execução Uma outra solução seria aproximar a integral apenas acumulando seu valor a cada vez que o PID é computado isso mantém a efici ência da execução de código e causa o mesmo efeito do aumento de iterações entretanto a acumulação só ocorreria uma única vez a cada valor do PID computado retornando o problema de con vergência lenta nos resultados da integral nos primeiros valores calculados pelo PID à medida que o processo avança esse efeito vai sendo minimizado O outro grande problema desse algoritmo pode ser elucidado com um exemplo prático considerando um sistema onde o ganho pro porcional é algo elevado e o erro acumulado começa a crescer ou decrescer por longos períodos de tempo isso pode levar fatalmen te o sistema em controle a ter sobressinal overshoot com valores elevados e nos casos mais graves levar o sistema a uma oscilação permanente Esse fenômeno é conhecido pelo nome de windup 68 UNIUBE e pode ser minimizado utilizando valores baixos para o ganho inte gral somadas a técnicas de saturação do integrador acumulador no caso da aproximação integral mas assim voltamos ao proble ma de demora de convergência uma vez que a saturação pode ser entendida como zerar o integrador ou acumulador Temos então alguns inconvenientes com esse algoritmo então o que pode ser feito para minimizar os efeitos de convergência e win dup Existem diversas formas de modelar algoritmos de compen sadores digitais a partir de circuitos analógicos ou mesmo a partir de expressões numéricas o algoritmo que iremos descrever aqui oferece um compensador tipo PID digital com melhor aproximação Fonte httpwwwembarcadoscombrcontroladorpiddigitalu mamodelagempraticaparamicrocontroladoresparteii Acesso em 24 abr 2016 511 Algoritmo para Controlador PID Digital A expressão do controlador PID é definida como Kp Ki e Kd Ganhos porporcional integral e derivativo Para associação mais ismples dos parâmetros PID aos polos e ze ros da função de transferência é mais conveniente que os ganhos sejam parametrizados da forma a seguir Ti e Td tempos integral e derivativo UNIUBE 69 O controlador PID digital tem a sua estrutura como na Figura 20 a seguir Desta forma escrevemos Figura 20 Estrutura de um controlador digital Fonte Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica Notas de aulas 2010 Dependendo da aproximação utilizada para a integral e a derivada Ciz e Cdz podem assumir várias formas diferentes Forward differences 70 UNIUBE Neste caso notamos que a função de transferência tem dois zeros reais ou complexos e um polo em z 1 Como tem mais zeros finitos do que polos sua utilização é mais difícil Desta forma devemos utilizar outras aproximações que possam ser mais simplificadas Backward differences UNIUBE 71 Função de transferência é caracterizada por apresentar dois zeros reais ou complexos um polo em Z 0 e um polo em Z 1 Aproximação bilinear Desta forma a função de transferência tem dois zeros reais ou complexos um polo em z 1 e um polo em z 1 Então o controlador PID apresenta dois polos e dois zeros As lo calizações do polo no sistema são determinadas por aproximação utilizada para backward differences temos polos em z0 e z1 já para aproximação bilinear temos polos em z1 e z1 As localiza ções dos zeros são determinadas pelos parâmetros do controlador 72 UNIUBE 512 Considerações Finais Prezadoa alunoa vimos neste capítulo como é a estrutura de um controlador PID os cálculos dos algoritmos PID e como são as funções de transferência para este controlador André Taveira da Silva Scheibel Introdução Compensadores LEADLAG Capítulo 6 Sabemos que a melhora da estabilidade de sistemas de potência se dá por um sinal de controle que venha suplementar às malhas de controle de regulação Os circuitos compensadores são responsáveis por gerar este sinal de controle estes circuitos compensadores são comumente chamados de Estabilizadores de Sistemas de Potência ESP Normalmente estes Estabilizadores de Sistemas de Potência ESP têm valores fixos para que seu desempenho seja garantido em torno de um ponto de operação do sistema Se o sistema é fixo a performance do controle pode se perder se o ponto de atuação atual não coincide com o projetado por causa de sistemas não lineares Já há estabilizadores com parâmetros de auto ajuste para melhorar a robustez do ESPs e superando sua desvantagem Desta forma podemos citar os ESPs que utilizam o escalonamento de ganhos técnicas de controle adaptativo e inteligência artificial Algumas características que precisam ser introduzidas nos ESPs utilizamse do uso de lógica nebulosa com regras fuzzy Conhecer os sistemas de compensadores apresentar os compensadores leadleg e suas fórmulas Compensadores Controlador PI Controlador PD Controlador PID Construção do bloco derivativo puro D Implementação prática do bloco derivativo D Compensador avanço de fase Lead Compensador atraso de fase Lag Compensador atrasoavanço Leadlag Objetivos Esquema Compensadores 61 Quando o sistema atua em malha fechada os compensadores po dem alterar alguma característica do sistema Temos nos compensadores o avanço de fase lead estes melho ram a estabilidade aumentam a faixa de passagem melhoram a fase transitória fica sujeito a ruídos de alta frequência cai sobre o sinal na resposta do degrau O atraso de fase lag minora o ganho em altas frequências sem perder ganho em baixas frequências minora a largura de faixa há uma certa lentidão no sistema e com a diminuição do ganho em frequências altas o ganho total aumenta o que melhora sua precisão em regime permanente UNIUBE 75 O avançoatraso de fase leadlag permite ao sistema um ganho de frequências baixas que pode ser aumentado isto nos dá uma melhora na precisão em regime permanente e também podemos aumentar a banda e a margem de estabilidade O PID é um caso especial de Leadlag o PD comportase como avanço de fase o que afeta sua frequência alta aumenta seu ân gulo de fase melhorando a estabilidade há também um aumento da largura de faixa e o sistema assim fica mais rápido Tratando do PI ele trabalha com atraso de fase o que afeta a região de frequên cia baixa aumenta seu ganho em baixa frequência sua precisão é melhorada em regime permanente 611 Controlador PI Sua equação vem de O Pi adiciona um zero em s KI KP em um polo em s 0 Desta forma aumenta a ordem do sistema e pode ser menos ins tável que o original devemos então escolher um critério para dotar KP e KI Com o aumento do sistema ocorre o erro em regime para uma entrada de grau zero Ele permite uma resposta transitória com baixo ou nenhum sobressinal e o tanto de subida pode ser grande 612 Controlador PD Sua equação vem de O seu controle derivativo equivale a adição de um zero simples em s KPKd Mostramos em blocos o controlador PD a seguir na Figura 21 76 UNIUBE Figura 21 Compensador PD Fonte Controle 1 DAELN UTFPR Exemplificação da atuação da derivativa Com o sinal de saída possuindo um observador considerável mostra mos a Figura 22 O seu sinal de erro também aparece na Figura 22 Figura 22 Sinal de erro e saída sem compensador Fonte Controle 1 DAELN UTFPR UNIUBE 77 Ocorre o sobressinal e o sinal de erro ser grande no intervalo 0 t t1 e ser inadequado entre t1 t t2 O sinal da derivada do erro é mostrado a seguir na Figura 23 também et e ct Figura 23 Sinal de saída e erro sem compensador e derivada do sinal de erro Fonte Controle 1 DAELN UTFPR Assim no compensador PD os sinais KP et e Kd dedt somamse e isto nos leva a uma redução da amplitude do sinal de saída Este fato se deve porque o et e dedt possuem sinais opostos em al guns momentos ocasionando a diminuição do sobressinal 78 UNIUBE SAIBA MAIS Uso de PréCompensador Dinâmico no Projeto de Controlador Robusto para Sistema MIMO Instável E J Matos R N Souza e J R B Souza Resumo Este artigo aborda o problema do projeto de controlado res do tipo LQGLTR para sistemas multivariáveis instáveis A pro posta principal é projetar um précompensador estabilizador para estabilizar o sistema antes de se projetar o controlador LQGLTR final Com esta abordagem resolvemse os problemas que o pro cedimento convencional não dá conta de superar mas a ordem do controlador completo fica significativamente aumentada Palavraschave Controladores LQGLTR Compensadores dinâ micos Loopshaping Sistemas Multivariáveis Introdução O método LQGLTR Linear Quadratic Gaussian with Loop Transfer Recovery para o projeto de controladores foi introduzido na litera tura técnica de controle por Doyle e Stein 1979 como um sucedâ neo ao método LQG que visa restabelecer ao menos em parte as excelentes margens de ganho e de fase que os reguladores LQR Linear Quadratic Regulators possuem e que os reguladores com observadores não garantem conforme demonstrado por Doyle 1978 O método pode ser aplicado tanto no projeto de controla dores para sistemas SISO como também para sistemas MIMO e ele possui duas versões alternativas que são escolhidas confor me as incertezas multiplicativas associadas ao modelo da planta sejam representadas na sua saída ou na sua entrada O sucesso da aplicação do método requer que o sistema a ser controlado a UNIUBE 79 planta seja de fase mínima mas em princípio não existe nenhuma exigência de que ele deva ser estável A importância dos sistemas de controle do tipo LQGLTR dentro de um contexto de aplicações envolve os mais variados segmentos da atividade humana As re ferências Jafar et al 2006 Kishor et al 2004 e Keller 2005 entre outras mostram que a metodologia LQGLTR está sendo in corporada nos diversos segmentos produtivos e estratégicos das sociedades industrializadas Confira o artigo completo no link a seguir Fonte httpwwwewhieeeorgreg9etransieeeissuesvol06 vol6issue1March20086TLA105Matospdf Acesso em 27 abr 2016 613 Controlador PID Sua função é dada por Neste caso de PID podemos trabalhar os elementos isoladamente como a Proporcional Kp b Proporcional integral Kp Kis c Porporcional derivativo Kp Kds d Integral Kis 80 UNIUBE Podemos representar PID também por outras fórmulas existentes A seguir mostramos uma versão do compensador PID que indica que uma varição do sinal de referência é passada a planta de forma ágil devido ao compensador derivativo Por outro lado isto pode prejudicar algumas plantas industriais Figura 24 Compensador PID Fonte Controle 1 DAELN UTFPR Agora na Figura 25 a seguir indicamos outra sugestão de constru ção do PID Nesta o compensador trabalha apenas respondendo a variações do sinal de saída UNIUBE 81 Figura 25 Compensador PID Fonte Controle 1 DAELN UTFPR 614 Construção do bloco derivativo puro D Neste caso o controlador não pode ser utilizado fisicamente com elementos do tipo R L C sua função de transferência possui um zero e nenhum polo Por outro lado pode ser projetado com am plificadores operacionais Ele é um filtro passaaltas e por isto ele fica sensível a ruídos de alta frequência 615 Implementação prática do bloco derivativo D É difícil construir um compensador ideal Sua magnitude cresce quando a frequência tende para o infinito desta forma ele produ ziria uma ampliação indesejável de ruídos em frequências altas e podem estar presentes em malha fechada Também aumentando a banda de passagem junto com o compen sador derivativo ideal talvez causaria instabilidades por causa das dinâmicas não modeladas de altas frequências Desta forma um compensador real é normalmente construído com a colocação de um polo em uma frequência entre três a dez vezes maiores que a de canto KpKd assim temos 82 UNIUBE Onde 3 N 10 Desta forma um compensador PD físico é repre sentado por uma própria função 616 Compensador avanço de fase Caracterizase o lead por possuir também um par de polozero ajustáveis muitas vezes instalado distante do eixo real negativo Sua compensação no avanço de fase poderá ser utilizada para al terarse o valor do ganho de malha É um filtro passaaltas no compensador o zero está mais próximo à origem que o polo no semiplano esquerdo z p Sua fórmula se dá por Com α 1 UNIUBE 83 EXEMPLO Figura 26 Compensador avanço de fase Fonte Controle 1 DAELN UTFPR Sendo polo a e zero b o defasamento máximo ocorre na frequência E o valor do defasamento máximo é Na região de baixa frequência o compensador trabalha diminuindo a curva de módulo total e aumentando a curva ângulo de fase na região de baixa a média frequência Ele é utilizado para o aumento de ganho ou margem de fase do sis tema ou aumentar a faixa de passagem Para aumentar a sua es tabilidade podese tentar cruzar a linha de 0db com uma inclinação de 20dbdécada Se utilizarmos o cruzamento com uma inclinação de 40dbdécada provavelmente resultará de um valor muito baixo para a margem de fase 84 UNIUBE 617 Compensador atraso de fase Colocado perto da origem no eixo real negativo o compensador lag se diferencia por um polo zero ajustável O valor do ganho de malha pode ser alterado pela compensação por atraso de fase O Lag é um filtro de passabaixas e sua fórmula é Com α 1 Neste caso o polo está mais próximo da origem do que o zero no semiplano esquerdo z p Sua compensação por atraso se caracteriza por colocar um polo e um zero próximos da origem Assim mais próximo também um do outro as contribuições de fase se anulam e a localização das raízes originais não se altera Também por estarem próximos às contribui ções de módulo se anulam EXEMPLO UNIUBE 85 Figura 27 Compensador atraso de fase Fonte Controle 1 DAELN UTFPR Sendo polo a e zero b o defasamento máximo ocorre na frequência E o valor do defasamento máximo é de 618 Compensador atrasoavanço É combinação das duas anteriores sua fórmula geral se dá por Com b1 a1 b2 a2 e a1b2 b1a2 86 UNIUBE 619 Considerações Finais Prezadoa alunoa vimos neste capítulo os compensadores e como cada um atua no sistema É importante sabermos como cada um destes dispositivos vai atuar para que possamos utilizálos cor retamente no projeto para que o potencial máximo da planta seja atingido sem o aparecimento de problemas de sistema As indústrias estão cada vez mais competitivas hoje em dia e um bom projeto que atenda suas necessidades de planta com a maior produtividade e menor custo de manutenção e operacionalização é hoje o que busca o mercado Não dá para imaginar hoje uma planta de uma grande indústria pa rada ou lenta por causa do sistema mal dimensionado ou por falhas localizadas Sendo assim o aprofundamento dos temas estudados até aqui a busca diária por novas tecnologias e novos métodos deve ser o diferencial do bom profissional desta área Até mais e boas pesquisas André Taveira da Silva Scheibel Introdução Algoritmo DeadBeat e de Kalman Capítulo 7 Os sistemas de energias renováveis têm atraído o interesse de inúmeros esforços de diversos governos em oposição a outras fontes energéticas que aumentam a emissão de CO2 ou causam enormes impactos ambientais Tais redes renováveis transportam energia elétrica gerada por fontes eólicas solares e das marés Recentemente o conceito de redes inteligentes vem sendo largamente aplicado a essas plantas energéticas para viabilizar e otimizar esse desafio BLAU 2010 apud FILHO CASELHA CAPOVILLA 2012 A aplicação de um sistema de telecomunicações moderno para controle e monitoramento dessas redes requer uma complexa infraestrutura para um funcionamento eficiente STRZELECKI BENYSEK 2008 sendo que sua implantação e operabilidade apresentam vários aspectos não triviais em função de envolver diferentes áreas de conhecimento e diversos aspectos de projeto Nesse sentido a transmissão sem fio se apresenta como uma solução interessante por oferecer uma série de benefícios como baixo custo de implantação facilidade de expansão possibilidade do uso das tecnologias atualmente empregadas nos sistemas de telefonia móvel flexibilidade de utilização e gerenciamento distribuído FILHO CASELHA CAPOVILLA 2012 Apresentar projeto de controle deadbeat Analisar o algoritmo deadbeat e de Kalman Controle deadbeat Algoritmos para controle deadbeat Algoritmo de Kalman Objetivos Esquema Projeto de controladores digitais 71 Seja um sistema discreto com o seguinte diagrama de blocos Assim podemos dizer que Yz GzDz Rz Yz Se especificarmos Rz Yz temos z R z 1 Y z R z Y z G 1 z D UNIUBE 89 711 Controladores Deadbeat Os sistemas discretos de controle apresentam a propriedade de poder exibir uma resposta dead beat Essa propriedade não é ob servada nos sistemas contínuos Uma resposta dead beat é aquela obtida quando o sinal de referência é atingido em um mínimo tem po com erro zero Em contraste um sistema contínuo pode atingir o valor de referência com erro zero somente para tempo infinito matematicamente Ou seja a operação de amostragem dos siste mas discretos permite que eles atinjam um valor de regime em um tempo que transita no infinito O controlador deadbeat é aquele em que a O tempo de subida deve ser mínimo b O erro de regime deve ser zero Para uma planta de ordem n o tempo mínimo é igual a nT O problema a ser resolvido é obter Dz tal que para uma entrada degrau ou seja Rz 1z11 a resposta seja yk rk 1 k n com uk un k n Aplicando a transformada Z temos z 1 z y z y z Yz n 1 n 2 2 1 1 z z u u z u z u Uz n 1 n N 2 2 1 1 0 n 2 2 2 1 1 1 1 1 n n 2 2 1 1 z y z y z y z 1 z z 1 z y z y z z R z Y 90 UNIUBE n n 1 2 1 2 1 1 z y 1 z y y y z z R z Y n n 2 2 1 1 p z p z p z z R z Y com 1 p i Analogamente n n 2 2 1 1 0 q z q z q z q z R z U com n 1 n n 0 1 1 0 0 u u u q u u q q e n i u q Então z P z G z D 1 z G z D z R z Y I ou z Q z P z U z R z R z Y z G z U z Y II Usando as equações II em I temos z 1 P z Q z D Seja 0 0 n n 2 2 1 1 n n 2 2 1 1 q x q a z a z a z 1 b z b z b z z G III De II UNIUBE 91 n n 2 2 1 1 0 n n 2 2 1 1 q z q z q z q p z p z p z Gz IV Comparando III e IV o n n 0 1 1 b q p b q p o n n 0 1 1 b q p b q p Como 1 b q p i 0 i i 0 b 1 q Exemplo Projetar um controlador deadbeat para o seguinte sistema 0 368 1 368z z 0 265 0 368z z G 2 Solução 581 b b 1 q 2 1 0 2 160 a q q 0 1 1 0 581 q b p 1 0 1 0 581 a q q 0 2 2 0 418 q b p 2 0 2 92 UNIUBE Logo 2 1 2 1 0 418z z 580 1 z 580 z 162 581 Dz As figuras a seguir mostram a saída da planta e o sinal de controle com o controlador deadbeat projetado Resposta Deadbeat UNIUBE 93 Sinal de controle Deadbeat 712 Algoritmo de Kalman A teoria do Filtro de Kalman é muito extensa para ser aqui demons trada por isso serão apresentadas as equações básicas que des crevem a evolução temporal do processo e a relação entre predi tores e preditandos A formulação e a notação foram adaptadas de Simonsen 1991 apud Lubonati Trigo Camara 2003 Considere t o parâmetro que queremos prever no instan te t ie o preditando que no nosso caso é a diferença en tre a observação e a respectiva previsão de temperatura à 2 m t T t T y ECMWF m OBS m t 2 2 O preditanto está relacionado com os preditores por meio da equação de observação t t t t v F m y 1 94 UNIUBE Em que xn tF ℜ1 é a matriz de preditores no instante t e tv é um vetor que dá a variação aleatória do instante t 1 até t com mé dia zero e variância conhecida dada por tV ℜ O estado do sistema no instante 1 t está relacionado com o instante t 1 por meio da equação do sistema dada por t t t w m m 1 21 t 2 Em que nx 1 mt ℜ é a matriz dos coeficientes dos preditores e t w é um vetor que dá a variação aleatória do instante t 1 até t com média zero e variância conhecida dada por nxn Wt ℜ A equação de observação é usada na maioria dos métodos estatís ticos e é resolvida por meio de uma regressão linear múltipla que ajusta a melhor relação entre preditores e preditandos A teoria de Kalman se diferencia dos outros métodos nomeadamente por meio da equação do sistema que permite que os coeficientes variem ao longo do tempo 1 ˆ t t t Fm y tyˆ é a previsão de 1 1 nx mt ℜ 3 1 1 nx mt ℜ são os coeficientes dos preditores em 1 t t t t y y e ˆ te é o erro da previsão 4 t t t W C R 1 nxn tR ℜ é a matriz que atualiza t C 5 nxn Ct 1 ℜ é a variância dos coeficientes t1 m t w é a variância do vetor wt UNIUBE 95 t T t t t t V F R F Y ˆ tYˆ ℜ é a variância de ℜ tV 6 tV ℜ é a variância do vetor tv t T t t t Y R F A ˆ nx 1 tA ℜ é a matriz ganho de Kalman 7 t t t t Ae m m 1 nx 1 mt ℜ são os coeficientes dos preditores 8 nxn Ct ℜ nxn Ct ℜ é a variância dos coeficientes t m 9 O algoritmo utilizado é computacionalmente simples e possui a vantagem de ser suficiente para atualizar o Filtro de Kalman do instante t 1 até o instante t SAIBA MAIS Verificação da Previsão de Temperatura A 2 M do ECMWF A construção de um Filtro de Kalman é motivada pela análise da comparação de observações SYNOP feitas pelo Instituto de Meteorologia com as respectivas previsões do modelo do ECMWF A diferença entre a topografia considerada no modelo do ECMWF e a topografia real das estações pode ser em alguns casos tabela 1 da ordem das centenas de metros o que tem implicações na ocorrência de erros sistemáticos nas previsões Guarda é a esta ção que apresenta a maior discrepância de altitude em relação ao ponto mais próximo da grelha do modelo Ao contrário das restan tes que se situam junto ao litoral Guarda localizase em uma re gião montanhosa praticamente inexistente no modelo do ECMWF 96 UNIUBE Local Altura m Estação Altura m ECMWF Coimbra 171 218 Guarda 1020 662 Lisboa 104 81 Porto 93 196 Como exemplo as observações às 9 UTC e as suas respectivas previsões feitas pelo modelo do ECMWF na corrida das 12 UTC t21h para Lisboa Coimbra Porto e Guarda durante os meses de Janeiro Fevereiro e Março de 2003 são apresentadas na figura 1 Notase que nas três primeiras cidades o modelo numérico apre senta previsões mais frias que as observações durante pratica mente todo o período Por volta do dia 10 de janeiro quando ocorre uma descida brusca na temperatura o modelo tornase incapaz de prever corretamente temperaturas muito baixas na Guarda supe restimando os valores de temperatura É justamente nessa cidade onde há uma variação evidente no comportamento do modelo ora subestimando ora superestimando os valores de temperatura UNIUBE 97 Os valores médios mensais das diferenças entre as previsões de temperatura e as observações OBS m m ECMWF T T 2 2 ie o bias em função das horas do dia são apresentados respectivamente nas figuras 2 e 3 para as cidades do Porto e da Guarda Com base nas figuras é possível observar a variação diurna das diferenças en tre previsões e observações e ainda as variações desse ciclo ao longo do ano No Porto observase que durante os quatro primei ros meses e os últimos três meses do ano ie durante os meses mais frios o modelo subestima os valores de temperatura com as maiores discrepâncias obtidas às 9 UTC Entretanto durante os meses mais quentes o modelo gera previsões que ora subesti mam a temperatura no período da manhã ora superestimam no período da tarde ou seja a amplitude diurna é sistematicamente superestimada Ao contrário na cidade da Guarda o modelo tende a fornecer previsões mais quentes que as observações como seria esperado dada a fraca representação da topografia local no mode lo De uma forma geral verificase que o bias varia ao longo do dia com as estações do ano e de local para local Porto JANEIRO Porto FEVEREIRO Porto MARÇO Porto ABRIL Porto MAIO Porto JUNHO Porto JULHO Porto AGOSTO Porto SETEMBRO Porto OUTUBRO Porto NOVEMBRO Porto DEZEMBRO 100 UNIUBE Guarda JANEIRO Guarda FEVEREIRO Guarda MARÇO Guarda ABRIL Guarda MAIO Guarda JUNHO Basí C Horas do dia UTC Basí C Horas do dia UTC Basí C Horas do dia UTC Basí C Horas do dia UTC Basí C Horas do dia UTC Basí C Horas do dia UTC UNIUBE 101 Figura 3 Como na Figura 2 mas para a cidade da Guarda 102 UNIUBE APLICAÇÃO DO FILTRO Como mencionado anteriormente foi desenhado um Filtro de Kalman para corrigir o erro de previsão da temperatura a 2 m na estação definido como a diferença entre o valor observado T m OBS 2 e o valor previsto pelo modelo T m ECMWF 2 Nesse caso o nosso preditando é dado por ECMWF m OBS m t T T y 2 2 10 Para se iniciar o funcionamento do filtro é necessário definir a ma triz dos preditores Para tal considerouse que o erro de previsão das 9 UTC está relacionado com o erro de previsão cometido às 6 UTC Isto é a matriz de preditores tF para a previsão dos erros às 9 UTC para cada dia t é dada por t T t T F ECMWF m OBS m t 2 2 1 11 É também fundamental determinar uma primeira estimativa dos coeficientes m e dos demais parâmetros estatísticos A primeira estimativa dos coeficientes 0 m foi obtida por meio de uma regres são linear x m m y 2 1 0 0 em que os valores de y correspon dem às diferenças entre as temperaturas observadas e previstas durante o ano de 2003 às 9 UTC enquanto os valores de x cor respondem às diferenças entre as temperaturas observadas e as previstas durante o ano de 2003 às 6 UTC A primeira estimativa da matriz dos coeficientes é definida como x y C 2 2 0 0 0 σ σ 12 UNIUBE 103 Em que σ 2 y e σ 2 x são respectivamente a variância do erro das previsões do ECMWF às 9 UTC e 6 UTC Para as variâncias do sistema escolheramse valores constantes tV 2 e Wt C0 365 Então a primeira previsão feita pelo filtro será dada por 2 2 1 ˆ 1 0 0 1 F m m y 13 O erro do filtro 1e é calculado por meio da Eq 4 e a seguir uti lizado para que 1 m e 1 C possam ser estimados pelas Eqs 59 A previsão de 2y dada pela Eq 3 é calculada utilizandose 2 F e 1 m e assim sucessivamente RESULTADOS Nesta seção será apresentada a performance do Filtro de Kalman por meio de algumas séries temporais de previsões corrigidas e não corrigidas e ainda por meio de alguns parâmetros estatís ticos tais como skill score SS a raiz do erro médio quadrático REMQ e bias A Figura 4 apresenta a comparação entre as observações as pre visões do modelo do ECMWF e a previsões do Filtro de Kalman para Lisboa e Coimbra durante o período de janeiro fevereiro e março de 2003 às 9 UTC Por volta do dia 10 de Janeiro quan do ocorre uma descida brusca da temperatura as previsões feitas pelo modelo ECMWF apresentam temperaturas mais frias que as observadas O Filtro de Kalman entretanto se adapta muito bem ao acontecimento fornecendo previsões bastante próximas das 104 UNIUBE observações Em 25 de janeiro a temperatura sobe e o filtro rapi damente se adapta à situação ao contrário do modelo do ECMWF que prevê temperaturas muito inferiores às observadas É interes sante notar o comportamento do Filtro de Kalman em meados de Março dias 65 a 75 das figuras 4a e 4b quando ocorre a tempe ratura máxima para o período de Janeiro a Março às 9 UTC Nessa ocasião o filtro comportase de maneira bastante distinta nas duas cidades subestimando a temperatura em Lisboa e a superestiman do em Coimbra entretanto sempre fornecendo previsões melhores que o modelo do ECMWF Figura 4 Observações da temperatura a 2m pontos previsão do modelo do ECMWF linha azul e previsão do Filtro de Kalman linha vermelha Resultados para Lisboa a e Coimbra b durante o período de Janeiro Fevereiro e Março de 2003 UNIUBE 105 Os histogramas das distribuições dos erros temperatura observada menos temperatura prevista do modelo do ECMWF e do Filtro de Kalman são apresentados nas figuras 5 a 8 para Lisboa Coimbra Porto e Guarda respectivamente Conforme dito anteriormente o modelo de previsão do ECMWF tende a subestimar a temperatura nas cidades de Lisboa Coimbra e Porto enquanto na Guarda há uma tendência para superestimar a temperatura Após a aplicação do filtro a distribuição dos erros aproximase claramente da nor mal centrada em zero e com uma menor dispersão entre previsões e observações A análise comparativa dos histogramas dos erros do modelo do ECMWF e do Filtro de Kalman mostra que esse úl timo é eficaz na remoção do bias e na eliminação de grande parte das situações com erros nas previsões superiores a 45ºC Figura 5 Histogramas da frequência relativa dos erros T2mOBST2mPREVISTO para o Filtro de Kalman a e o modelo do ECMWF b Resultados para Lisboa às 9UTC Figura 6 Como Figura 5 mas para Coimbra 106 UNIUBE Figura 7 Como Figura 5 mas para a cidade do Porto Figura 8 Como Figura 5 mas para a cidade da Guarda Para quantificar a melhoria das previsões do Filtro de Kalman em relação às previsões do modelo do ECMWF foi calculado o skill score SS em relação ao ECMWF x100 ECMWF KALMAN ECMWF REMQ REMQ REMQ SS 13 Em que 2 1 1 i i OBS PREV N i T T N REMQ 14 UNIUBE 107 O parâmetro SS quantifica a variação relativa da raiz do erro médio quadrático REMQ do Filtro de Kalman relativamente ao ECMWF Valores positivos de SS indicam que o filtro melhorou as previsões enquanto valores negativos indicam que o filtro piorou as previ sões Em todas as localidades o Filtro de Kalman apresenta razoá veis índices de melhoria tendo a cidade Lisboa o melhor resultado 467 seguida do Porto com 425 Coimbra com 331 e por último Guarda com 293 A comparação dos valores de REMQ e bias entre o modelo do ECMWF e o Filtro de Kalman é apresentada na tabela 2 REMQ ºC Bias ºC ECMWF Kalman ECMWF Kalman Lisboa 221 118 161 001 Coimbra 239 160 123 002 Porto 315 180 214 000 Guarda 210 148 011 003 A eliminação dos erros sistemáticos sugerida pelos histogramas pode ser comprovada por meio da redução do bias para valores muito próximos de zero em todos as estações de estudo A dimi nuição da dispersão entre temperaturas previstas e observadas e consequentemente o aumento da precisão pode ser quantificado por meio da diminuição do REMQ conforme tabela 2 Fonte LIBONATI R TRIGO I DACAMARA C APLICAÇÃO DO FILTRO DE KALMAN NA CORREÇÃO DAS PREVISÕES DE TEMPERATURA A 2 METROS DO ECMWF 2003 Disponível em httpwwwcbmetcomcbmfiles22ba8e9f198a20fe0069a6d dc628235014doc 108 UNIUBE 713 Considerações Finais Caroa alunoa na análise de sistemas digitais usamos técnicas parecidas com o plano s na área de estabilidade A fronteira estável é o círculo de estabilidade e substitui o eixo imaginário Vimos ainda que em sistemas digitais os conceitos da posição das raízes e da resposta transitória se transportam para o plano z Então as regras para encontrar as raízes não se alteram aqui mapeamos pontos no plano s no plano z e associamos as caracte rísticas da resposta aos pontos Vimos também que o cálculo de sistemas com dados nos indica que a taxa de sua amostra a mais que o ganho e da carga deter mina a resposta transitória do sistema Sendo assim os compensadores podem ser também projetados para sistema digital projetando primeiramente o compensador no plano s ou por técnicas de resposta de frequência Depois dos cálculos do projeto analógico ele é transformado em digital pelo método de Tustin Sendo assim os controladores podem ser também projetados para sistema digital projetando primeiramente o controlador no plano s ou por técnicas de resposta de frequência Depois dos cálculos do projeto analógico ele é transformado em digital pelo método de Tustin André Taveira da Silva Scheibel Introdução Controladores Digitais no Espaço de Estados Capítulo 8 Com aplicação de computadores digitais na malha tivemos algumas vantagens como diminuição de custo flexibilização em mudanças de projeto e imunidade a ruído O controle de malhas simultâneas é requerido em sistemas modernos de controle tensão vazão crescimento populacional bacteriano por exemplo Em qualquer indústria de grande porte podemos notar somente um computador digital substituindo muitos controladores analógicos isto favorece a redução dos custos Pois controles analógicos necessitam de muitos ajustes e alterações em equipamentos Grande parte dos equipamentos instrumentos de medição e botões estão sendo trocados por computadores com estes todas as informações sobre ajustes necessários desempenho e reparos são apresentados em telas Com a aplicação de computadores com sistemas digitais ganhouse grande flexibilização em respostas de mudanças em projetos Sendo assim qualquer alteração que seja necessário implementar no futuro para crescimento da planta basta Apresentar o projeto de controle deadbeat Analisar o algoritmo deadbeat e de Kalman Controle deadbeat Algoritmos para controle deadbeat Algoritmo de Kalman Objetivos Esquema apenas alterar o software e não as máquinas e equipamentos que são os hardwares que são mais caros Os sistemas digitais apresentam imunidade maior que os analógicos a ruídos por causa dos métodos de implementações utilizados nesses sistemas UNIUBE 111 Descrição por Variáveis de Estado 81 É aplicável a sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas que podem ser lineares ou não lineares invariantes ou variantes no tempo e com condições iniciais não nulas O estado de um sistema no instante t0 é a quantidade de informação em t0 que junto com a entrada ut em t t0 determina univocamente o comportamento do sistema para todo 0 t t Considere os vetores Onde xt vetor de estados xit variável de estado ut vetor de entrada yt vetor de saída E as matrizes Atnxn Btnxp Ctqxn Dtqxp Na representação por variáveis de estado temos xt Atxt Btut Equação de Estado dinâmica do sistema yt Ctxt Dtut Equação de Saída observação do sistema 112 UNIUBE Ou ainda no caso invariante no tempo temos x t Axt But Equação de Estado dinâmica do sistema yt Cxt Dut Equação de Saída observação do sistema Aplicando a Transformada de Laplace temos Para condições iniciais nulas X0 0 Ys CsI A 1B DUs GsUs De onde concluise Gs C s I A1 B D Matriz Função de Transferência Como sI A corresponde ao polinômio característico de Gs os autovalores de A correspondem às raízes do polinômio caracterís tico ou seja aos polos de Gs 811 Solução da Equação de Estado Caso Escalar xt axt but UNIUBE 113 Laplace X s s a1 x0 s a1 bUs Aplicando a Transformada inversa de Laplace obtemos Caso Vetorial xt Axt But Onde eat L1sI A1 A exponencial matricial eAt pode ser calculada por meio da série Que converge para todo t finito e para todo A 114 UNIUBE 812 Estabilidade Considere uma representação em variáveis de estado de um sis tema SISO x t Axt But yt Cxt dut Teorema um sistema é estável se quando ut 0 para todo x0 temos que OBS se ut 0 xt eAt x0 Corolário um sistema é estável se todos os autovalores da ma triz A apresentam parte real negativa OBS os autovalores de A são as raízes da equação característica Δs detsI A 0 EXEMPLO Logo o sistema é instável UNIUBE 115 813 Controlabilidade Definição o sistema ABCd é controlável se quaisquer que se jam x0 e xT existe ut 0 t T que transfere o estado x0 para o estado xT em um tempo finito Teorema o sistema ABCd é controlável se e somente se o posto da matriz de controlabilidade Unxnp associada é igual a n U B AB A2 B Nan1 B OBS uma matriz R é dita possuir posto rank ρR igual a m se existir uma submatriz Mmxm de modo que o determinante de M é não nulo e o determinante de todas as submatrizes rxr onde r m de R é zero EXEMPLO EXEMPLO 116 UNIUBE Não Controlável Justificativa se x10 x20 x1t x2t t 0 814 Observabilidade Definição o sistema ABCd é observável se para todo x0 o conhecimento da entrada ut e da saída yt em um tempo finito é suficiente para determinar x0 Teorema o sistema ABCd é observável se e somente se o posto da matriz de observabilidade Vnqxn associada é igual a n UNIUBE 117 EXEMPLO ρV 2 Logo o sistema é Não Observável SAIBA MAIS Modelando um sistema O estado do sistema matriz x é o conjunto de variáveis que po demos medir e queremos controlar No caso do aquecedor o único estado é a temperatura de saída da água qout em Celsius Por simplicidade consideramos esta ser a temperatura de toda a água acumulada dentro do aquecedor A entrada ou controle do sistema matriz u é o conjunto de vari áveis que podem influir no estado No nosso aquecedor são três 118 UNIUBE temperatura de entrada da água qin temperatura desejada pelo usuário qtgt e a potência do aquecedor w em kcalmin Pode ser difícil decidir se algo é estado x controle u entrada u saída y ou característica do sistema A ou B Temperatura de entrada não pode ser controlada mas certamente influencia a tem peratura de saída A potência do aquecedor atua sobre o estado pois aquece a água mas também é uma variável que desejamos controlar Afinal potência é estado ou controle Na minha opinião encaixou melhor como controle A saída do sistema é uma transformação simples das variáveis para o mundo físico Por exemplo o controle de potência w em kcalmin precisa ser traduzido para kBTUh ou Watts Para facilitar nosso exemplo vamos presumir que se trata de um aquecedor elé trico e usaremos Watts A equação de saída não é diferencial e seu resultado não influencia o estado Mais algumas grandezas que precisamos encaixar no modelo A vazão de saída de água quente f em litrosmin O volume de água dentro do aquecedor z em litros Levar em conta este volume tornará nosso modelo muito mais fiel pois podemos controlar a temperatura mesmo que a vazão seja zero como se fosse uma caldeira Para caprichar a perda térmica do aquecedor l Ou seja a tendência da água dentro do aquecedor esfriar proporcio nalmente à diferença da temperatura ambiente Por simplici dade a temperatura de entrada da água será considerada a temperatura ambiente UNIUBE 119 Os itens acima têm de ser encaixados nas matrizes A e B pois são características do sistema não são controles nem estados Ah mas a vazão vai mudar ao longo do tempo Verdade mas todos os elementos da equação de estadoespaço também podem mudar com o tempo Os elementos x u A B C e D são na verdade funções no tempo xt ut At Bt Ct e Dt Então não há problema em colocar características variáveis dentro das matrizes A a D Existem siste mas onde as matrizes A a D são de fato constantes denominados LTI linear timeinvariant mas não é o caso do nosso aquecedor Fonte httpsepxxcoartigosstfeedhtml Acesso em 27 abr 2016 815 Funções de Transferência Em SISO as equações que temos são ABCd é uma realização de Gs se G s na Forma Canônica Observável 120 UNIUBE G s na Forma Canônica Controlável 816 Realimentação de Estado A ideia básica da realimentação de estados consiste em alocar os polos de malha fechada autovalores da matriz dinâmica modifi cando assim a dinâmica do sistema Segue a representação em variáveis de estado de um sistema UNIUBE 121 Teorema se ABCd for controlável usando ut Kxt rt podemos escolher arbitrariamente os autovalores de A BK 817 Fórmula de Ackermann para Determinação da Matriz de Ganhos K 1 Formar com os polos desejados 2 Cálculo de K EXEMPLO Dado Usando ut Kxt rt Determine K para que os autovalores do sistema sejam 1 e 2 SOLUÇÃO 122 UNIUBE 818 Considerações Finais Neste capítulo vimos as vantagens de um sistema digital em relação a um analógico Eles podem controlar diversas malhas com custo menor Todas modificações no sistema podem ser feitas por meio de software ao invés de hardware equipamentos Juntamente com sua compensação o computador digital é modelado como amostradorextrapolador Você aprendeu como projetar sistemas de controle linear com as técnicas de domínio de frequência e no espaço de estados Este é apenas o começo oa alunoa deve prosseguir seus conhecimen tos sobre sistemas de controle modernos UNIUBE 123 Conclusão Caroa alunoa chegamos ao fim do estudo da matéria de Sistemas de Controle II No capítulo I vimos que o projeto de es paço de estados se baseia na localização dos polos do sistema depois projetar um controlador calculado por meio de ganhos de retroação das variáveis de estado No capítulo II vimos que projetar o controlador se resume a efetuar a retroação das variáveis de estado para a entrada u no sistema com ganhos específicos Os ganhos são obtidos igualandose os coeficientes da equação característica do sistema aos coeficien tes da equação desejada O sinal de controle u em determinados casos não pode afetar uma ou mais de uma variável de estado a este sistema dizemos que ele é não controlável Portanto para este sistema tornase impossível um projeto completo sendo as sim o projetista com a matriz de controlabilidade pode afirmar antes do projeto se o sistema é ou não controlável No capítulo III vimos que a inserção de uma integral nos dá uma melhoria do erro de estado estacionário Evidenciamos três vanta gens no projeto de espaços de estados primeiro ao contrário do método das raízes pudemos especificar a alocação dos polos para diminuir o efeito dos polos não dominantes em relação à resposta transitória Encontrando o lugar das raízes confirmamos a hipótese em que os polos não afetam a resposta transitória No capítulo IV vimos o projeto de controladores discretos como eles se integram ao sistema a fórmula de Euler e Tustin para dis cretização do sistema No capítulo V vimos que os sistemas formam a entrada da planta e trabalham a partir do erro da integral e da derivada deste erro no 124 UNIUBE tempo A integral do erro no tempo nos permite que a saída possa verificar a entrada com menor erro Já a derivada do erro trabalha acelerando a saída e assim diminui a lentidão do sistema gerada pela componente integral Todas as considerações para PI e PD podem ser utilizadas para o PID São utilizados na indústria e na robótica apresentam uma boa relação entre precisão velocidade e custo de implementação Vimos ainda que são muito utilizados em atuadores de precisão servomotores plantas térmicas etc podem ainda ser implementados de maneira analógica utilizando amplifi cadores operacionais No capítulo VI estudamos a lei de controle PID Proporcional Integral Derivativa para controlarmos uma indústria e que não é possível usar um método de modelagem capaz de controlar os subprocessos implementando um controle para um Assim utiliza mos controladores de estrutura fixa e com parâmetros ajustáveis Então para este fim o controlador mais utilizado nas últimas dé cadas é o PID eles são simples e têm propósito geral podem ser otimizados conforme o projeto a ser desenvolvido Vimos ainda que o PID recentemente passou a ser digital este controlador constitui o núcleo da maioria dos softwares que são desenvolvidos para controle digital direto CDD nos processos in dustriais O ajuste destes operadores é mediante métodos empíri cos ou por meio de regras formuladas mesmo sem um alto grau de conhecimento da teoria de controle e a equação bilinear para estes sistemas No capítulo VII aprendemos que o sistema deadbeat é aplicável a sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas que podem ser lineares ou não lineares invariantes ou variantes no tempo e com condições iniciais não nulas Os sistemas discretos de controle UNIUBE 125 apresentam a propriedade de poder exibir uma resposta deadbeat Esta propriedade não é observada nos sistemas contínuos Uma resposta deadbeat é aquela obtida quando o sinal de referência é atingido em um mínimo tempo com erro zero Em contraste um sistema contínuo pode atingir o valor de referência com erro zero somente para tempo infinito matematicamente No capítulo VIII apresentamos os controladores digitais no espaço de estados vimos o projeto destes controladores e como transfor mamos um controlador analógico em digital Aprendemos que o es tado do sistema matriz x é o conjunto de variáveis que podemos medir e queremos controlar e que a entrada ou controle do sistema matriz u é o conjunto de variáveis que podem influir no estado Este curso introdutório de sistema de controle está completo mas repito que este é apenas o começo e que ainda há muito o que ver em sistemas de controle modernos por meio de cursos sobre con trole digital controle não linear os quais aprenderá técnicas para projetar sistemas não tratados neste livro Esperamos ter dado a você um estímulo para continuar progredin do no conhecimento de controles de sistemas