Analise Real - Integrais e Teorema Fundamental do Calculo - Roteiro de Estudos

UNEB Universidade do Estado da Bahia UAB Universidade Aberta do Brasil Professora Érica Macêdo Semestre 20241 Data 27062024 Estudante ROTEIRO DE ESTUDOS 08 ANÁLISE REAL Integrais Teorema 1 Toda função f contínua num intervalo e fechado em a b é integrável Definição 1 Considere f a b R uma função limitada Se f é integrável então a integral de Riemann da função f é dada por b a fxdx lim n n i1 fxix Teorema 2 Fundamental do Cálculo Seja f a b R uma função integrável que possui uma primitiva Fx Então temse que b a fxdx Fb Fa Questões Questão 1 Sabendo que as funções abaixo são integráveis calcule as integrais indicadas usando a definição a 5 1 1 3xdx b 2 0 2 x2dx c 5 0 1 2x3dx a Considere x 5 1 n 6 n e xi 1 6 ni Temos então 2 0 13xdx lim n n i1 fxix lim n n i1 f1 6 ni 6 n lim n n i1 131 6 ni 6 n lim n n i1 6 n 18 n 108i n2 lim n n i1 6 n n i1 18 n sumn i1108i n2 lim n 6 n n 18 n n 108 n2 n i1 i lim n618 108 n2 nn 1 2 lim n1254 54 n 12 54 0 42 bConsidere x 2 0 n 2 n e xi 2 ni Temos então 2 0 2 x2dx lim n n i1 fxix lim n n i1 f 2 ni 2 n lim n n i1 2 2 ni2 2 n lim n n i1 4 n 8i2 n3 lim n n i1 4 n n i1 8i2 n3 lim n 4 n n 8 n3 n i1 i2 lim n4 8 n3 nn 12n 1 6 lim n4 8 3 4 n 4 3n2 4 8 3 4 3 UNEB Universidade do Estado da Bahia UAB Universidade Aberta do Brasil c Considere x 5 0 n 5 n e xi 5 ni Temos então 5 0 1 2x3dx lim n n i1 fxix lim n n i1 f 5 ni 5 n lim n n i1 1 2 5 ni3 5 n lim n n i1 5 n 2 54 n4 i3 lim n n i1 5 n n i1 2 54 n4 i3 lim n 5 n n 2 54 n4 n i1 i3 lim n5 2 54 n4 nn 1 2 2 lim n5 54n2 2 54n 54 2n2 lim n5 54 2 54 n 54 2n2 5 625 2 635 2 Relações usadas 1 2 3 n nn 1 2 12 22 32 n2 nn 12n 1 6 13 23 33 n3 nn 1 2 2 Questão 2 Usando o Teorema Fundamental do Cálculo calcule o valor das integrais a 5 1 1 3xdx b 2 0 2 x2dx c 5 0 1 2x3dx a 5 1 1 3xdx x 3x2 2 5 1 5 3 52 2 1 312 2 5 75 2 1 3 2 42 b 2 0 2 x2dx 2x x3 3 2 0 2 2 23 3 2 0 03 3 4 8 3 4 3 c 5 0 1 2x3dx x x4 2 5 0 5 54 2 0 04 2 5 625 2 635 2