Introdução à Análise: Aula 06 - Noções de Topologia

Introdução à Análise Aula 06 Algumas Noções de Topologia Parte I Tópico 01 Conjunto Abertos Nesta aula faremos uma introdução à topologia da reta Estudaremos os conceitos de conjuntos abertos e conjuntos fechados Dizse que o ponto a é interior ao conjunto quando existe um número δ 0 tal que o intervalo aberto a δ a δ está contido em X O X R conjunto dos pontos interiores a X chamase o interior do conjunto X e representase pela notação int X Quando a int X dizse que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a Um conjunto A R chamase aberto quando A int A isto é quando todos os pontos de A são interiores a A Exemplo 1 Todo ponto do intervalo aberto é um ponto interior a Os pontos e extremos do intervalo fechado não são interiores a O interior do conjunto dos números racionais é vazio Por outro lado intab ab Um intervalo aberto é um conjunto aberto O conjunto vazio é aberto Todo intervalo aberto limitado ou não é um conjunto aberto Teorema 1 a Se e são conjuntos abertos então a interseção é um conjunto aberto b Se é uma família qualquer de conjuntos abertos a reunião é um conjunto aberto DEMONSTRAÇÃO a Se então e Como e são abertos existem e tais que e Seja Então e logo Assim o ponto é um ponto interior ou seja o conjunto é aberto b Se então existe tal que Como é aberto existe tal que logo todo ponto é interior isto é é aberto Exemplo 2 Resulta imediatamente de a no Teorema 1 que a interseção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto Mas embora por b a reunião de uma infinidade de conjuntos abertos seja ainda aberta a interseção de um número infinito de abertos pode não ser aberta Por exemplo se então Dizse que um ponto é aderente ao conjunto quando é limite de alguma sequência de pontos Evidentemente todo ponto é aderente a basta tomar todos os Chamase fecho de um conjunto ao conjunto formado por todos os pontos aderentes a Temse Se então Um conjunto dizse fechado quando isto é quando todo ponto aderente a pertence a Seja Dizse que é denso em quando isto é quando todo é aderente a Por exemplo é denso em Teorema 2 Um ponto é aderente a um conjunto se e somente se para todo temse Em outras palavras um ponto é aderente ao conjunto se e somente se toda vizinhança de contém algum ponto de DEMONSTRAÇÃO Se é aderente a então com para todo Dado arbitrariamente temos para todo suficientemente grande Logo Respectivamente supondo satisfeita esta condição para cada podemos encontrar tal que Isto define uma sequência de pontos tais que Logo e então é aderente a Corolário 1 Equivalente ao teorema Um ponto é aderente a um conjunto se e somente se para todo intervalo aberto contendo temse Com efeito todo intervalo aberto contendo contém um intervalo do tipo Corolário 2 Sejam limitado inferiormente e limitado superiormente Então é aderente a e é aderente a Com efeito para todo existem e tais que e Isto nos dá e Exemplo 3 Mostre que o fecho do intervalo aberto é o intervalo fechado isto é SOLUÇÃO Com efeito os pontos e são aderentes ao intervalo aberto pois e Logo o fecho de inclui pelo menos o intervalo fechado Por outro lado se e então Logo todo ponto aderente ao intervalo aberto pertence ao intervalo fechado Exemplo 4 O fecho do conjunto dos números racionais é a reta Também o fecho do conjunto dos números irracionais é Em particular e não são conjuntos fechados Introdução à Análise Aula 06 Algumas Noções de Topologia Parte I Tópico 02 Conjuntos Fechados Neste tópico destacaremos mais algumas propriedades dos conjuntos fechados Teorema 1 Um conjunto é fechado se e somente se seu complementar é aberto DEMONSTRAÇÃO Sejam fechado e isto é Pelo Teorema 2 do Tópico 1 existe tal que ou seja Assim todo ponto é interior a Reciprocamente se o conjunto é aberto e o ponto é aderente a então toda vizinhança de contém pontos de logo não é interior a Sendo aberto temos ou seja Assim todo ponto aderente a pertence a logo é fechado Corolário a e o conjunto vazio são fechados b Se são fechados então é fechado c Se é uma família qualquer de conjuntos fechados então a interseção é um conjunto fechado Com efeito é o complementar do aberto e é o complementar do aberto Agora fechados abertos aberto fechado Finalmente cada fechado cada aberto aberto fechado Veja o Teorema 1 do Tópico 1 OBSERVAÇÃO Cabe aqui uma observação análoga à que foi feita no Exemplo 2 do Tópico 1 a reunião de uma família arbitrária de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado Isto se vê facilmente basta tomar um conjunto qualquer que não seja fechado Temse Como todo conjunto é a reunião dos seus pontos cada ponto forma um conjunto fechado mas a reunião não é um fechado Teorema 2 O fecho de todo conjunto é um conjunto fechado isto é DEMONSTRAÇÃO Tomemos um ponto qualquer Pelo Corolário 1 do Teorema 2 do Tópico 1 concluímos que existe um intervalo aberto com e e que para todo vale Isto mostra que todo ponto de é um ponto de i nterior ou seja que é fechado Pelo Teorema 3 é fechado Exemplo 1 a Todo conjunto finito é fechado pois seu complementar é aberto b O conjunto dos inteiros é fechado pois seu complementar é aberto c Existem conjuntos que não são fechados nem abertos como ou um intervalo do tipo ou d Os conjuntos e são ambos ao mesmo tempo abertos e fechados Estes são de fato os únicos subconjuntos de que são simultaneamente abertos e fechados conforme veremos no Corolário do Teorema 5 abaixo Uma cisão de um conjunto é uma decomposição tal que e isto é nenhum ponto de é aderente a e nenhum ponto de é aderente a Em particular e são disjuntos A decomposição chamase cisão trivial Exemplo 2 Se então é uma cisão Dado um número irracional sejam e A decomposição é uma cisão do conjunto dos racionais Por outro lado se então não é uma cisão Teorema 3 Um intervalo da reta só admite a cisão trivial DEMONSTRAÇÃO Suponhamos por absurdo que o intervalo admita a cisão não trivial Tomemos digamos com logo Seja o ponto médio do intervalo Então ou Se poremos e Se escreveremos e Em qualquer caso obtemos um intervalo com e Por sua vez o ponto médio de o decompõe em dois intervalos fechados justapostos de comprimento Prosseguindo analogamente obteremos uma sequência de intervalos encaixados com e para todo Pelo Teorema dos Intervalos Encaixados Teorema 2 do Tópico 2 da Aula 3 existe tal que para todo O ponto não pode estar em pois nem em pois Contradição Corolário Os únicos subconjuntos de que são simultaneamente abertos e fechados são e Com efeito se é aberto e fechado então é uma cisão logo e ou então e ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo lista6analisedoc ou clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir a Lista de Exercícios desta aula Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 4 6 10 e 12 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR num único documento de texto doc docx ou pdf ou manuscrito e 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