Introdução aos Conjuntos Naturais e Axiomas de Peano

Prefácio 1 321 Testes de convergência 53 CAPÍTULO 1 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS apresentação mais detalhada deste conjunto sugerimos a leitura do capítulo 1 de 7 Inicialmente consideraremos três conceitos primitivos Um conjunto cujos elementos são chamados números naturais 1 é um elemento do conjunto dos números naturais Uma função que para cada n no conjunto dos números naturais associa um outro elemento no mesmo conjunto chamado de sucessor de n 111 Axiomas de Peano P1 Dois números naturais que tiverem sucessores iguais são também iguais P2 1 não é sucessor de nenhum número natural P3 Princípio de indução Se S é uma coleção de números naturais tal que i 1 está em S ii O sucessor de cada elemento de S também está em S Então S é o conjunto dos números naturais Introduziremos as seguintes notações matemáticas para facilitar a escrita dos axiomas de Peano N conjunto dos números naturais ε está em n sucessor de n Assim podemos reescrever os axiomas de Peano da seguinte maneira P1 a b N a b a b P2 1 a a N S N P3 i 1 S ii a S a S Vamos definir em N uma operação de adição da seguinte forma N N N a b a b Se an o a e bn o b em mathbbR mostre que i a 1 a ii a b a b A definição acima é uma definição indutiva utilizaremos a seguinte notação 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 3 Uma demonstração em matemática na qual utilizamos o axiom P3 é chamada uma demonstração por indução e seu uso mais comum é dado pelo teorema a seguir Teorema 11 Princípio de indução Seja Pn uma afirmação a respeito dos números naturais tal que i P1 é verdadeira ii Sempre que Pk for verdadeira então Pk 1 é verdadeira para todo k 1 Então Pn é verdadeira para todo n N Demonstração Seja X n N Pn é verdadeira Note que X N por construção e além disso 1 X pois por i P1 é verdadeira Seja a X daí a N e Pa é verdadeira Logo por ii Pa é verdadeira e dá a X Assim pelo axiom P3 X N Isso significa que Pn é verdadeira para todo n N Podemos definir também de maneira indutiva a multiplicação em N da seguinte forma N N N a b a b Mostre que se limn o infty an 0 e bnn geq 1 é uma sequência limitada então lim an bn 0 i a 1 a ii a b a b 1 a b a As operações de adição e multiplicação nos naturais satisfazem as seguintes propriedades Associatividade Para quaisquer a b c N temos a b c a b c a b b a ii Associatividade Para quaisquer a b c N temos a b c a b a c Comutatividade Para quaisquer a b N temos a b b a a b b a Lei do cancelamento Para quaisquer a b c N temos a b a c b c a b a c b c Distributividade Para quaisquer a b c N temos a b c a b a c Tricotomia Dados a b N exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre ou a b ou a b ou b a A seguir vamos demonstrar uma das propriedades acima a associatividade da adição Proposição 11 A adição em N é associativa isto é dados a b N temse a b c a b c Seja p um número real positivo fixado Mostre que 112 Princípio da boa ordenação Seja X um conjunto de números naturais Um número a X é dito o menor elemento de X ou elemento mínimo de X quando a n para todo n X É claro que o menor elemento de um conjunto é único De fato se p q X são menores elementos de X então p q e q p logo p q Teorema 12 PB0 Todo conjunto não vazio S N possui menor elemento Demonstração Seja S N um subconjunto não vazio e defina A n N para todo a n a N então a S Considere a afirmação sobre os números naturais Pn n A Note que P1 é verdadeiro Afirmamos ainda que existe k N tal que Pk é verdadeiro mas Pk 1 não é verdadeiro e neste caso k será o menor elemento de S De fato se para todo k N tal que Pk é verdadeiro tivéssemos Pk 1 verdadeiro então pelo princípio de indução teríamos que Pn é verdadeiro para todo n N isto é teríamos A N e daí S um absurdo Teorema 13 Não existe número natural entre 1 e 2 Demonstração Defina S x N 1 x 2 Por construção S N Agora supomos S daí pelo PBO existe n menor elemento de S Como n 1 existe a N tal que a 1 n Logo a n e pela minimalidade de n em S segue que a 1 ou a 2 Se a 1 então a 2 2 daí n S que é uma contradição ao fato de n ser menor elemento de S Por outro lado se a 2 temos 1 n a 2 a um absurdo pois a 2 a Portanto S e daí não existem naturais entre 1 e 2 Corolário 11 Dado a N não existe número natural entre a e a 1 Demonstração Se a 1 o resultado foi provado no teorema anterior Se a 1 então para a 1 e daí se existisse m N tal que a m a 1 implicaria na existência do natural m a 1 entre 1 e 2 contrariando o teorema anterior 12 Conjuntos enumeráveis Podese dizer que a teoria axiomática dos conjuntos começou com Georg Cantor 1845 1918 por volta de 1872 Ele provou que o conjunto dos racionais tem uma infinidade de elementos a menos que os reais Ou seja ele provou que o infinito de racionais é menor que o infinito de reais Isso o levou a investigar conjuntos infinitos em geral em particular quanto a sua cardinalidade que discutiremos brevemente nesta seção Para mais detalhes veja 1 e sugerimos também o capítulo 4 de 3 que apresenta algumas demonstrações de maneira mais didática Sugerimos fortemente que antes de prosseguir os estudos com os formalismos matemáticos envolvendo a enumerabilidade de conjuntos seja feita uma leitura do artigo Contando infinitos do professor Ledo Vaccaro Machado No texto o professor Ledo apresenta todo o conteúdo que discutiremos nesta seção de uma maneira lúdica e extremamente didática A leitura deste artigo portanto facilitará a compreensão das definições formais que serão apresentadas a seguir Definição 11 Dizemos que os conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade se existir uma aplicação bijetiva f A B Neste caso escrevemos A B A cardinalidade de A é menor ou igual a cardinalidade de B se existir uma aplicação injetiva f A B e daí escrevemos A B Teorema 14 Cantor Qualquer que seja o conjunto A temse A PA em que PA é o conjunto das partes de A O teorema acima nos diz que dado um conjunto A sempre existe outro conjunto A sempre existirá um conjunto A tal que não existe aplicação sobrejetiva de A em PA que também seja injetiva Seja In p N p n um conjunto X dizse finito quando vazio ou existe n N tal que X In Neste caso a cardinalidade de X é n O conjunto X é infinito se não for finito ou seja se ele contém um subconjunto que está em correspondência biunívoca com In Teorema 15 Se A é um subconjunto próprio de In não pode existir uma bijeção f A In Demonstração Suponha que o teorema não seja válido isto é existam n N e A In Considere n0 N o menor natural nessas condições que existe pelo PBO Isto é existe A In e uma bijeção f A In Se n0 A pelo lema anterior existe uma bijeção g A In tal que gn0 n0 Daí g A n0 A n0 In1 é uma bijeção do subconjunto próprio A n0 sobre In1 o que contrariaria a minimalidade de n0 Se n0 A então tome a A tal que fa n0 e a restrição de f ao subconjunto próprio A a In1 será uma bijeção sobre In1 de novo contrariando a minimalidade de n0 Corolário 12 Seja X um conjunto finito Uma aplicação f X X é injetiva se e somente se é sobrejetiva Demonstração Como X é finito existe n N tal que X In isto é existe uma bijeção φ In X Note que f X X é injetiva sobrejetiva se e somente se φ1fφ In In é injetiva sobrejetiva Então vamos considerar f In In Suponha agora f injetiva dai existe uma bijeção f In fIn e sua inversa f1 fIn In logo pelo teorema anterior devemos ter fIn In e daí segue que f é sobrejetiva Suponha agora f sobrejetiva dado para cada x In escolhemos y gx In tal que fy x Dessa forma definimos uma aplicação g In In tal que fgx x para todo x In Dai f é injetiva pela primeira parte da demonstração g é sobrejetiva Assim para provamos que f é injetiva tome y1 y2 In tais que fy1 fy2 Existem x1 x2 In tais que gx1 y1 e gx2 y2 e daí temos x1 fgx2 fy1 fgx1 x2 logo y1 gx1 gx2 y2 Definição 12 Um conjunto X é enumerável quando é finito ou quando X N isto é quando existe uma bijeção de X com algum In ou com N Se X N dizse que X possui cardinalidade ℵ0 lêse alep zero Exemplo 11 O conjunto dos números naturais pares e o conjunto dos números naturais ímpares são enumeráveis Verifique Corolário 13 Seja f X Y injetiva Se Y é enumerável então X também é Em particular todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável Teorema 17 O conjunto dos números reais não é enumerável Demonstração Se R fosse enumerável então o intervalo 0 1 R seria enumerável pelo Corolário 13 já que a inclusão i 0 1 R é uma função injetiva Sendo assim é suficiente mostrar que 0 1 não é enumerável Faça uma conjectura a respeito da soma Sn n 0 n 1 n 2 n n n N c O que ocorre se a1 frac32 ou a1 frac52 Prove que a função f N N N tal que f1 n 2n 1 fm 1 n 2mn 1 é uma bijeção Seja In p N p n Calcule lim an sendo an1 frac31 an3 an n geq 1 A sequência é monótona Para cada n N seja Pn X N X n Prove que Pn é enumerável Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N é enumerável CAPÍTULO 2 NÚMEROS REAIS c Conclua que ann geq 1 é de Cauchy porém não converge para um número racional Sejam Y enumerável e f X Y tal que para cada y Y f1y é enumerável Prove que X é enumerável um conjunto de objetos chamados números reais e denotado por R d Seja ann geq 1 uma subsequência de an Se lim an a então lim an a Mostre que todo conjunto finito possui máximo II Axiomas da multiplicação Para quaisquer a b c R temos O que significa dizer que a série sumn1infty an é convergente Prove que o conjunto PN de todos os subconjuntos dos naturais não é enumerável b Mostre utilizando uma série numérica que 0666ldots frac23 Mostre que todo conjunto infinito possui um subconjunto infinito enumerável Proposição 23 A relação é transitiva Considere a série numérica sumn1infty fracnkn onde k é uma constante real positiva Discuta a convergência ou divergência da série em termos do parâmetro k Construa uma bijeção do intervalo 01 na reta Observação 23 Uma relação de ordem estrita é apenas transitiva b A série sumn1infty an converge Um número real r chamase algébrico quando existe um polinômio fx a0 a1x anxn não identicamente nulo com coeficientes inteiros tal que fr 0 Demonstr ação Suponha a 0 daí 23 Valor absoluto Mostre que o termo geral da série sumn1infty sqrtn 1 sqrtn tem limite igual a zero A série dada converge Seja X o complementar de um conjunto enumerável de números reais Mostre que para cada intervalo aberto ab a interseção ab X é não enumerável VA8 Sejam a x R com a 0 então x a a x a c O que se pode afirmar sobre a série sumn1infty an Defina uma função sobrejetiva f N N tal que para todo n N o conjunto f1n seja infinito Denotamos o supremo de A por supA i A sequência snn geq 1 definida para n in mathbbN por sn a1 cdots an é limitada Obtenha uma decomposição N X1 X2 Xn tal que os conjuntos X1 X2 Xm sejam infinitos e dois a dois disjuntos Exemplo 21 Vamos analisar o intervalo 0 5 x ℝ 0 x 5 Temos Hilbert observou que um hotel com um número infinito de quartos sempre pode acomodar mais hóspedes mesmo se tivermos uma infinidade de novos hóspedes e que os quartos do hotel já estejam ocupados Explique como fazer isso Logo é suficiente escolhermos n ℕ que satisfaça Logo deveríamos ter c² 2 Como estamos supondo c ℚ temos que c ab com a e b primos entre si Daí função f N R vamos construir uma sequência decrescente de intervalos limitados e fechados I1 I2 In tais que fn In Daí se c é um número real pertencente a todos os In que existe pelo teorema anterior nenhum dos valores fn pode ser igual a c logo f não é sobrejetora Para encerrar a prova vamos construir os intervalos da seguinte forma seja I1 a1 b1 tal que f1 a1 e suponha que já temos I1 I2 In tais que fj Ij Se fn In tomamos In1 In Se fn 1 In pelo menos um dos extremos por exemplo an é diferente de fn 1 isto é an fn 1 Neste caso tomamos In1 an1 bn1 como an1 an e bn1 fn 1 an 2 2 a1n a1 b1 fn 1 an Teorema 24 O conjunto N dos números naturais não é limitado superiormente Demonstração Suponha que N seja limitado superiormente Além disso é claro que N R e N daí pelo postulato de Dedekind existe α R tal que α supN Dado ε 0 α ε é cota superior de N pois α é a menor cota superior Logo existe n N tal que α ε n Se tomarmos por exemplo c 1 temos α n 1 N um absurdo pois α supN Portanto N não é limitado superiormente Corolário 22 Dado ε 0 real existe n0 N tal que 1 n0 ε equivalente existe n0 N tal que n0 1 ε De uma maneira geral temos que um corpo K qualquer é dito ordenável 3 Mostre que nenhum corpo finito é ordenável 4 Para qualquer x y z R prove que x z x y y z 5 Prove que x y x y para quaisquer x y R 6 Sejam a b números reais positivos Mostre que existe um e somente um número natural m tal que m 1a b ma Considero o conjunto 1m 1n m n N Prove que 1 e 1 são o ínfimo e o supremo deste conjunto respectivamente e que eles não pertencem ao conjunto Mostre que a equação x² 5 tem uma única raiz real positiva O estudo de sequências e séries foi impulsionado por Newton e Leibniz no século XVII antes da matemática moderna Eles desenvolveram representações de séries para funções Uma sequência de números reais é uma função s N R que associa a cada número natural n um número real an chamado o nésimo termo da sequência 311 Sequências convergentes Dizemos que a R é limite da sequência an quando para todo real ε 0 podemos obter um n0 N tal que sempre que n n0 temos an a ε Exemplo 35 an an k k R Mostremos que lim an k Demonstração Suponha an ℓ1 e an ℓ2 com ℓ1 ℓ2 Tome ε ¹₂ℓ1 ℓ2 0 Pela definição de limite existem n1 n2 ℕ tais que n n1 an ℓ1 ε e n n2 an ℓ2 ε Daí n maxn1 n2 ℓ1 ℓ2 ℓ1 an an ℓ2 ℓ1 an an ℓ2 2ε ℓ1 ℓ2 que é um absurdo Portanto ℓ1 ℓ2 Exemplo 37 A sequência bnn1 7 11 15 19 15 7 15 26 27 é subsequência da sequência an 3 7 11 15 19 15 7 15 26 27 b1 a2 b2 a3 bn an1 Exemplo 38 Dado o número real α 1 considere a sequência annℕ Sejam N1 ℕ o conjunto dos números naturais pares e ℕC o conjunto dos números naturais ímpares Daí a subsequência annℕ é limitada apenas inferiormente e a subsequência annℕ é limitada apenas superiormente Teorema 32 Se liman a então toda subsequência de ann1 converge para o limite a Demonstração Dado ε 0 como an a existe um natural n0 tal que an a ε para n n0 Dada uma subsequência akk2 de ann1 com n1 n2 n3 existe um índice n1 tal que nj n0 para j 2 portanto para tais j temos aj a ε Logo an a Logo pelo Teorema 22 existe infB m ℝ Vamos construir umas subsequência anj de an convergindo para m isto é anj m Uma sequência ann1 é dita uma sequência de Cauchy se dado ε 0 existe n0 ℕ tal que se m n n0 então an am ε Proposição 33 Critérios de convergência de Cauchy Uma sequência de números reais an é convergente se e somente se an é sequência de Cauchy Corolário 33 Seja a lim an e b lim bn Se an bn para todo n n0 então a b Em particular se an b para todo n n0 então lim an b Teorema 36 Teorema do confronto Se lim an lim bn a e an cn bn para todo n n0 então lim cn a Demonstração Dado ε 0 existem n1 n2 ℕ tais que n n1 an a ε a ε an a ε e n n2 bn a ε b ε bn b ε Seja nε maxn0 n1 n2 Dá n n2 a ε an cn bn a ε a ε cn a ε logo lim cn a Dada uma sequência an dizemos que o limite de an é mais infinito e escrevemos lim an se para todo A 0 existe n0 ℕ tal que n n0 então an A Analogamente lim an se para todo A 0 existe n0 ℕ tal que n n0 então an A Teorema 37 Sejam ann1 e bnn1 sequências de números reais i Se lim an e bn é limitada inferiormente então liman bn ii Se lim an e bn é limitada inferiormente por um real positivo então limanbn iii Se an c 0 bn 0 para todo n ℕ e lim bn 0 então lim anbn iv Se an é limitada e lim bn então lim anbn 0 315 Mais alguns exemplos Exemplo 312 Considere a sequência ann1 definida recursivamente por a1 3 an1 2 an 5 Assim os três primeiros de an serão a1 3 a2 2 a1 5 a3 2 2 a2 5 Vamos provar por indução que an é decrescente O primeiro passo de indução é claro observando os elementos acima Agora vamos supor que ak ak1 e provar que ak1 ak2 Temos ak ak1 ak 5 ak 5 ak 2 ak1 5 2 ak 5 ak1 Portanto an é decrescente Logo an é limitado superiormente por a1 E ainda para todo n 1 an 2 an1 5 Então pelo Teorema da convergência monótona an converge Seja p seu limite e vamos determinar p lim an1 lim 2 an 5 p 2 p 5 p 2 p 5 p 1 2 Exemplo 313 Considere a sequência ann1 dada por 2 2 2 2 2 2 a1 2 a2 2 a1 a3 2 a2 an1 2 an Vamos mostrar que an é crescente De fato 0 2 2 2 2 2 2 2 a1 a2 Suponha por hipótese de indução que ak ak1 Daí temos ak ak1 ak 2 ak 2 ak1 ak1 ak2 Mostremos agora que an é limitada Como an é crescente então é limitada inferiormente por a1 2 4 Suponha por hipótese de indução que ak 4 Daí ak 4 2 ak 6 2 ak 6 ak1 4 Pelo Teorema da convergência monótona an é convergente Seja c lim an Então lim an1 lim 2 c c 2 c Sabese c 2 Exemplo 314 Considere a sequência ann1 dada por 3 5 7 O termo geral da sequência é an 2n 1 A sequência an diverge para mais infinito De fato dado A 0 como N é ilimitado existe n0 ℕ tal que n0 A 2 Daí se n n0 temos 2n 1 2n0 1 n0 Vejamos um exemplo 10 1 9 10 1 364 10 1 216 10 1 157 10 1 058 10 1 016 10 1 006 10 1 tn tn 0 n 2 Mostremos que a sequência tnn2 é tal que tn 0 Note que 10 1 tn 100 1 tn2 1 tn 1 tn 100 Dado ε 0 tome n0 N tal que 1 n0 ε 99 daí se n n0 tn 0 tn tn 99 n Portanto tn 0 e dá 100n2 converge para 1 Se a 1 a 1 Se a 1 a 1 Se a 0 a 0 Se 0 a 1 a 1 faça um exemplo para se convencer Exemplo 317 A sequência nn1 converge para 1 Verifique Exemplo 318 Considere a sequência 1 2nn2 Observe que 2 2n 1 2n 2 2n 2 2 Pelo Exemplo 316 2 1 logo 2 2 2 portanto pelo Teorema do confronto lim 1 2n 2 32 Sérios numéricos Seja ann1 uma sequência A série n1 an ou simplesmente n1 an é a sequência snn1 onde sn a1 a2 an para n 1 O número real sn é denominado a nésima soma parcial da série n1 an e dizemos que tal série converge para s R se a sequência snn1 de suas somas parciais converge para s Nesse caso dizemos que a série é convergente e que s é a soma da série e escrevemos n1 an s Se uma série não é convergente dizemos que ela é divergente Observe que se k R 0 então n1 an converge se e somente se n1 kan converge De fato n1 kan lim n k n1 aj k lim n n1 aj k n1 an Vejamos o que ocorre se temos a soma de duas séries Considere as séries n1 an e n1 bn e sejam snn1 e tnn1 suas respectivas sequências de somas parciais A série soma das séries dadas será n1 an bn onde a sequência de somas parciais é dada por xnn1 com xn sn tn Assim dáse sn s e tn t então xn s t Portanto utilizando os resultados de convergência de sequências vistos na seção anterior temos o seguinte quadro resumo da convergência da série soma converge diverge converge converge diverge diverge conv ou div Exemplo 319 Série geométrica Considera a série n0 an 1 a a2 a3 Seja snn1 a sequência de somas parciais Vejamos se sn converge ou diverge sn1 1 a a2 a3 an3 an1 asn1 a a2 a3 an2 an Subtraindo a segunda da primeira linha acima temos sn11 a 1 an sn1 1 an 1 a logo sn 1 1 a an1 1 a a 1 e dá que sn converge se e somente se an converge Dáí pelo Exemplo 315 se a 1 então n0 an converge e lim sn 1 1 a Portanto n0 an 1 1 a Exemplo 320 Dízima periódica Considere a dízima periódica 0444 04 004 0004 Ou seja estamos considerando a série n1 4 10n e n1 4 10n1 que é uma série geométrica de razão 1 10 que está entre 0 e 1 Logo a série converge e pelo exemplo anterior 0444 4 n1 10n 4 1 1 1 10 4 10 9 4 10 9 4 0444 4 Teorema 38 Critério de convergência do termo geral Se n1 an é convergente então lim an 0 Seja s lim sn daí s lim sn1 mas sn1 sn an1 e portanto lim sn1 lim sn lim an1 lim an lim an1 s s 0 O principal uso do teorema acima está na sua contrapositiva ou seja se lim an 0 ou lim an não existe então n1 an diverge A reciprocá de Teorema 38 não é válida ou seja podemos ter uma série cujo limite do termo geral tende a zero porém a série não converge como veremos no exemplo abaixo Exemplo 321 Série harmônica A série harmônica é a série n1 1an b vamos considerar aqui um caso particular da série harmônica a série n1 1n 1 12 13 Observe que 1n 0 mas provaremos que a série não converge De fato seja sn a sequência das somas parciais e note que 1 s1 s2 1 12 s3 sn sn1 logo sn é uma sequência crescente sn não é limitada superiormente logo sn diverge Daí n1 1n diverge Teorema 39 A série n1 an converge se e somente se para todo ε 0 existir n0 ℕ tal que mjn1 aj ε para todos m n n0 Demonstração A série n1 an converge se e somente se sua sequência de somas parciais sn converge ou seja se e somente se sn é de sequência de Cauchy equivalentemente dado ε 0 existe n0 ℕ tal que seja m n n0 em particular m n n0 temos sm sn ε mjn1 aj ε Exemplo 323 Vamos utilizar o teorema anterior para mostrar novamente que a série harmônica 1n diverge De fato dado ε 12 para qualquer n0 ℕ tome n n0 e m 2n dai mjn 1j mjn 1j 1n 12n 12n ε 321 Testes de convergência Teorema 310 Teste de comparação Sejam n1 an e n1 bn duas séries com termos gerais an bn e bn 0 Se n1 an é majorada por n1 bn isto é existe n0 ℕ tal que para todo n n0 an bn e n1 bn converge então n1 an converge Como n1 an é majorada por n1 bn existe n2 ℕ tal que se n n2 então an bn Tome n0 maxn1 n2 dai se m n n0 temos mjn1 aj mjn1 aj mjn1 bj ε Logo a sequência das somas parciais de n1 an é de Cauchy e portanto converge Corolário 34 Nas condições do teorema anterior se n1 an diverge então n1 bn diverge Exemplo 324 Série p A série n1 1np para p ℝ diverge se 0 p 1 De fato dai n1 1np é majorante de n1 1n que é divergente logo n1 1np diverge Proposição 34 Critério das séries alternadas Leibniz Se ann1 é uma sequência não crescente de reais positivos tal que an 0 então a série n1 1n1an é convergente Demonstração Seja sn a sequência das somas parciais de n1 1n1an Vejamos alguns termos da sequência sn s1 a1 s2 a1 a2 s3 a1 a2 a3 s4 a1 a2 a3 a4 s5 a1 a2 a3 a4 a5 Como an é não crescente s1 s2 s3 s6 s4 s2 Por outro lado para cada m ℕ temos s2m1 s2m a2m 0 Logo sn é de Cauchy e portanto convergente Exemplo 325 Considera a série n1 1n1n Note que 1n 0 para todo n ℕ lim an 0 1n é não crescente Portanto pelo critério das séries alternadas a série n1 1n1n converge Teorema 311 Se n1 an converge absolutamente então n1 an converge Exemplo 327 Considera a série n1 3 sen nn² Note que 3 sen nn² 3 sen n 4n² n 1 Logo n1 3 sen nn² é majorada pela série n1 4n² que é convergente Logo n1 3 sen nn² converge A recíproca do Teorema 311 não é verdadeira De fato n1 1nn converge como vimos no Exemplo 325 porém n1 1n diverge onde b é um número real tal que ℓ b e n n₀ Daí para todo n n₀ temos an1 ban isto é an₀1 ban₀ an₀2 ban₀1 b²an₀ an₀p bpan₀ Logo p1 an₀p é majorada por p1 an₀bp que é uma série geométrica de razão b com 0 b 1 portanto convergente Logo pelo teste de comparação n1 an converge a uma sequência monótona que não é convergente 12 Uma sequência ann geq 1 satisfaz 7an1 an3 6 para n geq 1 e A sequência ann geq 1 onde an fracnn2 converge para 1 1 frac12 frac13 frac14 frac15 frac15 frac26 cdots possui termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende a zero Entretanto é divergente Por que isso não contradiz o Teste de Leibniz CAPÍTULO 4 ii b1 geq b2 geq b3 dots 0 e bn o 0 y x r x x 3 y 3 Portando y 3 7 e dai x r x r 3 7 Proposição 41 Se A e B são abertos então A B é aberto Demonstração Se A B nada temos a fazer pois já é aberto Do contrário se A B seja a A B Daí a A que é aberto por hipótese r 0 a r a r A a B que é aberto por hipótese s 0 a s a s B Seja e minr s Daí se y a e a e então a r a e y a e a r y A e a s a e y a e a s y B Portando y A B e dai a e a e A B Mais geral se A₁ A₂ Aₙ são conjuntos abertos então ₖ1ⁿ Aₖ é um conjunto aberto Proposição 42 Se A₀ é aberto para todo α em uma família I de índices ₐ Aₐ é aberto Demonstração Se x ₐ Aₐ então x Aₐ para algum β Γ Como Aₐ é aberto existe r 0 tal que x r x r Aₐ ₐ Aₐ Portanto ₐ Aₐ é aberto Exemplo 44 O intervalo 1 3 x ℝ 1 x 3 é um conjunto fechado De fato 1 3ᶜ 1 3 é aberto 1 3 é fechado Proposição 43 Todo conjunto finito é fechado Demonstração Seja A a₁ a₂ aₙ ℝ Mostremos que Aᶜ é aberto Seja p Aᶜ e considere ε minp a₁ p a₂ p aₙ Daí p ε p ε Aᶜ e portanto Aᶜ é aberto De fato se y p ε p ε então p ε y p ε Se y não pertencesse a Aᶜ então y pertenceria a A logo y aᵢ para algum i 1 n Isto é p ε aᵢ p ε ε p aᵢ ε p aᵢ ε Absurdo pois ε p aᵢ para todo i 1 n Proposição 44 Se A e B são fechados então A B é fechado Demonstração Se A e B são fechados então Aᶜ e Bᶜ são abertos Logo utilizando a lei de De Morgan da teoria dos conjuntos e a Proposição 41 temos que A Bᶜ Aᶜ Bᶜ é aberto A B é fechado Definição 42 Sejam A ℝ e p ℝ Dizemos que p é ponto aderente a A se para todo ε 0 p ε p ε A Equivalentemente p é aderente a A se p é limite de alguma sequência de pontos ζₙ A Exemplo 45 A 1 2 3 0 não é aderente a A pois 0 12 0 12 A 3 é ponto aderente a A pois para qualquer ε 0 3 ε 3 ε A já que 3 3 ε 3 ε A 2 é ponto aderente a A pois para qualquer ε 0 2 ε 2 ε A 1 é ponto aderente a A pois para qualquer ε 0 1 ε 1 ε A A O conjunto dos pontos aderentes a A é chamado fecho de A e é denotado por A Proposição 45 Seja A ℝ O conjunto A fechado se e somente se A A Demonstração Suponha A ℝ fechado É claro que A A Resta mostrarmos que A A Dado a A se a não pertence a A então teríamos a Aᶜ que é aberto já que A é fechado Logo existiria r 0 tal que a r a r Aᶜ e dai a r a r A um absurdo já que a A Reciprocamente dado a Aᶜ a A A Logo existe ε 0 tal que a ε a ε A Portanto Aᶜ é aberto e então A é fechado Teorema 41 Dados X R e a R as seguintes afirmações são equivalentes i a é um ponto de acumulação de X ii a é limite de uma sequência de pontos ann1 com an X a iii Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X Demonstração Vamos provar a seguinte sequência de implicações iii i ii iii Observe que não temos nada a provar em iii i pois segue direto da definição de ponto de acumulação Mostremos que i ii Como a é ponto de acumulação de X então a ϵ a ϵ X a para todo ϵ 0 Daí para cada n ℕ escolhemos um an a 1n a 1n X a e com esse processo construímos uma sequência ann1 de pontos de X a tais que an a 1n Logo an a Para mostrar que ii iii considere um intervalo aberto centrado em a a ϵ a ϵ ϵ 0 Como an a para tal ε existe n0 ℕ tal que n n0 então an a ε isto é an a ϵ a ϵ Se tivéssemos um número finito de an satisfazendo tal condição existiria um an que se repetiria infinitas vezes e daí a sequência ficaria constante com limite an a ϵ Uma contradição Definição 45 Um conjunto X R chamase compacto quando é limitado e fechado Exemplo 48 Todo conjunto finito é compacto Exemplo 49 Para todos a b R a b o intervalo a b é compacto embora a b não é compacto Teorema 42 Um conjunto X R é compacto se e somente se toda sequência de pontos em X possui uma subsequência que converge para um ponto de X Demonstração Se X R compacto toda sequência de pontos em X é limitadaLogo pelo Teorema de BolzanoWeierstrass possuirá uma subsequência convergente Seja p o limite dessa subsequência Dai p é aderente a X Mas X é fechado logo p X compacto Reciprocamente seja X R um conjunto tal que toda sequência de pontos an X possuí uma subsequência que converge para um ponto de X X é limitado do contrário para cada n ℕ poderíamos encontrar an X com an n A sequência an neste caso não possuiria subsequência limitada logo não teria subsequência convergente E ainda X é fechado do contrário existiria a X X com a lim an onde cada an X A sequência an não possuiria então subsequência convergente para um ponto de X Portanto X é compacto Definição 46 Seja A R Dizemos que um conjunto A Aα Aα é conjunto aberto é uma cobertuta para A se A α Aα Exemplo 410 A n n 2 n ℕ 0 é uma cobertura para o conjunto dos números reais positivos Definição 47 Dada uma cobertuta A de um conjunto A R dizemos que uma subfamília A de A ainda é uma cobertuta para A uma subcobertura para A E ela é dita subcobertura finita quando escolhemos uma subcoleção finita de abertos da família A Teorema 43 BorelLebesgue Toda cobertuta por abertos de um conjunto compacto possui uma subcobertura finita Reciprocamente se toda cobertuta por abertos de um conjunto X R possui uma subcobertura finita então X é compacto 41 Exercícios 1 Mostre que se Fα é fechado para todo α Γ então αΓ Fα é fechado 2 Sejam F R e xnn1 uma sequência de pontos de F Suponha xn p Mostre que se F é fechado então p F 3 Suponha que F seja um conjunto fechado que contenha todos os racionais do intervalo 1 3 Mostre que F contém todo o intervalo 1 3 4 Mostre que p A se e somente se existe xnn1 tal que xn A e xn p 5 Se A é um subconjunto dos reais limitado e não vazio mostre que ε inf A e sup A são pontos aderentes de A Conclua que se X é compacto então X possui elemento máximo e elemento mínimo 6 Sob que condição sup A é ponto de acumulação de A 7 Mostre que X 1n n ℕ não é compacto 8 Mostre que X 0 1 12 1n n ℕ é compacto CAPÍTULO 5 FUNÇÕES Exemplos 51 52 53 A noção de limite é local logo para os resultados vistos valerem é suficiente que exista uma vizinhança de a em que as condições dos resultados sejam satisfeitas Definição 51 Sejam f X R e a R tal que Xaac para todo ε 0 Dizemos que L R é limite à direita de fx quando x tende para a e escrevese L lim fx quando para todo ε 0 existe δ 0 tal que se x X e 0 xa δ então fxL ε Definição 52 Sejam f X R e a R tal que X a ε a para todo ε 0 Dizemos que L R é limite à esquerda de fx quando x tende para a e escrevese L limx a fx quando para todo ε 0 existe δ 0 tal que se x X e a δ x a 0 então fx L ε isto é limx a fx L ε 0 δ 0 x X a δ a fx L ε Dado a X existe limx a fx L se e somente se existem e são iguais os limites laterais limx a fx limx a fx L Exemplo 54 R R a função menor inteiro isto é para cada x R x maior inteiro menor ou igual a x Por exemplo 2 2 19 1 23 0 51 5 Note que se a Z se a Z Definição 53 Seja X R ilimitado superiormente Dada f X R escrevese fx L quando o número real L satisfaça ε 0 A 0 x X A então fx L ε Analogamente se X R é ilimitado inferiormente fx L ε 0 A 0 x X A então fx L ε Exemplo 55 limx 1x limx 1x 0 ε² 0 mas lim ex² não existe no sentido da definição dada anteriormente Definição 54 Sejam X R a X f X R limx a fx quando para todo A 0 existe δ 0 tal que se x X e 0 xa δ então fx A limx a fx quando para todo A 0 existe δ 0 tal que se x X e 0 xa δ então fx A