Derivadas de Funções Reais de Uma Variável Real - Análise e Propriedades

Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Analise Real Matematica 2022 Marcos Roberto Teixeira Primo Universidade Estadual de Maringa Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Aula 13 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis 3 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Neste capıtulo vamos obter o conceito de derivada de funcoes reais de uma variavel real estudar suas principais propriedades e algumas de suas principais aplicacoes 32 Operacoes com Funcoes Derivaveis Nesta secao vamos demonstrar as regras operacionais para derivadas de funcoes reais de uma variavel real e utilizalas para calcular a derivadas de algumas funcoes importantes Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Teorema 131 Sejam X um subconjunto nao vazio f X R R e g X R R duas funcoes definidas no subconjunto X e a X X Se f e g sao derivaveis em a X e entao 1 f g e derivavel em a X e f ga f a g a 2 f g e derivavel em a X e f ga f a g a 3 f g e derivavel em a X e fga f aga f ag a 4 se ga 0 f g e derivavel em a X e f g a f aga f ag a ga2 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Demonstracao A demonstracao dos itens 2 e 3 ficam como exercıcio Faremos as demonstracoes dos itens 1 e 4 Para o item 1 temos que f a lim h0 f a h f a h e g a lim h0 ga h ga h Devemos mostrar que f ga lim h0 f ga h f ga h f a g a Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Temos que f ga lim h0 f ga h f ga h lim h0 f a h ga h f a ga h lim h0 f a h ga h f a ga h lim h0 f a h f a h ga h ga h lim h0 f a h f a h lim h0 ga h ga h f a g a Assim f g e derivavel e a X e f ga f a g a provando o item 1 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Para o item 4 observemos inicialmente que como g e derivavel em a X entao g tambem e contınua em a X isto e lim h0 ga h ga Como ga 0 entao para h proximo de 0 temos que ga h 0 isto e existe δ 0 tal que h δ δ e a h X ga h 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Assim f g a lim h0 f g a h f g a h lim h0 f ah gah f a ga h lim h0 f ahgaf agah gahga h lim h0 f ahgaf agaf agaf agah gahga h lim h0 f ahf agaf agagah gahga h lim h0 f a h f a ga hgah ga lim h0f a ga ga h ga hgah lim h0f a h f a h ga ga hga lim h0 f a ga hga ga ga h h f aga ga2 f ag a ga2 f aga f ag a ga2 mostrando que f g a f aga f ag a ga2 e completando a prova do teorema Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Exemplo 132 Vamos calcular as derivadas de f X R R onde 1 X R 0 e f x xn para todo n N 2 X R e f x a0 a1x a2x2 anxn onde n N e a0 a1 an R 3 X x R x π 2 kπ k Z e f x tg x Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis De fato Para o item 1 se x 0 temos que f x f x d dx 1 xn d dx 1xn 1 d dx xn xn2 0 xn 1nxn1 x2n nxn1 x2n nxn12n nxn1 O item 2 e imediato Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Para o item 3 se x π 2 kπ k Z temos que f x d dx sen x cos x d dx sen x cos x sen x d dx cos x cos x2 cos x cos x sen xsen x cos x2 cos x2 sen x2 cos x2 1 cos x2 sec x2 Portanto se f x tg x entao f x sec x2 para todo x π 2 kπ com k Z Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Teorema 133 Regra da Cadeia Sejam f X R R e g Y R R duas funcoes tais que f x Y a X X b f a Y Y f derivavel em x X g derivavel em b f a Y Entao a funcao composta g f X R R definida por g f x gf x x X e derivavel em a X e g f a g f af a Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Demonstracao Temos que g f gf a b f a a R g Y R f X R Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Observemos inicialmente que para todo h R temos que g f a h g f a gf a h gf a gf a f a h f a gf a g f af a h f a rgf a h f a g f af ah rf h rgf a h f a g f af ah g f arf h rgf a h f a onde lim k0 rgk k 0 e lim h0 rf h h 0 pois f e derivavel em a X R e g e derivavel em b f a Y R Assim g f sera derivavel em a X R e g f a g bf a se provarmos que lim h0 rh h lim h0 g f arf h rgf a h f a h 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis De fato Seja ε 0 Como f a g f a R existem constantes C1 C2 0 tais que f ah C1h e g f ak C2k para todos h R e k R A derivabilidade de f de em a implica que existe δ1 0 tal que h δ1 rf h ε 2C2 h 131 Por outro lado a derivabilidade de g em f a implica que existe δ2 0 tal que k δ2 rgk εk 2C1 1 132 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis A continuidade de f em a implica que existe δ3 0 tal que h δ3 f a h f a δ2 133 Novamente a derivabilidade de f em a X R implica que existe δ4 0 tal que h δ4 f ahf a f ahf af ahf ah 1C1h 134 Assim tomando δ minδ1 δ2 δ3 δ4 131 132 133 e 134 implicam que h δ rh ε1 C1h 2C1 1 εC2h 2C2 εh provando a derivabilidade de g f em a X R e que g f a g f af a completando a demonstracao do teorema Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Exemplo 134 Consideremos gi go RR Se x xsen sex 0 1 0 sex 0 vamos calcular a derivadas de g ema 0 ae 2 1 a xsen sex 0 2 0 sex 0 vamos calcular a derivadas de gx ema 0 Vamos agora utilizar a regra da cadeia para calcular a derivada da inversa de uma fundo Para isso seja f X C R Y C Ruma fungao bijetora Entao existe 1 frYCROXCR 1 yoyf y tal que e fof y y para todo y Y e f1o fx x para todo x X Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Supondo que f seja derivavel em x X e f 1 seja uma funcao derivavel em y f x Y a regra da cadeia implica que 1 d dx x d dx f 1 f x f 1f xf x para todo x X Se adicionalmente f x 0 x X entao f 1f x 1 f x para todo x X tais que f e derivavel em x X f 1 e derivavel em y f x Y f x 0 para x X Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Corolario 135 Derivada da Funcao Inversa Seja f X R Y R uma funcao bijetora tal que a X X f e derivavel em a X f 1 e contınua em b f a Y f x 0 para x a b Entao f 1 Y R XR e derivavel em b f a Y se e somente se f a 0 Nesse caso f 1f a 1 f a Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022 Derivadas de Funcoes Reais de Uma Variavel Real Operacoes com Funcoes Derivaveis Exemplo 136 Consideremos g1 g2 0 R R 1 Se g1x nx para todo n N e x 0 vamos calcular a derivadas de g1 em a 0 2 Se g2x nxm para todo n m N e x 0 vamos calcular a derivadas de g2 em a 0 Marcos Roberto Teixeira Primo Analise Real II Matematica 2022