Analise Real - Somas Superiores e Inferiores - Integral de Riemann

Professora Érica Macêdo Semestre 20241 Data 13062024 Estudante ROTEIRO DE ESTUDOS 07 ANÁLISE REAL Somas Superiores e Inferiores Definição 1 Uma partição P do intervalo a b é uma coleção de n 1 pontos do intervalo a b ou seja pontos t0 a t1 t2 tn1 tn b que dividem esse intervalo em n partes não necessariamente iguais Escrevemos P t0 t1 t2 tn1 tn Definição 2 Dada uma partição P t0 t1 t2 tn1 tn do intervalo a b definimos m1 inffx x t0 t1 m2 inffx x t1 t2 mn inffx x tn1 tn M1 supfx x t0 t1 M2 supfx x t1 t2 Mn supfx x tn1 tn Definição 3 Seja f a b ℝ limitada e P uma partição do intervalo a b A soma inferior de f em relação a P é o número real sf P m1Δt1 m2Δt2 mnΔtn Analogamente a soma superior de f em relação a P é o número real Sf P M1Δt1 M2Δt2 MnΔtn Definição 4 Seja f a b ℝ limitada e P uma partição do intervalo a b Definimos a integral inferior de f como o supremo das somas inferiores sf P da função f para todas as partições P do intervalo Simbolicamente a até b fxdx supsf P P partição de a b Definição 5 Seja f a b ℝ limitada e P uma partição do intervalo a b Definimos a integral superior de f como o ínfimo das somas superiores Sf P da função f para todas as partições P do intervalo Simbolicamente a até b fxdx infSf P P partição de a b Definição 6 Considere f a b ℝ uma função limitada Se a até b fxdx a até b fxdx dizemos que a função f é integrável em a b Esse valor em comum é definido como a integral de Riemann da função f Notação a até b fxdx Teorema 1 Fundamental do Cálculo Seja f a b ℝ uma função integrável que possui uma primitiva Fx Então temse que a até b fxdx Fb Fa Questões Neste roteiro abordaremos as somas superiores e inferiores e a integral de Riemman Use o applet do Geogebra para comparar os resultados obtidos lá você pode inserir qualquer função real com valores iniciais e finais nos intervalos de 20 20 e número de retângulos da partição entre 0 e 100 Use os botões soma superior e soma inferior para visualizar a partição e os retângulos httpswwwgeogebraorgmRWC7EvxF Questão 1 Considere a função f 1 5 ℝ dada por fx ex Considere a partição P1 que divide 1 5 em 5 subintervalos e a partição P2 que divide 1 5 em 8 subintervalos a A partição P1 refina a partição P2 b Calcule a soma superior e inferior de f em relação a P1 c Calcule a soma superior e inferior de f em relação a P2 d O que acontece quando comparamos as duas somas superiores e inferiores a Não Neste caso é a partição P2 que refinaria P1 pois poderíamos ter as partições satisfazendo P2 P1 e não o contrário b Vamos inicialmente determinar a partição P1 aqui tratase de uma sugestão pois poderíamos tomar valores diferentes Seja P1 t0 1 t1 15 t2 2 t3 3 t4 4 t5 5 A soma inferior será dada por sf P Σ i1 até 5 mi Δti f1 05 f15 05 f2 1 f3 1 f4 1 e1 05 e15 05 e2 1 e3 1 e4 1 85 67 a soma superior será dada por Sf P Σ i1 até 5 Mi Δti f15 05 f2 05 f3 1 f4 1 f5 1 e15 05 e2 05 e3 1 e4 1 e5 1 229 03 c Vamos inicialmente determinar a partição P2 aqui tratase de uma sugestão pois poderíamos tomar valores diferentes e será escolhida uma partição que refine P1 ou seja que satisfaça P2 P1 Seja P2 t0 1 t1 15 t2 2 t3 25 t4 3 t5 35 t6 4 t7 4 5 t8 5 A soma inferior será dada por sf P Σ i1 até 8 mi Δti f1 05 f15 05 f2 05 f25 05 f3 05 f35 05 f4 05 f45 05 e1 05 e15 05 e2 05 e25 05 e3 05 e35 05 e4 05 e45 05 112 29 a soma superior será dada por Sf P Σ i1 até 8 Mi Δti f15 05 f2 05 f25 05 f3 05 f35 05 f4 05 f45 05 e1 05 e15 05 e2 05 e25 05 e3 05 e35 05 e4 05 e45 05 f5 1 185 14 d A soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta Questão 2 Calcule a integral superior e a integral inferior da função fx x 3 no intervalo 0 2 Sugestão aqui você precisa calcular o limite das somas superiores e das somas inferiores Use uma partição que divida este intervalo em n pedaços A partição terá subintervalos de comprimento 2n pois para dividir um intervalo a b em n pedaços iguais cada pedaço terá comprimento Δt b an Observe que aqui a função fx x 3 é decrescente Veja que de acordo com a sugestão a partição será dada por P t0 0 t1 2n t2 4n tn 1 2n1n tn 2nn 2 Assim sf P Σ i1 até n mi Δti 2n 3 2n 2nn 3 2n 2n 2n 3 4n 3 2nn 3 2n 3n 1n2 4 2n 2n 3n 1n n2 2n 2n 4 Logo a integral inferior será a0 até b2 fxdx supsfP lim n 4 4 Já para a integral superior teremos Sf P Σ i1 até n Mi Δti 3 2n 2n 3 2n 2n1n 3 2n 2n 3 2n 3 4n 3 2n1n 3 2n 3n 1n2 4 2n1 2n 2n2 4 4n Logo a integral superior será a0 até b2 fxdx infSfP lim n 4 4n 4 Obs Aqui nós usamos a soma dos primeiros número pares 2 4 6 2n n2 Questão 3 Usando as somas superiores e inferiores mostre que a função fx x2 é integrável no intervalo 0 2 e calcule seu valor Considere a partição dada por P t0 0 t1 2n t2 4n tn 1 2n1n tn 2nn 2 OBS Aqui nós usaremos a soma dos quadrados dos primeiros números pares 22 42 62 2n2 2nn12n 13 Assim sf P Σ i1 até n mi Δti 02 2n 2n2 2n 4n2 2n 2n1n2 2n 0 22n2 2n 42n2 2n 22n12n2 2n 2n22n2 42n2 22n12n2 2n 1n2 22 42 22n12 2n 1n2 2nn12n13 2n 1n2 4n3 6n2 2n3 83 4n 43n2 Logo a integral inferior será ab fxdx supsfP limn 83 4n 43n2 83 Já para a integral superior temos SfP i1n MiΔti 2n 22n 4n 22n 2n 1n 2 2n 2n 2nn 22n 22n2 2n 42n2 2n 22n 12n2 2n 2n2n2 2n 2n 22 42 22n 12 2n2 n2 2n 1n2 22 42 2n2 2n 1n2 2nn 12n 1 3 2n 1n2 4n3 6n2 2n 3 83 4n 43n2 Logo a integral superior será ab fxdx infSfP limn 83 4n 43n2 83 Como a integral superior e a integral inferior são iguais temos que a função é integrável no intervalo 02 e seu valor é igual a ab fxdx 83 Questão 4 Toda função contínua é integrável A recíproca é verdadeira Será que toda função integrável é contínua Discuta com seus colegas Não Nem toda função integrável é contínua ou seja existem funções com pontos de descontinuidade que são integráveis Veja por exemplo o corolário 02 do capítulo 09 de seu módulo lá vc encontra um exemplo que mostra este fato