Exercícios sobre Convergência de Séries e Conjuntos

1 para o mesmo limite f Se xn yn é limitada e lim yn então lim znyn 1 g lim lnn 1 0 h Seja an p Mostre que x12x22xn2 p 3 Encontre o valor das somas a k1 1k1 b k1 1kk 2 c k1 14k 14k 5 d k1 112k 4 Mostre que se a série n1 an for convergente então lim an 0 5 Estude a convergência das séries a k1 k2k2 3 b k1 k2k k 1 c k1 k 1ek2k 3 d k1 kn k e n1 1n 1 f n1 1n 6 Mostre que se uma série é absolutamente convergente então ela é convergente 7 Mostre que xn é limitada e an é absolutamente convergente então an e ank é convergente 8 Mostre que a série harmônica k1 1k é convergente se α 1 e divergente se α 1 use a comparação das duas 9 Mostre que a intintX intX b intA B intA intB e intA B intA intB Dê um exemplo em que intA intB intA B c A B A B d A B A B Dê um exemplo em que A B A B e A A A e A AU Conclua que A é fechado se e somente se contém todos seus pontos de acumulação f A é fechado se e somente se A A g Se A é discreto então A é enumerável h A é fechado Definição A fronteira de X denotada por frX é o conjunto dos pontos x R tal que toda vizinhança de x contém pontos de X e de R X 10 Mostre que a R intR intR U frX onde as uniões são disjuntas b A R é aberto se e somente se A frA c X R vale X X frX Conclua que X é fechado se e somente se X é compacto