Questionário

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA UNEB AUTORIZAÇÃO DECRETO Nº 923786 DOU 18071996 RECONHECIMENTO PORTARIA Nº 90995 DOU 01081995 GABINETE DA REITORIA UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA UNEAD CRIAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO RESOLUÇÃO CONSU Nº 10512014 DOU 20052014 1ª ATIVIDADE AVALIATIVA ESCRITA Valor 50 pontos Curso LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Componente curricular GEOMETRIA ESPACIAL 3º Semestre Professores ARMANDO PEIXOTO Prezadao estudante Segue a 1ª Atividade Avaliativa Escrita da disciplina Geometria Espacial Recomendase a consulta ao Módulo da disciplina Capítulos 2 a 4 e às referências bibliográficas citadas no Plano de Curso A avaliação tem caráter estritamente individual e deverá ser entregue em versão manuscrita até o dia 7 de outu bro de 2025 às 23h59 impreterivelmente Recomendações 1 Antes de iniciar revise as Aulas o Módulo de Apoio e as bibliografias indicadas no Plano de Curso 2 Em caso de dificuldade utilize o Fórum de Dúvidas Ao postar explicite objetivamente qual ponto está im pedindo o avanço Não copie respostas de colegas isso prejudica seu aprendizado 3 Colabore orientando colegas sempre que possível sem fornecer a solução completa das questões 4 Apresente o desenvolvimento de cada questão de forma detalhada e organizada 5 Organização clareza de raciocínio e cumprimento do prazo serão valorizados na avaliação Desejamos bons estudos Professor Armando Peixoto e equipe Questionário 1ª Questão Analise as proposições abaixo Todas elas estão incorretas em algum aspecto Para cada uma explique detalhadamente por que não corresponde à verdade geométrica apresentando definições propriedades ou contraexemplos que evidenciem o erro a Duas retas distintas determinam um plano b Se duas retas não têm ponto em comum então elas são paralelas c Se duas retas não têm ponto em comum então elas são reversas d Três pontos distintos determinam um plano e Uma reta e um ponto determinam um plano f Se uma reta é secante a um plano então esta reta é concorrente com qualquer reta desse plano g Se duas retas distintas são paralelas a um plano então elas são paralelas entre si h Se dois planos são secantes então toda reta de um deles é concorrente com o outro plano i Se uma reta é paralela a dois planos então estes planos são paralelos j Se um plano contém duas retas distintas paralelas a outro plano então esses dois planos são paralelos 2ª Questão Considere o paralelepípedo de arestas 𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝑒 𝐴𝐸 representado na figura abaixo Utilizeo para dar exemplo das situações a seguir a Uma reta contida no plano 𝐵𝐶𝐺 que seja reversa em relação à reta 𝐴𝐵 b Uma reta contida no plano 𝐴𝐵𝐶 que seja concorrente com a reta 𝐻𝐹 c Uma reta contida simultaneamente nos planos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐵𝐹𝐺 d Um plano paralelo ao plano determinado pelas retas 𝐴𝐷 e 𝐴𝐻 e Três retas tais que duas sejam paralelas duas sejam concorrentes e duas sejam reversas 3ª Questão Considere os paralelepípedos retângulos 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 e 𝑀𝐵𝑁𝑂𝑃𝐹𝑄𝑅 representados na figura Sabese que as ares tas 𝐴𝐵 𝐴𝐷 e 𝐴𝐸 medem respectivamente 8 cm 6 cm e 10 cm Além disso os pontos 𝑀 e 𝑁 são pontos médios dos segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 respectivamente Determine a O volume do prisma 𝐴𝑀𝑂𝑁𝐶𝐷𝐸𝑃𝑅𝑄𝐺𝐻 b A área total do paralelepípedo 𝑀𝐵𝑁𝑂𝑃𝐹𝑄𝑅 4ª Questão Determine o volume e a área total de um prisma reto de altura 10 cm cuja base é um hexágono regular de apótema 33 cm 5ª Questão A figura representa dois reservatórios comunicantes Tanque cilíndrico altura 6 m e raio 4 m Tanque prismático altura 15 m área da base 4𝜋 m² O tanque cilíndrico está apoiado sobre uma plataforma cuja base está 6 m acima da base do tanque prismático Os tanques são interligados por uma tubulação com válvula Condições Inicialmente a válvula está fechada o tanque cilíndrico contém certa quantidade de água e o tanque prismá tico está vazio Ao abrir a válvula formase um sistema de vasos comunicantes que atinge equilíbrio hidrostático quando a altura da coluna de água no tanque cilíndrico é 3 m medida a partir do fundo do tanque cilíndrico Despreze o volume de água presente na tubulação e perdas Observação No equilíbrio as superfícies livres ficam na mesma cota mesma altura em relação a um mesmo plano de referência Assim a altura do nível no tanque prismático será a altura no tanque cilíndrico somada ao desnível das bases Pedese a O volume de água transferido do tanque cilíndrico para o tanque prismático após a abertura da válvula b O volume inicial de água no tanque cilíndrico ℎ𝐶 é 𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑒 ℎ𝑃 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 UNEB UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA BRASIL UM PAÍS DE TODOS GOVERNO FEDERAL UAB UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL CAPES FNDE Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação Bahia TERRA DE TODOS NÓS Secretaria da Educação EAD 2010 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MATEMÁTICA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Licenciatura em Matemática Geometria Espacial Salvador 2010 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 ELABORAÇÃO Sonia Regina Soares Ferreira DIAGRAMAÇÃO Nilton Rezende FERREIRA Sonia Regina Soares F383 Geometria espacial licenciatura em matemática Sonia Regina Soares Ferreira Salvador UNEB GEAD 2010 146p 1 Geometria espacial 2geometria Euclidiana 3 Cilindros 4 Prismas 5 Perpendicula rismo 6 cones 7pirâmides I Título II Universidade Aberta do Brasil III UNEB GEAD CDD 51622 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Catalogação na Fonte BIBLIOTECA DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA UNEB EAD 2010 EAD 2010 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MATEMÁTICA PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luis Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Hélio Chaves Filho SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL DIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES Celso Costa COORD GERAL DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA DA CAPES Nara Maria Pimentel GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA GOVERNADOR Jaques Wagner VICEGOVERNADOR Edmundo Pereira Santos SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO Osvaldo Barreto Filho UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA UNEB REITOR Lourisvaldo Valentim da Silva VICEREITORA Amélia Tereza Maraux PRÓREITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO José Bites de Carvalho COORDENADOR UABUNEB Silvar Ferreira Ribeiro COORDENADOR UABUNEB ADJUNTO Jader Cristiano Magalhães de Albuquerque DIRETOR DO DEDC I Antônio Amorim COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Daniel Cerqueira Góes COORDENADOR DE TUTORIA DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Armando Luiz Andrade Peixoto EAD 2010 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MATEMÁTICA Caro Cursista Estamos começando uma nova etapa de trabalho e para auxiliálo no desenvolvimento da sua aprendizagem estruturamos este material didático que atenderá ao Curso de Licenciatura em Matemática na modalidade à distância O componente curricular que agora lhe apresentamos foi preparado por profissionais habilitados especialistas da área pesquisadores docentes que tiveram a preocupação em alinhar conhecimento teóricoprático de maneira contextualizada fazendo uso de uma linguagem motivacional capaz de aprofundar o conhecimento prévio dos envolvidos com a disciplina em questão Cabe Salientar porém que esse não deve ser o único material a ser utilizado na disciplina além dele o Ambiente Vir tual de Aprendizagem AVA as Atividades propostas pelo Professor Formador e pelo Tutor as Atividades Complementares os horários destinados aos estudos individuais tudo isso somado compõe os estudos relacionados a EAD É importante também que vocês estejam sempre atentos a caixas de diálogos e ícones específicos Eles aparecem durante todo o texto e têm como objetivo principal dialogar com o leitor afim de que o mesmo se torne interlocutor ativo desse mate rial São objetivos dos ícones em destaque Você sabia convidao a conhecer outros aspectos daquele temaconteúdo São curiosidades ou infor mações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta Saiba mais apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto tra zendo conceitos fatos biografias enfim elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo abordado Indicação de leituras neste campo você encontrará sugestão de livros sites vídeos A partir deles você poderá aprofundar seu estudo conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas ou outros olhares e interpretações sobre aquele tema Sugestões de atividades consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente em seu processo de autoestudo Estas atividades podem ou não vir a ser aproveitadas pelo professor formador como instrumentos de avaliação mas o objetivo primeiro delas é provocálo desafiálo em seu processo de autoaprendizagem Então caro estudante encare este material como um parceiro de estudo dialogue com ele procure as leituras que ele indica desenvolva as atividades sugeridas e junto com seus colegas busque o apoio dos tutores e a orienta ção do professor formador Seja autor da sua aprendizagem Bom estudo Coordenação de Material Didático GEAD Gestão de Projetos e Atividades na modalidade a distância VOCÊ SABIA SAIBA MAIS INDICAÇÃO DE LEITURA SUGESTÃO DE ATIVIDADE 1 a Falso duas retas distintas determinam um plano somente quando são coplanares isto é quando se intersectam ou são paralelas um exemplo contrário são duas retas reversas b Falso contraexemplo duas retas reversas não são paralelas mas não tem ponto em comum c Falso pelo raciocínio do item b podemos ter duas retas paralelas não temos ponto em comum e não são reversas d Falso os 3 pontos não podem ser colineares contra exemplo A000 B100 C200 EAD 2010 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MATEMÁTICA SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 11 2 Geometria Euclidiana Espacial 12 21 Noções primitivas e axiomas 12 22 Posições relativas entre duas retas 16 23 Determinação de planos 19 24 Exercícios resolvidos 23 25 Exercícios propostos 25 26 Construção de modelos 25 3 Posições relativas 28 31 Posições relativas entre uma reta e um plano 28 32 Posições relativas entre dois planos 31 33 Exercícios resolvidos 35 34 Exercícios propostos 38 33 Construções de modelos 39 4 Volumes de cilindros e prismas 41 41 Axiomas e definições 41 42 Volumes de um cubo e de um paralelepípedo retângulo 44 43 Volumes de um prisma áreas totais e laterais de prismas 48 44 Volumes de um cilindro áreas totais e laterais de um cilindro 51 45 Exercícios resolvidos 54 46 Exercícios propostos 58 47 Construção de modelos 60 5 Perpendicularismo 62 51 Ângulos entre duas retas 62 52 Propriedades de retas perpendiculares a planos 62 53 Propriedades de retas e planos perpendiculares 66 54 Exercícios resolvidos 77 55 Exercícios propostos 79 56 Construção de modelos 81 6 Volumes de cones e pirâmides 84 61 Construção de cones e pirâmides 84 62 Volume de uma pirâmide áreas totais e laterais de pirâmides 85 63 Volume de um cone áreas totais e laterais de cones 92 64 Exercícios resolvidos 105 65 Exercícios propostos 105 66 Construção de modelos 108 7 Volumes de sólidos de revolução 112 71 Construção de sólidos de revolução 112 72 A esfera volume e área de esferas 113 73 Volume de sólidos de revolução 117 74 Exercícios resolvidos 120 75 Exercícios propostos 125 76 Construção de modelo 126 Referências Bibliográficas 128 Anexo 1 Planificações de alguns sólidos 129 Modelo 01 Prisma pentagonal oblíquo 130 Modelo 02 Paralelepípedo oblíquo 131 Modelo 03 Paralelepípedo retângulo 132 Modelo 04 Seção meridiana do prima do modelo 1 133 Modelo 05 Seções meridianas dos modelos 1 e 3 134 Modelo 06 Cilindro circular reto 135 Modelo 07 Cilindro oblíquo 135 Modelo 08 Seções meridianas dos modelos 3 e 6 137 Modelo 09 Pirâmide hexagonal 138 Modelo 10 Tetraedro 1 139 Modelo 11 Tetraedros 2 140 Modelo 12 Tetraedros 3 141 Modelo 13 Tetraedro e prisma triangular reto 142 Modelo 14 Sólido de revolução 144 Modelo 15 Sólido de revolução 146 MATEMÁTICA Especialização em EAD 11 11 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 1 INTRODUÇÃO O estudo de Geometria Euclidiana Espacial proporcionará a você a oportunidade de conhecer elementos geomé tricos espaciais e aprender as regras para manipulálos de modo adequado Por exemplo você pode utilizar seus conhecimentos sobre volume de sólidos para auxiliálo na compra de um determinado produto considerando forma da embalagem volume e o preço A apresentação dos elementos geométricos se fará gradualmente de modo que possa comportar o tempo neces sário à sua adaptação a esse novo ambiente Inicialmente você estudará alguns tópicos de posições relativas entre reta e plano objetivando desenvolver a sua visão espacial intercalados com volumes de alguns sólidos Uma boa visão espacial facilitará a sua aprendizagem sobre volumes de sólidos Nesse estudo será utilizada a noção intuitiva de que o volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupado Apesar de pouco precisa essa noção permite que se estabeleçam métodos sistemáticos para o cálculo de volumes de sólidos em geral A fórmula para o cálculo do volume de um cubo de aresta medindo uma unidade de comprimento será apresentado como axioma e as fórmulas que possibilitam o cálculo do volume de prismas cilindros cones e esfera serão estabelecidas através de demonstrações No começo desse estudo é bem provável que a expectativa em apreender coisas novas mesclada com ansiedade permeie a sua cabeça São muitos os conceitos novos muitas as regras e você pode se sentir meio atrapalhado É natural se sentir inseguro ao entrar em um novo ambiente de aprendizagem Mas aos poucos você vai se adaptan do passando a desempenhar as atividades do ambiente com desenvoltura e naturalidade Esse texto tem o objetivo de auxiliálo nesse processo Procure seguir as orientações apresentadas neste texto e recorra ao professor se persistir alguma dúvida Ele irá auxiliálo É muito importante para a sua aprendizagem que você compreenda todas as atividades que serão de senvolvidas Quando desejar ampliar seus conhecimentos sobre os assuntos abordados neste texto você encontrará mais deta lhes nas leituras recomendadas listadas no final deste trabalho Entre aquelas destacamos Medidas e Forma em Geometria de Elon Lages de Lima e Introdução à Geometria Espacial de Paulo Cezar Pinto de Carvalho O seu auxílio através de críticas sugestões e correções é muito bem vindo Salvador 01 de março de 2010 A autora Sonia Regina Soares Ferreira 12 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 2 GEOMETRIA EUCLIDIANA ESPACIAL Nesse capítulo você conhecerá as noções primitivas e os primeiros axiomas da Geometria Euclidiana Espacial Os axiomas primeiras verdades são afirmações aceitas sem demonstração e junto com as noções primitivas formam a base de uma teoria De fato baseado nas noções primitivas e nos axiomas podese demonstrar as pri meiras propriedades que por sua vez geram mais outras e assim sucessivamente formando uma cadeia de fatos que são incorporados ao sistema Este tipo de sistema é denominado Sistema Dedutivo e o primeiro a utilizálo foi o grego Euclides a 300 aC O conhecimento geométrico reunido e organizado por Euclides é importantíssimo no desenvolvimento da Matemática como ciência e em reconhecimento pelo seu trabalho esse conhecimento passouse a chamar a Geometria Euclidiana Com o objetivo de facilitar a sua aprendizagem você deve adotar no seu estudo as dicas dadas a seguir Procure sempre visualizar o objeto geométrico estudado através de um modelo concreto confeccionado com materiais de fácil acesso Por exemplo pontos retas e planos podem ser representados por botões lápis e folhas de papel respectivamente Lembrese de que os modelos concretos são muito úteis pois auxiliam o nosso raciocínio Entretanto esteja sempre atento para não limitar o seu entendimento somente a partir deles Figura 01 Exemplo 1 Utilizando o modelo constituído de duas folhas de papel A4 para representar dois planos pense e responda Dois planos podem se interceptar por apenas um ponto Você poderá verificar se a sua resposta está correta no decorrer deste capítulo 21 Noções primitivas e axiomas Você deve estar lembrado que o ponto a reta e o plano são as noções primitivas da Geometria Euclidiana Plana Acrescentando o espaço a esse conjunto de objetos geométricos obtêmse as noções primitivas da Geometria Euclidiana Espacial ou seja o ponto a reta o plano e o espaço são as noções primitivas da Geometria Euclidiana Espacial A seguir serão enunciados os axiomas da Geometria Euclidiana Espacial Certamente você perceberá que alguns deles são axiomas da Geometria Euclidiana Plana e foram colocados aqui com a intenção de estabelecer desde já relações entre Geometria Euclidiana Plana e a Geometria Euclidiana Espacial 12 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 13 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Axiomas Axioma I Numa reta e fora dela existem infinitos pontos Axioma II Num plano e fora dele existem infinitos pontos Axioma III Dois pontos distintos determinam uma única reta Axioma IV Três pontos não colineares determinam um único plano Axioma V Se uma reta possui dois pontos distintos em um plano então ela está contida nesse plano Exercite um pouco o seu raciocínio lógico participando da atividade a seguir Considere que os planos α e β são distintos e que possuem mais de um ponto em comum Sejam A e B dois desses pontos Utilize o axioma V para responder as perguntas 1 A reta AB está contida no plano α 2 A reta AB está contida no plano β 3 Você pode garantir que a reta AB está contida na interseção de α e β As três perguntas anteriores possuem respostas afirmativas De fato a reta AB está contida na interseção desses planos Será que a interseção dos planos α e β contém outros pontos além dos pontos da reta AB Para responder a essa indagação suponha que exista um ponto C que pertença aos planos α e β e que não pertença à reta AB Pense e responda 4 Os pontos A B e C são colineares 5 Os pontos A B e C pertencem ao plano α 6 Os pontos A B e C pertencem ao plano β A resposta da pergunta 4 é negativa enquanto as respostas das perguntas 5 e 6 são afirmativas 7 Baseado nas respostas anteriores e utilizando o axioma IV podese afirmar que os planos α e β coinci dem Claro que sim Pois os pontos A B e C pertencem aos planos α e β e são não colineares daí determinam um único plano Esse fato contradiz a hipótese de α e β serem planos distintos E agora O que significa essa contradição Muito simples a suposição da existência de um ponto C fora da reta AB e que pertence à interseção dos planos α e β é falsa 14 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Logo a interseção dos planos α e β é exatamente a reta AB Assim você pode concluir que Se é dado que dois planos distintos possuem mais de um ponto em comum então a interseção desses planos é uma reta Quando é dado que dois planos distintos possuem um ponto em comum não é possível desenvolver uma sequ ência de raciocínios lógicos utilizando os axiomas anteriores que possam garantir que a interseção desses planos é uma reta Por isso essa afirmação será estabelecida como axioma Axioma VI Se dois planos distintos têm um ponto comum então eles têm uma única reta comum que passa por esse ponto Volte e leia o exemplo 1 na página 05 O axioma VI garante que a resposta à indagação do exemplo 1 é negativa embora o modelo das folhas de papel possa ter nos levado a pensar que era possível O que de fato acontece é que a folha de papel é limitada e um plano não é limitado A figura 02 pode auxiliálo a compreender esse fato Volte e leia a dica 2 da página 05 Axioma VII Uma reta r divide um plano α em duas regiões I e II que não contêm r tais que Se um ponto A pertence à região I e um ponto B pertence à região I então o segmento AB não intercepta a reta r Se um ponto C pertence à região I e um ponto D pertence à região II então o segmento CD intercepta a reta r em um ponto P 14 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 15 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Definição 1 Considere uma reta r contida em um plano α Chamase semiplano a figura geométrica formada pela união da reta r com uma das regiões que essa reta r divide o plano α Axioma VIII Um plano α divide o espaço em duas regiões I e II que não contêm α tais que Se um ponto A pertence à região I e um ponto B pertence à região I então o segmento AB não intercepta o plano α Se um ponto C pertence à região I e um ponto D pertence à região II então o segmento CD intercepta o plano α em um ponto P Definição 2 Semiespaço é a figura geométrica formada pela união de um plano com uma das regiões do espaço por ele dividido Exercitar o raciocínio lógico melhora o seu desempenho nas demonstrações das propriedades geométricas Faça a atividade a seguir Considere o problema Dados uma reta r e um ponto P determinar uma reta s que passa por P e é perpendi cular à reta r Os dados do problema são a reta r e o ponto P Pense e responda Quantas posições o ponto P pode apresentar em relação à reta r Se você respondeu duas está certíssimo De fato existem duas posições O ponto P pertence à reta r O ponto P não pertence à reta r Considere inicialmente que o ponto P pertence à reta r Tenha em mãos uma folha de papel A4 e três canetas no mínimo para fazer um modelo concreto Comece desenhando na folha de papel uma reta r e marque um ponto P sobre essa reta Ainda na folha de papel desenhe uma reta que passa por P e é perpendicular à reta r Agora utilize uma das canetas para representar uma outra reta que passa por P Posicione a caneta no espaço fora da folha de papel de modo que a reta por ela representada seja perpendicular à reta r Veja a figura 05 16 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Quantas retas existem que passam por P e são perpendiculares à reta r Certamente você respondeu que existe uma infinidade de retas Considere agora que o ponto P não pertence à reta r Numa folha de papel A4 desenhe a reta r e marque o ponto P fora de r Ainda na folha de papel pelo ponto P esboce uma reta que seja perpendicular à reta r Veja a figura 06 Utilize uma caneta para representar outra reta que passa por P e seja perpendicular à reta r Isso é possível Claro que não Nesse caso só existe uma única reta que passa por P e é perpendicular à reta r a que você esboçou na folha de papel Assim a solução do problema depende da posição entre o ponto P e a reta r De modo geral as posições relativas entre os elementos geométricos dados de um problema são de fundamental importância para resolução do mesmo Na seção seguinte você vai estudar posições relativas entre duas retas 22 Posições relativas de duas retas Certamente você já ouviu falar em retas paralelas Mas o que são mesmo retas paralelas Se você pensou em retas que não se interceptam fique sabendo que no espaço existem retas que não se interceptam e não são paralelas Essa seção tem o objetivo de esclarecer essas e outras questões sobre posições entre duas retas Definição 3 Duas retas que possuem um único ponto comum são chamadas concorrentes 16 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 17 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Na figura 07 as retas r e s são concorrentes pois se interceptam no ponto P Definição 4 Dizse que duas retas são coplanares quando existe um plano que as contém Definição 5 Duas retas coplanares que não possuem pontos em comum são chamadas paralelas Na figura 08 as retas r e s estão contidas no plano α e não se interceptam logo são paralelas Lembrese para demonstrar que duas retas são paralelas você deve mostrar que 1 As retas são coplanares 2 As retas não se interceptam E existem retas não coplanares Vamos orientálo a construir um modelo concreto que auxiliará você a responder a essa indagação Você vai precisar de uma folha de papel A4 uma caneta e um botão pequeno que representarão um plano α uma reta e um ponto respectivamente Inicie desenhando no plano α folha de papel uma reta r e marque sobre essa reta dois pontos Nomeie esses pontos de A e B Você também pode se referir à reta r como reta AB Ainda no plano α desenhe outro ponto C fora da reta r Por fim considere um ponto P representado por um botão fora do plano α Utilize a caneta para representar a reta que passa pelos pontos P e C 18 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Observe o modelo pense e responda 1 A reta r está contida no plano α A reta PC está contida no plano α A resposta da primeira pergunta é afirmativa pois a reta r possui dois de seus pontos A e B pertencentes ao plano α daí está contida nesse plano A resposta da segunda pergunta é negativa já que o ponto P não pertence ao plano α O plano α não contém as retas AB e PC as duas ao mesmo tempo mas será que existe um outro plano β que contém essas retas Para responder a essa indagação o modelo não será útil Você terá que abstrair ou seja usar a sua imaginação Comece imaginando que existe tal plano ou seja que as retas AB e CP estão contidas em um plano β Nesse caso os pontos A B C e P também estão no plano β Pense e responda 1 Os pontos A B e C são colineares 2 Os pontos A B e C pertencem ao plano β 3 Os pontos A B e C pertencem ao plano α 4 Podese dizer que os plano α e β são coincidentes A resposta da primeira pergunta é negativa pois os pontos A e B pertencem à reta r e o ponto C não pertence a essa reta É claro que as respostas da segunda e terceira pergunta são afirmativas O axioma IV garante que a resposta da quarta pergunta é afirmativa Isto é os planos α e β coincidem pois são determinados pelos pontos não colineares A B e C Como o plano α não contém as retas AB e CP então o plano β também não contém essas retas Esse fato con tradiz a suposição da existência de um plano β que contém as retas AB e CP Logo tal plano não existe Portanto as retas AB e CP não são coplanares Assim retas não coplanares existem Definição 6 Duas retas não coplanares são chamadas reversas As retas AB e CP da atividade anterior são retas reversas Veja figura 09 Observe novamente o modelo anterior que você construiu ou a figura 09 Pense e responda 1 Todos os pontos da reta AB pertencem ao plano α Qual o único ponto da reta CP que pertence ao plano α 18 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 19 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA As retas AB e CP se interceptam A resposta da primeira pergunta é afirmativa pois a reta AB está contida no plano α A resposta da segunda pergunta é o ponto C Para obter a resposta da terceira pergunta use novamente a sua imaginação suponha que as retas AB e CP se interceptam O ponto de interseção dessas retas tem que pertencer ao plano α já que pertence à reta AB e essa reta está contida em α Mas esse ponto também pertence à reta CP e o único ponto da reta CP que pertence ao plano α é o ponto C Assim o ponto C é o ponto de interseção dessas retas Mas isso contradiz o fato que o ponto C não pertence à reta AB E aí O que será que está acontecendo Simples a suposição de que as retas AB e CP se interceptam é falsa Daí você pode concluir que retas reversas não de interceptam Assim tanto as retas paralelas como as retas reversas não se interceptam Fique atento mostrar que duas retas não se interceptam não é suficiente para concluir que as mesmas são paralelas pois essas retas podem ser reversas 23 Determinação de um plano Na resolução de situações problemas é importante saber quais conjuntos de elementos da Geometria Espacial determinam um plano O axioma IV garante que o conjunto de três pontos não colineares determina um único plano Nessa seção você conhecerá outros três conjuntos de elementos que determinam planos através de teoremas ou seja afirmações que precisam ser demonstradas Teorema 1 Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano Demonstração Siga as orientações para demonstrar esse teorema Numa folha de papel desenhe uma reta r e considere um ponto P fora de r e dois pontos distintos que pertencem à reta r A e B Como os pontos A B e P são não colineares você pode utilizar o axioma IV para garantir que existe um único plano passando por A B e P Nomeie esse plano de α Pense e responda 1 A reta r está contida no plano α 20 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Claro que sim pois essa reta possui dois de seus pontos A e B em α Suponha agora que exista outro plano β que contém a reta r e o ponto P e responda 2 Os pontos A e B pertencem ao plano β Sem dúvida já que esses pontos são pontos da reta r e a reta r está contida em β 3 Os planos α e β coincidem Para responder a essa pergunta você deve observar que os pontos A B e P pertencem aos planos α e β Como esses pontos são não colineares o axioma IV garante que os planos α e β coincidem Logo existe um único plano que contém a reta r e o ponto P ou seja uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano Teorema 2 Duas retas concorrentes determinam um único plano Demonstração De modo análogo a demonstração do teorema 1 você deve começar desenhado numa folha de papel duas retas r e s que concorrem no ponto P Em seguida considere um ponto A sobre a reta r e um ponto B sobre a reta s Desse modo os pontos A B e P são não colineares e portanto determinam um único plano Nomeie esse plano de α Pense e responda 1 A reta r está contida em α 2 A reta s está contida em α A resposta da pergunta 1 é afirmativa pois os pontos A e P são pontos da reta r e pertencem ao plano α De modo análogo você pode concluir que a reta s está contida em α já que os pontos B e P são pontos de s e pertencem ao plano α Lembrese de que se uma reta possui dois de seus pontos em um plano então essa reta está contida nesse plano Até aqui você mostrou que existe um plano α determinado pelos pontos A B e P que contém as retas r e s Mas será que esse plano é único Para mostrar a unicidade do plano α comece imaginando que existe outro plano β que contém as retas r e s Pense e responda 1 Os pontos A B e P pertencem ao plano β 20 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 21 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Claro que sim Pois os pontos A e P são pontos de r que está contida em β E o ponto B é um ponto de s que também está contida em β Assim os pontos A B e P são também pontos de β 2 Os planos α e β coincidem Certamente Pois os pontos A B e P pertencem aos planos α e β e três pontos não colineares determinam um único plano Portanto duas retas concorrentes determinam um único plano Teorema 3 Duas retas paralelas determinam um único plano Demonstração Lembrese que se duas retas r e s são paralelas então existe um plano que as contém Nomeie esse plano de α Para mostrar que o plano α é único você deve supor que existe outro plano β que contém as paralelas r e s e provar que α e β coincidem Existem vários modos de provar que α e β coincidem Por exemplo você pode considerar dois pontos distintos A e B que pertencem à reta r e um ponto P da reta s Os pontos A B e P são pontos que pertencem aos planos α e β e como são não colineares determinam um único plano Outra maneira de mostrar a unicidade do plano α é considerar um ponto P da reta s e a reta r Como o ponto P não pertence à reta r já que r e s são retas paralelas você pode utilizar o teorema 1 para garantir que existe um único plano que contém r e P Mas a reta r e o ponto P estão contidos no plano α e também no plano β Logo você pode concluir que esses planos coincidem Portanto duas retas paralelas determinam um único plano Resumindo 1 Duas retas no espaço podem ser 22 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 2 Podese determinar um plano com O axioma das paralelas da Geometria Euclidiana Plana garante que em um plano por um ponto fora de uma reta podese traçar uma única reta paralela à reta dada Utilizando os resultados obtidos anteriormente o teorema seguinte garante que esta propriedade também é válida no espaço Teorema 4 Por um ponto fora de uma reta podemos traçar uma única reta paralela à reta dada Demonstração Para fazer essa demonstração você deve começar desenhando numa folha de papel uma reta r e um ponto P que não pertence à essa reta Nomeie α o plano determinado por r e P representado pela folha de papel Em seguida no plano α desenhe a reta s paralela à reta r passando por P Lembrese que o axioma das paralelas da Geometria Plana garante que no plano α essa reta é única Assim se houver outra reta t paralela à reta r passando por P essa reta está fora do plano α Suponha que essa reta t exista e represente a mesma por uma caneta que 22 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 23 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA fura o plano α no ponto P Observe a figura 16 Como você supôs que as retas t e r são paralelas então existe um plano β que contém essas retas Você não vai poder representar o plano β por uma folha de papel deve utilizar a sua imaginação Pense e responda 1 O ponto P e a reta r estão contidos no plano β 2 Os planos α e β coincidem A resposta da primeira pergunta é afirmativa pois o plano β contém as retas r e t e o ponto P pertence à reta t A resposta da segunda pergunta também é afirmativa pois o ponto P e a reta r pertencem aos planos α e β e o teorema 1 garante que uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano Daí os planos α e β coincidem e como a reta t está contida no plano β você pode concluir que essa reta está contida no plano α O que contradiz o fato da reta t estar fora do plano α Logo é falsa a suposição que você fez isto é que existia uma reta t distinta da reta s paralela à reta r e passando por P Logo existe uma única reta s paralela à reta r passando por P Portanto por um ponto fora de uma reta podemos traçar uma única reta paralela à reta dada Acompanhe com atenção as soluções dos exercícios apresentados a seguir Faça os modelos e siga as orien tações Esses exercícios promovem o desenvolvimento da sua habilidade de argumentação lógica 24 Exercícios resolvidos 1 Considere duas retas r e s concorrentes em P e seja Q um ponto que não pertence ao plano determinado por r e s Identifique a interseção do plano determinado por r e Q com o plano determinado por s e Q Solução Inicialmente nomeie o plano determinado pelo ponto Q e a reta r de β E o plano determinado pelo ponto Q e a reta s nomeie de θ Observe então que esses planos têm um ponto Q comum assim pelo axioma VI os planos β e θ se interceptam segundo uma reta que passa pelo ponto Q Como dois pontos distintos determinam uma reta para resolver o problema basta identificar outro ponto distinto do ponto Q que pertence à interseção dos planos β e θ Ora as retas r e s são concorrentes assim determinam um plano Nomeie esse plano de α Represente o plano α por uma folha de papel e nesse plano desenhe as retas r e s concorrentes em P Observe a figura 17 Represente o ponto Q por um botão lembrese que foi dado que o ponto Q está fora de α releia o enunciado da questão Use sua imaginação para visualizar o plano β determinado pelo ponto Q e a reta r Agora visualize o plano θ determinado pelo ponto Q e pela reta s Pense e responda O ponto P pertence ao plano β O ponto P pertence ao plano θ 24 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 A resposta da pergunta 1 é afirmativa pois o ponto P pertence à reta r e essa reta está contida em β A resposta da segunda pergunta também é afirmativa pois o ponto P pertence também à reta s e essa reta está contida em θ Assim você pode concluir que o ponto P pertence à interseção dos planos β e θ Além disso P é um ponto distinto do ponto Q pois P pertence ao plano α e Q está fora de α Você pode então concluir que a interseção dos planos β e θ é a reta determinada pelos pontos P e Q ou seja a reta PQ 2 Dois triângulos ABC e DEF situados em planos distintos são tais que as retas AB AC e BC encontram as retas DE DF e EF nos pontos P N e M respectivamente Mostre que P M e N são colineares Solução Inicialmente decalque a figura 18 em uma folha de papel A4 Dobre a folha segundo a reta PM e abra a mesma de modo que os planos ABC e DEF sejam distintos Utilize esse modelo para acompanhar o raciocínio a seguir Observe inicialmente que a reta AB está contida no plano ABC já que possui dois de seus pontos A e B per tencentes a esse plano De modo análogo a reta DE está contida no plano DEF Foi dado que as retas AB e DE se interceptam no ponto P Assim o ponto P pertence ao plano ABC pois pertence à reta AB e pertence ao plano DEF pois pertence à reta DE Você pode concluir então que o plano ABC intercepta o plano DEF segundo uma reta r que passa por P Para resolver o problema você precisa mostrar que os pontos M e N são pontos da interseção do plano ABC com o plano DEF ou seja M e N são pontos da reta r Pense e responda O ponto N pertence ao plano ABC O ponto N pertence ao plano DEF A resposta da primeira pergunta é afirmativa pois o ponto N pertence à reta AC que está contida no plano ABC De modo análogo o ponto N pertence ao plano DEF pois pertence à reta DF que está contida no plano DEF Daí o ponto N pertence à interseção do plano ABC com o plano DEF ou seja N pertence à reta r 24 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 25 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA O ponto M pertence ao plano ABC O ponto M pertence ao plano DEF A resposta da terceira pergunta é afirmativa pois o ponto M pertence à reta BC que está contida no plano ABC De modo análogo o ponto M pertence ao plano DEF pois M pertence à reta FE que está contida no plano DEF Daí o ponto M pertence à interseção do plano ABC com o plano DEF ou seja M pertence à reta r Logo os pontos M N e P pertencem à reta r Portanto esses pontos estão alinhados 25 Exercícios propostos 1 Mostre que por uma reta passam infinitos planos 2 Em cada item a seguir verifique quantos planos são definidos pelos pontos A B C e D a Os pontos A B C e D são colineares b Os pontos A B e C não são colineares e D pertence ao plano ABC c A B e C não são colineares e D não pertence ao plano ABC Lembrese que três pontos não colineares determinam um plano 3 Sejam r e s duas retas reversas Considere A e B pontos de r e s respectivamente Identifique a interseção do plano determinado por r e B com o plano determinado por s e A 4 Considere r e s duas retas reversas Se A e B são pontos de r e C e D são pontos de s mostre que as retas AC e BD são reversas 26 Construção de modelos 1 Um quadrilátero é reverso se seus quatro vértices não são coplanares Você poderá construir um quadrilátero reverso com quatro bolinhas de isopor e quatro palitos de churrasco Comece nomeando as bolinhas com as letras A B C e D Elas representarão os pontos A B C e D Com um palito de churrasco ligue as bolinhas A e B Com outro palito ligue as bolinhas B e C tendo o cuidado dessas três bolinhas não estarem alinhadas Agora posicione a bolinha D fora do plano das bolinhas A B e C Por último ligue com palitos de churrasco a bolinha D às bolinhas C e A Assim o quadrilátero ABCD construído é reverso Utilize pedaços de fita crepe para marcar os pontos médios dos lados AB BC CD e DA Nomeie esses pontos de M N P e Q respectivamente Mostre que a O quadrilátero MNPQ é um paralelogramo b Se R e S são os pontos médios das diagonais AC e BD respectivamente então QSNR é um paralelogramo c As retas RS QN e MP concorrem em um único ponto 2 Chamase tetraedro o sólido limitado por quatro triângulos Cada um desses triângulos é chamado de face e o encontro de duas faces é chamado aresta Dizse que duas arestas são opostas se as mesmas não possuem vértices comuns Por exemplo se ABCD é um tetraedro então as arestas AD e CB são opostas Observe a figura 19 26 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Construa com palitos de churrasco e bolinhas de isopor um tetraedro de arestas AB AC e AD e utilizeo para mostrar que os segmentos que une os pontos médios das arestas opostas de um tetraedro se encontram em um único ponto Curiosidade Você sabia que banquinhos com três pés são estáveis ou seja não balançam mesmo que as alturas dos pés tenham tamanhos diferentes É verdade As extremidades dos pés do banquinho podem ser comparados a três pontos não alinhados e como por três pontos não alinhados passam um único plano as extremidades dos pés estão sempre em um plano con sequentemente o banquinho não balança é estável Se as alturas dos pés têm tamanhos diferentes o acento do banquinho fica inclinado em relação ao plano em que ele está apoiado mas continua estável A estabilidade do banquinho de três pés é utilizada através de metáforas em diversas áreas do conhecimento Veja os exemplos a seguir Exemplo 1 Retirado da página httpptwildmindorgposturasentandodepernascruzadas Revista Wildmind Meditação Budista Postura de meditação Posição simples de pernas cruzadas É a postura mais comum de pernas cruzadas para os meditadores ocidentais É muito importante que seus dois joelhos toquem o chão para dar a você um apoio adequado Os três pontos de contato com o chão nádegas e os dois joelhos proporcionam muita estabilidade Quando foi a última vez que você viu um fotógrafo tentando manter uma câmara estável em um suporte de dois pés Sem uma base firme você ficará sob tensão física porque terá que se manter ereto a e poderá também sentir estresse nos joelhos Exemplo 2 Retirado da página httpwwwtracofreudianoorgtrapuplicacoescoloquiosluizolynthoformacaoescola reduzidopdf Discurso de abertura ao Colóquio A formação do Analista na Escola promovido por Traço Freudiano Veredas Lacanianas em Recife no dia 15 de setembro de 2006 a tripeça onde o sapateiro senta a trabalhar banquinho típico pelo qual sua profissão é reconhecida Essa tripeça nominante não é outra coisa do que um banquinho de madeira de três pernas Esses banquinhos são ótimos muito fáceis de equilibrar independente da altura de cada pé Não lhes faz lembrar do trisquel Este enodamento elementar que Lacan diz servir de base ao Borromeu 26 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 27 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Um trisquel conformado por três pés como o tripeça É dessa figura que Lacan parte para chegar ao eno damento borromeano dos registros do real do imaginário e do simbólico A verdade é que sempre pensamos a formação analítica como apoiada em um trisquel ou em um tripé se preferirem análise pessoal estudos teóricos e controle de casos Exemplo 3 Retirado da página httpwwwgrcportalcomsitefrominfoindex176infoid2921lngbrsid78tplviewtpl01htm GRC O que tem em comu m governança risco e compliance GRC Governança Risco e Compliance não é apenas outra tentativa do marketing das empresas de TI de vender ferra mentas antigas sob uma nova roupagem 21 Nov 2008 FONTE ComputerWorld Assim em vez de três áreas isoladas a organização ganha um grande guardachuva que congrega as inicia tivas e a infraestrutura ao mesmo tempo em que dá mais profundidade Em uma metáfora visual em vez de ten tar se equilibrar em três pilares distintos a empresa pode sentar confortavelmente em um banco com três pernas 28 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 3 POSIÇõES RELATIVAS No capítulo 2 você estudou posições relativas entre duas retas Agora você terá oportunidade de estudar as possíveis posições relativas entre uma reta e um plano e entre dois planos Lembrese que as posições relativas entre os elementos geométricos dados de um problema são de fundamental importância para resolução do mesmo 31 Posições relativas entre uma reta e um plano São três as posições relativas entre uma reta e um plano Uma delas é quando a reta está contida no plano O axioma V garante que se uma reta possui dois pontos em um plano está contida neste plano Se uma reta r não está contida em um plano α então existem duas possibilidades a reta r intercepta o plano α ou não intercepta Definição 1 Uma reta r é secante a um plano α se e somente se r e α possuem um único ponto comum Na figura 20 a reta r é secante ao plano α no ponto P Definição 2 Uma reta r é paralela a um plano α se e somente se r e α não possuem pontos comuns Existem realmente reta e plano que não se interceptam Para responder a esse questionamento faça o modelo descrito a seguir Modelo 1 Material necessário Dois retângulos de dimensões 20 cm X 25 cm em isopor de 05 cm Canetas hidrocor Cola de isopor 28 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 29 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Modo de fazer Os retângulos de isopor irão representar dois planos α e β Por isso com a caneta hidrocor escreva essas letras em um canto de cada um desses retângulos Em seguida no retângulo que representa o plano β desenhe um segmento paralelo ao lado desse retângulo que mede 20 cm Nomeie esse segmento de r escrevendo com a caneta a letra r próxima do mesmo Lembrese de que retas são ilimitadas mas se utilizam de segmentos de reta para representálas Assim você pode considerar que o segmento r representa reta r Cole o lado do retângulo que mede 20 cm e que representa o plano β no retângulo que representa o plano α em uma posição qualquer Observe a figura 22 Nomeie a reta interseção desses dois planos de s Observe que as retas r e s foram construídas paralelas Em sua opinião a reta r intercepta o plano α Observando o modelo parece que a resposta a essa indagação é negativa Porém você deve lembrar que a reta e o plano são conjuntos ilimitados O modelo representa apenas uma parte da reta e do plano Então como garantir que reta r e o plano α não irão se interceptar em uma posição fora do alcance da sua visão Nesse caso você deve abstrair usar sua imaginação para provar que a reta r não intercepta o plano α Comece considerando que existem duas possibilidades A reta r intercepta o plano α A reta r não intercepta o plano α Apenas uma dessas possibilidades acontece assim se você mostrar que uma delas é falsa poderá concluir que a outra é a verdadeira Suponha então que a reta r intercepta o plano α Considere que P seja o ponto de interseção de r e α Pense e responda 1 O ponto P pertence à reta s 2 O ponto P pertence ao plano β A resposta da primeira pergunta é negativa pois por construção a reta r é paralela à reta s A resposta a segunda pergunta é afirmativa pois o ponto P pertence à reta r e essa reta está contida no plano β Assim você pode concluir que o ponto P pertence aos planos α e β ou seja a interseção dos mesmos Ora a interseção desses planos é a reta s então o ponto P pertence à reta s Mas esse fato é falso pois as retas r e s são paralelas Então a possibilidade da reta r interceptar o plano α conduz a uma falsidade Daí essa possibilidade não pode acontecer Logo você pode concluir que a possibilidade verdadeira é que reta r não intercepta o plano α Portanto existem retas que são paralelas a planos 30 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Observe novamente o modelo A reta s é uma reta do plano α e a reta r foi construída paralela à reta s Além disso a reta r não está contida no plano α Você demonstrou que nessas condições a reta r é paralela ao plano α ou seja se uma reta r é paralela a uma reta de um plano α e não está contida nesse plano então reta r é paralela ao plano α A recíproca desse resultado é também verdadeira e está apresentada na proposição a seguir Proposição 1 Se uma reta é paralela a um plano então essa reta é paralela a uma reta desse plano Demonstração Comece considerando o plano α representado por uma folha de papel A4 e a reta r por um lápis Posicione o lápis de modo que ele fique paralelo ao plano α Agora desenhe no plano α um ponto P qualquer Pense e responda 1 O ponto P pertence à reta r Claro que não O ponto P pertence ao plano α e a reta r é paralela ao plano α Lembrese que uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano Considere que a reta r e o ponto P determinam o plano β Assim o ponto P é um ponto da interseção dos planos α e β Daí os planos α e β se interceptam segundo uma reta Nomeie essa reta de s Veja a figura 23 Pense e responda 1 As retas r e s são coplanares 2 As retas r e s se interceptam A resposta da primeira pergunta é afirmativa pois o plano β contém as retas r e s Já a resposta da segunda pergunta é negativa pois a reta r não intercepta o plano α e a reta s é uma reta do plano α Assim as retas r e s são coplanares e não se interceptam daí você pode concluir que r e s são paralelas Volte ao início da demonstração e observe que o ponto P foi escolhido um ponto qualquer do plano α Escolha outro ponto P sobre o plano α distinto do ponto P E seja β o plano determinado por P e r Considere a reta s interseção do plano α com o plano β 30 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 31 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Pense e responda 1 Qual a posição relativa de s e r 2 Quantas retas s paralelas à reta r e estão contidas no plano α É claro que r e s são paralelas Essas retas são coplanares pois estão contidas no plano β e não se interceptam já que a reta r é paralela ao plano α e s está contida em α O plano α contém uma infinidade de retas s paralelas à reta r pois o plano α possui uma infinidade de pontos e de modo análogo à demonstração você pode obter retas s que são paralelas à reta r Resumindo I Uma reta r reta e um plano α no espaço podem apresentar as seguintes posições relativas II Considere uma reta r não contida em um plano α A reta r é paralela ao plano α se e somente se existe no plano α uma reta s paralela à reta r Agora é a sua vez de treinar Acompanhe as resoluções dos exercícios 1 2 e 3 da seção Exercícios resolvidos no final desse capítulo 32 Posições relativas entre dois planos Dois planos no espaço podem ter pontos comuns ou não Se dois planos possuem três pontos não alinhados em comum segundo o axioma IV esses planos são coincidentes Por outro lado o axioma VI garante que se dois planos distintos têm um ponto em comum então esses planos se interceptam segundo uma única reta Assim podese definir 32 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Definição 3 Se dois planos se interceptam segundo uma reta dizse que esses planos são secantes E existem planos que não se interceptam Para responder a esse questionamento faça o modelo descrito a seguir Modelo 2 Material necessário Um retângulo de dimensão 20 cm X 25 cm em isopor de 05 cm Canetas hidrocor Um bolinha de isopor de diâmetro 2 cm de diâmetro Palitos de churrasco Modo de fazer Considere que o retângulo representa um plano e nomeie esse plano de α escrevendo a letra α em um canto do retângulo No plano α desenhe duas retas r e s concorrentes Agora considere que a bolinha de isopor repre senta um ponto P fora do plano α Enfie dois palitos de churrasco na bolinha de isopor de modo que um deles seja paralelo à reta r e o outro paralelo à reta s O palito paralelo à reta r representa uma reta r e o palito paralelo à reta s representa uma reta s Desse modo as retas r e r são paralelas e as retas s e s também são As retas r e s são coplanares Claro que sim Pois são retas concorrentes Nomeie o plano determinado por r e s de β Observe o conjunto formado pelos palitos de churrasco e a bolinha de isopor e tente visualizar o plano β Em sua opinião o plano β intercepta o plano α Novamente a situação envolve conjuntos ilimitados o plano α e o plano β É preciso garantir que esses planos não se interceptam em nenhum ponto incluindo aqueles que estão fora do alcance da visão Para isso você terá que abstrair usar a imaginação Comece considerando que existem duas possibilidades O plano β intercepta o plano α O plano β não intercepta o plano α Imagine que o plano β intercepta o plano α e segundo uma reta t Pense e responda 1 A reta r intercepta o plano α 2 A reta s intercepta o plano α 3 As retas r e t são coplanares 32 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 33 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 4 As retas s e t são coplanares 5 Qual a posição das retas r e t 6 Qual a posição das retas s e t A resposta da pergunta 1 é negativa De fato a reta r é paralela ao plano α pois r não está contida nesse plano o ponto P está fora de α e é paralela a uma reta de α que é a reta r O mesmo acontece com a reta s ou seja s é paralela a reta s está contida no plano α e passa por P que é um ponto fora do plano α Daí s é paralela ao plano α E portanto s não intercepta esse plano As respostas das perguntas 3 e 4 são afirmativas pois essas retas estão contidas no plano β Ora as retas r e t são coplanares e não se interceptam pois r é paralela ao plano α e a reta t está contida no plano α Logo r e t são retas paralelas De modo semelhante s e t são coplanares e não se interceptam Assim as retas s e t são também retas pa ralelas Então as retas r e s passam pelo ponto P e ambas são retas paralelas a reta t Essa afirmação é uma falsida de pois por um ponto fora de uma reta só se pode traçar uma única reta paralela à reta dada Veja teorema 4 do capítulo 2 Assim supor que o plano β intercepta o plano α e segundo uma reta t conduz a uma falsidade Logo essa possibilidade não pode acontecer E portanto o plano β não intercepta o plano α ou seja existem planos que não se interceptam Definição 4 Dois planos que não se interceptam são chamados paralelos Baseado na discussão anterior você pode concluir que se um plano contém duas retas concorrentes e ambas paralelas ao outro plano então esses dois planos são paralelos Volte a observar o modelo 2 A recíproca desse resultado é também verdadeira e será apresentada na proposição a seguir Proposição 2 Se dois planos são paralelos então um desses planos contém duas retas concorrentes que são paralelas ao outro Demonstração Suponha que os planos α e β são paralelos e sejam r e s duas concorrentes contidas em α Como a reta r está contida no plano α e esse plano não possui pontos em comum com o plano β então a reta r também não possui pontos comuns com o plano β Daí a reta r é paralela ao plano β Você pode desenvolver argumentos análogos para mostrar que a reta s é também paralela ao plano β Logo r e s são paralelas ao plano β 34 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Você deve estar lembrado que por um ponto P fora de uma reta r podese traçar uma única reta s paralela à reta r Será que também é verdade que por um ponto P fora de um plano α podese traçar um único plano β paralelo ao plano α A proposição dada a seguir garante que sim Proposição 3 Por um ponto P que não pertence a um plano α podese construir um único plano β paralelo a α Demonstração Considere que uma folha de papel A4 representa um plano α e uma bolinha de isopor representa um ponto P que está fora de α No plano α desenhe duas retas concorrentes e nomeieas de r e s Pelo ponto P construa com palitos de churrasco duas retas r paralela à reta r e s paralela à reta s Você já mostrou que o plano β determinado pelas retas r e s é um plano paralelo ao plano α Mas será que o plano β é o único plano paralelo ao plano α passando por P Você vai precisar usar a sua imaginação para responder a essa indagação Comece supondo que existe outro plano β paralelo ao plano α e que passa por P Note que o ponto P pertence aos dois planos β e β Assim esses planos se interceptam segundo uma reta que passa pelo ponto P Nomeie a reta interseção de β e β de t Pense e responda Qual a posição da reta t em relação ao plano α Ora como a reta t está contida no plano β e esse plano é paralelo ao plano α então a reta t não possui pontos comuns com o plano α Daí a reta t é paralela ao plano α Agora considere em α uma reta m não paralela a t e seja π o plano determinado por m e pelo ponto P Os planos β β e π passam pelo ponto P logo se interceptam segundo retas que passam por P Sejam n e n as retas interse ções do plano π com os planos β e β respectivamente Assim n e m são coplanares estão contidas no plano π e não se interceptam por estarem contidas em planos paralelos α e β são paralelos daí as retas n e m são paralelas De modo análogo n e m são coplanares estão contidas no plano π e não se interceptam por estarem contidas em planos paralelos α e β são paralelos daí as retas n e m são paralelas Então as retas n e n passam por P e ambas são paralelas à reta m Mas essa afirmação é uma falsidade porque por um ponto fora de uma reta podese traçar uma única paralela a reta dada Assim supor que existe outro plano β paralelo ao plano α e que passa por P conduz a uma falsidade Portanto não existe tal plano ou seja o plano β é único 34 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 35 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Resumindo Dois planos podem apresentar as seguintes posições relativas 33 Exercícios resolvidos 1 Considere que a reta r é paralela ao plano α e seja β um plano que contém a reta r e intercepta o plano α segundo a reta s Mostre que s é uma reta paralela à reta r Solução Comece observando que as retas r e s são coplanares pois estão contidas no plano β Além disso a reta r é paralela ao plano α e s está contida em α daí a reta r não intercepta a reta s Logo as retas r e s são coplanares e não se interceptam portanto as retas r e s são paralelas 2 Mostre que se uma reta r é paralela a dois planos secantes então r é paralela a reta interseção desses planos Solução Comece considerando uma reta r paralela aos planos α e β que se interceptam segundo uma reta s Note que a reta r não intercepta a reta s pois a reta r é paralela aos planos α e β Assim as retas r e s podem ser paralelas ou reversas Considere agora um ponto P da reta s e seja γ o plano determinado por P e r Assim o ponto P pertence aos planos β e γ Daí esses planos se interceptam segundo uma reta t que passa por P Veja a figura 33 Pelo exercício 1 as retas r e t são paralelas De modo análogo o ponto P também pertence ao plano α e ao plano γ Daí esses planos se interceptam segundo uma reta m que passa por P e m é também paralela a reta r 36 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Então temos duas retas t e m paralelas a reta r passando por P logo as retas t e m coincidem Observe então que m está contida em α m coincide com t e t está contida em β Assim a reta m está contida em β Logo m coincide com a reta interseção dos planos α e β ou seja a reta s Ora a reta r é paralela à reta m então você pode concluir que a reta r é paralela à reta s 3 Mostre que se uma reta r é paralela à reta t e a reta t é paralela à reta s então a reta r é paralela à reta s ou seja o paralelismo de retas goza da propriedade transitiva Solução Observe inicialmente que existem duas situações As retas r s e t são coplanares As retas r s e t não são coplanares Lembrese que o paralelismo na Geometria Plana goza da propriedade transitiva Assim na primeira situação você pode concluir que a reta r é paralela à reta s Considere então que as retas r s e t não são coplanares Nesse caso existem três possibilidades r e s são concorrentes r e s são reversas r e s são paralelas Suponha que r e s sejam concorrentes em um ponto P Observe que o ponto P não pertence à reta t pois a reta r é paralela à reta t Assim as retas r e s são duas paralelas à reta t passando por P Mas essa afirmação é uma falsidade pois por um ponto fora de uma reta podese traçar uma única reta paralela à reta dada Logo essa possibilidade conduz a uma falsidade e portanto as retas r e s não são concorrentes Suponha agora que r e s sejam reversas Como a reta s é paralela à reta t essas retas determinam um plano Seja α o plano determinado por s e t Observe que a reta r não está contida em α já que r e s são reversas Assim têmse duas possibilidades A reta r intercepta α em um ponto Q A reta r é paralela ao plano α Suponha que r intercepta α em Q Figura 34 Observe que como r é reversa com s e paralela a t o ponto Q não pertence nem a reta s nem a reta t Assim no plano α pelo ponto Q você pode traçar uma reta s paralela à reta t Daí as retas r e s são duas paralelas à reta t passando por P Mas essa afirmação é uma falsidade Logo a reta r não pode interceptar o plano α em um ponto Q 36 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 37 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Suponha agora que r é paralela ao plano α Figura 35 Considere um ponto M da reta s e seja β o plano determinado por M e r O ponto M pertence aos planos α e β daí esses planos se interceptam segundo uma reta r que é paralela à reta r ver exercício 1 acima Observe que s r e t são coplanares estão contidas no plano α Lembrese que no plano se r intercepta s irá interceptar qualquer outra paralela a s em particular a reta t Seja N o ponto de interseção de r e t Assim as retas r e t são duas retas distintas passando por N e paralelas à r E novamente a suposição que a reta r é paralela ao plano α conduz a uma falsidade Assim essa possibilidade também não acontece consequentemente as retas r e s não são reversas Portanto a terceira possibilidade é verdadeira ou seja as retas r e s são paralelas 4 Mostre que se um plano β intercepta um plano α então interceptará qualquer plano α paralelo ao plano α Solução Considere que α e α são planos paralelos e seja β um plano que intercepta o plano α segundo a reta s Assim duas possibilidades podem acontecer β e α são planos paralelos β e α se interceptam 38 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Suponha que β e α sejam planos paralelos Considere então um ponto P da reta s Assim o plano β e o plano α são paralelos ao plano α e passam por P Mas essa afirmação é uma falsidade Daí supor que β e α sejam planos paralelos conduz a uma falsidade Logo tal possibilidade não pode acontecer Portanto o plano β intercepta o plano α Observe ainda que se r é a reta interseção dos planos β e α então as retas r e s são coplanares estão contidas no plano β e não se interceptam estão contidas em planos paralelos α e α Daí as retas r e s são paralelas 5 Mostre que se uma reta r é secante a um plano α então será secante a qualquer outro plano α paralelo ao plano α Solução Sejam α e α planos paralelos e r uma reta que intercepta α no ponto P Duas possibilidades podem aconte cer A reta r e o plano α são secantes A reta r e o plano α são paralelos Suponha que a reta r seja paralela ao plano α Considere β um plano que contém a reta r e intercepta o plano α segundo a reta s Pelo exercício anterior o plano β intercepta também o plano α segundo uma reta s que é paralela à reta s Observe que as retas r s e s são coplanares estão contidas no plano β Lembrese então que na Geometria Plana se uma reta intercepta uma de duas paralelas interceptará também a outra Desse modo a reta r intercepta a reta s em um ponto Q Como s está contida em α então o ponto Q pertence ao plano α e daí a reta r intercepta o plano α em Q Mas essa afirmação contradiz a suposição que a reta r é paralela ao plano α Assim supor que a reta r é paralela ao plano α conduz a uma contradição Logo tal possibilidade não pode acontecer Portanto a reta r e o plano α são secantes 34 Exercícios propostos 1 Classifique as sentenças a seguir em verdadeiroV ou falsoF a Retas contidas em planos paralelos são paralelas b Se uma reta r é paralela a um plano então r é paralela a todas as retas desse plano c Se α e β são planos paralelos e a reta r está contida em α r é paralela ao plano β d Se uma reta r é secante a um plano α então r é secante a todas as retas de α 38 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 39 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA e Se uma reta r passa pelo ponto P que não pertence ao plano α e é paralela a uma reta contida em α então r é paralela ao plano α f Duas retas determinam um plano g Seja uma reta r é paralela aos planos α e β que se interceptam segundo uma reta t então toda reta r e t são paralelas h Se uma reta r é paralela ao plano α então toda reta s concorrente com r é paralela a α 2 Mostre que se uma reta é secante a um plano então ela é concorrente ou reversa as retas deste plano 3 Mostre que se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela ou reversa as retas deste plano 4 Sejam r e s duas retas reversas construa um plano contendo r e paralela à reta s 5 Construa por um ponto A um plano paralelo a duas retas reversas 35 Construção de modelo Um paralelepípedo é um sólido limitado por seis paralelogramos Cada paralelogramo é chamado face e o en contro de duas faces é chamado aresta Com palitos de churrasco e bolinhas de isopor construa um paralelepípedo de arestas AB AD e AE Observe a figura 41 40 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Utilize o modelo construído para fazer as atividades a seguir I Mostre que a As retas AH e BG são paralelas b As retas AE e BG são reversas c A reta AH é paralela o plano BGE d A interseção dos planos HGB e ABC é a reta AB e A reta MN é paralela ao plano ACH onde M e N são pontos médios dos segmentos AB e BC respectivamente II Se possível dê os exemplos pedidos utilizando os elementos do modelo Caso contrário justifique a sua res posta a Uma reta contida no plano DBG e paralela à reta HF b Uma reta contida no plano BCG e concorrente à reta AH c Uma reta contida no plano BCG e reversa à reta AH d Um plano que passa por C e é paralela aos planos ABF e EFG e De duas retas paralelas passando pelos pontos ABG e F f De exemplo de três retas tais que duas sejam paralelas duas sejam concorrentes e duas sejam reversas g Uma reta r paralela à reta MN que está contida no plano HAC h Uma reta s paralela à reta MN que está contida no plano ABF i Uma reta paralela à reta BG e concorrente à reta AF j Uma reta concorrente a apenas uma de duas retas paralelas III Identifique a A reta de interseção dos planos HFB e DFC b A reta interseção dos planos ACG e HGB A interseção da reta DF com o plano AEH VOCÊ SABIA A forma dos paralelepípedos inspirou e inspira até hoje os projetos arquitetônicos em todo o mundo Em Salvador Bahia o Edifício Casa do Comércio localizado na Avenida Tancredo Neves é um belo exemplo desse fato Você poderá ver fotos desse edifício no site httparquitetandonanetblogspotcom200904edificio casadocomerciosalvadorhtml Outro exemplo é Shopping Paralela também em Salvador Bahia inaugurado em 28 de abril de 2009 cuja fachada é composta de dois paralelepípedos sendo um deles um cubo Confira a beleza do conjunto no endereço httpptwikipediaorg wikiShoppingParalela 40 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 41 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 4 VOLUME DE SÓLIDOS Nesse capítulo será utilizada a noção intuitiva de que o volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupado Apesar de pouco precisa essa noção permite estabelecer métodos sistemáticos para o cálculo de volumes de sólidos em geral Você será orientado a construir cilindros e prismas e terá oportunidade de estudar os volumes e as áreas laterais desses sólidos 41 Axiomas e definições Definição 1 Um ponto P é um ponto interior de um sólido S se existe uma esfera de centro em P inteiramente contida em S Se P pertence a um sólido S mas não é um ponto interior de S dizse que P é um ponto da superfície de S Observe o sólido da figura 42 O ponto P é um ponto interior e o ponto R é um ponto da superfície desse sólido Definição 2 Dois sólidos são congruentes quando um deles pode ser obtido do outro através de translações rotações simetrias ou composições desses movimentos Na figura 43 o sólido S2 pode ser obtido do sólido S1 através de uma translação O sólido S3 pode ser obtido do sólido S1 através de uma simetria e o sólido S4 pode ser obtido do sólido S1 através de uma rotação Desse modo os sólidos S1 S2 S3 e S4 são congruentes Observe que todos esses movimentos modificam a posição do sólido no espaço mas não alteram a sua forma 42 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Axiomas Axioma I A cada sólido S está associado um número real não negativo chamado volume de S A notação VS será utilizada para designar o volume do sólido S Axioma II Sólidos congruentes possuem volumes iguais Axioma III Se um sólido S é a reunião de um número finito de sólidos que não têm pontos interiores em comum então o volume de S é a soma dos volumes desses sólidos Por exemplo na figura 44 temse VS VS VS VS VS 4 3 2 1 Axioma IV Considere S1 e S2 dois sólidos que podem ser apoiados em um plano α Se todo plano paralelo ao plano α que intercepta um desses sólidos intercepta também o outro segundo figuras de mesma área então esses sólidos têm mesmo volume Esse axioma é conhecido como Postulado de Cavalieri Observe que para utilizar este postulado os sólidos têm que ter necessariamente alturas iguais em relação ao plano α Para medir o volume de um sólido fazse uma comparação com uma unidade de medida A unidade que será utilizada neste texto é um cubo de aresta medindo uma unidade de comprimento A definição a seguir o ajudará a lembrar o que são um paralelepípedo um paralelepípedo retângulo e um cubo 42 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 43 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Definição 3 Um paralelepípedo é um sólido limitado por seis paralelogramos Cada paralelogramo é chamado face e o encontro de duas faces é chamado aresta A figura 46 ilustra um paralelepípedo onde os paralelogramos ABCD e BCGF são duas faces que se interceptam segundo a aresta BC Um paralelepípedo que possui todas as faces retangulares chamase paralelepípedo retângulo Caixas de sapatos geralmente possuem a forma de um paralelepípedo retângulo As pedras utilizadas para calçamento de algumas ruas conhecidas por paralelepípedos são na verdade paralelepípedos retângulos Na próxima vez que você for ao supermercado observe que várias mercadorias são acondicionadas em embalagens que possuem a forma de um paralelepípedo retângulo Costumase referir às medidas de três arestas não coplanares de um paralelepípedo retângulo como comprimento largura e altura do mesmo Observe a figura 47 Um paralelepípedo retângulo que possui comprimento largura e altura iguais é chamado cubo Agora que você está lembrado o que é um cubo podese estabelecer a unidade de medida de volume Axioma V Um cubo de arestas medindo uma unidade de comprimento possui volume igual a uma unidade de volume uv Costumase chamar um cubo de aresta medindo uma unidade de comprimento de cubo unitário O cubo unitário é a unidade de volume que será utilizada neste texto e será representado por C1 44 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Medir o volume de um sólido é comparar o espaço ocupado pelo mesmo com o espaço ocupado por um cubo unitário C1 Por exemplo o sólido S da figura 49 é composto de cinco cubos unitários daí seu volume ser igual a vu 5 51 5 VC VS 1 42 Volumes de um cubo e de um paralelepípedo retângulo A comparação direta do volume de um sólido S com o volume do cubo unitário na maioria das vezes é bem trabalhosa Por essa razão se estabelecem algumas fórmulas teoremas visando simplificar a obtenção de volumes de sólidos Nessa seção você conhecerá duas dessas fórmulas a que calcula o volume de um cubo qualquer e a que calcula o volume de um paralelepípedo retângulo Teorema 1 Um cubo C cuja aresta mede o número real n possui volume n3 Demonstração Esta demonstração será feita em três etapas 1a etapa O número n é um inteiro Construa um cubo de aresta medindo duas unidades de comprimento justapondo cubos unitários Quantos cubos unitários você utiliza nessa construção Comece justapondo dois cubos unitários e observe que o paralelepípedo retângulo construído possui compri mento 2 largura 1 e altura 1 ou ainda dimensões 2 1 1 Em seguida justaponha mais dois cubos unitários como mostra a figura 50 Esse novo paralelepípedo possui dimensões 2 1 2 Finalmente justaponha mais quatro cubos unitários como ilustra a figura 51 e você terá construído um cubo de aresta medindo 2 unidades de comprimento ou seja um cubo de dimensões 2 2 2 Assim foram necessários 23 2 2 2 cubos unitários para construir um cubo de aresta medindo duas unidades de comprimento Repita o raciocínio para construir um cubo de aresta medindo três unidades de comprimento Observe que nesse caso serão necessários 33 3 3 3 cubos unitários 44 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 45 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Você pode concluir então que para construir um cubo C com aresta medindo um número inteiro n serão neces sários n3 n n n cubos unitários E então o volume desse cubo poderá ser calculado como 3 3 1 n 1 n VC n n n VC uv Logo o teorema está provado para n igual a um número inteiro 2a etapa O número n é racional Inicialmente considere um cubo C de aresta medindo 2 n 1 Justapondo dois cubos de aresta medindo 2 n 1 você obterá um paralelepípedo retângulo de dimensões 2 1 2 1 1 como ilustra a figura 52 Em seguida justaponha mais dois cubos de arestas medindo 2 1 como ilustra a figura 53 assim você terá construído um paralelepípedo retângulo de dimensões 2 1 1 1 Finalmente justapondo mais quatro cubos de arestas medindo 2 1 você obterá um cubo unitário Assim foram necessários 23 2 2 2 cubos de aresta medindo 2 1 para construir um cubo unitário Se o cubo C possuísse aresta medindo 3 n 1 unidades de comprimento quantos cubos iguais a C seriam necessários para construir um cubo unitário Acompanhe o raciocínio no comprimento seriam necessários três cubos iguais a C 1 3 3 1 na largura três e na altura mais três Assim seriam necessários 33 3 3 3 cubos de aresta medindo 3 1 para construir um cubo unitário De modo análogo se um cubo C2 possui aresta medindo q 1 serão necessários q3 q q q cubos iguais a C2 para construir um cubo unitário C1 Então VC q VC q q q VC 2 3 2 1 Daí vu q 1 VC q 1 C V 3 1 3 2 46 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Agora considere um cubo C de aresta medindo 2 3 unidades de comprimento Com cubos C2 de aresta medindo 2 1 construa o cubo C Observe a figura 54 Nesse caso seriam necessários 33 3 3 3 cubos iguais a C2 para construir um cubo C de aresta medindo 2 3 unidades de comprimento Quantos cubos iguais ao cubo C2 seriam necessários para construir um cubo C de aresta medindo 2 5 unidades de comprimento Observe o raciocínio no comprimento seriam necessários cinco cubos iguais a C2 2 5 2 5 1 na largura cinco e na altura mais cinco Assim seriam necessários 53 5 5 5 cubos de aresta medindo 2 1 para construir um cubo C de aresta medindo 2 5 unidades de comprimento De modo análogo se um cubo C possui aresta medindo q p serão necessários p3 p p p cubos C2 de arestas medindo q 1 para construir um cubo C Então vu q p q 1 p VC p p p C V 3 3 3 2 Logo o teorema também está provado para n igual a um número racional q p 3a etapa O número n é irracional Nesse caso será utilizado o método de exaustão que se baseia na análise das possibilidades eliminando uma a uma até que só sobre uma que é a verdadeira Aqui será mostrado que qualquer número real a n3 não é o volume de um cubo C de aresta n pois a é menor que o volume do cubo C E que qualquer número real b n3 não é o volume de um cubo C de aresta n pois b é maior que o volume do cubo C Desse modo a única possibilidade que restou é que o volume do cubo C é igual a n3 assim esta é a possibilidade verdadeira Para demonstrar esses fatos será utilizado um resultado de Análise que diz Dados dois números reais p q existe um número racional r tal que p r q Você terá oportunidade de estudar com mais detalhes essa proposição quando fizer a disciplina Análise 46 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 47 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Considere então que a é um número real menor que n3 ou seja a n3 Daí n 3 a Utilizando o resultado de Análise existe um número racional r tal que n r 3 a Assim você pode construir no interior do cubo C de aresta n um cubo C de aresta r e por esta razão que o volume de C é menor do que o volume de C ou seja VC VC Então VC VC r a a 3 3 3 Logo o número a é menor que o volume do cubo C Considere agora que b é um número real maior que n3 ou seja n3 b Daí n 3 b Utilizando o resultado de Análise existe número racional s tal que 3 b s n Assim você pode construir no interior do cubo C de aresta s um cubo C de aresta n Daí o volume de C é maior do que o volume de C ou seja V C VC Então b b s VC VC 3 3 3 Logo o número b é maior que o volume do cubo C Ora se a n3 então a é menor que o volume do cubo C e se n3 b então b é maior que o volume do cubo C logo o volume do cubo C é igual a n3 Esse argumento completa a demonstração e você já pode utilizar a fórmula 3 Cubo n V n um número real qualquer Teorema 2 Seja C um paralelepípedo retângulo de dimensões comprimento a largura b e altura c O volume de C é igual ao produto a b c 48 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 A demonstração desse teorema pode ser feita de modo semelhante ao teorema 1 Observe a figura 57 O produto ab é igual à área da base ABCD do paralelepípedo e c é igual à altura corres pondente a essa base Assim você pode considerar que VC a b c área da base x altura Observe ainda que a base escolhida pode ser qualquer uma Por exemplo se você escolher a base BCGF então a área dessa base é bc e a altura correspondente é a Daí o volume do paralelepípedo C é dado por b c a VC ou seja não houve alteração do volume de C pois o produto de números reais é comutativo 43 Volume de um prisma e áreas laterais e totais de prismas Nessa seção você terá a oportunidade de conhecer as definições de cilindros e prismas estudar suas proprie dades e estabelecer as fórmulas que determinam o volume e as áreas laterais e totais de um prisma Definição 4 Em um plano α considere uma curva simples C sem autointerseções Seja g um segmento de reta não paralelo ao plano α Considere P um ponto da curva C ou da região limitada por C Em um dois semiespaços determinados pelo plano α para cada ponto de P construa um segmento de reta congruente e paralelo a g O sólido formado pela reunião de todos esses segmentos é chamado de cilindro de base C e geratriz g A figura 58 ilustra um cilindro de base C e geratriz g Quando a geratriz g é perpendicular ao plano da base C dizse que o cilindro é reto caso contrário dizse que o cilindro é oblíquo Definição 5 Um cilindro cuja base é um polígono região poligonal é chamado prisma Você poderá construir o prisma ilustrado na figura 59 seguindo as instruções que se encontram na planificação 01 do Anexo 1 O modelo desse prisma vai auxiliálo na análise que será realizada no parágrafo seguinte 48 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 49 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Pela definição de cilindro os segmentos A1B1 A2B2 A3B3 A4B4 e A5B5 são todos paralelos e congruentes ao segmento g Esses segmentos são chamados arestas laterais Assim as arestas laterais de um prisma são para lelas e congruentes Consequentemente os quadriláteros A1A2B2B1 A2A3B3B2 A3A4B4B3 A4A5B5B4 e A5A1B1B5 são paralelogramos Esses paralelogramos são chamados faces laterais Costumase nomear um prisma de acordo com a sua base ou seja se a base for um pentágono dizse que o prisma é pentagonal Um prisma cuja base é um quadrilátero dizse que é um prisma quadrangular Observe que um paralelepípedo é um prisma quadrangular cuja base é um paralelogramo E o paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular cuja base é um retângulo Você poderá montar modelos que representam paralelepípedos utilizando as planificações 2 e 3 do Anexo 1 Definição 6 A interseção de um prisma com um plano paralelo ao plano da base é chamada seção meridiana Por exemplo considere o prisma ilustrado na figura 60 Seja α o plano que contém a base desse prisma e β um plano paralelo ao plano α Assim o polígono LMNOK é uma seção meridiana desse prisma Construa o modelo 4 do Anexo 1 e encaixe no modelo 1 que você já construiu Assim você poderá identificar a seção meridiana LMNOK no plano β Proposição 1 Toda seção meridiana de um prisma é congruente com a base do mesmo Demonstração Vamos orientálo a mostrar que os polígonos LMNOK e A1A2A3A4A5 ilustrados na figura 60 são congruentes Comece observando que as retas A1K e A2L são paralelas pois as arestas laterais de um prisma são paralelas Lembrese que duas retas paralelas determinam um plano seja π o plano determinado pelas retas A1K e A2L Ob serve que as retas A1A2 e KL estão contidas em π pois cada uma dessas retas possui dois pontos que pertencem ao plano π Além disso as retas A1A2 e KL não se interceptam por estarem contidas nos planos α e β respecti vamente e esses planos são paralelos Assim as retas A1A2 e KL são coplanares e não se interceptam Daí você pode concluir que essas retas são paralelas Logo o quadrilátero A1A2LK possui os lados opostos paralelos portanto esse quadrilátero é um paralelogramo Consequentemente os segmentos A1A2 e KL são congruentes De modo análogo você pode mostrar que os pares de lados A2A3 e JM A3A4 e MN A4A5 e NO e A5A1 e OK são congruentes Então os polígonos LMNOK e A1A2A3A4A5 possuem lados congruentes É necessário ainda mostrar que esses polígonos possuem ângulos correspondentes congruentes Para isso considere os triângulos A1A2A5 e KLO ilustrado na figura 60 Você pode mostrar que os lados A2A5 e LO são con gruentes de modo semelhante ao empregado para mostrar que os lados A1A2 e KL são congruentes Tente É um bom exercício E é só seguir os passos que foram dados naquela demonstração 50 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Assim os triângulos A1A2A5 e KLO possuem lados correspondentes congruentes daí são congruentes pelo caso LadoLadoLado Daí os ângulos 2 1 5 A A A e OKL são congruentes pois são ângulos correspondentes em triân gulos congruentes De modo análogo você pode mostrar que os polígonos LMNOK e A1A2A3A4A5 possuem ângulos correspondentes congruentes Assim os polígonos LMNOK e A1A2A3A4A5 são congruentes Portanto você pode concluir que toda seção meridiana de um prisma é congruente com a base do mesmo Volte a observar o prisma da figura 60 O polígono B1B2B3B4B5 é uma seção meridiana desse prisma pois está contido no plano B1B2B3 que é paralelo ao plano α De fato o plano B1B2B3 contém as retas concorrentes B1B2 e B1B3 e essas retas são respectivamente paralelas às retas A1A2 e A1A3 contidas no plano α Você pode então concluir que os polígonos A1A2A3A4A5 e B1B2B3B4B5 são congruentes Como A1A2A3A4A5 é a base do prisma costumase dizer que B1B2B3B4B5 é também uma base desse prisma ou seja um prisma possui duas bases Chamase altura de um prisma a distância entre as bases do mesmo Teorema 3 O volume de um prisma é igual ao produto da área de sua base pela sua altura Demonstração Construa os modelos concretos 1 e 3 do Anexo 1 eles facilitarão o entendimento dessa demonstração Comece considerando um prisma e um paralelepípedo retângulo de mesma altura e bases com áreas iguais apoiados em um plano α Como o prisma e o paralelepípedo possuem alturas iguais todo plano β paralelo ao plano α que intercepta o prisma interceptará também o paralelepípedo Construa o modelo 5 do Anexo 1 e encaixe os modelos 1 e 3 Vamos orientálo a mostrar que essas seções meridianas possuem áreas iguais para poder utilizar o Postulado de Cavalieri Você está lembrado desse postulado Releia o axioma IV Agora considere que as seções meridianas do prisma e do paralelepípedo no plano β são o polígono P e o retângulo R respectivamente Utilizando a proposição 1 você pode concluir que o polígono P é congruente com a base do prisma Ora polígo nos congruentes possuem áreas iguais Assim o polígono P possui área igual à área da base do prisma Utilizando raciocínio análogo você pode concluir que o retângulo R e a base do paralelepípedo retângulo também possuem áreas iguais Mas por hipótese as bases do prisma e do paralelepípedo possuem áreas iguais daí o polígono P e o retângulo R possuem áreas também iguais Então o Postulado de Cavalieri garante que o prisma e o paralelepípedo retângulo possuem volumes iguais Como o volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área de sua base pela sua altura você pode concluir que o volume de um prisma é também o produto da área de sua base pela sua altura Calcule o volume do prisma do modelo 1 utilizando o teorema 1 Para isso basta você multiplicar a área da base desse prisma pela sua altura Você já sabe que as faces laterais de um prisma são paralelogramos A soma das áreas desses paralelogramos faces laterais é chamada área lateral do prisma A soma da área lateral de um prisma com as áreas de suas bases 50 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 51 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA é chamada área total do prisma Por exemplo no prisma ilustrado na figura 62 a área lateral Slateral é dada pela soma das áreas dos paralelogramos ABED BCFE e ACFD ou seja ACFD BCFE ABED lateral S S S S E a área total Stotal é dada pela soma de Slateral com as áreas das bases ABC e DEF ou seja ABC lateral total 2 S S S Calcule a área lateral e a área total do paralelepípedo do modelo 3 do Anexo 1 Lembrese de que um retângulo é um paralelogramo e que a área de um paralelogramo é dada pelo produto do comprimento de uma de suas bases pela altura correspondente 44 Volume de um cilindro e áreas laterais e totais Na seção anterior você conheceu a definição de cilindro nessa seção você aprenderá a calcular o volume de um cilindro circular e as áreas laterais e totais do mesmo Definição 7 Um cilindro cuja base é um círculo é chamado cilindro circular O cilindro circular é comumente chamado cilindro Você mesmo já deve ter ouvido alguém falar cilindro para se referir ao cilindro circular Neste texto a partir desse parágrafo também será utilizada a palavra cilindro sig nificando cilindro circular Mas você já sabe que existem outros cilindros que não são circulares como a exemplo dos prismas Você poderá utilizar as planificações 06 cilindro reto e 07 cilindro oblíquo do Anexo 1 para construir cilindros Esses modelos irão auxiliálo a desenvolver a visão espacial e consequentemente você compreenderá com mais facilidade os parágrafos seguintes A interseção de um cilindro com um plano paralelo ao plano da base é também chamada seção meridiana Proposição 2 Toda seção meridiana de um cilindro possui a mesma área que a base do mesmo 52 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Demonstração Considere um cilindro de geratriz g e cuja base está contida no plano α Seja β um plano paralelo ao plano α que intercepta esse cilindro Considere também que a base desse cilindro possui centro no ponto O e que OC seja um raio qualquer desse círculo Observe a figura 63 Utilizando a definição de cilindro você pode concluir que as retas OO e CC são paralelas pois são ambas paralelas à geratriz g Daí os segmentos OO e CC são paralelos Por outro lado os segmentos OC e OC são coplanares porque estão contidos no plano das paralelas OO e CC já que possuem dois de seus pontos nesse plano Além disso os segmentos OC e OC não se interceptam por estarem contidos nos planos α e β respecti vamente que são paralelos Assim você pode concluir que os segmentos OC e OC são também paralelos Logo o quadrilátero OCCO possui lados opostos paralelos e daí OCCO é um paralelogramo Consequentemente OC e OC são congruentes Como OC foi um raio qualquer do círculo da base você pode concluir que a interseção do cilindro com o plano β é um círculo de centro em O e que o raio desse círculo é igual ao raio do círculo da base do cilindro Portanto toda seção meridiana de um cilindro possui a mesma área que a base do mesmo Volte a observar o cilindro da figura 63 O círculo de centro em O e raio OC é também uma seção meridiana desse cilindro daí possui área igual à área da base do cilindro Costumase também dizer que o círculo de centro O e raio OC é também uma base do cilindro Assim o cilindro possui duas bases que estão contidas em planos paralelos como também acontece com as bases de um prisma Chamase altura de um cilindro a distância entre os planos que contém as bases do mesmo Teorema 4 O volume de um cilindro é igual ao produto da área de sua base pela sua altura ou seja h R V 2 π onde R é o raio do cilindro e h é a sua altura Demonstração Considere um paralelepípedo retângulo cuja área da base e a altura sejam respectivamente iguais à área da base e altura do cilindro Os modelos 03 e 06 do Anexo 1 satisfazem as essas condições por isso você pode utilizálos para facilitar o entendimento da demonstração Construa também o modelo 08 encaixe os modelos 03 e 06 no modelo 08 e apóie esse conjunto numa mesa A mesa representa o plano α que contém as bases do paralelepípedo e do cilindro Como o cilindro e o paralelepípedo possuem a mesma altura todo plano β paralelo ao plano α que intercepta um desses sólidos interceptará também o outro Vamos orientálo a mostrar que as seções meridianas do cilindro e do paralelepípedo no plano β possuem áreas iguais assim podese utilizar o Postulado de Cavalieri 52 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 53 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Comece considerando que as seções meridianas do cilindro e do paralelepípedo no plano β são o círculo C e o retângulo R respectivamente Veja a figura 65 Utilizando a proposição 2 você pode concluir que o círculo C possui área igual à área da base do cilindro A proposição 1 garante que o retângulo R e a base do paralelepípedo retângulo também possuem áreas iguais Por hipótese as bases do cilindro e do paralelepípedo possuem áreas iguais daí o círculo C e o retângulo R possuem áreas também iguais Então o Postulado de Cavalieri garante que o cilindro e o paralelepípedo retângulo possuem volumes iguais Como o volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área de sua base pela sua altura você pode concluir que o volume de um cilindro é também o produto da área de sua base pela sua altura Ou seja h R V 2 π onde R é o raio do cilindro e h é a sua altura Você já sabe calcular as áreas laterais e totais de um prisma Agora terá a oportunidade de aprender a calcular as áreas laterais e totais de um cilindro Comece considerando um cilindro circular reto Imagine que você possa retirar as bases do cilindro fazer um corte na direção de uma geratriz e abrir o cilindro de modo que possa representálo em um plano Nesse processo você obtém um retângulo cujos lados possuem medidas iguais a altura h do cilindro e ao comprimento do círculo da base ou seja 2πR onde R é o raio do círculo da base Desse modo a área lateral do cilindro é igual à área desse retângulo daí A área total do cilindro é igual à soma da área lateral com as áreas das bases ou seja Por exemplo considere que um cilindro circular reto possui raio da base igual a 4 cm e que a sua altura seja 10 cm Então Observe a planificação do cilindro oblíquo modelo 07 do Anexo 1 A área lateral desse cilindro não pode ser calculada como no cilindro circular reto pois depois de aberto você não obtém um retângulo Nesse caso a área lateral é a área entre duas curvas senóides e para calcular essa área você vai precisar do conceito de Integral definida 54 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Resumindo Prismas O volume e a área total de um prisma podem ser calculados pelas fórmulas h S V base prisma e base lateral total 2 S S S Cilindros O volume e a área total de um cilindro podem ser calculados pelas fórmulas e 45 Exercícios resolvidos 1 Considere o cubo ABCDEFGH cuja aresta mede 6 cm ilustrado na figura 68 Os pontos M N P e Q são pontos médios das arestas deste cubo Determine a O volume do sólido AMNCDEQPGH b A razão entre os volumes do cubo e do cilindro inscrito nesse cubo Solução a Observe inicialmente que o sólido AMNCDEQPGH é um prisma cuja base é o pentágono AMNCD e a altura é igual ao comprimento de uma aresta do cubo Assim o volume desse prisma pode ser calculado como o produto da área desse pentágono pela altura A área do pentágono pode ser obtida pela diferença entre a área do quadrado ABCD e da área do triângulo MBN retângulo em B ou seja Então Daí 54 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 55 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA b O volume do cubo é igual ao comprimento da sua aresta elevado ao cubo daí 216 6 V 3 cubo cm3 Por outro lado como o cilindro está inscrito no cubo a sua base está inscrita na base do cubo e a sua altura é igual à aresta do cubo Veja a figura 69 Assim base do cilindro é um círculo de raio igual à metade do lado do quadrado ABCD ou seja o raio é igual a 3 cm Então o volume do cilindro é dado por Lembrese que a área de um círculo é dada pela fórmula Portanto a razão entre o volume do cubo e do cilindro é igual a Você ainda pode escrever a razão Considerando que o número π é aproximadamente igual a três essa última razão se aproxima do número 4 3 Daí cubo cilindro cubo cilindro 4 V 3 V 4 3 V V aproximadamente Ou seja o volume do cilindro corresponde a você dividir o volume do cubo em quatro partes iguais e considerar três dessas partes Assim o sólido vazado obtido quando do cubo se retira o cilindro possui volume igual a um quarto do volume do cubo Os seus olhos podem até duvidar que isso seja verdade mas os cálculos matemáticos estão corretos 2 Calcule o volume de um prisma oblíquo sabendo que a base é um hexágono regular de lado medindo 2 cm que a aresta lateral mede 5 cm e forma com o plano da base um ângulo de 60o Solução Comece lembrando que todo hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos equiláteros e congruentes cujo lado é igual ao do hexágono observe a figura 71 Assim a área desse hexágono é igual a seis vezes a área de um desses triângulos 56 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Considere então o triângulo ABO da figura 71 A altura h relativa à base AB pode ser calculada como Como o lado do triângulo é igual ao lado do hexágono temse que Daí 3 2 3 2 h cm Então você já pode calcular a área do triângulo ABO Daí a área do hexágono da base do prisma será Agora volte a observar o prisma da figura 70 A altura H desse prisma pode ser calculada utilizando o triângulo CCP Assim E o volume do prisma é dado por 3 Determine o volume e a área total de um prisma reto de 10 cm de altura e cuja base é um hexágono regular de apótema 3 3 cm Solução Comece lembrando que apótema é o raio do círculo inscrito em um polígono regular Observe a figura 72 Note que o apótema a coincide com a altura do triângulo ABO Assim você pode escrever 56 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 57 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Daí a área do triângulo ABO será E a área da base desse prisma é dada por cm2 Você já aprendeu que um cilindro é reto quando a geratriz g é perpendicular ao plano da base Como um prisma é um cilindro dizse de modo análogo que um prisma é reto quando a sua geratriz é perpendicular ao plano da base Assim as arestas laterais de um prisma reto são perpendiculares ao plano da base e a altura do mesmo é igual ao comprimento de uma aresta lateral Observe a figura 73 ela ilustra o prisma hexagonal reto do problema Então o volume desse prisma é dado por cm2 Por outro lado a área total do prisma é dada pela fórmula base lateral total 2 S S S Considere a face lateral ABBA desse prisma Essa face é um retângulo de lados medindo e Daí a área dessa face é dada por cm2 Observe também que todas as faces laterais desse prisma são congruentes Assim a área lateral desse prisma é seis vezes a área do retângulo ABBA ou seja Logo a área total é dada por 4 Um cilindro circular reto onde a altura e o diâmetro da base possuem comprimentos iguais é chamado equi látero Determine a área lateral de um cilindro eqüilátero cuja altura mede 15 cm Solução A área lateral de um cilindro equilátero é igual à área de um retângulo de lados medindo 2πr e 2r Observe a figura 74 Assim a área lateral desse cilindro é dada por Por outro lado a sua altura é igual ao diâmetro da base ou seja 58 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Daí 46 Exercícios propostos 1 Um prisma reto é dito regular se sua base é um polígono regular Calcule o volume de um prisma quadrangular regular sendo 3 cm a medida do apótema da base e sua altura igual 10 cm 2 Determine a medida da aresta da base de um prisma triangular regular sendo seu volume igual a 12 3 cm3 e a sua altura igual a 3 cm 3 Um prisma hexagonal regular possui aresta da base medindo 4 cm Determine o volume e a área lateral desse prisma sabendo que a sua altura é 10 cm 4 Determine o volume de um cilindro equilátero cuja área lateral é igual a 100 π cm2 5 A base de um prisma é um octógono regular que está inscrito na base de um cilindro circular reto Sabendo se que o volume desse prisma é igual a 72 2 72 cm3 e que o diâmetro da base do cilindro mede 6 cm determine a A altura desse prisma b O volume do cilindro c A área total do cilindro 6 Determine o volume de um cilindro cujo raio da base mede 5 cm as geratrizes medem 15 cm e formam com o plano da base um ângulo de 60o 7 Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço que tem quatro metros de diâmetro e quinze metros de profundidade 8 Um copo em forma de um cilindro circular reto de diâmetro igual a 6 cm e altura igual a 9 cm fica completamente cheio se colocarmos certo volume de refrigerante e dois cubos de gelo de aresta medindo 3 cm Calcule quantos copos iguais a esse se pode encher com uma garrafa de refrigerante de 1 litro Lembrese de que 1 decímetro cúbico corresponde a 1 litro 9 A figura 76 representa dois tanques um de forma cilíndrica de 6 metros de altura e 4 metros de raio outro de forma prismática de altura 15 metros e de área da base igual a 4πm2 O tanque cilíndrico encontrase em uma plataforma 6 metros acima da plataforma em que se encontra o tanque de forma prismática e estão ligados por uma tubulação controlada por uma válvula Inicialmente a válvula está fechada o tanque cilíndrico possui 58 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 59 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA certo volume de água e o tanque de forma prismática está vazio Quando a válvula é aberta este sistema se transforma em um sistema de vasos comunicantes que entra em equilíbrio quando a coluna de água no tanque cilíndrico é igual a 3 metros Desprezando a água que se encontra na tubulação determine a O volume de água transferido do tanque cilíndrico para o tanque de forma prismática quando a válvula é aberta b O volume de água que inicialmente se encontrava no tanque cilíndrico Lembrese de que o nível do líquido tem que ser o mesmo em todos os vasos comunicantes 10 Para confeccionar uma peça vazada ilustrada na figura 77 utilizamse dois cilindros um de base quadrada e outro de base circular Sabese que as bases desses cilindros possuem o mesmo centro e que o raio de uma delas é igual a um terço do lado da outra Considerando 6 cm 6 cm e 10 cm as dimensões do cilindro de base quadrada e que a densidade do material utilizado é 2 grcm3 determine a massa necessária desse material para construir esta peça Lembrese de que a densidade d é a razão entre a massa m e o volume V ou seja V d m Respostas 1 Vprisma 360 cm3 2 L 4 cm 3 Vprisma 240 3 cm3 Slateral 240 cm2 4 5 a h 4 cm b c 42 6 7 Foram escavados 60 π m3 de terra 8 Aproximadamente cinco copos 9 a 36 π m3 b 84 π m3 10 Aproximadamente 4688 gramas 60 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 47 Construção de modelo Nessa seção você aprenderá como construir modelos concretos de cilindros Materiais necessários 1 Duas tampas plásticas idênticas que vêm nas latas de leite em pó achocolatados etc 2 Um rolo de cordão grosso de preferência colorido 3 Uma tesoura de ponta 4 Um rolo de papelão que é utilizado para enrolar o papel higiênico 5 Fita crepe e cola quente ou cola instantânea Modo de fazer Passo 1 Fixe as duas tampas plásticas pelas bases enrolando a fita crepe em volta das mesmas Com a ponta da tesoura faça orifícios nas duas tampas ao redor da borda que dê para passar o cordão espaçados em mais ou menos um centímetro Observe a figura 78 Por fim retire a fita crepe Passo 2 Posicione o rolo de papelão nos interiores das tampas e fixe esse conjunto com o auxílio da fita crepe Passo 3 Passe o cordão pelos orifícios das tampas como mostra a figura 79 de modo que o cordão fique reto Não estique muito o cordão nem o deixe folgado assim os segmentos do cordão entre as tampas serão todos de mesmo com primento Lembrese que os mesmos são todos congruentes a geratriz g Depois de passar por todos os orifícios una as duas pontas do cordão e dê um nó 60 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 61 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Passo 4 Cole o cordão nas tampas passando a cola na parte exterior das mesmas Desse modo você estará impedindo que o cordão se mova entre as tampas Passo 5 Com a tesoura destrua o rolo de papelão e o retire do interior das tampas O modelo está pronto Segure as tampas com as mãos de modo que o cordão fique esticado Deslocando as tampas em planos paralelos você fará com que os segmentos representados pelo cordão fiquem perpendiculares ou oblíquos aos planos das tampas No primeiro caso você obterá um cilindro circular reto e no segundo caso um cilindro circular oblíquo Use a imaginação e tente construir prismas utilizando a mesma idéia VOCÊ SABIA Você já observou que a maioria das embalagens possui formato geométrico ou seja são cilíndricas cúbicas ou paralelepípedos retângulos Por que será que essas formas foram escolhidas Quais as vantagens de cada uma Você poderá saber um pouco sobre as formas das embalagens no endereço http wwwfamatufubrrevistarevistaabril2005salaaulaEnsinoFlaviaCarlaRosanapdf 62 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 5 PERPENDICULARISMO DE RETA E PLANO Neste capítulo você conhecerá a noção de reta perpendicular a plano Esta noção é imprescindível no cálculo de volumes de sólidos como verá mais à frente Inicialmente será apresentado o conceito de ângulo entre duas retas e em seguida as propriedades fundamentais de retas perpendiculares a planos 51 Ângulo entre duas retas Definição 1 Sejam r e s retas coplanares então Se r e s são retas paralelas dizse que o ângulo entre r e s é 0 Se r e s são concorrentes considere P o ponto de interseção de r e s Dizse que o ângulo entre r e s é o ângulo determinado pelas semiretas onde A e B são pontos de r e s res pectivamente Se r e s são retas reversas o ângulo entre r e s é o ângulo entre a reta r e uma reta s paralela à reta s e que é concorrente com a reta r Usase a notação r s para representar o ângulo entre as retas r e s Então você pode concluir que o ângulo entre duas retas quaisquer varia entre 0o e 900 ou seja Definição 2 Duas retas r e s são ditas ortogonais se r s 90 Se além de ortogonais as retas r e s forem concorrentes então se diz que r e s são perpendiculares 52 Propriedades de reta perpendiculares a planos Definição 3 Considere r uma reta secante ao plano α no ponto P Dizse que a reta r é perpendicular ao plano α se somente se a reta r é perpendicular a todas as retas do plano α que passam pelo ponto P O ponto P é chamado pé da perpendicular 62 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 63 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Definição 4 Se uma reta r é secante ao plano α e não é perpendicular a esse plano então se diz que r é oblíqua ao plano α Considere agora uma reta r perpendicular a um plano α em um ponto P Imagine que o plano α a reta r e o ponto P são representados pela superfície da mesa por uma caneta e pela ponta da caneta em contato com a mesa respectivamente Pense e responda Quais as medidas dos ângulos entre a reta r e uma reta s contida no plano α A proposição a seguir garante que as medidas desses ângulos são iguais a 90o Proposição 1 Se uma reta r é perpendicular ao plano α no ponto P então a reta r é ortogonal a todas as retas s contidas no plano α Demonstração Observe que duas possibilidades podem acontecer Ps Como a reta r é perpendicular ao plano α no ponto P então r é perpendicular a todas as retas contidas no plano α e que passam por P em particular a reta r é perpendicular à reta s Logo r e s são ortogonais Ps Observe que nesse caso r e s são retas reversas Considere então uma reta s que passa por P e é paralela à reta s Assim e consequentemente Portanto r e s são ortogonais Imagine agora que uma reta r é secante ao plano α no ponto P e você deseja verificar se essa reta é perpendicu lar ao plano α Pela definição 3 você deveria mostrar que a reta r é perpendicular a todas as retas do plano α que passam pelo ponto P E quantas são as retas contidas no plano α e que passam por P 64 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 A resposta dessa indagação é infinitas retas Esse fato mostrar que utilizar a definição 3 para verificar se uma reta é perpendicular a um plano não é uma tarefa tão simples O teorema a seguir facilita esta tarefa pois garante que se uma reta r é perpendicular a duas retas concorrentes contidas em um plano então a reta r é perpendicular a este plano Teorema 1 Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano então ela é perpendicular ao plano A demonstração desse teorema utiliza congruência de triângulos várias vezes Para facilitar o entendimento da mesma construa o modelo 1 descrito na seção 56 desse capítulo e acompanhe a demonstração pelo modelo Demonstração Sejam r e s retas do plano α que concorrem em O e t uma reta perpendicular comum às retas r e s Devese mostrar que a reta t é perpendicular a qualquer reta do plano α que passa pelo ponto O Considere então n uma reta qualquer do plano α que passa por O Assim é suficiente mostrar que as retas t e n são perpendiculares Para isso considere os pontos A e B das retas r e s respectivamente que são distintos do ponto O Considere também X o ponto que a reta n intercepta o segmento AB e dois pontos da reta t P e Q tais que d QO d PO Observe os triângulos AOP e AOQ Eles são congruentes Qual o caso de congruência Acompanhe 1 O lado AO é lado comum desses triângulos 2 Como a reta t é perpendicular à reta r então Os lados PO e QO desses triângulos possuem medidas iguais por construção Logo você pode concluir que os triângulos AOP e AOQ são congruentes pelo caso LAL Assim os lados PA e QA possuem medidas iguais pois são lados correspondentes em triângulos congruentes De modo análogo você pode mostrar que os triângulos BOP e BOQ são congruentes pelo caso LAL Tente fazer essa demonstração seguindo os passos 1 2 e 3 acima Como consequência dessa congruência os segmentos PB e QB também possuem as mesmas medidas No modelo 1 observe os triângulos ABP e ABQ Esses triângulos são congruentes Qual o caso de congruência Acompanhe 1 O lado AB é lado comum desses triângulos 2 Os lados PA e QA possuem as mesmas medidas 3 Os lados PB e QB possuem as mesmas medidas 64 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 65 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Assim você pode dizer que os triângulos ABP e ABQ são congruentes pelo caso LLL Consequentemente os ân gulos PAB e QAB possuem medidas iguais pois são ângulos correspondentes em triângulos congruentes Observe o modelo 1 Note que os ângulos PAB e PA X são iguais E o mesmo acontece com os ângulos QAB e QA X Ora como PAB e QAB possuem medidas iguais você pode concluir que os ângulos PA X e QA X também possuem medidas iguais Volte a observar o modelo 1 Focalize os triângulos PAX e QAX E esses triângulos são também congruentes Qual o caso de congruência Acompanhe 1 Os lados PA e QA possuem as mesmas medidas 2 O lado AX é lado comum desses triângulos 3 Os ângulos PA X e QA X possuem medidas iguais Você pode concluir então que os triângulos PAX e QAX são congruentes pelo caso LAL Consequentemente os lados PX e QX possuem as mesmas medidas pois são lados correspondentes em triângulos congruentes Volte mais uma vez a observar o modelo 1 Os triângulos POX e QOX são congruentes Qual o caso de congru ência Acompanhe 1 Os lados PO e QO desses triângulos possuem medidas iguais por construção 2 O lado OX é lado comum desses triângulos 3 Os lados PX e QX possuem as mesmas medidas Assim você pode concluir que os triângulos POX e QOX são congruentes pelo caso LLL Consequentemente os ângulos PO X e QO X possuem medidas iguais pois são ângulos correspondentes em triângulos congruentes Observe no modelo 1 que a soma das medidas desses ângulos é igual a 180o Logo você pode concluir que a medida de cada um desses ângulos é igual a 90o Portanto a reta t é perpendicular à reta n Lembrese de que a reta n foi escolhida uma reta qualquer do plano α passando por P Assim fica demonstrado que a reta t é perpendicular a todas as retas do plano α que passam por P Portanto a reta t é perpendicular ao plano α O corolário a seguir mostra que as retas r e s contidas no plano α não precisam passar pelo ponto O ponto onde a reta t fura esse plano ou seja o fato de que a reta t seja ortogonal a duas retas concorrentes contidas no plano α é suficiente para garantir que a reta t é perpendicular ao plano α Corolário 1 Se uma reta t é ortogonal com duas retas r e s concorrentes de um plano α então ela é perpendicular a este plano Demonstração Considere que a reta t ortogonal com as retas r e s que estão contidas no plano α ou seja t r90 e t s90 Uma possibilidade é que a reta r não passe pelo ponto O ponto em que a reta t fura esse plano Nesse caso trace a reta r paralela à reta r e que passa pelo ponto O Como a reta r é paralela à reta r a medida do ângulo entre r e t é igual à medida do ângulo entre r e t Assim as retas r e t são perpendiculares Daí a reta t é perpendicular às retas concorrentes r e s contidas em α Portanto o teorema 1 garante que a reta t é perpendicular ao plano α Observe a figura 86 66 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Outra possibilidade é que as retas r e s não passem pelo ponto O Observe a figura 87 Nesse caso você pode demonstrar que a reta t é perpendicular ao plano α de modo análogo ao caso anterior Basta considerar as retas r e s paralelas às retas r e s respectivamente ambas passando pelo ponto O Resumindo Se uma reta t é perpendicular a um plano α no ponto O então t é ortogonal a todas as retas contidas em α Além disso a reta t é perpendicular às retas contidas em α e que passam pelo ponto O Se uma reta t é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano α então t é perpendicular ao plano α 53 Propriedades de retas e planos perpendiculares Nessa seção serão apresentadas propriedades de retas e planos perpendiculares que garantem algumas cons truções fundamentais da Geometria Espacial Através dessas propriedades você será capaz de justificar o porquê numa pirâmide regular o segmento determinado pelo vértice da pirâmide e o centro da base é ortogonal a todo segmento contido no plano da base dessa pirâmide por exemplo Proposição 2 Dados um ponto P e uma reta r podese traçar um único plano π que passa por P e perpendicular à reta r Releia o enunciado da proposição 2 Observe que essa proposição garante dois fatos Pelo ponto P podese traçar um plano π perpendicular à reta r O plano π traçado no item anterior é único A demonstração do primeiro fato costumase chamar existência e a do segundo fato unicidade Acompanhe as demonstrações de existência e unicidade dadas a seguir 66 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 67 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Demonstração Existência Considere uma reta r e ponto P Existem duas possibilidades r P O ponto P não pertence à reta r então o teorema 1 do capítulo 2 garante que a reta r e o ponto P determinam um único plano seja β esse plano No plano β pelo ponto P trace a reta s perpendicular à reta r Seja A o ponto de interseção das retas r e s Agora considere um plano α distinto de β que contém a reta r No plano α pelo ponto A trace a reta t perpendicular a reta r Note que as retas s e t são concorrentes em A daí determinam um plano π Além disso a reta r é perpendicular às retas s e t que estão contidas em π Utilizando o teorema 1 desse capítulo você pode garantir que a reta r é perpendicular ao plano π r P Neste caso considere dois planos distintos α e β contendo a reta r No plano β pelo ponto P trace a reta s perpendicular à reta r No plano α pelo ponto P trace a reta t perpendicular à reta r Note que as retas s e t são concorrentes em P daí determinam um plano π Assim a reta r é perpendicular às retas s e t que são duas con correntes contidas no plano π Logo a reta r é perpendicular ao plano π Os argumentos anteriores garantem que dados uma reta r e um ponto P qualquer se pode traçar um plano π perpendicular à reta r que passa por P Unicidade Considere r P e seja β o plano determinado por r e P Existem então duas possibilidades excludentes O plano π é o único plano que passa por P e é perpendicular à reta r O plano π não é o único plano que passa por P e é perpendicular à reta r Suponha que a segunda possibilidade aconteça ou seja que existe outro plano θ que passam pelo ponto P e é também perpendicular à reta r 68 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Como o ponto P pertence aos planos β e π esses planos se interceptam segundo uma reta s que passa por P Pela mesma razão os planos β e θ também se interceptam segundo uma reta t que passa por P Note que as retas r s e t são coplanares pois estão contidas no plano β Além disso as retas s e t são duas perpendiculares à reta r que passam por P Será que isso é possível Claro que não Lembrese da Geometria Plana que por um ponto P podese traçar uma única reta perpendicular a uma reta dada Assim a segunda possibilidade acima não pode acontecer Logo você pode concluir que se r Pβ então o plano π é o único plano que passa por P e é perpendicular à reta r A demonstração da unicidade para o caso de r Pβ podese fazer de modo análogo Tente É um bom exercício Proposição 3 Dados um ponto P e um plano β podese traçar uma única reta r que passa por P e perpendicular ao plano β Note que a proposição 3 garante dois fatos Pelo ponto P podese traçar uma reta r perpendicular ao plano β Existência A reta r traçada no item anterior é única Unicidade Demonstração Existência Considere um plano β e ponto P Existem duas possibilidades Pâ Pâ Inicialmente considere que o ponto P não pertence ao plano β Trace em β duas retas concorrentes quaisquer s e t Seja π o plano que passa por P e é perpendicular a reta t e γ o plano que passa por P e é perpendicular a reta s Lembrese de que se uma reta é perpendicular a um plano então essa reta é ortogonal a todas as retas contidas nesse plano Assim a reta t é ortogonal a todas as retas contidas no plano π e a reta s é ortogonal a todas as retas contidas no plano γ 68 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 69 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Por outro lado os planos π e γ possuem o ponto P em comum então esses planos se interceptam segundo uma reta r que passa pelo ponto P Assim a reta t é ortogonal a reta r pois a reta r está contida no plano π De modo análogo a reta s é ortogonal a reta r pois r está contida no plano γ Daí a reta r é ortogonal as retas t e s que são concorrentes e estão contidas no plano β Logo a reta r é perpendicular ao plano β Se o ponto P pertence ao plano β a demonstração é análoga Unicidade Considere também que P não pertence ao plano β Sejam r e r retas distintas perpendiculares ao plano β e que passam por P Note que as retas r e r são concorrentes pois ambas passam pelo ponto P Daí r e r determinem um plano Nomeie esse plano π Pense e responda Você pode garantir que os planos β e π possuem um ponto em comum Claro que sim Lembrese de que a reta r é perpendicular ao plano β então essa reta intercepta esse plano em um ponto e esse ponto pertence também ao plano π pois a reta r está contida no plano π Ora se os planos β e π possuem o ponto em comum então esses planos se interceptam segundo uma reta Seja t a reta interseção dos planos β e π Lembrese mais uma vez de que se uma reta é perpendicular a um plano então essa reta é ortogonal a todas as retas contidas nesse plano Assim a reta r é ortogonal a todas as retas contidas no plano β em particular a reta r é perpendicular à reta t De modo análogo a reta r é também perpendicular à reta t Além disso as retas r r e t são coplanares pois estão contidas no plano π Será que isso é possível Claro que não Lembrese novamente da Geometria Plana que por um ponto P podese traçar uma única reta perpendicular a uma reta dada Portanto você pode concluir que pelo ponto P é possível construir uma única reta r perpendicular ao plano β Se o ponto P pertence ao plano β a demonstração é análoga Os resultados obtidos até aqui possibilitam a obtenção de algumas relações entre paralelismo e perpendicularismo dadas a seguir e que são muito utilizadas em exercícios Proposição 4 Dois planos perpendiculares à mesma reta são paralelos 70 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Demonstração Considere que os planos β e π são perpendiculares à reta r Temse então duas possibilidade Os planos β e π são paralelos Os planos β e π não são paralelos Suponha que os planos β e π não são paralelos daí esses planos se interceptam segundo a reta t Seja P um ponto qualquer da reta t Assim o ponto P pertence aos planos β e π Então pelo ponto P temse dois planos β e π perpendiculares a r Mas isso contradiz a proposição 2 Logo essa possibilidade não pode acontecer e portanto os planos β e π são paralelos Proposição 5 Se dois planos são paralelos então qualquer perpendicular a um deles é também perpendicular ao outro Demonstração Considere α β e planos paralelos e r uma reta perpendicular ao plano α Acompanhe a linha de raciocínio dada seguir ela o conduzirá a conclusão que a reta r é também perpendicular ao plano β Comece imaginando um plano π que contém a reta r Pense e responda Você pode garantir que os planos π e α possuem um ponto em comum Claro que sim Como a reta r é perpendicular ao plano α essa reta fura esse plano em um ponto P Por outro lado a reta r está contida no plano π daí o ponto P também pertence ao plano π Logo o ponto P pertence aos planos π e α E portanto os planos π e α se interceptam segundo uma reta t O exercício 5 da seção Exercícios resolvidos do Capítulo 3 garante que se uma reta r é secante a um plano α então será secante a qualquer outro plano paralelo ao plano α Desse modo a reta r intercepta o plano β pois esse plano é paralelo ao plano α Então você pode garantir que o plano π intercepta o plano β segundo uma reta t utilizando argumentos análogos aos usados para mostrar que os planos π e α se interceptam segundo uma reta t Pense e responda Qual a medida do ângulo entre as retas r e t Essa pergunta é fácil A medida desse ângulo é igual a 90o pois a reta r é perpendicular ao plano α e portanto perpendicular a todas as retas contidas em α que passam pelo ponto P em particular r é perpendicular à reta t 70 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 71 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Observe que as retas t e t estão contidas nos planos α β e respectivamente e que esses planos são paralelos Daí as retas t e t não se interceptam Por outro lado essas retas são coplanares pois estão contidas no plano π Você pode concluir então que t e t são retas paralelas Note agora que as retas r t e t estão contidas no plano π Assim você pode utilizar o resultado da Geometria Plana que garante se uma reta corta duas paralelas os ângulos correspondentes são iguais Daí o ângulo entre as retas r e t é igual ao ângulo entre as retas r e t Portanto a reta r é também perpendicular à reta t Considere agora outro plano θ distinto do plano π que contém a reta r Utilizando argumentos análogos aos que foram feitos para o plano π você pode garantir que o plano θ interceptam os planos α e β segundo as retas s e s Além disso que a reta r é perpendicular as retas s e s Então a reta r é perpendicular as retas concorrentes t e s que estão contidas no plano β Aplicando o teorema 1 você pode garantir que a reta r é perpendicular ao plano β Proposição 6 Se duas retas são paralelas todo plano perpendicular a uma delas é também perpendicular a outra Para facilitar o entendimento dessa proposição construa o modelo 2 descrito na seção 56 desse capítulo e acompanhe a demonstração pelo modelo Demonstração Sejam r e s duas retas paralelas e α um plano perpendicular a r Sejam A e B os pontos de interseções de r e s com o plano α respectivamente Observe o modelo 2 72 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Considere dois outros pontos C e D das retas s e r respectivamente tais que os segmentos AD e BC possuem o mesmo comprimento Assim o quadrilátero ABCD possui os lados AD e BC paralelos e congruentes Lembrese de Geometria plana que todo quadrilátero que possui dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo Daí o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e você pode concluir que os lados CD e AB são também paralelos e possuem a mesma medida Por outro lado a reta r é perpendicular ao plano α em A então a reta r é perpendicular a todas as retas contidas em α que passam pelo ponto A em particular a reta r é perpendicular à reta AB Assim o ângulo 90 DAB 90º Você pode concluir então que ABCD é um retângulo E daí a reta s é também perpendicular a reta AB No plano α trace pelos pontos A e B os segmentos AF e BE paralelos e congruentes Assim o quadrilátero ABEF é também um paralelogramo Daí os segmentos AB e EF são paralelos e possuem a mesma medida Observe o modelo Os segmentos CD e AB são paralelos e possuem a mesma medida Os segmentos AB e EF são paralelos e possuem a mesma medida Por transitividade você pode concluir que os segmentos CD e EF são paralelos e possuem a mesma medida O que você pode concluir do quadrilátero DFEC Fácil O quadrilátero DFEC é também um paralelogramo Consequentemente os lados DF e CE possuem a mesma medida Volte a observar o modelo 2 Focalize os triângulos DAF e CBE Pense e responda Esses triângulos são congruentes Qual o caso de congruência Fácil Os triângulos DAF e CBE são congruentes pelo caso LLL Pense e responda Qual a medida do ângulo CBE Ora se a reta r é perpendicular ao plano α então a reta r é perpendicular à reta AF Daí o ângulo Como os ângulos DAF e CBE são ângulos correspondentes em triângulos congruentes então possuem a mesma medida Logo a medida do ângulo Portanto a reta s é perpendicular à reta BE Volte a observar o modelo 2 A reta s é perpendicular às retas AB e BE que são duas concorrentes do plano α Portanto a reta s é também perpendicular ao plano α Ou equivalentemente o plano α é perpendicular a reta s Proposição 7 Se duas retas são perpendiculares ao mesmo plano então elas são paralelas Demonstração Sejam as retas r e s perpendiculares ao plano α nos pontos P e Q respectivamente Existem então duas pos sibilidades As retas r e s são paralelas As retas r e s não são paralelas Suponha que a segunda possibilidade acontece Considere então a reta t paralela à reta r e que passa pelo ponto Q Releia o enunciado da proposição 6 pense e responda Qual a posição da reta t em relação ao plano α 72 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 73 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Ora se a reta r é perpendicular ao plano α e a reta t é paralela à reta r então a proposição 6 garante que a reta t é também perpendicular ao plano α Então as retas t e s são perpendiculares ao plano α e passam pelo ponto Q Esse fato contradiz a proposição 3 Logo a segunda possibilidade não pode acontecer Portanto você pode concluir que as retas r e s são paralelas No início dessa seção você estudou como medir o ângulo entre duas retas Faça o modelo a seguir ele o auxiliará na visualização do ângulo formado por dois planos Tome um livro abrao e coloque sobre uma mesa de modo que os planos das páginas sejam verticais Agora considere duas páginas quaisquer essas páginas representam dois planos secantes α e β Nomeie t a reta de interseção dos planos α e β Separe um pouco essas páginas e nomeie r e s as retas de interseção dos planos α e β com o plano da mesa respectivamente Observe o modelo e responda 1 Que ângulos a reta t forma com as retas r e s É claro que a reta t forma com as retas r e s ângulos retos 2 Qual a posição relativa da reta t e o plano da mesa Fácil A reta t é perpendicular ao plano da mesa pois é perpendicular a duas retas concorrentes contidas no plano da mesa que são as retas r e s Em outras palavras o plano da mesa é perpendicular à reta t Considere r a reta paralela à reta r e que pode ser representada por um dos lados da página que representa o plano α De modo análogo considere a reta s paralela à reta s e que pode ser representada por um lado da página que representa o plano β Nomeie π o plano determinado por r e s 3 Que ângulos a reta t forma com as retas r e s Os ângulos que a reta t forma com as retas r e s medem 90o 4 Qual a posição relativa da reta t e o plano π A reta t é perpendicular ao plano π pois a reta t é perpendicular às retas r e s Assim o plano π e o plano da mesa são perpendiculares à reta t 5 Observe o ângulo entre as retas r e s e o ângulo entre as retas r e s Movimente as páginas que representam os planos α e β abrindo e fechando as mesmas Esses ângulos são sempre iguais Claro que sim Pois a reta r e r são paralelas e as retas s e s também são paralelas 6 Imagine agora outro plano θ perpendicular à reta t e sejam r e s as retas de interseção do plano θ com os planos α e β respectivamente O ângulo entre as retas r e s é igual ao ângulo entre as retas r e s Claro que sim Pois a reta r e r são paralelas e as retas s e s também são paralelas 74 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Você pode concluir então que todo plano θ perpendicular à reta t intercepta os planos α e β segundo retas que determinam ângulos iguais Esse ângulo é definido como o ângulo entre os planos α e β A definição a seguir estabelece esse conceito Definição 5 Sejam α e β planos que se interceptam segundo a reta t e seja θ um plano perpendicular à reta t Considere r e s as retas de interseção do plano θ com os planos α e β respectivamente O ângulo entre os planos α e β é definido como o ângulo entre as retas r e s Se α e β são planos paralelos se diz que o ângulo entre esses planos possui medida igual a 0o Usase a notação α β para representar o ângulo entre os planos α e β É importante que você perceba que a definição 5 estabelece um procedimento para medir o ângulo entre dois planos α e β que é I Considere um plano θ perpendicular a reta de interseção dos planos α e β II Determine o ângulo entre as retas r e s interseções dos planos α e β com o plano θ respectivamente Então α βrs Lembrese de que o ângulo entre duas retas r e s varia entre 0o e 90o ou seja 0rs90 Como o ângulo entre os planos α e β é igual ao ângulo entre duas retas então você pode concluir que 0α β90 Os planos α e β são ditos perpendiculares se α β90 Observe que se α e β são perpendiculares então α β 90rs Além disso a reta t é perpendicular o plano θ Daí a reta t é ortogonal a todas as retas desse plano em particular a reta t é perpendicular à reta r Pense e responda 1 A reta r é perpendicular ao plano β Claro que sim Pois a reta r é perpendicular às retas s e t que são retas concorrentes do plano β 2 A reta s é perpendicular ao plano α 74 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 75 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Essa é fácil A reta s é perpendicular às retas r e t que são retas concorrentes do plano α Daí a reta s é perpen dicular ao plano α Você pode concluir então que se dois planos são perpendiculares então um deles contém uma reta perpendicular ao outro A recíproca dessa afirmação ou seja se um de dois planos possui uma reta que é perpendicular ao outro então esses planos são perpendiculares também é verdadeira e está estabelecida no teorema 2 Desse modo a existência em um plano de uma reta perpendicular a outro plano é uma condição necessária e suficiente para que estes planos sejam perpendiculares Teorema 2 Se um de dois planos possui uma reta que é perpendicular ao outro então esses planos são perpendiculares Demonstração Sejam α e β dois planos que se interceptam segundo uma reta t Considere também que existe uma reta s contida no plano β que é perpendicular ao plano α no ponto P No plano α trace pelo ponto P uma reta r perpen dicular à reta t Observe a figura 100 pense e responda 1 Qual a medida do ângulo entre as retas t e s Essa é fácil Foi dado que a reta s é perpendicular ao plano α daí a reta s é perpendicular a todas as retas de α que passam pelo ponto P em particular s é perpendicular a reta t Logo o ângulo entre s e t mede 90o 2 Considere θ o plano determinado pelas retas r e s A reta t é perpendicular ao plano θ Claro que sim Pois a reta t é perpendicular a reta s e a reta t é perpendicular a reta r por construção Assim a reta t é perpendicular a duas retas concorrentes do plano θ Observe então que sendo o plano θ perpendicular à reta t o ângulo dos planos α e β é igual ao ângulo das retas r e s que são as retas de interseção do plano θ com os planos α e β respectivamente Ora como a reta s é por hipó tese perpendicular ao plano α então a reta s é perpendicular à reta r Daí o ângulo e consequentemente Portanto os planos α e β são perpendiculares O corolário a seguir é uma consequência imediata do teorema 2 76 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Corolário 2 Se uma reta t é perpendicular a um plano α então todo plano que contenha t é perpendicular ao plano α A demonstração desse corolário é fácil Tente fazer Considere agora que os planos α e β são perpendiculares Pense e responda 1 Toda reta contida no plano β é perpendicular ao plano α Para responder a essa indagação utilize o modelo feito com o livro Posicione duas páginas do livro de modo que os planos que as mesmas representam sejam perpendiculares Observe a reta representada por uma das diagonais de uma página Qual a posição dessa diagonal em relação ao plano da outra folha Pois é apesar dos planos serem perpendiculares existe muitas retas de um deles que não são perpendiculares ao outro O teorema a seguir estabelece uma condição suficiente para que dados dois planos perpendiculares uma reta de um deles seja perpendicular ao outro Teorema 3 Se dois planos são perpendiculares então toda reta de um deles que é perpendicular à interseção desses planos é perpendicular ao outro Demonstração Considere α e β planos perpendiculares que se interceptam segundo a reta t Seja s uma reta contida em β que é perpendicular à reta t no ponto P Pelo ponto P trace uma reta r perpendicular á reta t E seja θ o plano determinado pelas retas r e s 76 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 77 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Pense e responda 1 A reta t é perpendicular ao plano θ Claro que sim Pois a reta t é perpendicular as concorrentes s e r que estão contidas no plano θ 2 Qual o ângulo entre as retas s e r Como o plano θ é perpendicular à reta t o ângulo entre as retas s e r é igual ao ângulo entre os planos α e β Ora os planos α e β são perpendiculares daí α β 90 e assim o ângulo entre as retas s e r mede 90o Assim a reta s é também perpendicular à reta r Então a reta s é perpendicular as retas t e r que são duas concor rentes contidas no plano α Portanto a reta s é perpendicular ao plano α É importante lembrar que se α e β são planos perpendiculares que se interceptam segundo uma reta t então toda reta s contida em β que é perpendicular a reta t é perpendicular ao plano α Acompanhe os exercícios resolvidos a seguir Eles ajudam a fixar os conceitos e propriedades estudados e desen volvem a sua linguagem matemática 54 Exercícios resolvidos 1 Construa por um ponto P dado uma reta t ortogonal a duas retas não paralelas r e s e mostre que a reta t é única Resolução Existência As retas r e s dadas são não paralelas ou seja r e s são concorrentes ou r e s são reversas Inicialmente considere r e s duas retas reversas Suponha também que o ponto P não pertence nem a reta r nem a reta s Pelo ponto P trace as retas r e s paralelas às retas r e s respectivamente Desse modo as retas r e s são concorrentes em P Lembrese que retas concorrentes determinam um único plano Nomeie α o plano determinado por r e s A proposição 3 garante que você pode traçar uma única reta t que passa por P e é perpendicular ao plano α Assim a reta t é ortogonal a todas as retas contidas em α Em particular t é ortogonal a r e como r é paralela a r temos que t é ortogonal a r Você pode aplicar o mesmo raciocínio para concluir que t é ortogonal a s Na demonstração acima as retas r e s são reversas Note que essa demonstração consiste na construção pelo ponto P de duas retas paralelas r paralela à reta r e s paralela à reta s Pense e responda 1 Se as retas r e s dadas fossem concorrentes como você faria a demonstração Note que na demonstração anterior foi construído um plano α determinado pelas retas r e s porque as retas r e s eram retas reversas e retas reversas não determinam plano Quando as retas r e s são concorrentes o plano α pode ser o próprio plano determinado pelas retas r e s E a proposição 3 pode ser também utilizada para garantir a existência da reta t que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano α Consequentemente a reta t é ortogonal às retas r e s Outro aspecto que você deve observar é a posição do ponto P Foi considerado anteriormente que o ponto P não pertencia às retas r e s Pense como ficaria a demonstração se P pertencesse à reta r 78 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Unicidade Existem duas possibilidades A reta t é única A reta t não é única Suponha que a reta t não é única ou seja existe outra reta t ortogonal às retas r e s passando por P Como as retas r e s são paralelas às retas r e s respectivamente temos que t é também ortogonal às retas r e s Con sequentemente t é perpendicular ao plano α e passa por P Assim existem duas retas t e t passando pelo ponto P e perpendiculares ao plano α mas esse fato contradiz a proposição 3 Logo você pode concluir que a segunda possibilidade não acontece e portanto a reta t é a única ortogonal às retas r e s passando por P 2 Seja r uma reta perpendicular ao plano α em P Mostre que uma reta s é perpendicular a r em P se somente se a reta s está contida em α Resolução Observe inicialmente que a propriedade proposta reune duas afirmações I Se uma reta s é perpendicular à reta r em P então s está contida no plano α II Se uma reta s está contida no plano α e passa pelo ponto P então s é perpendicular à reta r Para demonstrar a primeira afirmação você deverá supor que s é uma reta perpendicular à reta r em P e mostrar que a reta s está contida no plano α Comece pensando 1 As retas r e s determinam um plano Claro que sim As retas r e s são concorrentes em P logo determinam um plano Nomeie β o plano determinado pelas retas r e s 2 Os planos α e β possuem algum ponto em comum Essa é fácil O ponto P pertence à reta r e essa reta está contida no plano β Daí o ponto P pertence ao plano β Além disso foi dado que a reta r é perpendicular ao plano α no ponto P daí P é um ponto de α Logo o ponto P é um ponto da interseção dos planos α e β Você pode concluir então que os planos α e β se interceptam segundo uma reta Nomeie t essa reta Pense e responda 3 Qual a medida do ângulo entre as retas r e t Lembrese de que se uma reta é perpendicular a um plano então essa reta é perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo ponto que essa reta fura o plano Ora a reta r é perpendicular ao plano α no ponto P então você pode concluir que r é perpendicular a todas as retas contidas em α e que passam por P em particular r é perpendicular a reta t Logo a medida do ângulo entre r e t é igual a 90o Observe a figura 105 78 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 79 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Note que as retas r s e t são coplanares pois estão contidas no plano β Em um plano você pode utilizar todos os resultados da Geometria plana Em particular o que garante que por um ponto P podese traçar uma única perpendicular a uma reta dada Então no plano β as retas s e t passam pelo ponto P e são ambas perpendiculares à reta r daí você pode concluir que as retas s e t coincidem Ora a reta t está contida no plano α portanto a reta s também está contida no plano α Assim a afirmação I fica demonstrada A demonstração da afirmação II é imediata Suponha que a reta s é uma reta contida em α e passa por P Foi dado que a reta r é perpendicular ao plano α então a reta r é perpendicular a todas as retas contidas em α e que passam por P em particular r é perpendicular a s Releia as afirmações I e II Pense e responda 1 Considere uma reta r e um ponto P que pertence à reta r Quantas retas s passam por P e são perpendiculares à reta r Essa é fácil Considere o plano α perpendicular a reta r em P Então todas as retas contidas no plano α que passam por P são perpendiculares à reta r Logo infinitas retas passam por P e são perpendiculares à reta r 2 Qual o lugar geométrico constituído por todas as retas que passam pelo ponto P e são perpendiculares à reta r Esse lugar geométrico é o plano α que é perpendicular a reta r e passa pelo ponto P 3 Na Geometria plana por um ponto P de uma reta r podese traçar uma única reta s perpendicular à reta r E na Geometria espacial esse resultado ainda é verdadeiro Essa fica para você responder 55 Exercícios propostos 1 Sejam A B e C pontos não colineares Mostre que se as retas AB e AC são perpendiculares a uma reta r então BC é também ortogonal a r A Figura 106 ilustra o exercício Se as retas AB e AC são apenas ortogonais à reta r a reta BC é ainda ortogonal à reta r 2 Seja r uma reta perpendicular a um plano α em P s uma reta contida em α e PQ perpendicular a s em Q Mostre que se A é um ponto qualquer de r então a reta AQ é perpendicular a s Sugestão mostre que a reta s é perpendicular ao plano APQ 3 Um tetraedro é dito regular quando as suas faces são triângulos equiláteros Seja ABCD um tetraedro regular observe a figura 108 Considere os segmentos BM e CM alturas das faces ABD e ACD respectivamente Classifique as sentenças a seguir em verdadeiroV ou falsoF a O ponto M é ponto médio da aresta AD b As retas BM e CM determinam um plano 80 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 c As retas AD e BC são coplanares d A reta CB está contida no plano BCM e A reta AD é perpendicular ao plano BCM f A reta AD é perpendicular a todas as retas do plano BCM g As arestas AD e BD são opostas h As retas AD e BC são retas ortogonais i As arestas oposta de um tetraedro regular são perpendiculares j As arestas oposta de um tetraedro regular são ortogonais k O plano ACD é perpendicular ao plano BCM l O triângulo BCM é equilátero 4 Observe as figuras dadas a seguir e relacione as afirmações com as justificativas a aresta AD é perpendicular ao plano CDH daí a aresta AD será perpendicular a todo plano paralelo ao plano CDH em particular ao plano ABE a aresta AD é perpendicular ao plano CHD e a diagonal CH está contida nesse plano o plano DAM contém a reta DA que é perpendicular ao plano ABC a reta t é perpendicular ao plano α daí a reta t é ortogonal a todas as retas contidas em α em particular à reta v 80 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 81 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA a reta BC é perpendicular à reta AM que é a interseção dos planos perpendiculares ABC e DAM a aresta AD é perpendicular ao plano CHD daí toda reta paralela à reta AD é perpendicular ao plano CHD em particular à aresta EH Logo a aresta EH é ortogonal a toda reta contida no plano CHD 56 Construções de modelo Nessa seção você aprenderá como construir modelos concretos que lhe auxiliarão no entendimento das de monstrações estudadas nesse capítulo Modelo 1 Objetivo Facilitar o entendimento da demonstração do teorema 1 Material necessário 1 Uma placa quadrada de lado medindo 20 cm recortada numa folha de isopor de 2 cm de espessura 2 Palitos de churrasco 3 Duas bolinhas de isopor de diâmetros iguais a 2 cm 4 Canetas hidrocor de várias cores Modo de fazer Passo 1 A placa de isopor representará o plano α Com canetas hidrocor de cores diferentes desenhe na placa duas retas s e r concorrentes no ponto O Desse modo as retas r e s estão contidas no plano α Marque um ponto A sobre a reta r e um ponto B sobre a reta s A distância do ponto A ao ponto O pode ser diferente da distância do ponto B ao ponto O Trace o segmento AB Sobre este segmento marque um ponto X qualquer e trace a reta que passa pelos pontos O e X Nomeie essa reta n Observe a figura 85 Passo 2 Com uma caneta hidrocor marque sobre um palito de churrasco três traços de modo o traço do meio esteja à igual distância dos traços próximos das extremidades No ponto O transpasse a placa de isopor com esse palito de churrasco de modo que o mesmo fique perpendicular às retas r e s Posicione o palito de modo que o ponto O da placa coincida com o traço do meio feito no palito O palito representará a reta t Passo 3 Escreva as letras P e Q uma letra em cada bolinha de isopor para representar dois pontos que não pertencem 82 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 ao plano α Em cada uma das extremidades do palito de churrasco enfie as bolinhas até as marcas feitas ante riormente Desse modo o ponto O é ponto médio do segmento PQ que está contido na reta t Passo 4 Para finalizar com palitos de churrascos construa os segmentos PA PB QA e QB O modelo está pronto para lhe auxiliar no entendimento da demonstração do teorema 1 Modelo 2 Objetivo Facilitar o entendimento da demonstração da proposição 6 Material necessário Uma placa quadrada de lado medindo 20 cm recortada numa folha de isopor de 2 cm de espessura 1 Palitos de churrasco 2 Duas bolinhas de isopor de diâmetros iguais a 2 cm 3 Canetas hidrocor de várias cores 4 Modo de fazer Passo 1 Tome dois palitos de churrasco de mesmo tamanho e em cada um deles marque dois traços com uma caneta hidrocor três centímetros a partir das extremidades Esses palitos representarão as retas r e s Passo 2 Na placa de isopor que representará o plano α com a caneta hidrocor trace um segmento de reta medindo 12 cm paralelo a um dos lados da placa e distante desse lado 4 cm Nomeie as extremidades desse segmento com as letras A e B Passo 3 Escreva as letras D e C uma letra em cada bolinha de isopor Essas bolinhas representarão os pontos D e C que pertencem às retas r e s respectivamente Em cada palito enfie uma bolinha até um dos traços feitos no passo 1 Com um terceiro palito de churrasco construa o segmento DC unindo essas duas bolinhas Passo 4 Transpasse a placa de isopor no ponto A com a extremidade livre do palito de churrasco que está com o ponto D de modo que esse palito fique perpendicular à placa Posicione o palito de modo que o ponto A da placa coincida com o outro traço feito no palito Assim a reta r representada pelo palito será perpendicular ao plano α e passa pelos pontos A e D 82 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 83 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Passo 5 No ponto B da placa transpassea com a extremidade livre o palito de churrasco que está com o ponto C Posicione o palito de modo que o ponto B da placa coincida com o outro traço feito nesse palito Esse palito representará a reta s que é paralela à reta r e passa pelos pontos B e C Passo 6 Na placa pelo ponto A trace um segmento AF medindo 10 cm e distinto do segmento AB Pelo ponto B trace um segmento BE congruente e paralelo ao segmento AF Em seguida trace o segmento FE Passo 7 Construa o segmento DF enfiando um palito de churrasco na bolinha que está com a letra D e no ponto F da placa Para finalizar a construção desse modelo construa o segmento CE de modo análogo Observe a figura 95 O Modelo está pronto para auxiliálo no entendimento da proposição 6 84 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 6 VOLUMES DE CONES E PIRÂMIDES No capítulo 4 você teve a oportunidade de conhecer as definições de cilindros e prismas e aprendeu a determinar os volumes e as áreas laterais e totais desses sólidos Nesse capítulo você conhecerá as definições dos cones e das pirâmides Aprenderá a identificar as semelhanças entre esses sólidos e estabelecerá as fórmulas que permitem determinar os volumes e as áreas laterais e totais dos mesmos 61 Construção de cones e pirâmides Definição 1 Em um plano α considere uma curva plana simples C sem autointerseções e V um ponto que não pertence ao plano α Seja P um ponto da curva C ou da região limitada por C Para cada ponto P considere o segmento de reta VP O sólido formado pela reunião de todos esses segmentos é chamado cone de base C e vértice V A figura 115 ilustra um cone de base C e vértice V Se a base de um cone for um círculo dizemos que ele é um cone circular Definição 2 Um cone cuja base é um polígono região poligonal é chamado pirâmide A figura 116 ilustra uma pirâmide de vértice V e cuja base é o hexágono ABCDEF O nome de uma pirâmide está relacionado à sua base Por exemplo a pirâmide da figura 116 chamase pirâmide hexagonal porque a sua base é um hexágono Se a base de uma pirâmide for um pentágono ela é chamada pirâmide pentagonal Toda pirâmide cuja base é um triângulo é chamada pirâmide triangular As pirâmides triangulares são conhecidas também pelo nome tetraedro por possuírem quatro vértices A distância do vértice V de uma pirâmide ao plano da base chamase altura da pirâmide Os segmentos VA VB VC VD VE e VF são denominados de arestas laterais Observe que as arestas laterais são segmentos cujas extremidades são o vértice da pirâmide e um vértice do polígono da base Os triângulos VAB 84 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 85 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA VBC VCD VDE VEF e VFA são chamados de faces laterais Note que o número de faces laterais de uma pirâmide é igual ao número de lados da base da mesma Você está lembrado que as faces laterais de prismas são paralelogramos Pois é as faces laterais de prismas são paralelogramos enquanto as faces laterais de pirâmides são triângulos Essa é uma das diferenças entre prismas e pirâmides Construa agora a pirâmide hexagonal e o tetraedro cujas planificações constam dos modelos 9 e 10 do anexo 1 Observe os modelos construídos e responda 1 Você pode apoiar a pirâmide hexagonal sobre a mesa utilizando uma face lateral Claro que sim Pois as faces laterais são triângulos e esses são figuras planas 2 Você pode considerar essa face lateral como base dessa pirâmide Note que nessa posição uma das faces fora da mesa é um hexágono Mas todas as faces laterais de uma pirâmide são triangulares Logo você pode concluir que a face apoiada na mesa não pode ser base dessa pirâmide Agora considere o modelo do tetraedro Apóie o tetraedro sobre a mesa utilizando qualquer uma de suas faces e responda 3 A face que você apoiou o tetraedro na mesa pode ser considerada com base do tetraedro Claro que sim Pois as faces fora da mesa podem ser faces laterais já que são triângulos 4 Quantas bases um tetraedro possui Essa é fácil O tetraedro possui quatro bases 5 E quantas alturas um tetraedro possui Quatro alturas Cada uma correspondente a uma base 6 Quantas bases uma pirâmide não triangular possui Apenas uma aquela que não é triangular Conheça um pouco mais sobre pirâmides aprendendo a determinar seus volumes e suas áreas laterais e totais 62 Volume de uma pirâmide e áreas totais e laterais de pirâmides Para facilitar o entendimento inicialmente será estabelecida a fórmula que permite calcular o volume de um tetraedro pirâmide de base triangular Em seguida essa fórmula será estendida para calcular o volume de uma pirâmide qualquer Definição 3 A interseção de uma pirâmide com um plano paralelo ao plano da base é chamada seção meridiana A figura 117 ilustra a seção meridiana ABCDEF no plano α paralelo ao plano α que contém a da base ABCDEF 86 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Proposição 1 A razão entre a área de uma seção meridiana e a área da base de um tetraedro é igual ao quadrado da razão entre a distância do vértice ao plano da seção e a altura do tetraedro Observe a figura 118 Considere S1 a área da seção ABC S a área da base ABC h1 a distância do vértice V ao plano α e h a altura do tetraedro A proposição 1 estabelece que 2 1 1 h h S S Para facilitar o entendimento dos passos da demonstração dessa proposição construa os tetraedros do modelo 11 do anexo 1 Esses tetraedros são obtidos quando o tetraedro VABC é secionado pelo plano determinado pelas concorrentes VF e VC A reta VF é perpendicular ao plano ABC Observe a figura 119 Justapondo as faces que contêm linhas verticais pontilhadas dos tetraedros construídos no modelo 11 você obtém o tetraedro VABC que foi secionado Coloque as letras nos tetraedros construídos conforme a figura 119 Agora você está pronto para acompanhar a demonstração utilizando esses modelos Demonstração Comece observando a face VAB do tetraedro VABC Note que as retas AB e AB são paralelas pois estão contidas no plano VAB e não se interceptam por estarem contidas nos planos paralelos α e α respectivamente Assim considerando as paralelas AB e AB e a transversal VA você pode garantir que os ângulos V AB e V AB são congruentes pois esses ângulos são ângulos correspondentes Considerando as mesmas paralelas e a trans versal VB você pode garantir que os ângulos VB A e VB A são congruentes Desse modo os triângulos VAB e VAB possuem dois ângulos congruentes daí esses triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança Ângulo Ângulo E a razão de semelhança é dada por um dos quocientes Observe agora os triângulos VAC e VAC pense e responda 86 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 87 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 1 As retas AC e AC são paralelas Essa é fácil As retas AC e AC são coplanares pois estão contidas no plano VAC e não se interceptam por estarem contidas nos planos paralelos α e α respectivamente logo essas retas são paralelas 2 Os triângulos VAC e VAC são semelhantes Qual o caso de semelhança Esses triângulos são semelhantes pelo caso AA pois V A C V AC e V C A V C A 3 A razão de semelhança dos triângulos VAC e VAC é igual à razão de semelhança dos triângulos VAB e VAB Claro que sim Pois a razão de semelhança dos triângulos VAC e VAC é igual a é também a razão de semelhança dos triângulos VAB e VAB De modo análogo você pode mostrar que os triângulos VBC e VBC são semelhantes e a razão de semelhança é dada por um dos quocientes Note que essa razão também é igual à razão de semelhança dos dois pares triângulos dados anteriormente já que Compare todos os quocientes que representam a razão de semelhança desses triângulos Você pode concluir também que Desse modo os triângulos ABC e ABC são semelhantes por possuírem os lados proporcionais caso de seme lhança Lado Lado Lado Lembrese da Geometria plana que a razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança Então você pode escrever Curiosidade Utilize os modelos para comparar os triângulos VAC e VBC superpondo as faces dos tetraedros Note que eles não são congruentes Apesar dos pares de triângulos VAC e VAC VBC e VBC serem semelhantes e a razão de semelhança ser igual Interessante você não acha Observe um dos tetraedros do modelo 11 Compare os triângulos VCF e VCF Pense e responda 1 Esses triângulos são semelhantes Qual o caso de semelhança As retas DC e DC são paralelas Considerando a transversal VC você obtém que V CF V C F Além disso 90 VFC V F C 90º Logo você pode concluir que os triângulos VCF e VCF são semelhantes pelo caso AA 2 Qual a razão de semelhança A razão de semelhança é dada por um dos quocientes Note que Logo você pode reescrever a identidade como 88 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Portanto a razão entre a área de uma seção meridiana S1 e a área da base S de um tetraedro é igual ao qua drado da razão entre a distância do vértice ao plano da seção h1 e a altura do tetraedro h Proposição 2 Dois tetraedros de mesma altura que possuem bases de áreas iguais possuem volumes iguais Demonstração Considere os tetraedros VABC e V1EDF que possuem a mesma altura e cujas bases possuem áreas iguais Assim se esses tetraedros estão com as bases em um plano α então todo plano α paralelo ao plano α que intercepta um desses tetraedros interceptará também o outro Veja a figura 120 Por outro lado considerando SABC e SDEF as áreas das seções dos tetraedros VABC e V1EDF no plano α respectivamente e utilizando a proposição 1 você pode escrever Daí você pode concluir que SDEF F SDE SABC SABC Note que os denominadores das frações anteriores são iguais pois as áreas das bases desses tetraedros são iguais Consequentemente os numeradores dessas frações são também iguais ou seja SABC SDEF Lembra do Postulado de Cavalieri Releia esse postulado que se encontra no capítulo 4 Utilize o Postulado de Cavalieri para concluir que esses tetraedros possuem volumes iguais A proposição seguinte vai estabelecer a fórmula que é utilizada para calcular o volume de um tetraedro Proposição 3 O volume de um tetraedro é igual a um terço do produto da área da base pela altura correspondente Considere um tetraedro DEFV1 de altura h e área da base S Considere também um prisma triangular ABCABC de mesma altura do tetraedro e cuja base possui área igual à área da base do tetraedro Observe a figura 121 88 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 8 9 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Lembrese de que o volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura Assim o volume do prisma da figura 121 é dado por S h VP Ora a proposição 3 estabelece que o volume do tetraedro DEFV1 é igual à terça parte do volume do prisma ABCABC ou seja 3 S h 1 VT Para facilitar o entendimento da demonstração da proposição 3 construa os modelos 12 e 13 do anexo 1 Nomeie os vértices dos modelos de acordo com a figura 123 dada a seguir Demonstração Comece secionando o prisma ABCABC segundo o plano ABC Nessa seção você obtém o tetraedro ABCB e a pirâmide de vértice B e base ACCA Observe a figura 122 Note que os tetraedros ABCB e DEFV1 possuem as bases ABC e DEF congruentes consequentemente essas bases possuem áreas iguais Além disso as alturas relativas a essas bases também são iguais pois coincidem com a altura do prisma Assim pela proposição 2 esses tetraedros possuem volumes iguais Agora secione a pirâmide de vértice B e base ACCA segundo o plano ACB Nessa seção você obterá os tetra edros ACAB e CACB Observe a figura 123 Note que os triângulos ACA e CAC são bases dos tetraedros ACAB e CACB respectivamente Por outro lado esses triângulos podem ser obtidos do paralelogramo ACCA quando é traçada a diagonal CA Daí essas bases possuem áreas iguais 90 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Lembrese de que a altura de um tetraedro é a distância do vértice ao plano da base Note então que as bases ACA e CAC desses tetraedros estão contidas em um mesmo plano plano ACC e que B é um vértice comum desses tetraedros Assim você pode concluir que as alturas desses tetraedros relativas a essas bases são iguais Logo pela proposição 2 os tetraedros ACAB e CACB possuem volumes iguais Compare agora os tetraedros CACB e ABCB Pense e responda 1 Quais as bases desses tetraedros possuem áreas iguais Essa é fácil As bases ABC e ABC dos tetraedros CACB e ABCB respectivamente possuem áreas iguais pois também são as bases do prisma triangular ABCABC 2 As alturas desses tetraedros relativas a essas bases também são iguais Claro que sim Pois são iguais à altura do prisma 3 Os tetraedros CACB e ABCB possuem volumes iguais Essa é fácil A proposição 2 garante que dois tetraedros de mesma altura e bases de áreas iguais possuem volumes iguais Logo os tetraedros CACB e ABCB possuem volumes iguais Assim você decompôs o prisma triangular nos tetraedros ACAB CACB e ABCB todos com o mesmo volu me Daí o volume de cada um desses tetraedros é igual a um terço do volume do prisma triangular Além disso os tetraedros ABCB e DEFV1 possuem volumes iguais Portanto você pode concluir que o volume do tetraedro DEFV1 é igual à terça parte do volume do prisma ABCABC ou seja 3 S h 1 VT Essa fórmula pode ser utilizada para calcular o volume de um tetraedro qualquer e também o volume de uma pirâmide qualquer É o que garante a proposição seguinte Proposição 4 O volume de uma pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela altura Demonstração Para facilitar o entendimento a demonstração apresentada a seguir utilizará uma pirâmide de vértice V e cuja base é o pentágono ABCDE Comece considerando as diagonais do pentágono ABCDE que têm o vértice A como uma das extremidades Veja a figura 124 Essas diagonais decompõem o pentágono em três triângulos ABC ADC e ADE Considere os tetraedros T1 T2 e T3 de vértices V e cujas bases são os triângulos ABC ADC e ADE respectivamente Considere também S1 S2 e S3 as áreas das bases ABC ADC e ADE respectivamente Note que o volume V da pirâmide pentagonal ABCDEV é igual à soma dos volumes desses tetraedros Assim você pode escrever VT VT VT V 3 2 1 90 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 91 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Observe que os tetraedros T1 T2 e T3 possuem a mesma altura distância do vértice V ao plano α Assim apli cando a fórmula para o cálculo do volume de tetraedro você pode reescrever h 3 S 1 h 3 S 1 h 3 S 1 V 3 2 1 Ou ainda S h S 3 S 1 V 3 2 1 A soma das áreas dos triângulos ABC ADC e ADE é igual à área S do pentágono ABCDE Daí 3 S h 1 V Logo o volume da pirâmide pentagonal é a terça parte do produto da área da base pela altura Observe que o processo aplicado acima para decompor a pirâmide pentagonal em tetraedros pode ser aplicado em qualquer pirâmide Desse modo a fórmula estabelecida é válida para calcular o volume de uma pirâmide qualquer Portanto o volume de uma pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela altura Você já aprendeu que área lateral do prisma é a soma das áreas de suas faces laterais Pois é a área lateral de uma pirâmide é também a soma das áreas das faces laterais da mesma Lembrese de que as faces laterais de uma pirâmide são triângulos e que áreas de triângulos podem ser calculadas pela fórmula 2 b h S onde b é uma das bases do triângulo e h é a altura correspondente a essa base Por exemplo na pirâmide ilustrada na figura 124 a área lateral Slateral é dada pela soma das áreas dos tri ângulos VAB VBC VCD VDE e VEA ou seja SVEA SVDE SVCD SVBC SVAB Slateral E a área total Stotal é dada pela soma de Slateral com a área da base ABCDE ou seja SABCDE S S lateral total Acompanhe agora a resolução dos exercícios 2 e 5 da seção 64 Exercícios resolvidos 63 Volume de um cone áreas totais e laterais de cones Você já sabe que a base de um cone é uma curva plana simples C sem autointerseções Sabe também que se a base do cone é um círculo dizemos que ele é um cone circular Nessa seção a palavra cone será utilizada para significar cone circular E você terá a oportunidade de conhecer as fórmulas que são utilizadas para o cálculo do volume e das áreas laterais e totais de um cone Comece considerando um cone de vértice V cuja base possui centro no ponto 0 raio OB e está contida no plano α Seja α um plano paralelo ao plano α que intercepta esse cone Considere também que as retas V0 e VB interceptam o plano α nos pontos O e B respectivamente Observe a figura 125 Pense e responda 1 As retas OB e OB são paralelas Claro que sim As retas OB e OB estão contidas no plano determinado pelas concorrentes V0 e VB daí são coplanares Além disso a reta OB está contida no plano α a reta OB está contida no plano α e estes planos são paralelos consequentemente as retas OB e OB não se interceptam Logo as retas OB e OB são coplanares e não se interceptam portanto são paralelas 2 Os triângulos VOB e VOB são semelhantes Essa é fácil Considerando as paralelas OB e OB e a transversal VB temse que V BO V B O pois esses ângulos são correspondentes Considerando as mesmas paralelas e a transversal V0 temse que V OB V OB pois esses ângulos são correspondentes Assim os triângulos VOB e VOB são semelhantes pelo caso AA E a razão de semelhança é dada pelo quociente VOVO OBOB VBVB 3 Considere C um ponto qualquer da seção do cone no plano α Os triângulos VOC e VOC são também semelhantes Qual a razão de semelhança De modo análogo ao caso anterior os ângulos V CO V C O e V OC V O C Daí os triângulos VOC e VOC são semelhantes pelo caso AA A razão de semelhança é também dada pelo quociente VOVO OCOC Como a razão de semelhança é a mesma você pode escrever OBOB VOVO OCOC Assim OBOB OCOC 92 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 93 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Note que pois esses segmentos são raios do círculo da base do cone Assim as frações anteriores possuem denominadores iguais e como essas frações são iguais então os numeradores também são ou seja OC OB Daí a distância dos pontos da seção ao ponto O são sempre iguais Portanto essa seção é um círculo de centro O e raio OB Logo você pode concluir que as seções de um cone por planos paralelos ao plano da base são também círculos Proposição 5 A razão entre a área da seção de um cone por um plano paralelo ao plano da base e a área da base é igual ao quadrado da razão entre a distância do vértice do cone ao plano da seção e a altura do cone Observe a figura 126 Considere S1 a área do círculo de centro O e raio OB S a área do círculo de centro O e raio OB h1 a distância do vértice V ao plano α e h a altura do cone A proposição 5 estabelece que h h S S 2 1 1 Demonstração Comece traçando do vértice V uma perpendicular ao plano α Sejam E e E os pontos em que essa perpendi cular intercepta os planos α e α respectivamente Note que os triângulos VEB e VEB são também semelhantes e é a razão de semelhança Mas a razão é também a razão de semelhança entre os triângulos VOB e VOB Daí você pode escrever Lembrese da Geometria plana em que dois círculos são sempre semelhantes e a razão de semelhança entre eles é igual à razão entre os raios dos mesmos Lembrese também de que a razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança Daí como a seção e a base do cone são círculos de raios respectivamente você pode escrever Ou ainda 94 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Por outro lado como a reta VE é perpendicular aos planos α e α temse que é igual a h1distância do vértice V ao plano α e é igual a haltura do cone Daí você pode concluir que Portanto a razão entre a área de uma seção S1 de um cone por um plano paralelo ao plano da base e a área da base S de um cone é igual ao quadrado da razão entre a distância do vértice ao plano da seção h1 e a altura do cone h Proposição 6 O volume de um cone é a terça parte do produto da área de sua base pela sua altura Demonstração Comece considerando um tetraedro e um cone de alturas iguais a h cujas bases estão contidas em um plano α Observe a figura 127 Desse modo todo plano α paralelo ao plano α que intercepta esse tetraedro interceptará também o cone Além disso as distâncias dos vértices V e V1 ao plano α são iguais Represente essas distâncias por h1 Suponha também que as bases desses sólidos possuem áreas iguais a S Seja 1 S a área da seção do tetraedro no plano α e 2 S a área da seção do cone no plano α Lembrese de que 2 1 1 h h S S e 2 1 2 h h S S Daí S S S S 2 1 Como as frações anteriores possuem o mesmo denominador e são iguais então você pode concluir que 2 1 S S ou seja as seções do tetraedro e do cone possuem áreas iguais Logo o Postulado de Cavalieri garante que esses sólidos possuem volumes iguais Você já sabe que o volume do tetraedro é dado pela fórmula 3 S h 1 Vtetraedro Assim 3 S h 1 V V tetraedro cone Portanto o volume de um cone é a terça parte do produto da área da base pela altura 94 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 95 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Considerando que o raio da base do cone é igual a r e que a área de um círculo é dada pela fórmula você pode ainda escrever Considere agora um cone de vértice V e cujo centro da base seja o ponto O Se o segmento VO é perpendicular ao plano da base o cone é chamado cone reto Seja P um ponto qualquer da circunferência da base de um cone o segmento VP é chamado geratriz do cone e é representado pela letra g A figura 128 ilustra um cone circular reto onde os segmentos VA VB VC e VD são exemplo de geratrizes desse cone A proposição a seguir estabelece uma relação entre a geratriz o raio da base e a altura de um cone reto Proposição 7 Se r g e h são o raio da base a geratriz e a altura de um cone circular reto respectivamente então 2 2 2 h r g Demonstração Comece considerando um cone reto de vértice V e cujo centro da base é o ponto O Como por hipótese esse cone é reto temse que VO é perpendicular ao plano α que contém a base desse cone Assim o comprimento do segmento VO é igual à altura do cone Além disso o segmento VO é perpendicular ao raio OB onde B é um ponto qualquer da circunferência da base do cone Note também que o segmento VB é uma geratriz do cone Então o triângulo VOB é retângulo em O e você pode aplicar o Teorema de Pitágoras para obter a relação ou seja Neste texto você terá oportunidade de estabelecer a fórmula que permite calcular a área lateral de um cone reto Para facilitar o seu entendimento comece construindo o modelo descrito a seguir Numa folha de papel A4 com o auxílio de um compasso desenhe uma circunferência de raio igual a oito cen tímetros Marque o centro dessa circunferência e nomeie esse ponto V Marque também dois pontos A e B sobre essa circunferência de modo que o ângulo central 135 A VB Trace os raios VA e VB e em seguida faça uma aba como mostra figura 129 Recorte o setor circular AB seguindo a orientação das linhas tracejadas da figura 129 Dobre a aba e faça coincidir o raio VB com o raio VA fixando essa união com fita adesiva 96 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Pense e responda 1 Que superfície esse modelo representa Essa é fácil A superfície lateral de cone circular reto Assim você pode concluir que a área lateral de um cone circular reto é igual à área de um setor circular Ou seja Slateral S onde S é a área do setor circular 2 Você uniu o raio VB do setor circular ao raio VA para formar a superfície lateral do cone Nessa construção o raio VB do setor circular se transformou em um elemento do cone reto Qual O raio VB do setor circular transformouse em uma geratriz desse cone 3 Observe a figura 129 e recorde o processo de construção do modelo Compare o comprimento do círculo da base do cone que você construiu e o comprimento do arco AB A que conclusão você pode chegar Que esses comprimentos são iguais 4 E o raio do círculo da base do cone e o raio do arco AB são iguais Você já sabe que nessa construção o raio VB do arco AB se transforma em uma geratriz Observe então o triângulo retângulo VOB da figura 128 A geratriz g é a hipotenusa desse triângulo e o raio da base é um dos catetos Portanto o raio do círculo da base do cone e o raio do arco AB não são iguais Considere agora C o comprimento do arco AB Lembrese da Geometria plana em que o comprimento de uma circunfe rência é igual ao produto 2πr onde r é o raio da circunferência Assim considerando que o comprimento do círculo da base do cone e o comprimento do arco AB são iguais você pode escrever onde r é o raio da base do cone Por outro lado o comprimento C do arco AB depende do ângulo central 135 A VB Na verdade o comprimento do arco e a medida do ângulo central correspondente são grandezas diretamente proporcionais isto é se uma delas cresce ou decresce a outra também cresce ou decresce na mesma razão Observe a figura 130 Note também que se o ângulo central for igual a 360o o arco tem comprimento igual ao comprimento da cir cunferência Assim o comprimento da circunferência ilustrada na figura 129 que possui raio igual a 8 cm é igual a 2π816π cm 96 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 97 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Então você pode compor a tabela Ângulo central graus Comprimento do arco 135o C 2πr 360o 2π8 16π Utilizando a regra de três simples você obtém 8 8 r 3 Daí r 3 Ou seja o raio r da base do cone é igual a 3 centímetros Utilize uma régua para medir o diâmetro da base do cone que você construiu Você deve obter que o diâmetro da base mede 6 cm daí o raio da base é igual a 3 cm o que comprova os cálculos acima Você pode generalizar o exemplo anterior Comece considerando α o ângulo central que corresponde ao arco AB g o raio do arco AB e r o raio da base do cone Lembrese de que o comprimento do arco AB é igual ao com primento do círculo da base do cone ou seja Veja a figura 131 Então você pode compor a tabela Ângulo central graus Comprimento do arco α C 2πr 360o 2πg Utilizando a regra de três simples você obtém Note que essa proporção estabelece que a razão entre o ângulo central que corresponde ao arco AB e o número 360o é igual à razão entre o raio da base e a geratriz do cone Suponha por exemplo que a geratriz seja igual ao dobro do raio Daí a razão 2 2r 1 g r r Essa razão é igual a razão entre o ângulo central que corresponde ao arco AB e o número 360o ou seja Daí o ângulo α é igual a metade de 360o ou seja α 180 Logo você pode concluir que para construir um cone reto onde a geratriz é o dobro do raio da base devese começar desenhando um setor circular cujo ângulo central α é igual a 180o Observe a figura 132 Note que o triângulo VAB da figura 132 é equilátero Por essa razão esse cone é chamado cone equilátero 98 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 É importante lembrar em um cone equilátero a geratriz é igual ao diâmetro da base Construa um cone equilátero cuja geratriz mede 10 cm Lembrese de que basta desenhar um setor circular semicírculo de raio 10 cm Qual é a altura desse cone Essa é realmente fácil Pense a geratriz é igual a 10 cm daí o raio da base é igual a 5 cm Você pode aplicar a relação 2 2 2 h r g Assim Fazendo os cálculos Volte a observar a figura 131 Você já sabe que a área lateral Slateral de um cone reto é igual à área S de um setor circular Considere o cone cuja área lateral é igual à área do setor circular AB da figura 131 Note que a área S do setor circular AB e o comprimento do arco AB também são grandezas diretamente proporcionais Quando o comprimento C do arco AB cresce ou decresce a área S do setor circular AB cresce ou decresce na mesma razão Observe também que se o ângulo central for igual a 360o o arco AB tem comprimento igual ao comprimento da circunferência e a área do setor AB coincide com a área do círculo Lembrese da Geometria plana que a área do círculo é igual ao produto πr2 onde r é o raio do círculo Como o raio do setor circular AB figura 131 é igual a g temse que a área do círculo de raio g é igual a πg2 Assim você também pode compor a tabela Comprimento do arco Área do setor circular C 2πr S Slateral 2πg πg2 Utilizando a regra de três simples você obtém Daí Logo a área lateral Slateral de um cone é igual ao produto dos números π r e g onde r é o raio da base e g é a geratriz do cone E a área total Stotal de um cone é dada pela soma de Slateral com a área da base ou seja lateral 98 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 9 9 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Um cone que não é reto ou seja o segmento VO não é perpendicular ao plano da base é denominado cone oblíquo O cálculo da área lateral de um cone oblíquo requer recursos de Cálculo e geralmente é abordado nessa disciplina É importante lembrar O volume de um cilindro quer esse sólido seja um cilindro circular ou um prisma é igual ao produto da área da base pela altura ou seja h S Vcilindro O volume de um cone quer esse sólido seja um cone circular ou uma pirâmide é igual à terça parte do produto da área da base pela altura ou seja 3 S h 1 Vcone A área lateral de um cilindro de raio r e altura h é igual à área de um retângulo de dimensões h e 2πr ou seja A área lateral de um cone reto de raio r e geratriz g é igual à área de um setor circular de raio g e cujo arco possui comprimento igual a 2πr ou seja 64 Exercícios resolvidos 1 Para presentear um amigo comprei uma pirâmide de base quadrada cuja altura é igual a oito centímetros e o lado da base mede quatro centímetros Que dimensões mínimas deve ter uma caixa de papelão em forma de um cone circular reto para embalar este presente Qual a quantidade de espaço vazio na caixa após co locarmos a pirâmide 100 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Solução É claro que as alturas desses sólidos devem ser iguais e a base da pirâmide deve caber dentro da base do cone A figura 136 ilustra a base da pirâmide um quadrado de lado medindo quatro centímetros e a base do cone uma circunferência que circunscreve esse quadrado Desse modo o diâmetro dessa circunferência é igual à diagonal do quadrado Note que o triângulo ABC é retângulo em B e isósceles com catetos medindo 4 cm cada Assim você pode aplicar o Teorema de Pitágoras para obter a diagonal AC ou seja Daí Assim o diâmetro do cone é igual a 4 2 cm e o raio da base mede 2 2 2 r 4 2 cm Logo a caixa de papelão em forma de cone circular reto possui raio no mínimo igual a 2 2 cm e altura igual a oito centímetros Note que a solução apresentada desprezou a espessura do material utilizado para fazer a caixa A quantidade de espaço vazio na caixa após colocarmos a pirâmide pode ser obtida pela diferença entre os volumes do cone e da pirâmide Ou seja cone espaço V V Vpirâmide O volume do cone é dado pela fórmula Assim Foi utilizando o valor aproximado de π igual 31416 E o volume da pirâmide pode ser calculado pela fórmula Assim Logo o espaço vazio será igual a 2 Seja uma pirâmide de vértice V cuja base é um polígono regular Considere o ponto O centro da base isto é centro dos círculos inscrito e circunscrito ao polígono da base Essa pirâmide é dita regular se o segmento VO é perpendicular ao plano da base A figura 137 representa uma pirâmide regular cuja base é um hexágono regular I Observe os triângulos VOA e VOB Eles são congruentes Qual o caso de congruência II Considere uma pirâmide hexagonal regular tal que o apótema da pirâmide mede dez centímetros e o apó tema da base mede seis centímetros Calcule a área total e o volume dessa pirâmide 100 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 101 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Solução I Note que o lado VO é um lado comum a esses triângulos e os lados AO e OB são raios do círculo circuns crito à base daí são congruentes Os ângulos pois o segmento VO é perpendicular à base Logo os triângulos VOA e VOB são congruentes pelo caso LAL Assim as arestas laterais VA e VB são congruentes De modo análogo você pode mostrar que as arestas laterais dessa pirâmide são todas congruentes Conse quentemente as faces laterais são triângulos isósceles congruentes por isso as alturas desses triângulos relativas às bases dos mesmos são também congruentes Essas alturas são chamadas apótema da pirâmide e na figura 137 é representada pela letra m Lembrese de que a altura relativa à base e a mediana de um triângulo isóscele coincidem Lembrese também da Geometria plana que o raio do círculo inscrito a um polígono regular é chamado apótema Na figura 137 o apótema da base da pirâmide está representado pela letra a Fique atento Apótema da pirâmide alturas das faces laterais de uma pirâmide regular Apótema da base raio do círculo inscrito na base II Comece observando que o triângulo VOM da figura 137 é retângulo em O e daí você pode obter a altura da pirâmide aplicando o Teorema de Pitágoras a esse triângulo ou seja m2 h2 a2 100 h2 36 h2 100 36 64 Daí a altura da pirâmide mede 8 centímetros Por outro a base da pirâmide é um hexágono regular assim essa base pode ser decomposta em seis triângulos equiláteros de lado L cuja altura é igual ao apótema da base Observe a figura 138 Assim você pode escrever 102 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Daí Então você pode calcular a área do triângulo ABO como A área da base é igual a A área lateral é igual a Logo a área total é igual a O volume da pirâmide é igual a 3 Considere uma pirâmide hexagonal regular cujo lado da base mede 2 cm e o volume é cm3 Determine o vo lume do cone de vértice coincidente com o vértice da pirâmide e a cuja base está inscrita na base da pirâmide 102 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 103 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Solução A figura 141 ilustra as bases da pirâmide e do cone O apótema da base da pirâmide pode ser calculado como Daí Então você pode calcular a área do triângulo ABO como A área da base da pirâmide é igual a Você já sabe que o volume de uma pirâmide é igual a Como foi dado que o volume da pirâmide é igual a você pode escrever Substituindo o valor da área da base você obtém Como o cone possui vértice coincidente com o vértice da pirâmide e a base está inscrita na base da pirâmide então você pode concluir que a altura do cone é igual à altura da pirâmide Assim a altura do cone é igual a 12 cm Por outro lado como a base do cone está inscrita na base da pirâmide o raio do cone é igual ao apótema da base Observe a figura 141 Assim o raio da base do cone é igual a 3 e a área da base do cone é igual a Agora você já pode calcular o volume do cone Lembra a fórmula A fórmula do volume do cone é também dada pelo produto h 3 S 1 V base cone Substituindo os valores da área da base e da altura você obtém 104 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 4 Um copo cônico de papel foi feito a partir de um setor circular de 10 centímetros de raio e ângulo central de 216º Calcule o volume desse copo Solução Comece lembrandose da relação Substituindo os valores de α e da geratriz g temse Assim você já pode calcular a altura h Daí Então o volume do copo é igual a 5 Calcule o volume de uma pirâmide regular hexagonal sendo 6 centímetros a medida da aresta da base e 10 centímetros a medida da aresta lateral 104 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 105 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Solução Você já sabe que um hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulos eqüiláteros Assim o triângulo OCD da figura 143 é equilátero e seus lados medem 6 cm A área da base da pirâmide é igual a seis vezes a área do triângulo OCD Observe a figura 144 Você pode calcular a altura do triângulo OCD como Então você pode calcular a área do triângulo OCD como E a área da base é igual a Observe agora o triângulo VOD Esse triângulo é retângulo em O o cateto OD mede 6 cm e a hipotenusa VD mede 10 cm Então você pode calcular a altura H da pirâmide aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo VOD Daí Assim o volume da pirâmide é igual a 64 Exercícios propostos 1 Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 4 cm Os ângulos entre os planos das faces laterais e o plano da base são iguais a 45o Determine a altura e o volume dessa pirâmide 2 Do sólido ilustrado na figura 146 sabese que ABCDEFGH é um cubo cuja aresta mede 6 centímetros e que os pontos M e N são pontos médios das arestas deste cubo Determine o volume do sólido AMNCDEFGH 106 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 3 A figura 147 ilustra um cubo de arestas AB AD e AE Sabese que I Responda a Os triângulos ABF ABC e BCF são congruentes b Quais as medidas das diagonais AF AC e FC c Qual a medida do ângulo FAC II Determine A área total da pirâmide ABCF a A razão entre os volumes do cubo e da pirâmide ABCF b 4 Sabese que um cone circular reto de altura igual a 6 centímetros possui volume igual a 96π cm3 Determine o volume da pirâmide regular de vértice coincidente com o vértice do cone e cuja base hexagonal está inscrita na base do cone 5 A geratriz de um cone mede 14 centímetros e a área da base 80π cm2 Determine a medida da altura desse cone 6 Considere um cone de vértice V e seja AB um diâmetro da base Sabese que o triângulo VAB é equilátero e centímetros Determine a área total e o volume desse cone 7 Um ponche será servido em copos de forma cilíndrica e taças de forma cônica ambos com o mesmo raio Sabese ainda que a altura das taças é igual ao triplo da altura dos copos Uma pessoa que gosta muito de ponche escolheria que tipo de copo para saboreálo 106 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 107 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 8 Desenvolvendose a superfície lateral de um cone reto obtémse um setor circular de raio 16 centímetros e ângulo central 135o Determine o volume desse cone 9 Em uma taça de forma cônica de raio 4 centímetros e altura 15 centímetros há cerca de 72π cm3 de vinho Qual a quantidade máxima de cubos de gelo de aresta igual a 2 centímetros podese colocar nessa taça sem que o vinho transborde 10 Quando um cone de vértice V e base S é secionado por um plano α paralelo ao plano da base S obtêmse dois novos sólidos o sólido que contém a base S do cone que é chamado troco de cone e outro cone de vértice V Um cone reto de vértice V possui a altura e o raio iguais a 6 centímetros Considere o plano α paralelo ao plano da base tal que α intercepta o cone e a distância do vértice V a α é igual a 4 centímetros Calcule o volume do tronco de cone gerado quando o plano α seciona esse cone Respostas 1 e hpirâmide 2 cm 2 Vsólido 207 cm3 3 I a Sim b 3 2 cm c 60 FAC 60º II a 2 hpirâmide 2 hpirâmide 207 Vsólido b pirâmide cubo V 6 V 4 Vpirâmide 154 3 6 5 8 7 Os copos e as taças possuem o mesmo volume por isso a pessoa pode escolher qualquer um dos dois 10 152 3 9 Três cubos 108 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 66 Construções de modelo Nessa seção você aprenderá como construir modelos concretos que lhe auxiliarão na visualização de alguns sólidos trabalhados nesse capítulo Modelo 1 Objetivo Facilitar a visualização da relação estabelecida pela proposição 7 Material necessário 1 Uma radiografia descolorida de dimensões aproximadamente iguais as dimensões de uma folha de papel A4 2 Um tampa plástica que vem nas latas de leite ou achocolatados de diâmetro igual a 10 cm 3 Fita adesiva 4 Um retângulo de duplex de dimensões 12 cm x 16 cm Modo de fazer Passo 1 Em uma folha de papel A4 construa um semicírculo de raio 10 cm e faça uma aba de modo análogo a figura 129 Está pronto o molde que será utilizado para construir a superfície lateral do cone Passo 2 Fixe o molde na radiografia com fita adesiva Em seguida risque os raios do setor e a aba com o auxílio de uma régua e um estilete Use força suficiente para riscar Tenha cuidado para não cortar a radiografia Passo 3 Recorte com uma tesoura o setor na radiografia seguindo as linhas do molde Passo 4 Dobre a aba do setor e feche o setor fazendo coincidir os raios do mesmo e fixando essa união com fita adesiva Passo 5 No duplex do lado fosco construa um triângulo equilátero de lado medindo 98 cm e trace uma altura do mesmo Faça abas como na figura 152 Passo 6 Recorte esse triângulo segundo as linhas interrompidas Dobre segundo a altura de modo que o lado colorido do duplex fique para fora E em seguida fixe os lados sem abas com uma fita adesiva Desse modo você terá construído um triângulo retângulo de hipotenusa de medindo 98 cm e cateto medindo 49 cm Escreva nos dois lados dessa peça as letras h r e g ao lado da altura do cateto MB e da hipotenusa BC respectivamente Passo 7 108 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 109 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Dobre as abas uma para cada lado e fixe esse triângulo na parte interna da tampa plástica com fita adesiva de modo que o cateto BM coincida com um dos raios da tampa Passo 8 Por fim encaixe a superfície lateral do cone na tampa plástica E o seu modelo está pronto Modelo 2 Objetivo Facilitar a visualização do sólido chamado anticlépsidra e o cálculo do seu volume Material necessário 1 Uma folha de duplex 2 Um palito de dente 3 Fita adesiva Modo de fazer Passo 1 No papel duplex do lado fosco desenhe um retângulo de lados medindo 316 cm e 102 cm Faça uma aba conforme a figura 153 Dobre a aba para dentro e feche o modelo de modo que o lado colorido do duplex fique para fora Assim você construiu uma superfície cilíndrica Com uma régua meça o diâmetro da base Passo 2 Na folha de duplex do lado fosco construa um setor circular de raio 7 cm e ângulo central igual a 257o Faça abas de modo análogo a figura 154 Passo 3 Feche a superfície cônica de modo que o lado colorido do duplex fique para dentro e as abas para fora Fixe as abas com uma borracha de dinheiro ou borracha de silicone para prender cabelo Observe a figura 155 110 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Passo 4 Construa outra superfície cônica igual à anterior seguindo os passos 2 e 3 Passo 5 Pelo vértice de uma das superfícies cônicas de dentro para fora introduza o palito Em seguida encaixe a ponta do palito no vértice da outra superfície cônica dessa vez de fora para dentro de modo que as superfícies cônicas fiquem unidas pelo vértice Veja a figura 156 Passo 6 Encaixe a superfície cilíndrica construída no passo 1 na peça anterior e com fita adesiva fixe as bases da su perfície cilíndrica nas bases das superfícies cônicas Veja a figura 157 O sólido representado por esse modelo é denominado anticlépsidra A anticlépsidra é obtida quando de um cilindro de raio r e altura h 2r é retirado dois cones de raios e alturas iguais a r O volume da anticlépsidra pode ser obtido subtraindo do volume do cilindro os volumes dos cones ou seja V 2 V V cone cilindro anticlépsidra O volume do cilindro é igual a 110 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 111 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA O volume do cone é igual a Logo Portanto A anticlépsidra é um sólido importante para o cálculo do volume da esfera que você terá oportunidade de estudar no próximo capítulo VOCÊ SABIA Certamente você já ouviu falar das pirâmides do Egito Elas estão localizadas na esplanada de Gizé nas proximidades da atual Cairo São pirâmides regulares de bases quadradas e foram construídas como túmulos reais A maior delas foi construída por volta de 2600 aC para abrigar o corpo do faraó Khufu Quéops e se tornou conhecida como uma das Sete Maravilhas do Mundo Antigo Você pode saber mais sobre as pirâmides nos endereços httpptwikipediaorgwikiPirC3A2midesdeGizC3A9 httpwwwestadaocombrnoticiasinternacionalnovastumbasrecontamhistoriadas piramidesdoegito4937860htm 112 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 7 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Nos capítulos anteriores você teve a oportunidade de conhecer as definições de cilindros prismas cones e pirâmides e aprendeu a determinar os volumes e as áreas laterais e totais desses sólidos Nesse capítulo você aprenderá a identificar um sólido de revolução e a calcular os volumes de alguns sólidos de revolução 71 Construção de sólidos de revolução Definição 1 Em um plano α considere uma reta r e uma região G limitada por uma curva simples sem autointerseções Na figura 158 a região G é a região cujo contorno é o trapézio ABCD Imagine então que a região G gira em torno da reta r Nesse movimento cada ponto P da região G descreve uma circunferência contida no plano β que passa por P e é perpendicular à reta r Note que os centros dessas circunferências são pontos da reta r Observe a figura 158 O sólido formado pela reunião de todas essas circunferências é chamado sólido de revolução A região G é chamada geratriz e a reta r eixo de revolução O sólido de revolução S ilustrado nas figuras 158 e 159 é gerado pela rotação do trapézio ABCD em torno da reta r Assim o trapézio ABCD é a geratriz e r é o eixo de revolução do sólido S 112 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 113 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Um cilindro circular reto de raio r e altura h é também um sólido de revolução cuja geratriz é um retângulo de lado medindo r e h Na figura 160 o cilindro é gerado quando o retângulo ABCD geratriz gira em torno da reta BC eixo de revolução 72 A esfera volume e área de esferas Definição 2 Considere um ponto C do espaço e seja R um número real positivo O conjunto dos pontos P do espaço tais que a distância de P ao ponto C é menor ou igual a R é chamado esfera de centro C e raio R A figura 161 ilustra uma esfera de centro C e raio R As distâncias do centro C aos pontos A e B são iguais a R assim esses pontos pertencem a essa esfera e são ditos pontos da superfície da esfera O ponto P pertence a essa esfera pois a distância de P ao centro C é menor do que R nesse caso dizse que P é um ponto interior da esfera Note que a distância do ponto Q ao centro C é maior que R daí o ponto Q não pertence à esfera O ponto Q é dito um ponto exterior da esfera O segmento determinado por dois pontos A e B da superfície da esfera é chamado corda Toda corda que passa pelo centro da esfera chamase diâmetro Note que a esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno do diâmetro Você está lembrado do sólido chamado anticlépsidra trabalhado no capítulo 6 Releia o cálculo do volume da anticlépsidra no modelo 2 do capítulo 6 Considere uma anticlépsidra obtida de um cilindro de raio R e altura igual a 2R quando se retira dois cones de raios e alturas iguais a R Observe a figura 163 114 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 A anticlépsidra é também um sólido de revolução pois é gerado pela rotação do triângulo retângulo DEF em torno da reta t que contém o eixo do cilindro Lembrese de que o volume da anticlépsidra é dado pela fórmula Considere também uma esfera de raio R e imagine que a esfera e a anticlépsidra estão apoiados sobre um plano α Observe a figura 164 114 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 115 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Note que todo plano α paralelo ao plano α que intercepta a esfera intercepta também a anticlépsidra E nesses planos as seções da esfera são círculos e seções da anticlépsidra são coroas circulares Analise mais detalhadamente essas seções Inicie com uma seção da esfera em um plano α paralelo ao plano α Comece observando que o plano α é tangente à esfera no ponto B daí o diâmetro AB é perpendicular ao plano α Consequentemente o diâmetro AB é perpendicular a todo plano α paralelo ao plano α Observe agora a figura 165 Seja d a distância do ponto C centro da esfera ao plano α Considere também que a seção da esfera no plano α é o círculo de centro em Q e raio r e seja P um ponto da superfície da esfera que per tence a esse círculo Daí a distância do ponto P ao centro da esfera é igual ao raio da esfera ou seja Note que o triângulo CQP é retângulo em Q pois o diâmetro da esfera é perpendicular ao plano α Assim apli cando Pitágoras a esse triângulo você obtém d R r d r R 2 2 2 2 2 2 Logo a área desse círculo é igual a Agora analise a seção da anticlépsidra no mesmo plano α Volte a observar a figura 164 Note que a reta t que contém o eixo de revolução da anticlépsidra é paralela ao diâmetro AB da esfera Como o diâmetro é perpendicular ao plano α então a reta t também é perpendicular a esse plano Assim o triângulo FOG ilustrado na figura 166 é retângulo em O e os catetos FO e OG possuem medidas iguais ao raio da esfera ou seja Note também que as retas OG e OG estão contidas respectivamente nos planos paralelos α e α Assim essas retas não se interceptam Além disso as retas OG e OG são coplanares pois estão contidas no plano FOG Daí as retas OG e OG são paralelas Consequentemente os triângulos FOG e FOG são semelhantes logo o triângulo FOG é também retângulo e isósceles Portanto 116 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Por outro lado a distância do ponto F ao plano α é igual à distância do ponto C centro da esfera ao plano α ou seja Daí Assim a seção da anticlépsidra no plano α é uma coroa circular cujo raio da circunferência maior é R e da circunferência menor é igual a d Lembrese da Geometria plana que a área de uma coroa circular pode ser obtida subtraindo da área do círculo de raio maior a área do círculo de raio menor Logo a área dessa coroa é igual a Compare a área do círculo Scírculo seção da esfera no plano α com a área da coroa Scoroa seção da anticlépsidra com o plano α Essas áreas são iguais Claro que são Colocando o número π em evidência na expressão que determina a área da coroa você obtém a expressão que determina a área do círculo Resumindo quando a esfera e a anticlépsidra são apoiados sobre um plano α todo plano α paralelo ao plano α que intercepta a esfera intercepta também a anticlépsidra segundo seções que possuem áreas iguais Logo aplicando o Postulado de Cavalieri você pode concluir que esses sólidos possuem volumes iguais Assim o volume da esfera é igual ao volume da anticlépsidra ou seja A seguir será estabelecida uma fórmula que permite calcular a área da superfície da esfera Comece consi derando uma esfera de raio R e centro C e um cone de vértice no ponto C tal que os pontos da circunferência da base desse cone são pontos da superfície da esfera Considere também h a altura desse cone A figura 167 ilustra esses sólidos Observe que o plano da base desse cone divide a esfera em dois sólidos que são chamados calotas esféricas Nomeie C1 a calota que não contém o centro da esfera Observe que C1 está compreendida entre a base do cone e a superfície da esfera Note que quanto maior a altura h do cone menor é o volume da calota C1 A figura 168 ilustra esse fato 116 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 117 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Então você pode concluir que quando a altura do cone se aproxima do raio da esfera o volume da calota C1 se aproxima de zero e a área da base do cone se aproxima da área da superfície da calota C1 Agora imagine todos os cones de vértices no centro da esfera e alturas aproximadamente iguais ao raio da esfera Então o volume da esfera é aproximadamente igual à soma dos volumes de todos esses cones porque os volumes das calotas se aproximam de zero ou seja V V V V cone n cone 2 cone1 esfera Daí Onde i S representa as áreas das bases dos n cones Colocando R em evidência na igualdade anterior você obtém Note ainda que quando as alturas dos cones se aproximam do raio da esfera a soma das áreas das bases desses cones é aproximadamente igual à soma das áreas das superfícies de todas as calotas Mas a soma das áreas das superfícies de todas as calotas é igual à área da superfície da esfera Então você pode escrever ou melhor Quando a diferença entre as alturas dos cones e o raio da esfera for infinitamente pequena você pode considerar que E essa é a fórmula que você pode utilizar para calcular a área da superfície de uma esfera Por exemplo uma esfera de raio igual a 2 centímetros possui superfície de área igual a 73 Volume de sólidos de revolução Nessa seção você aprenderá a determinar o volume de sólidos de revolução que podem ser decompostos em cilindro cones e esferas Desse modo os volumes desses sólidos são iguais à soma ou diferenças de volumes de cilindros cones e esferas Para calcular o volume de sólidos de revolução que não podem ser decompostos em cilindro cones e esferas você vai precisar dos recursos de Cálculo Integral e por isso os volumes desses sólidos serão estudados nessa disciplina Exemplo 1 Considere o sólido de revolução S gerado pela rotação do triângulo ABC em torno do lado BC Sabese que a base BC mede 6 centímetros e que a altura relativa a essa base mede 2 centímetros Observe a figura 169 118 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 Note que o sólido S pode ser decomposto em dois cones C1 e C2 de mesma base e alturas h1 e h2 respectiva mente Assim o volume do sólido S é igual à soma dos volumes desses cones ou seja h 3 S 1 h 3 S 1 VS 2 base 1 base Daí A área da base é a área de um círculo de raio 2 cm ou seja Então Exemplo 2 Considere o sólido S gerado pela rotação do triângulo ABC retângulo em B em torno da reta r que passa por C e é paralela ao cateto BA Sabese que cm e que A figura 170 ilustra esse sólido Observe que o sólido S pode também ser obtido quando do cilindro de raio 2 cm e altura 3 cm é retirado um cone de raio e altura iguais as do cilindro Assim o volume do sólido S é igual ao volume do cilindro menos o volume do cone ou seja V V VS cone cilindro Note que as áreas da base do cilindro e o cone são iguais e as alturas também Então você pode escrever h 3 S 1 h S VS base base 118 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 119 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Colocando em evidência os termos comuns você obtém 3 2 h S 3 1 h 1 S VS base base O produto da área da base pela altura é igual ao volume do cilindro assim o volume do sólido S é dois terços do volume do cilindro Mas é claro O volume do cone é um terço do volume do cilindro logo o volume do sólido S tem que ser dois terços do volume do cilindro Interessante você não acha Substituindo os valores do raio e da altura na igualdade anterior você obtém Exemplo 3 Considere o retângulo ABCD da figura 171 Observe que os triângulos ABC e CAD são congruentes e por isso possuem áreas iguais Sejam S1 e S2 os sólidos de revolução gerados pela rotação dos triângulos ABC e CDA respectivamente em torno do lado CD Pense e responda 1 Os sólidos S1 e S2 são cones 2 E os volumes desses sólidos são iguais A resposta da primeira pergunta é negativa Apenas o sólido S2 gerado pela rotação do triângulo CDA em torno do cateto CD é um cone O sólido S1 gerado pela rotação do triângulo ABC em torno de BC não é um cone Note que o sólido gerado pela rotação do retângulo ABCD em torno do lado CD é um cilindro Como o sólido S2 é um cone de base e altura iguais as desse cilindro então o volume de S2 é igual à terça parte do volume desse cilindro Por outro lado o sólido S1 pode ser obtido quando desse cilindro é retirado o cone S2 Daí o volume do sólido S1 é igual a dois terços do volume desse cilindro Portanto os sólidos S1 e S2 embora sejam gerados por regiões de áreas iguais não possuem volumes iguais Note que o volume do sólido S1 é o dobro do volume do sólido S2 120 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 74 Exercícios resolvidos 1 Da figura 172 sabese que ABCD é um quadrado e que o raio do setor circular é igual a 4 cm Determine o volume do sólido S gerado pela rotação da região pintada em torno da reta AD Solução Observe inicialmente que o setor circular girando em torno da reta AD gera uma semiesfera E que o sólido de revolução gerado pela rotação do quadrado ABCD em torno da reta AD é um cilindro Observe a figura 173 Assim o volume do sólido S gerado pela rotação da região pintada em torno da reta AD pode ser calculado através da diferença do volume da semiesfera e do cilindro Note que o volume de uma semiesfera é igual à metade do volume da esfera Lembrese de que o volume de uma esfera é dado pela fórmula Assim o volume de uma semiesfera será Substituindo o valor do raio você obtém Note que o raio e a altura do cilindro são iguais ao lado do quadrado Observe agora triângulo ABC da figura 172 que é retângulo em B e cujos catetos possuem medidas iguais pois são lados do quadrado Aplicando o teorema de Pitágoras a esse triângulo você obtém Daí Assim o cilindro gerado pelo quadrado possui o raio e a altura iguais a 2 2 cm Lembrese de que o volume de um cilindro é dado pela fórmula h S V base cilindro Substituindo os valores do raio e da altura você obtém 120 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 121 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Portanto o volume do sólido S é dado por ou seja 2 Uma substância é colocada em um recipiente de forma esférica que está inscrito em um cilindro equilátero de diâmetro igual a 12 cm Essa substância precisa ser mantida sob refrigeração constante para isso injetase água entre o recipiente e o cilindro Determine o volume de água que será utilizado nesse processo Solução O volume de água pode ser calculado como a diferença entre o volume do cilindro e o da esfera ou seja V V V esfera cilindro água Lembrese de que um cilindro equilátero possui a altura igual ao diâmetro da base Assim a altura do cilindro é igual a 12 cm e o raio da base é igual a 6 cm Daí Observe também que a esfera possui raio igual a 6 cm Assim você pode calcular o volume da esfera Logo o volume da água é igual a 122 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 3 Seja S o sólido de revolução gerado pela rotação do paralelogramo ABCD em torno do lado BC Considere cm cm e que Determine a O volume de S b A área total de S Solução a Observe a figura 175 Considere S1 o cilindro de revolução gerado pela rotação do retângulo AFED em torno da reta BC S2 o cone de revolução gerado pela rotação do triângulo DEC em torno da reta BC e S3 o cone de revolução gerado pela rotação do triângulo AFB em torno da reta BC Observe que o volume do sólido S pode ser obtido somando o volume do cilindro S1 com o volume do cone S2 e em seguida subtraindo o volume do cone S3 ou seja V S V S V S VS 3 2 1 Note que o cilindro S1 o cone S2 e o cone S3 possuem a mesma área da base Sbase Sejam h1 h2 e h3 as alturas de S1 S2 e S3 respectivamente Estão você pode escrever h 3 S 1 h 3 S 1 h S V S V S V S VS 3 base 2 base 1 base 3 2 1 Observe agora os triângulos DEC e AFB da figura 175 Esses triângulos são retângulos possuem hipotenusas congruentes lados opostos de um paralelogramo e o cateto AF congruente com o cateto DE distância entre duas paralelas Daí esses triângulos são congruentes pelo caso hipotenusacateto Conseqüentemente os catetos CE e BF são também congruentes Note que e assim 3 2 h h ou seja os cones S2 e S3 possuem alturas iguais Como as bases desses cones possuem áreas iguais então os volumes dos mesmos também são iguais Assim h S h 3 S 1 h 3 S 1 h S V S V S V S VS 1 base 3 base 2 base 1 base 3 2 1 Daí o volume do sólido S é igual ao volume do cilindro S1 A altura do cilindro S1 é igual à medida do segmento FE que é congruente ao segmento AD lados oposto de um retângulo e que por sua vez é congruente ao segmento BC lados opostos de um paralelogramo Logo essa altura mede 10 cm ou seja h1 10 cm Observe agora o triângulo DEC da figura 175 O raio do cilindro S1 é igual ao cateto DE que pode ser obtido como cm 122 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 123 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Assim o raio do cilindro S1 é igual a 2 3 cm Agora você já pode calcular o volume do sólido S como segue a abaixo b A área total do sólido S é igual à soma da área lateral do cilindro S1 com as áreas laterais dos cones S2 e S3 Como esses cones possuem a mesma área lateral então você pode escrever S S 2 S S S S 2 lateral 1 lateral lateral Lembrese de que as áreas laterais de cilindro e cone são dadas pelas fórmulas O raio e a altura do cilindro S1 são 2 3 cm e h1 10 cm respectivamente Daí Volte a observar o cone S2 gerado pela rotação do triângulo DEC em torno de BC O raio desse cone é igual ao raio do cilindro S1 e a geratriz coincide com o lado DC do paralelogramo Assim você pode calcular a área lateral do cone S2 como segue abaixo Portanto 75 Exercícios propostos 1 Dado o retângulo ABCD tal que cm e cm I Determine o volume do sólido a S1 gerado pela rotação do triângulo DAB em torno da reta AD b S2 gerado pela rotação do retângulo ABCD em torno da reta AD II Calcule a razão entre os volumes de S1 e do sólido S3 gerado pela rotação do triângulo BCD em torno de AD 2 Seja S o sólido de revolução gerado pela rotação de um trapézio ABCD em torno da sua base maior AB Considere a ilustração da figura 176 onde e o ângulo Determine a O volume de S b A área total de S 124 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 3 Um ponche foi colocado numa tigela em forma de uma semiesfera e será servido em taças em forma de cones Se o raio e altura das taças são iguais respectivamente a um sexto e ao triplo do raio da tigela de termine o número mínimo de pessoas que poderão ser servidas com o ponche Suponha que a tigela está completamente cheia 4 Estou numa fazenda no interior da Bahia e vou fazer o que eu mais gosto tomar café com leite As canecas na mesa têm a forma de cilindros eqüiláteros e no vasilhame de leite repousa uma concha cuja forma é de uma semiesfera Por comparação constato que as canecas e a concha possuem o mesmo diâmetro Coloco um pouco de café na caneca e em seguida duas conchas de leite Assim a caneca fica totalmente cheia Qual a razão entre os volumes de café e de leite que eu misturei na minha caneca 5 Desejase construir um peso para papéis em forma de uma esfera de raio igual a 3 cm Disponho de um material de densidade igual a 2 grcm3 Qual a massa necessária para construir esse objeto Lembrese de que a densidade é a razão entre a massa e o volume ou seja V d m 6 Disponho em minha estante de um espaço equivalente ao espaço ocupado por um bloco retangular com 50 cm de comprimento 40 cm de largura e 30 cm de altura Verifique se é possível arrumar neste espaço os objetos listados a seguir tais que todos esses objetos estejam apoiados na prateleira I Uma coleção de livros composta de trinta volumes tal que cada livro possui 18 cm de comprimento 3 cm de largura e 26 cm de altura II Um portalápis de forma cilíndrica de altura 15 cm e diâmetro 6 cm III Um peso para papéis em forma de uma pirâmide regular de base quadrada cujas arestas da base e arestas laterais medem 4 cm e 2 38 cm respectivamente IV Um globo geográfico de diâmetro 18 cm 7 Da figura 178 sabe que raio do semicirculo é igual a 4 cm BCO é um triângulo retângulo isósceles Determine os volumes dos sólidos a S1 gerado pela rotação do retângulo ABCD em torno da reta AB b S2 gerado pela rotação da região pintada de vermelho em torno da reta AB 2 38 124 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 125 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 8 Identifique as geratrizes e o eixo dos sólidos de revolução dados a seguir Respostas 1 128ð VS 1 π cm3 384ð VS 2 π cm3 256ð VS 3 π cm3 2 VS 1 VS 3 1 2 a 20 ð VS 20 π cm3 b 3 O número mínimo de pessoas é 24 4 leite café 2 V 1 V 5 7 a 128ð VS 1 π cm3 b 3 ð 128 VS 2 π cm3 8 Sólido S1 geratriz triângulo ABC Eixo reta BC Sólido S2 geratriz setor circular de centro C e raio CB Eixo reta AC Sólido S3 geratriz trapézio ABCD Eixo base AB 6 O espaço disponível é de 60000 cm3 e a área da prateleira é de 2000 cm2 Por outro lado A coleção de livros ocupa um espaço de 42120 cm3 e uma área na prateleira de 1620 cm3 O portalápis ocupa um espaço de 42420 cm3 e uma área na prateleira de 2827 cm2 O peso de papéis ocupa um espaço de 64 cm3 e uma área na prateleira de 16 cm2 O globo ocupa um espaço de 11310 cm3 e um círculo máximo possui área de 25447 cm2 Logo é possível arrumar neste espaço os objetos listados 126 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 76 Construção de modelo O modelo descrito a seguir constitui bom exercício para desenvolvimento da sua visão espacial relativa aos sólidos de revolução Modelo 1 Objetivo Facilitar a visualização do sólido de revolução gerado pela rotação de um trapézio ABCD em torno de sua base menor CD Material necessário 1 Um quadrado de lado 12 cm em duplex 2 Duas radiografias descoloridas cada uma equivalente a uma folha de papel A4 3 Fita adesiva 4 Um quadrado de lado 12 cm em isopor de 05 centímetros de largura 5 Cola branca e cola de isopor Modo de fazer Passo 1 Utilize o molde do setor circular do modelo 14 do anexo 1 para fazer duas superfícies laterais de cones retos em uma das radiografias Feche as superfícies com fita adesiva colocando as abas para fora Passo 2 Utilize o molde do retângulo do modelo 15 do anexo 1 para fazer uma superfície lateral de um cilindro circular reto Feche essa superfície com fita adesiva colocando a aba para dentro Passo 3 Utilize o segundo molde do modelo 14 do anexo 1 para fazer um trapézio em duplex Depois de passar o molde para o duplex recorte segundo as linhas interrompidas e dobre segundo a linha CD Utilize a cola branca para unir as duas partes obtendo um trapézio colorido dos dois lados Passo 4 Faça dois círculos de raios iguais a 3 cm em isopor e em cada um dê um corte segundo um raio Você pode utilizar o terceiro molde do modelo 14 do anexo 1 O corte pode ser segundo o raio OP Passo 5 126 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 127 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Encaixe os dois círculos no trapézio fazendo coincidir os raios com os segmentos CE e DF de modo que o centro de cada círculo coincida com os pontos C e D respectivamente Observe o modelo 14 do anexo 1 Passo 6 Encaixe no cilindro o conjunto obtido no passo 5 de modo que os círculos em isopor fique paralelos às bases do cilindro Passo 7 Encaixe as superfícies laterais dos cones uma em cada base do cilindro de modo que uma geratriz do cone coincida com uma lateral do trapézio Fixe o conjunto unindo as bases do cone e do cilindro com fita adesiva O modelo está pronto e você já pode utilizar em suas aulas VOCÊ SABIA Você sabe o que é um GPS Qual a relação do GPS e a superfície de uma esfera A revista do Professor de Matemática RPM número 59 trás o artigo A Matemática do GPS de autoria do Professor Sérgio Alves do Instituto de Matemática e Estatística da USP do qual está transcrito a seguir alguns trechos A sigla GPS nada mais é do que a abreviatura para Global Positioning System sistema de posicionamento global Tratase de uma constelação de vinte e quatro satélites orbitando em torno da Terra a uma altura aproximada de 20200 km acima do nível do mar permitindo a receptores conhecer sua posição em qualquer lugar sobre a Terra com uma notável precisão Cada um dos satélites do GPS transmite por rádio um padrão fixado que é recebido por um receptor na Terra segmento do usuário funcionando como um cronômetro extremamente acurado O receptor mede a diferença entre o tempo que o padrão é recebido e o tempo que foi emitido Essa diferença não mais do que um décimo de segundo permite que o receptor calcule a distância ao satélite emissor multiplicandose a velocidade do sinal aproximadamente 299792458108 ms a velocidade da luz pelo tempo que o sinal de rádio levou do satélite ao receptor Essa informação localiza uma pessoa sobre uma imaginária superfície esférica com centro no satélite e raio igual à distância acima calculada Coletandose sinais emitidos por quatro satélites o receptor determina a posição do usuário calculandoa como intersecção das quatro superfícies esféricas obtidas A localização é dada não em coordenadas cartesianas mas por meio das coordenadas geográficas latitude longitude e a elevação A navegação é a função primária do GPS sendo usado em aeronaves navios veículos e por indivíduos que usam o receptor portátil de bolso Atualmente o GPS tem se mostrado útil em diversas situações das quais destacamos algumas 1 Roteirista de viagens determinam além da sua posição dentro de uma cidade quais as atrações e pontos turísticos mais próximos hotéis postos de emergências etc 2 Monitoramento de abalos sísmicos tais abalos são precedidos por alterações no campo gravitacional que distorcem as ondas de rádio permitindo através do GPS tentar prever a ocorrência de um terremoto com algumas horas de antecedência 3 Meteorologia o GPS gera informações para a previsão da meteorologia estudo do clima e outros campos de pesquisa relacionados 4 Localização para resgate o serviço usa o GPS para guiar helicópteros de socorro até o lugar do acidente 5 Aplicações industriais áreas infectadas por pestes são identificadas por fotografias aéreas e com uso do GPS um trator pode ser guiado para aplicações de pesticidas 6 Uso militar coordenadas de ataque orientação e controle para mísseis balísticos marcação para artilharia bombardeio de aeronaves defesa aérea rastreamento de submarinos localização de minas e radares inimigos atos terroristas etc 7 Uso em segurança monitoramento de trens caminhões de carga ou qualquer veículo automotor Você pode ler o artigo completo na RPM número 59 128 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 REFERêNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARBOSA João Lucas Marques Geometria Euclidiana Plana Rio de Janeiro SBM 2003 Coleção do Professor de Matemática DOLCE Osvaldo e outros Fundamentos de Matemática Elementar São Paulo Editora Atual São Paulo 2002 vol 10 LIMA Elon Lages e outros A Matemática do Ensino Médio Rio de Janeiro SBM 1999 v 2 Coleção do Professor de Matemática LIMA Elon Lages e outros Medida e Forma em Geometria Rio de Janeiro SBM 1999 Coleção do Professor de Matemática CARVALHO Paulo Cezar Pinto Introdução à Geometria Espacial Rio de Janeiro SBM 1993 Coleção do Professor de Matemática 128 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 129 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA ANExO 1 PLANIFICAÇõES DE ALGUNS SÓLIDOS Nesse anexo você encontrará planificações de sólidos que lhe auxiliarão no estudo de volume e áreas laterais e totais dos mesmos Instruções para montagem dos modelos Passos 1 Decalque a planificação utilizando papel carbono Dica se a planificação for composta de polígonos é suficiente que você decalque os vértices dos polígonos Posteriormente você poderá traçar os lados unindo convenientemente esses vértices 2 Recorte a planificação seguindo as linhas interrompidas 3 Monte o modelo dobrando segundo as linhas cheias e cole com fita adesiva adequadamente As planificações dos modelos foram construídas de modo que cou bessem numa folha de papel A4 Se você desejar um modelo em tamanho maior poderá fazer ampliação da planificação Para isso siga os passos descritos a seguir Passos 1 Escolha um dos vértices da planificação para centro da amplia ção Nomeie esse vértice de A1 Observe a figura 1 2 Construa semiretas de origem no centro A1 e que passam por cada um dos outros vértices 3 Escolha a razão de ampliação ou seja o número que representa quantas vezes você deseja que o modelo construído seja maior que o modelo dado na planificação original Por exemplo se você escolher o número dois o modelo que você construirá terá o dobro do tamanho do original A razão utilizada na figura 1 é igual a dois 4 Sobre cada uma das semiretas traçadas no item 2 marque um ponto i A tal que a distância desse ponto ao centro A1 seja igual ao produto da razão de ampliação pela distância do vértice Ai ao centro A1 Ou melhor k dA A dA A i 1 i 1 onde Ai é um vértice da planificação original e k é a razão de ampliação Na figura 1 por exemplo temse 2 dA A dA A 2 1 2 1 2 dA A dA A 3 1 3 1 etc 5 Por fim utilize os vértices i A conseguidos no passo 4 para construir os segmentos que correspondem aos segmentos do modelo original Por exemplo o segmento A1A2 corresponde ao segmento A1A2 do modelo original Agora é com você Use as suas habilidades artísticas e comece a construir os modelos que farão parte do acervo do seu laboratório de Matemática Divirtase 130 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 MODELO 1 PRISMA PENTAGONAL OBLíQUO Descrição Altura 8 centímetros Base pentágono regular de lado medindo 304 cm e área igual a 159 cm2 130 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 131 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MODELO 02 PARALELEPíPEDO OBLíQUO Descrição Altura 8 centímetros Base paralelogramo de base 38 cm altura 418 cm e área igual a 159 cm2 aproximadamente 132 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 MODELO 03 PARALELEPíPEDO RETÂNGULO Descrição Altura 8 centímetros Base retângulo de dimensões 38 cm x 418 cm e área igual a 159 cm2 aproximadamente 132 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 133 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MODELO 04 SEÇÃO MERIDIANA DO PRISMA DO MODELO 1 Descrição Pentágono regular de lado medindo 304 cm e área igual a 159 cm2 134 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 MODELO 05 SEÇõES MERIDIANAS DOS MODELOS 1 E 3 Descrição Pentágono regular de lado medindo 304 cm e área igual a 159 cm2 Retângulo de dimensões 38 cm x 418 cm e área igual a 159 cm2 aproximadamente 134 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 135 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MODELO 06 CILINDRO CIRCULAR RETO Descrição Altura 8 centímetros Base círculo de raio igual a 225 cm e área igual a 159 cm2 aproximadamente 136 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 MODELO 07 CILINDRO OBLíQUO Descrição Altura 8 centímetros 136 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 137 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MODELO 08 SEÇõES MERIDIANAS DOS MODELOS 3 E 6 Descrição Círculo de raio igual a 225 cm e área igual a 159 cm2 aproximadamente Retângulo de dimensões 38 cm x 418 cm e área igual a 159 cm2 aproximadamente 138 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 MODELO 09 PIRÂMIDE HExAGONAL Descrição Altura 10 centímetros Aresta da base 4 centímetros 138 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 139 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MODELO 10 TETRAEDRO 1 Descrição Altura 10 centímetros Área da base 788 cm2 140 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 MODELO 11 TETRAEDROS 2 Descrição Altura 10 centímetros 140 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 141 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA MODELO 12 TETRAEDROS 3 Descrição Altura 10 centímetros Base triângulo equilátero de lado 40 cm Observe que esses dois tetraedros são idênticos e devem ser construídos na mesma cor 142 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 MODELO 13 TETRAEDRO E PRISMA TRIANGULAR RETO Descrição 1 Tetraedro Altura 346 centímetros Base triângulo retângulo de catetos medindo 10 centímetros e 4 centímetros Esse tetraedro deve ser construído em cor diferente dos tetraedros do modelo 12 142 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 143 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 2 Prima triangular reto caixa Altura 10 centímetros Base triângulo equilátero de lado medindo 42 centímetros Observe que o prisma está sem as bases É assim mesmo E deve ser construído em material transparente acetato ou radiografia descolorida Você pode descolorir a radiografia colocandoa de molho em água com um pouco de cloro água sanitária e em seguida limpála com uma esponja fina com cuidado para não arranhála Os dois tetraedros do modelo 12 e o tetraedro do modelo 13 podem ser colocados na caixa sem tampa do modelo 13 Tente É um bom desafio Você pode concluir que o volume do prisma triangular é igual à soma dos volumes desses três tetraedros 144 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA EAD 2010 MODELO 14 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO Superfície lateral de um cone reto Descrição Geratriz 50 centímetros Ângulo central 216o Raio da base 30 centímetros Trapézio Descrição Base maior 12 cm Base menor 4 cm Altura 3 cm 144 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 EAD 2010 MATEMÁTICA 145 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA Círculo Descrição Raio 3 cm 146 UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA EAD 2010 MATEMÁTICA MODELO 15 SÓLIDO DE REVOLUÇÃO Superfície lateral de um cilindro reto Descrição Raio da base 30 cm Altura 12 cm No text content e Falso Se o ponto não pertencer à reta eles formamão um plano mas como contra exemplo se o ponto pertencer à reta não será formado um plano f Falso Se uma reta n intercepta um plano π em um ponto P então n intersecta exatamente as retas de π que passam por P retas de π que não passam por P não tem intersecção com n g Falso Ser paralelo a um plano significa que cada reta não intersecta esse plano Mas duas retas podem ser reversas e paralelas a um mesmo plano h Falso dois planos se intersectam numa reta n e havera retas de qualquer um dos planos que sejam paralelas à n i Falso utilizando o caso de h vemos que existem retas de cada plano que são paralelas à reta que conta os dois planos então temos rs rl então sl logo as retas s e l de planos diferentes são paralelas mas os planos são secantes j dentro do plano que contem s do caso anterior temos infinitas retas paralelas à s e dentro do plano que contem l temos infinitas retas paralelas mas os planos são secantes 2 a a diagonal CF é reversa à AB e está contida no plano de BCG b não há reta do plano de ABC que seja concorrente com HF c a reta BC d o plano dos pontos BFG e as retas AB HG e FG AB e HG são paralelas MG e FG são concorrentes AB e FG são reversas 3 a fazendo o volume de ABCDEFGH subtraído do volume de BMNOFPQR temos o volume solicitado pon M e N serem pontos médios as ducs arestas ficam divididas na metade logo o volume de BMNOFPQR é 14 de ABCDEFGH basta calcular 34 de ABCDEFGH V 34 8 6 10 360 cm3 b temos que a área será AT 2AMBPF 2ANQFB 2APQRF AT 2410 310 43 AT 164 cm2 4 sem 60 aOA sqrt32 3sqrt3l l 6 cm AT 6AAOB AAOB 63sqrt32 9sqrt3 cm2 AT 69sqrt3 cm2 V 54sqrt310 540 cm3 5 a se estác na mesma cata temos que a altura de água do prisma é 6m 3m Logo o volume será V 94pi 36pi m3 esse é o volume de água transferido b se o volume que restou do cilindro e V 3pi16 48pi m3 temos que o volume inicial será a soma dos dois volumes Vi 36pi 48pi 84pi m3