Lista de Exercicios Economia - Teoria do Consumidor

LISTA DE EXERCÍCIOS II TEORIA DO CONSUMIDOR Obs Entregar escaneado pelo AVA até o dia da primeira prova às 22h Pode ser feito em grupo de até 3 pessoas 1 Esboce um mapa de indiferença composto por retas paralelas com ângulo reto que quebram na linha x₁ x₂ Se as preferências aumentam na direção nordeste elas satisfazem os Axiomas 1 2 3 e 4 Prove que elas também satisfazem o Axioma 5 Elas satisfazem o Axioma 4 Elas satisfazem o Axioma 5 2 Determine a demanda marshalliana para um consumidor com função utilidade u x₁α x₂β e renda y Os preços de mercado são p₁ e p₂ 3 Um consumidor de dois bens enfrenta preços positivos e tem renda positiva Sua função utilidade é dada por ux₁ x₂ x₁ Derive as funções de demanda marshallianas 4 A função ux₁ x₂ x₁ρ x₂ρ1ρ em que 0 ρ 1 é denominada de CES constant elasticity of substitution Mostre que ela representa preferências que são estritamente monotônicas Supondo uma solução interior encontre as funções de demanda Hicksianas 5 Encontre a função dispêndio as funções de demanda hicksianas e as funções de demanda marshallianas correspondentes à função utilidade indireta dada por vp y a₁p₁ a₂p₂ y 6 Maximizar a função utilidade u 5x₁ x₂ sujeita à restrição orçamentária 4x₁ 8x₂ 100 7 Considere um consumidor com a seguinte função utilidade u x₁α x₂β a Determine a função utilidade Indireta do consumidor b Usando a Identidade de Roy encontre as demandas Marshallianas para x₁ e para x₂ 8 Considere que um consumidor que gasta toda a sua renda por período de tempo y 600 na compra de três produtos cujos preços são p₁ 1 p₂ 3 e p₃ 2 Determine a quantidade de cada bem que este indivíduo consome por período de tempo sabendose que a sua função utilidade é especificada por u 15x₁² x₂⁴ x₃²12 Lista de Exercícios II Teoria do Consumidor 1 O exercício se refere à utilidade de bens complementares perfeitos com função de utilidade do tipo uxy minax by O mapa de indiferença segue abaixo Axioma 5 Convexidade Prova Considere o ponto x e y no mapa de indiferença Como x e y estão na mesma curva de indiferença x y x y e y x Note que z t x 1t y é preferível a x e y e logo a preferência é convexa Ela não satisfaz contudo o axioma 5 pois a preferência não é estrita Também não satisfaz monotonicidade estrita pois se aumentarmos um bem sem aumentar o outro o agente ainda será indiferente à cesta original 2 O consumidor resolve max x₁α x₂β sa p₁ x₁ p₂ x₂ y O lagrangiano do problema é L x₁α x₂β λ p₁ x₁ p₂ x₂ y Condições de primeira ordem Lx₁ α x₁α1 x₂β λ p₁ 0 1 Lx₂ β x₁α x₂β1 λ p₂ 0 2 Lλ p₁ x₁ p₂ x₂ y 3 Dividindo 1 por 2 αx₁ x₂p₂ p₁p₂ x₂ p₁p₂ βα x₁ Substituindo em 3 p₁ x₁ p₂ D₁p₂ βα x₁ y p₁ x₁ p₁ βα x₁ y x₁ p₁ p₁ βα y x₁M y αp₁ βp₁α αy p₁ α β α Logo x₂M p₁p₂ βα αy p₁ α β βy p₂ α β ③ ux₁ x₂ x₁ Como podemos perceber pela função de utilidade e considerando preços e renda positivos o agente só obtém utilidade através do consumo de x₁ Assim ele destinará toda a sua renda para consumir x₁ Logo x₂M 0 Pela restrição orçamentária p₁ x₁M p₂ x₂M y p₁ x₁M y x₁M y D₁ ④ Primeiramente note que ux₁ x₂ x₁ 1ρ x₁ρ x₂ρ1ρ 1 ρ x₁ρ1 0 ux₁ x₂ x₂ 1ρ x₁ρ x₂ρ1ρ 1 ρ x₂ρ1 0 Ou seja qualquer cesta x₁ x₂ tal que x₁ x₁ e x₂ x₂ ou x₂ x₂ e x₁ x₁ gerará maior utilidade para o agente e portanto x₁ x₂ x₁ x₂ Logo a preferência é estritamente monótonica Para encontrar a demanda Hicksiana vamos resolver o problema de minimização do dispêndio min x₁ x₂ p₁ x₁ p₂ x₂ sa ū x₁ρ x₂ρ1ρ Lx₁ x₂ λ p₁ x₁ p₂ x₂ λ ū x₁ρ x₂ρ1ρ CPO Lx₁ p₁ λ 1ρ x₁ρ x₂ρ1ρ 1 ρ x₁ρ 1 0 1 Lx₂ p₂ λ 1ρ x₁ρ x₂ρ1ρ 1 ρ x₂ρ 1 0 2 Lλ ū x₁ρ x₂ρ1ρ 3 Dividindo 1 por 2 p₁ p₂ λ 1ρ x₁ρ x₂ρ1ρ 1 ρ x₁ρ1 λ 1ρ x₁ρ x₂ρ1ρ 1 ρ x₂ρ 1 p₁ p₂ x₂ x₁1 ρ x₂1ρ p₁ p₂ x₁1ρ x₂ p₁p₂11ρ x₁ Substituindo em 3 ū x₁ρ p₁p₂11ρ x₁ρ1ρ ū x₁ρ p₁p₂ ρ1ρ x₁ρ 1ρ ū x₁ρ 1 p₁p₂ ρ1ρ1ρ ūρ x₁ρ 1 p₁p₂ ρ1ρ x₁ρ ūρ 1 p₁p₂ ρ1ρ x₁H p₂1ρ ūρ p₁1ρ p₂1ρ1ρ 4 Substituindo na relação entre x₁ e x₂ x₂H p₁p₂11ρ x₁H x₂H p₁p₂11ρ p₂1ρ ūρ p₁1ρ p₂1ρ1ρ x₂H p₁1ρ ūρ p₁1ρ p₂1ρ1ρ ⑤ vp y a₁p₁ a₂p₂ y Se fixarmos vp y ū então podemos escrever que ū a₁p₁ a₂p₂ ep ū Logo a função dispêndio é simplesmente ep ū ū a₁p₁ a₂p₂ p₁ p₂ ū p₂ a₁ p₁ a₂ E sabemos que x₁H ep ū p₁ p₂ ū p₂ a₁ p₁ a₂ a₂ p₁ p₂ ū p₂ a₁ p₁ a₂2 x₁H p₂ ū p₂ a₁ p₁ a₂ p₁ a₂ p₂ a₁ p₁ a₂2 p₂2 ū a₁ p₂ a₁ p₁ a₂2 Analogamente x₂H ep ū p₂ p₁ ū p₂ a₁ p₁ a₂ a₁ p₁ p₂ ū p₂ a₁ p₁ a₂2 x₂H p₁ ū p₂ a₁ p₁ a₂ p₂ a₁ p₂ a₁ p₁ a₂2 p₁2 ū a₂ p₂ a₁ p₁ a₂2 Agora pela identidade de Roy x₁M vp y p₁ vp y y a₁ y D₁2 a₁p₁ a₂p₂ X1M a1 y P1 P2 P12 a1 P2 a2 P3 a1 y P2 P1 a1 P2 a2 P3 Para x2 X2M vpy P2 vpy y a2 y P22 a1 P1 a2 P2 X2M a2 y P1 P2 P22 a1 P2 a2 P3 a2 y P1 P2 a1 P2 a2 P3 6 Queremos resolver o problema maxx1x2 5 x112 x212 sa 4 x1 8 x2 100 Lx1 x2 λ 5 x112 x212 λ 4 x1 8 x2 100 cpo L x1 5 2 x112 x212 4 λ 0 1 L x2 5 2 x112 x212 8 λ 0 2 L λ 4 x1 8 x2 100 3 Dividindo 1 por 2 x2 x1 4 8 x2 x1 2 Substituindo em 3 4 x1 8 x12 100 8 x1 100 x1 125 Logo x2 x1 2 125 2 625 O valor máximo de u é portanto u 5 125 625 4419 7 a Sabemos pela questão 2 que quando temos ux1 x2 x1α x2β as demandas Marshallianas são X1M α y αβ P1 e X2M β y αβ P2 Substituindo em u obtemos a função utilidade indireta vyp α y αβ P1 α β y αβ P2 β vyp αα ββ yαβ P1α P2β αβαβ b Agora vamos usar a identidade de Roy para recuperar as demandas Marshallianas X1M vpy P1 vpy y α αα ββ yαβ P1α1 P2β αβαβ αβ αα ββ yαβ1 P1α P2β αβαβ α y αβ P1 X2M vpy P2 vpy y β αα ββ yαβ P1α P2β1 αβαβ αβ αα ββ yαβ1 P1α P2β αβαβ β y αβ P2 8 Podemos reescrever a função u como u 15 x1 x22 x312 E sabemos por outras questões dessa lista que a demanda marshalliana de uma CobbDouglas pode ser escrita como XiM αi y i1n αi Pi supondo n bens Ou seja o consumidor gasta uma proporção fixa de sua renda com cada bem definida pela razão entre o coeficiente do bem na função de utilidade e a soma de todos os coeficientes Assim ao invés de ter que resolver um sistema longo de 3 equações podemos encontrar a demanda marshalliana para os 3 bens usando essa lógica No te que também podemos ignorar o termo 15 na utilidade pois é simplesmente uma transformação monotônica de u x1 x22 x312 e portanto representa as mesmas preferências X1M α1 y α1 α2 α3 P1 1600 4 1 150 X2M α2 y α1 α2 α3 P2 2600 4 3 100 X3M α3 y α1 α2 α3 P3 1600 4 2 75