Lista de Exercícios Resolvidos - Microeconomia - Funções de Utilidade e Demanda

1 A matriz de substituição de um sistema de demanda de um consumidor que maximiza a utilidade aos preços 8 p é a b 2 12 Encontre a b e p 2 Anpec 2009 questão 1 adaptada Considere uma função CobbDouglas U q1α q21α e responda às perguntas a seguir a Qual é a demanda Hicksiana pelo bem 1 b A sensibilidade da demanda Hicksiana do bem 1 em relação ao preço do bem 2 é igual à sensibilidade da demanda Hicksiana do bem 2 ao preço do bem 1 c Qual é a demanda Marshalliana do bem 1 d Qual é o efeito renda para esta função utilidade e Qual é o efeito total para esta função utilidade 3 Qual a elasticidade de substituição para a função utilidade CobbDouglas 4 Se a função de utilidade de um consumidor for Ux y A x2 y3 calcule a elasticidade preço da demanda do bem x 7 Derive a função utilidade direta do consumidor se sua função utilidade indireta tem a forma vp y yp1r p2r1r 8 O consumidor escolhe as cestas xi aos preços pi i 0 1 em que p0 1 2 x0 18 9 p1 1 1 x1 18 18 Mostre que esses dados satisfazem o AfPR Dica compare as duas cestas considerando a restrição orçamentária em cada pi i 0 1 mostrando que uma cesta sempre é revelada como preferida do que a outra OGZRbiVO4 Resolução June 20 2022 Questão 1 A matriz de substituição de um sistema de demanda de um consumidor que maximiza a utilidade aos preços 8 p é a b 2 12 Encontre a b e p Solution Sabemos que ao multiplicar a matriz de substituição pelo vetor de preços obtemos zero como resultado Vamos partir dessa identidade Sp y p 0 a b 2 12 8 p 0 Agora obtemos um sistema de 2 equações 8a bp 0 p2 16 0 Da segunda equação obtemos que p 32 Logo a equação 1 se resume em 8a 16b 0 a 2b Note que como temos somente duas equações para 3 incógnitas não chegaríamos a um resultado fechado para a b e p Mas conseguimos mostrar que p possui valor único enquanto a e b seguem uma relação bem definida Questão 2 Considere uma função CobbDouglas U q1α q21α e responda às perguntas a seguir a Qual é a demanda hicksiana pelo bem 1 b A sensibilidade da demanda hicksiana do bem 1 em relação ao preço do bem 2 é igual à sensibilidade da demanda hicksiana do bem 2 em relação ao preço do bem 1 c Qual é a demanda marshalliana do bem 1 d Qual é o efeito renda para esta função de utilidade e Qual é o efeito total para esta função de utilidade Solution a Queremos resolver min q1q2 q1p1 q2p2 sa u qα 1 q1α 2 L q1p1 q2p2 λu qα 1 q1α 2 Que nos da as condicoes de primeira ordem p1 λαqα1 1 q1α 2 0 1 p2 λ1 αqα 2 qα 1 0 2 u qα 1 q1α 2 3 Dividindo 1 por 2 temos que p1 p2 αq2 1 αq1 q2 p1q11 α p2α Substituindo em 3 u qα 1 p1q11 α p2α 1α u q1p11 α p2α 1α qH 1 u p2α p11 α1α b Sim Essa e uma propriedade da demanda Hicksiana a elasticidade precocruzada e simetrica Matematicamente q1 p2 q2 p1 c Como a funcao utilidade e bemcomportada a solucao do problema primal maximizacao de utili dade e dual minimizacao do dispˆendio coincidem quando os precos sao iguais e o nıvel de renda e o dispˆendio mınimo necessario Contudo podemos lembrar mais facilmente da solucao geral para a demanda Marshalliana de uma CobbDouglas com parˆametros α β e renda R como sendo qM 1 αR α βp1 qM 2 βR α βp2 Substituindo por α e 1 α qM 1 αR α 1 αp1 qM 1 αR p1 qM 2 1 αR α 1 αp2 qM 2 1 αR p2 d Pela equacao de Slutsky sabemos que o efeito renda e dado por ER qM 1 qM 1 R Page 2 ER αR p1 α p1 α2R p2 1 e Agora para encontrar o efeito total basta calcular o efeito substituicao utilizando a demanda Hick siana encontrada no item a Logo ES qH 1 p1 ES α 1u p2α 1 α1α 1 p2α 1 Portanto o efeito total e dado pela soma desses dois componentes ET ES ER α 1u p2α 1 α1α 1 p2α 1 α2R p2 1 Questao 3 Qual a elasticidade de substituicao para a funcao utilidade CobbDouglas Solution Para nao perder generalidade vamos considerar uma CobbDouglas com parˆametros α e β quaisquer Sabemos que a demanda Marshalliana para por exemplo o bem 1 e dada por qM 1 αR α βp1 A elasticidade de subsituicao e calculada por ϵ12 qM 1 p2 p2 q1 ϵ12 0 Pois a demanda Marshalliana do bem 1 nao depende de p2 Note que o mesmo vale para o bem 2 e portanto a elasticidade de substituicao para a CobbDouglas e zero Page 3 Questao 4 Se a funcao de utilidade de um consumidor Ux y Ax2y3 calcule a elasticidade preco da demanda do bem x Solution Como funcoes de utilidade sao insensıveis a transformacoes monotˆonicas as demandas Marshallianas serao as mesmas geradas pela funcao de utiliade U x y x2y3 Assim sabemos que as solucoes sao dadas por xM 2R 5px A elasticidade preco da demanda e dada por ϵxx xM px px xM ϵxx 2R 5p2x px 5px 2R ϵxx 2R 5p2x p2 x 5 2R ϵxx 1 Questao 7 Derive a funcao utilidade direta do consumidor se sua funcao utilidade indireta tem a forma vp y ypr 1 pr 2 1 r Solution Sabemos que ux min pRn vp px ux min pRn ypr 1 pr 2 1 r sa y p1x1 p2x2 O Lagrangeano do problema e L ypr 1 pr 2 1 r λy p1x1 p2x2 CPOs L p1 1 r ypr 1 pr 2 1 r 1rpr1 1 λx1 0 4 L p2 1 r ypr 1 pr 2 1 r 1rpr1 2 λx2 0 5 L λ p1x1 p2x2 y 6 Dividindo 4 por 5 obtemos x1 x2 p1 p2 r1 p1 x1 x2 1 r1 p2 Page 4 Substituindo o resultado encontrado em 6 p1 x1 p2 x2 x1x21r1 p2 x1 p2 x2 y Rearranjando e isolando p2 obtemos p2 y x21r1 x1r x22r1 E portanto p1 x1x21r1 p2 x1x21r1 y x21r1 x1r x22r1 Por fim ux yp1r p2r1r yx1x21r1 y x21r1 x1r x22r1r y x21r1 x1r x22r1r1r Questão 8 O consumidor escolhe as cestas xi aos preços pi i 0 1 em que p0 1 2 x0 18 9 p1 1 1 x1 18 18 Mostre que esses dados satisfazem o AfPR Solution Note que no período 0 p0 x0 1 18 2 9 36 E além disso p0 x1 1 18 2 18 48 Logo aos preços p0 a cesta x1 não era adquirível e portanto não podemos concluir que a cesta x0 revelouse preferida à cesta x1 Agora olhando para p1 p1 x1 1 18 1 18 36 E analisando p1 com x0 p1 x0 1 18 1 9 27 Aqui a cesta x0 era factível e portanto x1 foi revelada preferida à x0 Como não houve inconsistência nas escolhas durante os dois preços pois inicialmente a cesta x1 não era factível concluímos que os dados satisfazem o AfPR