Lista de Exercícios Microeconomia - Funções de Produção e Maximização de Lucro

2 Anpec 2009 questão 4 adaptada Seja QKαL1α uma função de produção CobbDouglas Responda a Considere que o custo de oportunidade do fator trabalho seja w e que o preço do fator capital seja r Qual é a demanda condicional pelo fator trabalho Lr w Q b Qual é a elasticidade de substituição entre os fatores c Supondo que a quantidade produzida seja de Q3 unidades a remuneração do trabalho igual a w1 a remuneração do capital igual a r1 e que α05 qual é a quantidade de trabalho demandada Qual é o custo total de produção GABARITO 2 Lr w Q 1αα rwα Q b σ1 c L 3 C1 1 3 6 6 Anpec 2013 questão 3 adaptada Suponha que a função de produção para um dado produto tem a seguinte forma funcional q fx₁ 2x₁ 003x₁² Considere também que o preço de uma unidade do bem final é pq R 1000 e o preço unitário do insumo praticado pelo mercado é px₁ R 800 Dadas essas informações determine a O nível de utilização do insumo que maximiza o nível de produção b O nível de utilização do insumo que maximiza o lucro da firma c O nível de produção economicamente ótimo d O lucro máximo π obtinível pela firma e A produtividade marginal do fator e se ela é crescente decrescente ou constante GABARITO 6 a x₁ 3333 b x₁ 20 c q 28 d πq R 120 Lista Microeconomia G0vK7yWXS July 13 2022 1 Seja Q KαL1α uma funcao de producao CobbDouglas Responda a Considere que o custo de oportunidade do fator trabalho seja w e que o preco do fator capital seja r Qual e a demanda condicional pelo trabalho Lr w Q b Qual e a elasticidade de substituicao entre os fatores c Supondo que a quantidade produzida seja Q 3 unidades a remuneracao do trabalho igual a w 1 e a remuneracao do capital igual a r 1 e que α 0 5 qual a quantidade de trabalho demandada Qual e o custo total de producao Solution a A demanda condicional por um fator e obtida atraves do problema de minimizacao de custos da firma Ou seja devemos encontrar a escolha de fatores L K que minimizam o custo de produzir uma quantidade dada Q Formalmente o problema e min KL wL rK st Q KαL1α O Lagrangeano dessa minimizacao e L wL rK λQ KαL1α Agora vamos encontrar as condicoes de primeira ordem L K r λαKα1L1α 0 1 L L w λ1 αKαLα 0 2 L λ Q KαL1α 0 3 Como de costume vamos passar os termos negativos para o outro lado e dividir a equacao 1 pela 2 Assim obtemos r w λαKα1L1α λ1 αKαLα Que e a relacao de igualdade entre a taxa tecnica de substituicao e a razao dos precos dos insumos Simplificando a expressao obtemos r w αL 1 αK Como queremos a demanda condicional por L nesse item vamos isolar K na condicao acima K wαL r1 α 4 1 Agora podemos substituir 4 na condicao 3 e encontrar a demanda condicional por L Q wαL r1 ααL1α Lr w Q Qr1 α wα α b A elasticidade de substituicao entre dois fatores σKL e definida como σKL d ln L K d lnTTSKL A ideia aqui e tentar forcar o aparecimento desses logaritmos e assim conseguirmos computar a derivada Vamos comecar pela taxa de substituicao tecnica que convenientemente ja calculamos no item anterior Recorde que a taxa de substituicao tecnica e a razao entre as produtividades marginais dos fatores que estao justamente na parte negativa das equacoes 1 e 2 excluindo o λ Logo TTSKL αKα1L1α 1 αKαLα αL 1 αK Vamos aplicar o logaritmo dos dois lados da expressao acima ln TTSKL ln αL 1 αK ln α 1 α L K Pela propriedade dos logaritmos o lado direito da igualdade pode ser escrito como ln α 1 α ln L K Agora voltando a expressao com a taxa tecnica de substituicao obtemos ln TTSKL ln α 1 α ln L K E temos uma expressao muito conveniente para calcular a elasticidade de substituicao pois as variaveis da derivada estao exatamente na forma que gostarıamos Logo σKL d ln L K d lnTTSKL dln TTSKL ln α 1α d lnTTSKL 1 c Tendo calculado a demanda condicional por L no item a basta substituirmos os valores dados para encontrar L Lr w Q Qr1 α wα α 31 05 05 05 3 5 Agora vamos utilizar a equacao 4 para calcular K K wαL r1 α 05 3 05 3 O custo total portanto e C wL rK 3 3 6 Page 2 2 Suponha que a funcao de producao para um dado produto tem a seguinte forma funcional q fx1 2x1 0 03x2 1 Considere tambem que o preco de uma unidade do bem final e de pq 10 e o preco unitario do insumo praticado pelo mercado e px1 8 Dadas essas informacoes determine a O nıvel de utilizacao do insumo que maximiza o nıvel de producao da firma b O nıvel de utilizacao do insumo que maximiza o lucro da firma c O nıvel de producao economicamente otimo d O lucro maximo π obtenıvel pela firma d A produtividade marginal do fator e se ela e crescente decrescente ou constante Solution a Ignorando os precos de mercado e custo do insumo obtemos a producao maxima simplesmente observando o ponto crıtico da funcao de producao em relacao ao uso do insumo x1 isto e dq dx1 2 0 06x1 0 x 1 33 333 b Para encontrar a utilizacao do insumo que maximiza o lucro da firma vamos escrever primeiramente a funcao lucro π π pq px1x1 Substituindo pelos valores fornecidos e pela funcao de producao π 102x1 0 03x2 1 8x1 Formalmente o problema entao e max x1 102x1 0 03x2 1 8x1 Derivando e igualando a zero dπ dx1 20 0 6x1 8 0 0 6x1 12 x 1 20 c O nıvel de producao economicamente otimo e simplesmente o valor de q que resulta em lucro maximo Como ja sabemos que x 1 20 maximiza os lucros basta agora encontrar a producao fx1 fx 1 f20 2 20 0 03 202 40 12 28 q 28 d Mais uma vez basta substituir q que otimiza o lucro na funcao de lucro que assim obteremos o lucro maximo π 10 28 8 20 120 e A produtividade marginal do fator e calculada simplesmente derivando a funcao de producao em relacao a x1 Intuitivamente queremos analisar como a producao responde a uma pequena variacao na utilizacao do insumo Assim PMgx1 dfx1 dx1 2 0 06x1 Agora note que se derivarmos novamente essa expressao saberemos como a produtividade marginal se comporta dado um aumento no uso do insumo Estamos analisando o a variacao da variacao dessa funcao Procedendo para o calculo d2fx1 d2x1 0 06 0 Como a derivada e negativa concluımos que a produtividade marginal de x1 e decrescente Page 3