Lista 3 - Geometria Analítica 2022 1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO LISTA 3 - GEOMETRIA ANAL´ITICA Quest˜ao 1. Na figura anterior, vemos se¸c˜oes planas de um cone circular reto. Percebemos que as se¸c˜oes cˆonicas d˜ao origem aos lugares geom´etricos estudado no nosso curso. Com base nisso, descreva em ordem cada se¸c˜ao cˆonica partindo da esquerda para direita. Figura 1: Enunciado Quest˜ao 1 Quest˜ao 2. Sabendo que excentricidade ´e um parˆametro calculado por c a julgue a excentricidade das seguintes cˆonicas: par´abola, elipse, circunferˆencia e hip´erbole. Quest˜ao 3. Dada a equa¸c˜ao geral das cˆonicas: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0, discuta a rela¸c˜ao entre os coeficientes para que: a) A cˆonica seja uma elipse cujos eixos est˜ao paralelos ao eixo XY b) A cˆonica seja uma par´abola cujos eixos est˜ao paralelos ao eixo XY c) A cˆonica seja uma hip´erbole cujos eixos est˜ao paralelos ao eixo XY d) A cˆonica seja uma circunferˆencia cujos eixos est˜ao paralelos ao eixo XY Quest˜ao 4. Determine os m´aximos e m´ınimos da fun¸c˜ao dada: 4x2 + 16x + 19 = 0 Quest˜ao 5. Determine a are´a m´axima de um retˆangulo de 20m de per´ımetro Quest˜ao 6. Dado a equa¸c˜ao y2 + 8x = 0 , desenhe o gr´afico, determine a equa¸c˜ao da diretriz, as coordenadas do foco e o tamanho da corda que passa pelo foco e atravessa perpendicularmente o eixo (lactus rectum). Quest˜ao 7. Determinar os pontos de interse¸c˜ao da reta 2x − 9y + 12 = 0 com as assintotas da hip´erbole 4x2 − 9y2 = 11 Quest˜ao 8. Os focos de uma hip´erbole s˜ao (4,-2) e (4,-8) e o comprimento de seu eixo transverso ´e 4. Determine a equa¸c˜ao da hip´erbole 1 Quest˜ao 9. Determinar as equa¸c˜oes das assintotas da hip´erbole 4x2 − 5y2 = 7 Quest˜ao 10. Determine a equa¸c˜ao da par´abola cujo v´ertice est´a na origem e o foco no ponto (3,0) Quest˜ao 11. Determine a equa¸c˜ao da par´abola cujo v´ertice est´a na origem e a diretriz ´e a reta y − 5 = 0 Quest˜ao 12. Determine a equa¸c˜ao da par´abola cujo v´ertice est´a na origem e a diretriz ´e a reta x + 5 = 0 Quest˜ao 13. Os v´ertices de uma elipse s˜ao (4,0) e (-4,0) e seus focos s˜ao os pontos (3,0) e (-3,0). Determine a equa¸c˜ao da elipse Quest˜ao 14. Os v´ertices de uma elipse s˜ao (0,6) e (0,-6) e seus focos s˜ao os pontos (0,4) e (0,-4). Determine a equa¸c˜ao da elipse Quest˜ao 15. Os focos de uma elipse s˜ao os pontos (2,0) e (-2,0) e sua excentricidade ´e igual a 2/3. Determine a equa¸c˜ao do lugar geom´etrico Quest˜ao 16. Uma par´abola cujo v´ertice esta na origem e cujo seu eixo ´e coincidente com o eixo X. Esta par´abola passa pelo ponto (-2,4), determine a equa¸c˜ao da par´abola, a equa¸c˜ao da diretriz e as coordenadas do foco. Desenhe essa par´abola. Quest˜ao 17. Figura 2: Caption 2 LiStA 3 x# 16x t1 0 VAnt( - 16 Y3 m wm (-,3) A Xty = lo >Y = 0-X Xy = X.(l0-x) = 10X - x -Jo S 3. Y 25 A- 5. a5 = 125 4.3).(x-0) =(7-o) Cd 0, 0) P2 Didnei X= 0-(-2) toCo (-2,0 ait f3,2) a (2,-2) = 4 7)2x-q12 O 36 Y: x-h)+ K a b U 3 (h,-(o, Pod(3,) 4x-5Y? 2 a- b VS 4-h) (x-h)-(y-K} 2 PX - 2x = Y Y-5 fos(0,-5) x 2PY -10 x 2oY 2)X 5 Y . 10X 20X c) \frac{c}{a} = \frac{2}{3}\\3^2 = b^2 + 2^2\\9 - 4 = b^2 \Rightarrow b = \sqrt{5}\\\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1\\\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1\\45x - 10x - 25y = 0\\5x - 100 - 2y = 25\\Parábola\ Vértice\ \begin{pmatrix} 2,5 \end{pmatrix}\\foco\ \begin{pmatrix} 1, 5 \end{pmatrix}\\2\begin{pmatrix} \sqrt{5}, \frac{3y}{c} \end{pmatrix} = \frac{(a^2 - 4, x)}{5} = x \le c\\o\\c - \frac{5}{2} = 0 9xt xt 7a7 t-o X 8 -87-t Probs foco -2} y-? Poalor *} X4-6x + 6y 23 =0 (X-3) +(27+1) +di-16 -9 =0 (x-3)+107 +2=4 CPs G(5,-a) 2 +(Y +2) = 0s a b: C= V3 fo os (3+U3-2) (3-V3, -) R +9Y +3a Y J8Y t 39-O X 3 No fSstv 3Y Tm tr mao mods. +1 8y - 3 ao 9X 1+YaY -8 =0 (,4 2 a2, b 3 +y-= 1 foosto, + s)(1-Us