Analise de Sistemas de Primeira Ordem - Funcao de Transferencia e Resposta ao Impulso

Parte 5 Exercícios Solução 1 𝐺𝑝𝑠 10 15𝑠 5 2 3𝑠 1 𝐾𝑝 2 𝜏𝑝 3 2 𝑡resp 4𝜏𝑝 Do gráfico 𝑡resp3914 𝜏𝑝 09785 3 𝐾𝑝 3 2000 𝑘𝑔ℎ 00015 kgh 𝑡resp 4𝜏𝑝 𝜏𝑝 120 min 4 𝜏𝑝 30 min 4 𝑦𝑡 051 𝑒𝑡4 1 Para um sistema de primeira ordem temse 𝑦𝑡 𝑀𝐾𝑝1 𝑒𝑡𝜏𝑝 2 Para um degrau unitário 𝑀 1 Da comparação de 1 e 2 𝐾𝑝 05 e 𝜏𝑝 4 Portanto a 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑝𝑠 1 𝐾𝑝 05 𝑒 𝜏𝑝 4 𝐺𝑝𝑠 05 4𝑠 1 b Resposta impulso 𝑌𝑠 𝐺𝑝𝑠𝑈𝑠 𝑌𝑠 05 4𝑠 1 1 Transformada de Laplace inversa 𝓛𝟏𝑌𝑠 𝓛𝟏 05 4𝑠 1 𝓛𝟏 0125 𝑠 025 0125𝓛𝟏 1 𝑠 025 𝑦𝑡 0125𝑒025𝑡 5 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 3𝑒𝑠 10𝑠 1 Como 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝𝑒𝜃𝑠 𝜏𝑝𝑠 1 a 𝐾𝑝 3 ou 𝐾𝑝 𝐺0 3 𝑒0 10 0 1 𝐾𝑝 3 b 𝜏𝑝 10 c Do teorema do valor final lim 𝑡 𝑦𝑡 lim 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 lim 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 lim 𝑠0 𝑠 3𝑒𝑠 10𝑠 1 4 𝑠 12 d 𝑌𝑠 𝐹𝑠𝑒𝜃𝑝𝑠 𝐹𝑠 3 10𝑠 1 4 𝑠 𝐴 𝑠 𝐵 10𝑠 1 𝐴 12 10𝑠 1 𝑠0 12 𝐵 12 𝑠 𝑠 1 10 120 𝐹𝑠 3 10𝑠 1 4 𝑠 𝐴 𝑠 𝐵 10𝑠 1 12 𝑠 120 10𝑠 1 ℒ1𝐹𝑠 ℒ1 12 𝑠 48 10𝑠 1 12ℒ1 1 𝑠 12ℒ1 1 𝑠 01 Da tabela 41 𝑓𝑡 12 1 𝑒 𝑡 10 𝑦𝑡 𝑓𝑡 𝜃𝑝𝑆𝑡 𝜃𝑝 𝑦𝑡 12 1 𝑒𝑡1 10 𝑆𝑡 1 𝑆𝑡 1 0 para 𝑡 1 1 para 𝑡 1 Assim para 𝑡 10 𝑦𝑡 12 1 𝑒101 10 𝑦𝑡 12 1 𝑒 9 10 𝑦𝑡 712 e 𝑦𝑡 10 𝑦𝑡 712 12 0593 e Pelo teorema do valor final lim 𝑡 𝑦𝑡 lim 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 lim 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 lim 𝑠0 𝑠 3𝑒𝑠 10𝑠 1 1 𝑒𝑠 𝑠 0 f Pelo teorema do valor final lim 𝑡 𝑦𝑡 lim 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 lim 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 lim 𝑠0 𝑠 3𝑒𝑠 10𝑠 1 1 0 g 𝑌𝑠 𝐹𝑠𝑒𝜃𝑝𝑠 𝐹𝑠 3 10𝑠 1 10 𝑠2 4 30 10𝑠 1𝑠2 4 𝐴 10𝑠 1 𝑐 𝑑𝑗 𝑠 2𝑗 𝑐 𝑑𝑗 𝑠 2𝑗 𝐴 30 𝑠2 4 𝑠01 748 𝑠 2𝑗 𝑠 𝑎 𝑏𝑗 𝑎 0 e 𝑏 2 𝑐 𝑑𝑗 30 10𝑠 1𝑠 2𝑗 2𝑗 30 20𝑗 14𝑗 30 80 4𝑗 3080 4𝑗 80 4𝑗80 4𝑗 𝑐 𝑑𝑗 2400 120𝑗 6400 16 2400 120𝑗 6410 𝑐 0374 e 𝑑 00187 ℒ1𝐹𝑠 ℒ1 748 10𝑠 1 ℒ1 𝑐 𝑑𝑗 𝑠 2𝑗 𝑐 𝑑𝑗 𝑠 2𝑗 𝑓𝑡 0748ℒ1 1 𝑠 01 2𝑒𝑎𝑡𝑐cos𝑏𝑡 𝑑sen𝑏𝑡 𝑓𝑡 0748𝑒𝑡10 2𝑒00374 cos2𝑡 00187sen2𝑡 𝑓𝑡 0784𝑒𝑡10 00374sen2𝑡 0748 cos2𝑡 𝑦𝑡 𝑓𝑡 𝜃𝑝𝑆𝑡 𝜃𝑝 𝑦𝑡 0784𝑒𝑡110 00374sen2𝑡 1 0748 cos2𝑡 1𝑆𝑡 1 A entrada senoidal produz uma saída senoidal e 𝑦𝑡 não tem um limite quando 𝑡 6 a 𝐺p𝑠 6 4𝑠2 𝑠 4 15 𝑠2 025𝑠 1 𝐾𝑝 𝜏𝑛2𝑠2 2𝜏𝑛𝜁𝑠 1 𝐾𝑝 15 ou 𝐾𝑝 𝐺𝑝0 6 4 0 0 4 15 𝜏𝑛2 4 𝜏𝑛 2 2𝜏𝑛𝜁 025 𝜁 025 2 2 𝜁 00625 b 𝐺p𝑠 05 01𝑠2 6𝑠 01 5 𝑠2 60𝑠 1 𝐾𝑝 5 ou 𝐾𝑝 𝐺𝑝0 5 1 0 60 0 1 5 𝜏𝑛2 1 𝜏𝑛 1 2𝜏𝑛𝜁 60 𝜁 60 2 1 𝜁 30 7 𝐺𝑠 323𝑒3𝑠 4𝑠2 16𝑠 4 𝐺𝑠 na forma padrão 𝐺𝑠 𝐾𝑝𝑒𝜃𝑠 𝜏𝑛2𝑠2 2𝜏𝑛𝜁𝑠 1 Assim 𝐺𝑠 8075𝑒3𝑠 𝑠2 4𝑠 1 Portanto o ganho é 8075 o período natural é 1 o tempo morto é 3 unidades de tempo e o fator de amortecimento é 2 8 I 𝐾𝑝 𝑦 𝑢 275250F 1510C 𝐾𝑝 5 FC II Para um sistema de segunda ordem temse overshoot2 razão de decaimento Pelos valores aproximados tirados do gráfico está ok 𝑇 528 2𝜋𝜏𝑛 1 𝜁2 𝜏𝑛 528 1 020932 2𝜋 𝜏𝑛 822 min III 𝐶 𝐴 026 exp 2𝜋𝜁 1𝜁2 𝜁 02093 IV 026 V 528 min VI 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑛2𝑠2 2𝜏𝑛𝜁 1 5 6757𝑠2 344𝑠 1 9 FT Polos Zeros Ganho de RP Ganho inicial Coeficiente angular inicial Conclusão I 025j097 025j098 05 3 0 6 b II 13 Nenhum 2 0 0 d III 15 Nenhum Não aplica instável 0 25 e IV 0 15 Nenhum 0 0 a V 12 14 1 2 c FT Função de Transferência RP Regime Permanente Ganho de RP aplique o teorema do valor final Ganho inicial aplique o teorema do valor inicial Ganho inicial ou taxa inicial de variação lim 𝑡0 𝑑𝑦 𝑑𝑡 lim 𝑠 𝑠ℒ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 para a FT I temos lim 𝑠 2ℒ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 lim 𝑠 𝑠 32𝑠1 𝑠205𝑠1 lim 𝑠 12𝑠3 2𝑠05 lim 𝑠 12 2 6 Note que a direção inicial de mudança é oposta à mudança final resposta inversa 10 sobre elevação 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠ℎ𝑜𝑜𝑡 𝐴 𝐵 exp 𝜋𝜁 1 𝜁2 005 exp 𝜋𝜁 1 𝜁2 ln 005 𝜋𝜁 1 𝜁2 29957 𝜋𝜁 1 𝜁2 09536 𝜁 1 𝜁2 09536 1 𝜁2 𝜁 09094 1 𝜁2 𝜁2 19094𝜁2 09094 𝜁 069 Razão de decaimento 𝐶 𝐴 exp 2𝜋𝜁 1 𝜁2 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠ℎ𝑜𝑜𝑡2 Razão de decaimento exp 2𝜋069 1 0692 Razão de decaimento exp59897 Razão de decaimento 00025 Ou Razão de decaimento 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠ℎ𝑜𝑜𝑡2 0052 00025 11 O ganho do processo 𝐾𝑝 60 50 C 500 kgh 002 Ckgh Razão de decaimento Razão de decaimento 607 60 638 60 07 38 0184 A resposta em malha fechada representada no gráfico acima é consistente com um sistema de 2ª ordem Verificação Figura 51 Resposta de um processo subamortecido em malha aberta para uma entrada degrau 𝑂𝑣𝑒𝑟𝑠ℎ𝑜𝑜𝑡 638 60 60 50 38 10 038 Razão de decaimento 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠ℎ𝑜𝑜𝑡2 0184 0382 0184 01444 Razão de decaimento 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠ℎ𝑜𝑜𝑡2 Temos uma diferença de aproximadamente 215 0184 01444 0184 100 215 A diferença não é pequena e até podíamos concluir que essa resposta em malha fechada não é consistente com uma resposta de segunda ordem e não se pode esperar que os parâmetros de segunda ordem obtidos dessa resposta sejam consistentes Ou seja não é realista tentar usar os parâmetros de um sistema de segunda ordem para descrever essa resposta Contudo para ilustrar o procedimento de solução vamos dar sequência para encontrar a função de transferência Cálculo do fator de amortecimento Razão de decaimento 𝐶 𝐴 exp 2𝜋𝜁 1 𝜁2 0184 exp 2𝜋𝜁 1 𝜁2 ln 0184 ln exp 2𝜋𝜁 1 𝜁2 16928 2𝜋𝜁 1 𝜁2 02694 𝜁 1 𝜁2 02694 1 𝜁2 𝜁 007258 1 𝜁2 𝜁2 107258𝜁2 007258 𝜁 026 Usando a Equação 524 Da Figura 51 o período 𝑇𝑟 é aproximadamente 37 min Assim 𝑇𝑟 2𝜋𝜏𝑛 1 𝜁2 37 2𝜋𝜏𝑛 1 0262 𝜏𝑛 371 0262 2𝜋 𝜏𝑛 569 min Usando a Equação 525 telev 𝜏𝑛 𝜋 𝜙 1 𝜁2 𝜙 arctg 1 𝜁2 𝜁 𝜙 arctg 1 0262 026 13078 𝑡elev 569 𝜋 13078 1 0262 1081 min Da Figura 51 o tempo de elevação é 𝑡elev 20 min Portanto o tempo morto efetivo é aproximadamente 𝜃 20 1081 92 min Portanto 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝𝑒𝜃𝑠 𝜏2𝑠2 2𝜏𝑛𝜁𝑠 1 002𝑒92𝑠 3238𝑠2 296𝑠 1 12 a 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 2 𝑠2 𝑠 1 Da comparação do denominador de 𝐺𝑠 com 𝜏2𝑠2 2𝜏𝑛𝜁𝑠 1 Temse 𝜏 1 e 𝜁 05 Raízes de 𝑠2 𝑠 1 𝑠 05 087𝑗 Raízes complexas sugere oscilação 𝑦𝑡 lim 𝑠0𝑠𝐺𝑠𝑈𝑠 lim 𝑠0 𝑠 2 𝑠2 𝑠 1 2 𝑠 4 Tempo de primeiro pico 𝜋𝜏𝑛 1 𝜁2 36 Sobreelevação exp 𝜋𝜁 1 𝜁2 0652 Período 2𝜋𝜏𝑛 1 𝜁2 725 A resposta pode ser esboçada usando os seguintes comandos do MATLAB ver Figura a seguir systf41 1 1 stepsys b Razão de decaimento exp 2𝜋𝜁 1 𝜁2 0106 13 a 𝐺𝑠 5𝑠 1𝑒3𝑠 2𝑠 137𝑠 1 5𝑠 1𝑒3𝑠 2𝑠 12𝑠 12𝑠 17𝑠 1 𝜃 3 5 2 2 2 2 13 𝜏1 7 22 8 𝐺1𝑠 𝑒13𝑠 8𝑠 1 b 𝜃 3 5 2 22 11 𝜏2 2 22 3 𝐺2𝑠 𝑒11𝑠 7𝑠 13𝑠 1 14 𝐺𝑠 1 2𝑠 13𝑠 101𝑠 1 a Comandos MATALB para calcular a resposta de uma mudança em degrau unitário p2conv3 101 1 p3convp22 1 G3tf1p3 A função de transferência original t00225 y3stepG3t resposta degrau unitário plotty3 b Aproximação por uma função de transferência de primeira ordem mais tempo morto 𝜃 01 22 11 𝜏𝑝 3 22 4 𝐺1𝑠 𝑒11 4𝑠 1 c Comparação das respostas das funções de transferência original e aproximada Comandos MATLAB 15 a 𝑅𝐴global 𝑅𝐴PI𝑅𝐴POMTM 𝐾𝑐 𝜏𝐼𝜔 𝜏𝐼 2𝜔2 1 𝐾𝑝 𝜏𝑃 2𝜔2 1 16 5𝜔 25𝜔2 1 36𝜔2 1 𝜙global 𝜙PI 𝜙POMTM 𝜙tempo morto arctg 1 5𝜔 arctg6𝜔 360𝜔2𝜋 b 𝑅𝐴global 𝑅𝐴PI𝑅𝐴integrante 𝐾𝑐 𝜏𝐼𝜔 𝜏𝐼 2𝜔2 1 𝐾𝑝 𝜔 3 5𝜔2 25𝜔2 1 𝜙global 𝜙PI 𝜙integrante arctg 1 5𝜔 90 Observe que embora o produto 𝐾𝑝𝐾𝑐 seja negativo o valor absoluto desse produto é usado porque a seleção de um controlador de ação direta ou inversa será feita para garantir que o ganho da malha seja positivo e portanto a razão de amplitude será positiva c 𝑅𝐴global 𝑅𝐴PI𝑅𝐴SOMTM 𝐾𝑐1 1 𝜏𝐼 2𝜔2 𝐾𝑐 1 𝜔2𝜏𝑛22 2𝜔𝜏𝑛𝜁2 13 1 900𝜔22 2402𝜔2 1 1 100𝜔2 𝜙global 𝜙PI 𝜙SO 𝜙tempo morto arctg 240𝜔 1 900𝜔2 arctg 1 10𝜔 15360𝜔2𝜋 d 𝑅𝐴global 𝑅𝐴PI𝑅𝐴POMTM 𝐾𝑐 𝜏𝐼𝜔 𝜏𝐼 2𝜔2 1 𝐾𝑝 𝜏𝑃 2𝜔2 1 6 𝜔 𝜔2 1 16𝜔2 1 𝜙global 𝜙PI 𝜙POMTM 𝜙tempo morto arctg 1 𝜔 arctg4𝜔 720𝜔2𝜋 16 𝐺p𝑠 2 05𝑠 1𝑠 13𝑠 1 Comandos MATLAB para gerar o gráfico de Nyquist 17 O gráfico da resposta é mostrado na Figura acima Pode ser visto na figura que o processo pode ser um processo de primeira ordem Assim 0632 07951 0 05025 Tempo para atingir 632 da resposta 𝑡𝟔𝟑𝟐 𝜏𝑝 92103 05025 04806 06004 04806 138155 92103 1005 𝐾𝑝 𝑦 𝑢 07951 0 1 07951 Portanto 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑝𝑠 1 07951 1005𝑠 1 18 Os dados da figura ao lado indicam que a resposta do processo é um sistema de segunda ordem subamortecido A partir da figura 𝑦 15 𝑦𝑡pico 205 e 𝑡pico 11 A sobreelevação overshoot máximo normalizado pode ser estimado como 205 15 15 03667 𝑂𝑣𝑒𝑟𝑠ℎ𝑜𝑜𝑡 exp 𝜋𝜁 1 𝜁2 03667 exp 𝜋𝜁 1 𝜁2 ln 03667 ln exp 𝜋𝜁 1 𝜁2 10032 𝜋𝜁 1 𝜁2 03193 1 𝜁2 𝜁 010195 1 𝜁2 𝜁2 110195𝜁2 010195 𝜁 03042 𝑡pico 𝜋𝜏𝑛 1 𝜁2 11 𝜋𝜏𝑛 1 𝜁2 𝜏𝑛 11 1 030422 𝜋 33354 𝐾𝑝 𝑦 𝑢 15 0 1 15 Portanto 𝐺𝑝𝑠 𝐾𝑝 𝜏𝑛2𝑠2 2𝜏𝑛𝜁𝑠 1 15 1112𝑠2 203𝑠 1 19 𝑦 2 1 1 1 3 𝑦 1 3 1 1 3 𝑡13 é o tempo para 𝑦 1 1 3 13 subtraído do tempo onde ocorreu a mudança na entrada ou seja 𝑡13 𝑡𝑦13 2 tempo onde ocorreu a mudança na entrada 𝑡𝑦13 5 13 12 14 12 6 5 55 Neste caso como 13 está a meio caminho de 12 e 14 em vez da interpolação linear acima podíamos ter feito uma média aritmética ou seja 𝑡𝑦13 5 6 2 55 Assim 𝑡13 55 2 35 2 3 𝑦 2 3 1 2 3 𝑡23 é o tempo para 𝑦 1 2 3 17 subtraído do tempo onde ocorreu a mudança na entrada ou seja 𝑡13 𝑡𝑦17 2 tempo onde ocorreu a mudança na entrada 𝑡𝑦17 7 8 2 75 Então 𝑡23 75 2 55 𝜏𝑝 𝑡23 𝑡13 07 55 35 07 𝜏𝑝 286 𝜃𝑝 𝑡13 04𝜏𝑝 35 04 286 236 𝐾𝑝 𝑦 𝑢 2 1 1 0 1 Portanto 𝐾𝑝 𝐾𝑝𝑒𝜃𝑠 𝜏𝑝𝑠 1 𝑒236𝑠 286𝑠 1 20