Questões Cálculo 4 2021 2

Considera a sequência ann1 definida recursivamente por a1 2 e an1 frac2an5 an n 2 3 4 Então a sequência an é decrescente e limitada Além disso temos que limn o infty an 0 Considere as seguintes a afirmações 1 A série 5 frac154 frac4516 frac13564 não converge 2 Se limn o infty bn 0 então sum bn é convergente 3 Posso aplicar o teste da integral a série sum n2 ln n para determinar a convergência ou divergência Escolha uma opção a Apenas a afirmação 1 é verdadeira b Apenas a afirmação 2 é verdadeira c Apenas a afirmação 3 é verdadeira d Apenas as afirmações 1 e 2 são verdadeiras e Apenas as afirmações 1 e 3 são verdadeiras f Apenas as afirmações 2 e 3 são verdadeiras g Todas as afirmações são verdadeiras h Todas as afirmações são falsas Considere as seguintes séries 1 sumn1infty fracn3 1sqrtn7 1 cdot frac3nn2 2 sumn1infty frac122nn 1 Escolha uma opção a Só 1 converge b Só 2 converge c Ambas convergem d Ambas divergem Escolha a alternativa que contém as respostas corretas dois itens abaixo 1 A série n1 8n n² α n² 2n com α 0 é convergente se α pertence à 2 Com isto podemos afirmar que a série n3 1 n lnα n é OBS exp2 e² a J08exp2 divergente b J8exp2 convergente c J08exp2 convergente d J8exp2 divergente e Jexp28 convergente f Jexp28 1 divergente g Jexp28 convergente h Jexp2 divergente i Jexp28 divergente j Jexp28 1 convergente Considere a série de potências n0 1 3ⁿ nn x 1ⁿ Esta série está centrada em 1 tem raio de convergência 3 seu intervalo de convergência é da forma a b onde a 4 e b 2 Determine o valor da integral 01 arctanx² dx como uma série Obs Escreva a série de Taylor começando no zero Escolha uma opção a n0 1ⁿ 22n1² b n0 1ⁿ 2n32n1 c n0 1ⁿ 2n d n0 1ⁿ 22n2n1 e n0 1ⁿ 4n12n 1 Seja f ℝ ℝ uma função real e ann1 uma sequência definida pela fórmula an fn Se limx fx então ann1 é divergente VERDADEIRO 2 Se ann1 é uma sequência limitada então é convergente VERDADEIRO 3 Suponha que f ℝ ℝ é uma função analítica satisfez que fx n0 cn xⁿ em algum intervalo ao redor de 0 Suponha que n0 3ⁿ cn 2 Com relação à série n0 1ⁿ 3ⁿ cn podemos afirmar que não converge Se uma extremidade de uma corda for mantida fixa enquanto a outra é liberada então o movimento da corda é regido pelo problema de valores de fronteira e inicial Use o método de separação de variáveis para resolver o problema do calor dado por Sejam Calcule o valor da série k1 124k²1 Dica Considere a função fx 6 sen x Resposta O ponto x0 0 é um ponto singular regular da equação diferencial de segunda ordem x²y 6x²y αy 0 que tem por raízes da equação indicial r1 5 e r2 4 Agora usando o método de Frobenius yx k1 an xnt r obtemos a relação de recorrência 6n r 1an1 n rn r 1 20 an 0 n 1 Substituindo a maior raiz r1 obtemos a solução y1x β12 k1 1k65kk 4k1011k γ xk Encontre o valor de α 6β γ Resposta O ponto x0 0 é um ponto ordinário da equação diferencial de segunda ordem 5 x²y 8xy αy 0 que tem por relação de recorrência an2 n 65n 2 an n 0 de onde obtemos o conjunto solução c s 1 k1 682k β5k2462k x²k k1 792k γ5k3572k 1 x²k1 Encontre o valor de 8α 5β γ Resposta O ponto x0 0 é um ponto singular regular da equação diferencial de segunda ordem x2y αxy 4xy 0 que tem por raízes da equação indicial r1 0 e r2 frac16 Agora usando o método de Frobenius yx sumk1infty anxnr obtemos o sistema left 6rr 1 βr 0 an frac24an1n r6n 6r 1 forall n geq 1 right de onde obtemos o conjunto solução CS left sumk0infty frac1k24kk713 cdots 6k γxk 1 sumk1infty frac1k24kk511 cdots 6k δxk right Encontre o valor de 6α 4β 3δy O ponto x0 0 é um ponto ordinário da equação diferencial de segunda ordem x2 8y 3xy αy 0 que tem por relação de recorrência an2 fracn 58n 2an forall n geq 0 de onde obtemos o conjunto solução cs left 1 sumk1infty 1k5 cdots 3 cdots 2k β fracx2k8k cdot 2 cdot 4 cdot 6 cdot 2k x γx3 δx5 right Encontre o valor de 4α 8β 24γ 960δ