Ajuste de Funções: Métodos Computacionais em Engenharia

Ajuste de Funções Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitor de Administração Acadêmica Carlos de Oliveira Varella PróReitor de Pesquisa e Pósgraduação Emilio Antonio Francischetti PróReitora Comunitária Sônia Regina Mendes Direção geral Jeferson Pandolfo Revisão Mariana Baptista Produção editoração gráfica Magno Dal Magro Desenvolvimento do material Leonardo Tunala Projeto de Design Instrucional Grupo Orion Brasil Copyright 2018 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Sumário Ajuste de Funções Objetivos 04 Introdução 05 1 Método dos Mínimos Quadrados 06 11 Regressão Linear 08 12 Regressão Polinomial 12 13 Ajuste de Dados Oscilatórios 14 Síntese 18 Referências Bibliográficas 19 Objetivos Ao final desta unidade de aprendizagem você será capaz de Construir gráficos de dados experimentais obtidos em processos de aquisição Fazer o ajuste de funções e curvas aos dados por meio de métodos numéricos 4 Métodos Computacionais em Engenharia Introdução Os modelos matemáticos fornecem uma descrição funcional dos processos sejam eles físicos ou químicos Como sabemos existem duas formas de obtermos uma descrição matemática desses processos a primeira é usar como base o balanço de grandezas conservativas no processo por exemplo massa energia e quantidade de movimento e ainda leis da física que fornecem equações constitutivas tais como a Lei de Newton da viscosidade Lei de Fick da difusividade ou seja equações que relacionam grandezas e propriedades que constituem o sistema Os modelos matemáticos assim obtidos são chamados de modelos matemáticos analíticos Em segundo existem os modelos matemáticos formulados a partir de dados experimentais que são chamados de modelos empíricos Não é raro o uso de modelos matemáticos híbridos que são aqueles parcialmente obtidos de modelagem analítica e ainda possuem parâmetros que devem ser ajustados a partir de dados experimentais Nesta unidade de aprendizagem tratamos justamente do ajuste de curvas de funções ou modelos a dados obtidos experimentalmente Como isso é feito Frequentemente engenheiros e cientistas precisam desenvolver análises laboratoriais para determinar correlações importantes entre variáveis dependentes e independentes parâmetros coeficientes associados a propriedades composição etc e funções forçantes valores que representam o influências externas agindo sobre o sistema Esses dados geram gráficos contendo uma infinidade de pontos que aparentam ter uma certa tendência O objetivo do ajuste de funções é justamente encontrar uma função matemática que melhor se encaixa entre os pontos do gráfico e representa aquela tendência com a maior precisão possível No caso dos processos a tendência ajustada pela função representa a dinâmica do processo 5 Métodos Computacionais em Engenharia 1 Método dos Mínimos Quadrados A figura abaixo possui dois gráficos Observe que os pontos do gráfico da esquerda A possuem uma tendência linear enquanto os pontos do gráfico da direita B possuem uma tendência não linear Gráfico 1 Dados experimentais plotados Fonte Do autor A maioria dos estudantes iniciantes têm o hábito quase que instintivo de ligar os pontos entre si com o objetivo de mostrar a tendência nos dados obtidos mas este não é o procedimento correto O correto a ser feito é um ajuste de função ou seja encontrar a função matemática que melhor se adequa aos pontos com o maior valor de correlação possível A figura abaixo contém os mesmos gráficos experimentais anteriores entretanto estes possuem agora duas curvas de funções candidatas a se ajustarem a cada gráfico Gráfico 2 Dados experimentais com duas funções candidatas ao ajuste Fonte Do autor 1 2 3 4 6 8 5 7 9 10 1 3 7 9 11 4 2 6 8 10 5 1 2 3 4 6 8 5 7 9 10 0 40 120 60 20 100 80 Variável Independente Variável Independente Variável Dependente Variável Dependente A B 1 2 3 4 6 8 5 7 9 10 0 4 12 6 2 10 8 1 2 3 4 6 8 5 7 9 10 0 40 120 60 20 100 80 Variável Independente Variável Independente A B Variável Dependente Variável Dependente 6 Métodos Computacionais em Engenharia No primeiro gráfico A a tendência é claramente linear sendo perfeitamente ajustada por uma função polinomial do tipo y ax b 1a ordem em que y e x são as variáveis dependentes e independentes respectivamente a e b são respectivamente chamados de coeficiente angular e coeficiente linear Esse tipo de modelo também pode representar a dinâmica de processos lineares Esse modelo ou função polinomial é linear porque é de primeira ordem ou seja nenhum termo está elevado ao quadrado x2 ou a valores maiores 2 As funções polinomiais de ordem maior que 1 um têm o objetivo de ajustar gráficos de dados experimentais iguais aos da direita B por exemplo y ax2 bx c 2a ordem ou y ax3 bx2 cx d 3a ordem Nesse caso também precisamos determinar os parâmetros abcd e ainda verificar a melhor ordem a partir da melhor correlação de ajuste obtida Esse tipo de modelo também pode representar a dinâmica de processos não lineares Para traçar um gráfico manualmente use papel milimetrado mas primeiramente defina a escala de cada eixo X e Y Por exemplo observe os dados da Tabela 1 abaixo X Y 10 35 30 425 45 525 60 60 Tabela 1 Dados hipotéticos Fonte Do autor Para definir a escala de cada eixo primeiro é preciso verificar os limites inferiores e superiores de cada variável nesse caso X vai de 10 até 60 enquanto Y vai de 35 até 6 Portanto os eixos que representam X e Y deverão conter esses valores Observe a figura abaixo e verifique que o eixo horizontal contém os valores de X espaçados a cada dois 2 quadrados da folha Importante 7 Métodos Computacionais em Engenharia quadriculada assim cada quadrado do eixo X vale 05 Observe também que o eixo vertical contém os valores de Y espaçados a cada quatro 4 quadrados da folha quadriculada assim cada quadrado vale 025 no eixo Y A escolha desse número de quadrados para o eixo Y se deve ao fato deste conter valores que são números reais com vírgula e dessa forma a melhor escala deve sempre dispor da possibilidade desses valores serem assinalados no gráfico Gráfico 3 Pontos da tabela o início na origem ponto X 0 e Y 0 não é obrigatório Fonte Do autor Observe o segundo ponto do gráfico 3 e 425 e verifique que esse foi assinalado exatamente na interseção das linhas que correspondem a esses valores na escala de X e Y respectivamente assim construímos o gráfico corretamente para todos os outro pontos E então você acha que esses pontos descrevem um comportamento linear ou não linear 11 Regressão Linear Um dos métodos mais usados para o ajuste de curvas usa o método dos mínimos quadrados que consiste na minimização da soma dos desvios entre todos os pontos em relação à curva polinomial de primeira ordem ou superior que melhor se ajusta aos dados A regressão linear ou regressão polinomial de primeira ordem consiste no ajuste dos dados utilizando o conceito de mínimos quadrados O método faz o ajuste de uma função polinomial do tipo y ax b Em que a coeficiente angular b coeficiente linear 0 1 2 3 5 7 4 6 3 4 6 5 y x 8 Métodos Computacionais em Engenharia De acordo esse método para determinarmos o coeficiente angular a e linear b de uma função polinomial de primeira ordem linear que melhor se ajusta aos pontos devemos resolver o sistema de duas equações abaixo Se usarmos a forma matricial do sistema acima ficamos com Que pode ser resolvido por eliminação Gaussiana Em lugar de solucionar o sistema também é possível usar as fórmulas e Em que a coeficiente angular b coeficiente linear n número de dados xi valor de x no ponto i yi valor de y no ponto i somatório soma média de todos os valores de x média de todos os valores de y A Tabela 2 a seguir contém dados de xi e yi que geram um gráfico com tendência linear e as colunas já calculadas para o método da regressão linear por mínimos quadrados 2 i i i i i i n b x a y x b x a x y 2 i i i i i i n x y x b a x x y 2 2 i i i i i i x y x y a x n n x b y ax x y 9 Métodos Computacionais em Engenharia i xi yi xi ² xi yi 1 5 10 25 50 2 10 22 100 220 3 15 28 225 420 4 20 43 400 860 5 25 48 625 1200 Somatório 75 151 1375 2750 Tabela 2 Dados de xi e yi com tendência linear Fonte Do autor Na tabela acima os valores da sexta linha contém a soma de suas respectivas colunas No Octave o somatório de uma coluna ou linha pode ser feito com a função nativa sum Vamos calcular a média de x e y e Vamos calcular agora o valor dos coeficientes a e b e b 302 19415 11 O coeficiente de correlação r pode ser determinado pela equação abaixo 151 302 5 iy y n 75 15 5 ix x n 2 2 2 52750 75151 194 51375 75 i i i i i i n x y x y a n x x 2 2 2 2 09896 i i i i i i i i n x y x y n x x n y y r 10 Métodos Computacionais em Engenharia O valor de r para um ajuste perfeito é r 1 ou r 1 ou seja quanto mais próximo de 1 um ou 1 menos um melhor será o ajuste Esse fato indica que o valor de r 09896 é uma correlação excelente Para resolver o cálculo de a b e de r utilizando o Octave digite os comandos abaixo na ordem em que aparecem Quadro 1 Comandos no Octave para cálculo dos coeficientes da função linear Fonte Do autor As funções polinomiais de ordem maior que 1 um podem ajustar pontos que possuem até mesmo uma tendência logarítmica ou exponencial etc Saiba mais sobre o ajuste de curvas nessa publicação lendo o material indicado Você pode criar o gráfico dos dados ajustados ya com os comandos abaixo Quadro 2 Comandos no Octave para criar o gráfico com a curva ajustada Fonte Do autor Antes de usar os comandos acima certifiquese de que as variáveis x e y estão no ambiente de trabalho execute o Quadro 1 primeiro A variável x 5 10 15 20 25 y 10 22 28 43 48 n 5 a nsumxy sumxsumy nsumx2 sumx2 b meany ameanx r nsumxy sumxsumy sqrtnsumx2 sumx2sqrtnsumy2 sumy2 Leia mais a 194 b 11 ya ax b figure1 plotx y hold on plotx ya Saiba Mais 11 Métodos Computacionais em Engenharia ya y ajustada será criada com a função de ajuste do tipo ya ax b Nos comandos acima a função nativa plot foi usada duas vezes uma para os pontos e a outra para a curva de ajuste 12 Regressão Polinomial O método dos mínimos quadrados pode ser estendido para ajustar dados por polinômios de grau mais alto como na seguinte equação geral y a0 a1xa2x2amxm erro Em que o valor de m é o grau do polinômio Para um polinômio de segundo grau m2 temos na0xia1xi 2a2 yi xia0xi 2a1xi 3a2 xi yi xi 2a0xi 3a1xi 4a2 xi 2yi O sistema de equações acima pode ser representado na forma matricial da seguinte forma O cálculo do coeficiente de correlação pode ser determinado pela equação abaixo 2 0 2 3 1 2 3 4 2 2 i i i i i i i i i i i i i n x x a x x x a x y x y x x y x a 2 2 2 0 1 2 2 r i i i yi y yi y a a x a x y 12 Métodos Computacionais em Engenharia Por exemplo considere o conjunto de dados abaixo x y 100 390 125 510 150 720 175 840 200 1090 225 1350 975 49 Tabela 3 Dados hipotéticos Fonte Do autor Para esse problema o número de linhas de dados é n 6 Ajustando uma função de segunda ordem m 2 e resolvendo o sistema obtido na forma matricial fica da seguinte forma Esse sistema linear pode ser solucionado pelo método de eliminação de Gauss Assim os valores de a0 184 a1 037 e a2 246 Então a terceira e quarta coluna pode ser determinada para o posterior cálculo do coeficiente de correlação xi yi xi yi ² yia0 a1xi a² x² i 100 390 1820 00005 125 510 940 00121 150 720 093 01555 175 840 0054 00952 200 1090 747 00003 225 1350 2844 00041 975 49 6451 02677 Tabela 4 Dados hipotéticos onde a sétima linha contém os somatórios Fonte Do autor 0 1 2 6 975 1694 4900 975 1694 3108 8795 1694 3108 5951 16574 a a a 13 Métodos Computacionais em Engenharia Com os valores da terceira e quarta colunas é possível determinar o coeficiente de determinação Assim o coeficiente de correlação é O que significa um ótimo ajuste pois o valor de r está bem próximo de 1 um 13 Ajuste de Dados Oscilatórios Em alguns casos os dados obtidos apresentam uma tendência oscilatória ao longo do tempo ou seja na forma de ondas Essa tendência deve ser ajustada por funções trigonométricas como o seno e cosseno Observe que a Figura 3 contém dados com tendência oscilatória O ajuste de curvas pode ser aplicado a estimativa de parâmetros de modelos matemáticos utilizando dados experimentais Saiba mais sobre a estimativa de parâmetros na monografia indicada Gráfico 4 Dados experimentais com tendência oscilatória Fonte Do autor 2 6451 02677 09959 6451 r 09959 09979 r Saiba Mais Leia mais 1 2 3 4 6 8 5 7 9 10 15 1 0 05 1 15 05 Variável Independente Variável Dependente 14 Métodos Computacionais em Engenharia O método dos mínimos quadrados também pode ser usado para ajustar funções senoidais ou cossenoidais aos dados A forma geral da equação para o ajuste de dados oscilatórios é y Ao A1 cos ot B1sen ot Em que os coeficientes são definidos pelas equações abaixo e Em que Ao A1 e B1 coeficientes N número de dados frequência angular t tempo da série temporal A tabela abaixo contém dados com comportamento oscilatório i t y 1 0 255 2 01 101 3 02 245 4 03 102 5 04 250 Tabela 5 Dados com tendência oscilatória Fonte Do autor Considere que você dispõe de uma frequência angular para ajustar os dados que vale 3 Os comandos em Octave do quadro podem ser usados para determinar os coeficientes ω ω o y A N 1 2 cos o A y t N ω 1 2 o B y sen t N ω o ω o ω 15 Métodos Computacionais em Engenharia Quadro 3 Comandos no Octave para cálculo dos coeficientes da função oscilatória Fonte Próprio autor Portanto a função oscilatória que ajusta os dados acima é Observe que as funções sin e cos do Octave usam entradas em radianos Para executar esses cálculos em uma calculadora científica esta deve estar no modo radianos RAD Para ajustar uma curva a dados manualmente é necessário primeiro construir o gráfico com os dados e depois assinalar três pontos no gráfico um para o coeficiente linear e mais dois para o coeficiente angular Por exemplo considere os dados da tabela abaixo x y 10 325 25 450 50 525 75 575 Tabela 6 Dados hipotéticos Fonte Do autor Os valores de coeficiente angular e linear obtidos por meio do método dos mínimos quadrados são respectivamente a 036 e b 324 Para assinalar o coeficiente linear basta marcar esse valor no eixo Y Entretanto para assinalar dois pontos para o coeficiente angular é necessário usar a relação 1906 2831 1924 o o co y t s sen t ω ω Importante t 0 01 02 03 04 y 255 101 245 102 250 wo 3 N 5 A0 sumy N A1 2Nsumycoswot B1 2Nsumysinwot 16 Métodos Computacionais em Engenharia y a x onde o valor de x deve ser primeiramente arbitrado no eixo X O gráfico abaixo contém a curva ajustada Gráfico 5 Curva ajustada aos dados Fonte Do autor Observe que o valor do coeficiente linear b está assinalado no eixo Y e que o coeficiente angular a foi assinalado por meio de dois pontos definidos pelos valores de x e y no cruzamento entre as linhas paralelas aos eixos O valor arbitrado de x foi de 35 e vai de 35 até 7 também arbitrado Para esse valor de x o valor de y 03635 126 Esse valor de y foi marcado no eixo Y de 45 até 576 também arbitrado produzindo dois pontos exatamente no cruzamento entre as linhas de x e y paralelas aos eixos Finalmente a linha da curva linha azul é traçada se ligando a esses três pontos Assim finalizamos o ajuste de curvas Para fixar melhor esse conteúdo exercite o ajuste de dados utilizando o Octave para auxiliar nas respostas e construa os gráficos com os dados ajustados em seus estudos 0 1 2 3 5 7 8 4 6 3 5 6 4 b y y 17 Métodos Computacionais em Engenharia Síntese O ajuste de curvas é uma importante ferramenta que tem o objetivo de determinar a relação entre variáveis de processo que estão correlacionadas O ajuste de curvas é feito sobre dados experimentais obtidos em laboratório Em função da própria natureza do processo estudado esses dados podem apresentar uma tendência linear ou não linear Para cada um desses casos o ajuste de curva pode ser feito por meio da regressão polinomial por mínimos quadrados dos dados tabelados Quando os dados apresentam uma tendência linear o polinômio de ajuste pode ser de primeiro grau nesse caso a regressão polinomial é chamada de regressão linear Alguns processos possuem tendência oscilatória observada nos dados experimentais Esses dados são ajustados por funções trigonométricas mesmo nesse caso o método dos mínimos quadrados pode ser usado para o ajuste de curva 18 Métodos Computacionais em Engenharia Referências Bibliográficas CHAPRA Steven C Métodos numéricos aplicados com Matlab para engenheiros e cientistas 3 ed São Paulo Mcgraw Hill 2013 CUSTÓDIO Rogério ANDRADE João Carlos de AUGUSTO Fábio O ajuste de funções matemáticos a dados experimentais Disponível em httpwwwscielobrpdfqnv20n24938pdf Acesso em 05 abr 2018 MATOS Thalita do Bem Modelos não lineares e suas aplicações Disponível em httpwwwufjfbrcursoestatisticafiles201404Modelos NC3A3oLinearesesuasAplicaC3A7C3B5espdf Acesso em 05 abr 2018 QUARTERONI A SALERI F Cálculo científico com MATLAB e Octave Milano Springer 2007 19 Métodos Computacionais em Engenharia