Relatorio AP3 Metodos Computacionais Resumo das Unidades 5-8

NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA NEAD Entrega de relatório AP3 APLICAÇÃO PRÁTICA REFERENTE AS ATIVIDADES DE METODOS COMPUTACIONAIS TurmaENG15060 Professor Marlon Demauir Semestre 2 Contextualização Este trabalho tem por objetivo explicitar em textos dissertativos as atividades de Metodos Computacionais realizadas pelo aluno Proposta de Trabalho Escrever um resumo das unidades 5 6 7 e 8 disponíveis para estudo na disciplina Contextualizar as unidades com artigos ou temas literários citados durante texto do resumo Orientações O aluno deverá ler e resumir as 4 últimas unidades da disciplina assim como referenciar o conteúdo adquirido com os artigos e temas disponíveis na literatra Critérios de avaliação Indicadores Pontuação Construções dissertativas 10 Entrega de relatório AP3 APLICAÇÃO PRÁTICA REFERENTE AS ATIVIDADES DE METODOS COMPUTACIONAIS Resumo Unidade 5 Sistemas não lineares O objetivo da unidade é oferecer conteúdo aos estudantes sobre sistemas não lineares de forma que os mesmos sejam capazes ao fim do estudo manipular sistemas de equações não lineares e equações numéricas assim como solucionar sistemas de equações não lineares por meio de métodos numéricos Os modelos matemáticos não lineares representam as complexidades dos processos com essas características Os sistemas que representam tais processos complexos podem ser constituídos de pelo menos uma equação não linear ou seja uma equação com ordem igual ou maior que 2 1 Método da Substituição Sucessiva O método de substituição sucessiva é semelhante ao método iterativo de GaussSeidel entretanto nesse caso é aplicada a solução de sistemas não lineares Tratase de uma das técnicas usadas para resolver sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas cada O método da substituição sucessiva é bem simples porém sua grande desvantagem está no fato de que é possível isolar as variáveis de uma forma diferente no início pois início o processo divergindo ao longo das iterações isto é fugir da solução assim esse método não produz os resultados corretos 2 O Método de NewtonRaphson para Sistemas não Lineares O método de NewtonRaphson utiliza derivadas parciais para construir a matriz Jacobiana e usa cálculos de determinantes para encontrar a solução Foi desenvolvido para o cálculo de raízes de equações não lineares também pode ser aplicado para o cálculo iterativo da solução de sistemas de equações não lineares Um exemplo do método para um sistema de duas equações não lineares é dado por fx y 0 gx y 0 Expandindo as funções fxy e gxy em séries de Taylor em torno de xi yi vem fx y fxi yi fxxi yix xi fyxi yiy yi 0 gx y gxi yi gxxi yix xi gyxi yiy yi 0 nas quais f x xi yi f x e f yxi yi f y gxxi yi g x eg y xi yi g y Truncando as séries de Taylor até os termos de 1ª ordem f x xi yi xif y xi yi yif xi yi gxxi yi xigy xi yi yig xi yi Escrevendo na forma matricial f xxi yi f y xi yi gxxi yi gy xi yi x xi yi f xi yi g xi yi A solução do sistema de equações lineares pode ser utilizada na solução do sistema de equações não lineares empregando o seguinte esquema iterativo xi1 yi1 xi yi xi yi A solução é obtida quando o critério de convergência for satisfeito xiɛ yiɛ Resumo Unidade 6 Ajustes de Funções O objetivo da unidade é oferecer conteúdo aos estudantes sobre ajustes de funções de forma que os mesmos sejam capazes ao fim do estudo construir gráficos de dados experimentais obtidos em processos de aquisição assim como realizar o ajuste das funções e curvas aos dados por meio dos métodos numéricos Ao analisar dados é possível gerar gráficos que contenham uma infinidade de pontos que aparentam ter uma certa tendência O objetivo do ajuste de funções é justamente encontrar uma função matemática que melhor se encaixa entre os pontos do gráfico e representa aquela tendência com a maior precisão possível No caso dos processos a tendência ajustada pela função representa a dinâmica do processo 1 Método dos Mínimos Quadrados O método dos mínimos quadrados é uma técnica que nos permite de forma aproximada retirar alguma informação desses sistemas impossíveis A terminologia se deve ao fato de que este método minimiza a soma dos quadrados dos erros obtidos na aproximação 11 Regressão Linear A regressão linear ou regressão polinomial de primeira ordem consiste no ajuste dos dados utilizando o conceito de mínimos quadrados O método faz o ajuste de uma função polinomial do tipo y ax b Em que a coeficiente angular b coeficiente linear 12 Regressão Polinomial O método dos mínimos quadrados pode ser estendido para ajustar dados por polinômios de grau mais alto como na seguinte equação geral ya0a1xa2 x 2am x merro Em que o valor de m é o grau do polinômio Para um polinômio de segundo grau m2 representado em sistema matricial temos que n xi xi 2 xi xi 2 xi 3 xi 2 xi 3 xi 4 x a0 a1 a2 yi xi yi xi ² yi O cálculo do coeficiente de correlação pode ser determinado pela equação abaixo r yi y 2 yia0a1 xia2 xi 2² yiy 2 Resumo Unidade 7 Interpolação O objetivo da unidade é oferecer conteúdo aos estudantes sobre interpolação de forma que os mesmos sejam capazes ao fim do estudo analisar o grau de curvatura e oscilações em dados tabulados assim como efetuar interpolações de dados através de métodos numéricos Em explicação básica todo conjunto de pontos pode ser aproximado por uma função A interpolação mais comum é a interpolação polinomial Nessa interpolação o conjunto de dados é aproximado a uma função polimonial 1 Método de Newton A fórmula de Newton é f x f x1 xx1 f x2f x1 x2x1 ou f x f x1 f x2f x1 xx1 x2x1 Em que x1 e x2 são os valores superior e inferior do intervalo da variável independente na tabela fx1 e fx2 são os valores superior e inferior do intervalo da variável dependente na tabela x e fx são o valor da variável independente do sistema e o valor requerido da variável dependente 2 Interpolação por Splines e por Partes 21 Interpolação por Splines Lineares Nesse tipo de interpolação é utilziado polinômios de grau mais baixo que interpolam apenas os intervalos entre os dados reduzindo assim as oscilações nesses intervalos de mudanças abruptas Esses polinômios que estão conectados entre os intervalos são chamados de funções splines O caso mais simples da interpolação por splines é o ajuste por funções splines lineares em que cada função é simplesmente uma reta que liga os dois pontos em cada extremidade do intervalo CHAPRA 2013 22 Interpolação por Splines Cúbicos Os splines cúbicos formados por polinômios de terceiro grau são os mais usados na prática e possuem a seguinte forma geral si x f ibixxicixxi 2d ³ Para determinarmos a função acima ou spline cúbico de um intervalo precisamos determinar os valores das constantes b c e d para cada intervalo A interpolação por meio de polinômios de grau mais elevado pode inserir excesso de oscilações nos pontos onde existe variação abrupta de valores Pelo método de interpolação é possível reduzir as oscilações excessivas nos pontos de variação abrupta Resumo Unidade 8 Integração Numérica O objetivo da unidade é oferecer conteúdo aos estudantes sobre integração numérica de forma que os mesmos sejam capazes ao fim do estudo formular um problema de engenharia representado por uma ou mais integrais assim como desenvolver a solução do problema por meio da integração numérica e da computação A integração é o processo inverso da derivação A integração envolve a soma de informações infinitesimais para fornecer um resultado total ao longo de um intervalo dessa forma é entendido como o somatório de inúmeras partes que formam o todo 1 Integração Exata A função da integração exata é determinar a função primitiva em relação a uma função anteriormente derivada isto é realizaremos uma operação inversa da derivação É chamado uma função Fx da primitiva fx em um determinado intervalo somente se para todo I temos Fx fx Se Fx for uma integral de fx Fx C também o será sendo C uma constante arbitrária 2 Regra do Trapézio A regra do trapézio é baseada na estratégia de NewtonCotes Ela consiste em substituir funções complicadas ou dados tabulados por polinômios que sejam fáceis de integrar Para o caso no qual o polinômio é de primeiro grau temos a seguinte fórmula de integração I b a f a f b f a ba xadx O resultado dessa integral é Iba f a f b 2 21 Regra do Trapézio Múltipla A regra do trapézio múltipla pode melhorar a acurácia da regra do trapézio dividindo o intervalo em várias partes ou segmentos A equação para a regra do trapézio múltipla é Ih 2f xo2 i1 n1 f xif xn Também pode ser representada na forma geral Iba f x02 i1 n1 f xif xn 2n 3 Regra de Simpson A regra de Simpson usa polinômios de grau mais elevado para ligar os pontos fa e fb Para o caso em que o polinômio usado é de segundo grau o método é chamado de regra 13 de Simpson A fórmula fica I x2x0 f x04 f x1f x2 6 31 Regra de Simpson Múltipla A regra de Simpsons também pode ser aplicada a múltiplos segmentos através da seguinte fórmula I xnx0 f x04 i13 5 n1 f xi2 i2 4 6 n1 f xif xn 3n Existem dois métodos computacionais conhecidos para a integração numérica a regra do trapézio e a regra de Simpson Ambos os métodos podem ser aplicados em múltiplos segmentos de retas que unem os dois pontos do intervalo de integração Essa abordagem eleva significativamente a precisão da solução a medida em que se eleva o número de partes segregadas