Sistemas Não Lineares: Métodos Numéricos e Aplicações

Sistemas não Lineares Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitor de Administração Acadêmica Carlos de Oliveira Varella PróReitor de Pesquisa e Pósgraduação Emilio Antonio Francischetti PróReitora Comunitária Sônia Regina Mendes Direção geral Jeferson Pandolfo Revisão Laís Sá Produção editoração gráfica Magno Dal Magro Desenvolvimento do material Leonardo Tunala Desenvolvimento instrucional Grupo Orion Brasil Copyright 2018 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Sumário Sistemas não Lineares Objetivos 04 Introdução 05 1 Método da Substituição Sucessiva 06 2 O Método de NewtonRaphson para Sistemas não Lineares 07 Síntese 18 Referências Bibliográficas 19 Objetivos Ao final desta unidade de aprendizagem você será capaz de Manipular sistemas de equações não lineares e equações numéricas Solucionar sistemas de equações não lineares por meio de métodos numéricos 4 Métodos Computacionais em Engenharia Introdução A maioria dos processos reais são complexos e não possuem características lineares Dessa forma não podem ser representados por um sistema de equações lineares Os modelos matemáticos não lineares representam as complexidades dos processos com essas características Os sistemas que representam tais processos complexos podem ser constituídos de pelo menos uma equação não linear ou seja um equação com ordem igual ou maior que 2 dois Por exemplo o modelo matemático que descreve reações químicas paralelas eou consecutivas em um reator é formado por várias equações diferenciais não lineares que descrevem a variação da concentração de reagentes e produtos com o tempo dentro do reator CHAPRA 2013 Nesta unidade de aprendizagem estudaremos os métodos numéricos de solução de um sistema de equações não lineares em especial o método de NewtonRaphson 1 Método da Substituição Sucessiva O método de substituição sucessiva é semelhante ao método iterativo de GaussSeidel entretanto nesse caso é aplicada a solução de sistemas não lineares Vejamos um exemplo O sistema de equações abaixo é constituído por duas equações não lineares x1 2x1x2 3 x22x1x 2 2 10 Em primeiro lugar devemos escolher valores iniciais para x1 e x2 Nesse caso podemos usar x1 0 e x2 1 Depois devemos isolar as variáveis x1 e x2 De preferência as variáveis que estão elevadas ao quadrado da primeira equação da segunda equação A partir de agora nós já podemos executar os cálculos Vamos a primeira iteração utilizando x1 0 e x2 1 Ainda na primeira iteração já podemos usar este novo valor de x1 na segunda equação Vamos agora para a segunda iteração utilizando os novos valores obtidos ou seja x1 17321 e x216118 1 1 2 3 x x x 2 2 1 10 2 x x x 1 301 17321 x 2 10 1 16118 2 17321 x 1 3 17321 16118 04563 x 6 Métodos Computacionais em Engenharia Ainda na segunda iteração já podemos usar esse novo valor de x1 na segunda equação Vamos para a terceira iteração Vamos para a quarta iteração Observe que a partir da quarta iteração os valores de x1 e x2 já começam a se aproximar da resposta x11 e x22 O método da substituição sucessiva é bem simples porém sua grande desvantagem está no fato de que se você isolar as variáveis de uma forma diferente no início ele começa a divergir ao longo das iterações isto é fugir da solução assim esse método não produz os resultados corretos Isto é um grande problema pois não queremos uma solução diferente para cada vez que executamos o método O método de NewtonRaphson é uma opção bem melhor para solucionar esse tipo de sistema 2 O Método de NewtonRaphson para Sistemas não Lineares O método de NewtonRaphson utiliza derivadas parciais para construir a matriz Jacobiana e usa cálculos de determinantes para encontrar a solução 2 x 10 16118 30318 204563 1 3 04563 30 318 12715 x 2 10 30318 16554 2 1271 5 x 1 3 12715 16554 09462 x 2 10 16554 20999 2 0946 2 x 7 Métodos Computacionais em Engenharia Vejamos como esse método funciona Dado o sistema de equações não lineares abaixo x2xy 12 y2xy2 68 vamos determinar os valores de x e y utilizando o método de Newton Raphson para sistemas não lineares usando os valores iniciais x1 e y2 Em primeiro lugar vamos definir funções adaptadas para o método Basta levar o lado direito da equação para o lado esquerdo e representálas na seguinte forma f1xyx2xy12 f2xyy2xy268 Ou simplesmente f1 x2xy12 f2 y2xy268 A partir dessas funções precisamos construir a matriz Jacobiana Nessa matriz cada elemento é a derivada de uma das funções em relação a apenas uma das variáveis ou seja a outra variável se comporta como uma constante O tamanho da matriz Jacobiana depende do número de incógnitas e sempre será quadrada ou seja com o número de linhas igual ao número de colunas Nesse caso essa matriz terá duas linhas e duas colunas pois se trata de um sistema de duas equações não lineares com duas incógnitas para três equaçõesincógnitas seria uma matriz 3 x 3 e assim por diante A matriz 2 x 2 tem a forma 1 1 11 12 2 2 21 22 2 2 f f j j y x j j j f f y x 8 Métodos Computacionais em Engenharia A matriz Jacobiana será usada na fórmula do método de Newton Raphson para solução de sistemas não lineares que está abaixo Você pode estar se perguntando de onde as equações do método de NewtonRaphson surgem Antes de iniciarmos os cálculos vamos entender A fórmula de NewtonRaphson é deduzida a partir da série de Taylor para diversas variáveis Na série de Taylor as funções devem ser derivadas em relação a cada uma de suas variáveis separadamente A série de Taylor aplicada às duas funções acima fica Para os cálculos das raízes f1i1 e f2i1 devem ser iguais a zero Assim as equações acima podem ser reorganizadas para As duas equações acima formam um conjunto de duas equações lineares com duas incógnitas Portanto a partir de uma manipulação algébrica tal como a regra de Cramer CHAPRA 2013 chegase às equações abaixo 1 22 2 12 1 2 11 1 21 1 i i i i f J f J x x det J f J f J y y det J Importante 1 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i x y f f f f x x y y 2 2 2 1 2 1 1 i i i i i i i i x y f f f f x x y y 1 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i x f f f f x y f x y y x y 2 2 2 1 1 2 2 i i i i i i i i x f f f f i x y f x y y x y 9 Métodos Computacionais em Engenharia Nesse caso os denominadores dessas equações são o determinante da matriz Jacobiana Vamos iniciar pela matriz Jacobiana determinando o elemento da primeira linha e primeira coluna dessa matriz ou simplesmente Observe que J11 corresponde à derivada da primeira função f1 em relação à primeira variável x por isso y foi tratada como constante Vamos determinar o elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz Jacobiana Observe que agora no elemento J12 é a variável x que é tratada como uma constante Assim podemos determinar agora o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz Jacobiana 2 1 1 2 1 1 2 1 2 i i i i y i i i i i i x y y x f f f f y x x f f f f 1 2 2 1 1 1 2 1 2 i i i i x x i i i i i i x y y x f f f f y y f f f f 1 11 2 x f J x y x y 1 11 2 f J x y x 1 12 f J x y 2 2 21 2 f J y x 10 Métodos Computacionais em Engenharia As derivadas parciais são derivadas executadas em relação a apenas uma das variáveis da função o símbolo significa derivada parcial Essas derivadas podem ser facilmente determinadas seguindo algumas estratégias básicas para evitar confusão Por exemplo a equação abaixo é uma função de duas incógnitas x e y Vamos determinar a derivada desta função apenas em relação a x isso significa que a função y será tratada como constante Para isso você pode fazer y valer 5 temporariamente ou qualquer valor logo a equação fica Depois derive a função normalmente em relação a x Tome cuidado com essa etapa pois você não deve multiplicar os coeficientes e sim retornar com a variável y no lugar de 5 dessa forma Assim obtemos a derivada da função em relação a x A derivada parcial da função em relação a y fica Neste elemento a segunda função f2 foi derivada em relação a x e a variável y foi tratada como constante Determinando o elemento da segunda linha e segunda coluna da matriz Jacobiana temos Importante 2 f x y yx yx 2 5 5 5 f x x x 5 2 5 2 5 5 f x x x x x 2 f yx y x 2 f x x y 2 22 1 4 f J xy y 2 f x x y 11 Métodos Computacionais em Engenharia Neste elemento a segunda função f2 foi derivada em relação a y e a variável x foi tratada como constante A determinação das derivadas parciais é muito importante para a utilização do método de NewtonRaphson de solução de sistemas não lineares Aprenda mais sobre derivação parcial no canal Me salva do YouTube Com a matriz Jacobiana e as funções determinadas já podemos iniciar as iterações Vamos começar com os valores iniciais x1 e y2 Em primeiro lugar podemos calcular os valores das funções f1 e f2 f1 12 x2 xy 12 12 12 12 9 f2 12 y2xy2 68 2 2122 68 58 Em uma segunda etapa usamos esses valores iniciais 12 para calcular cada elemento da matriz Jacobiana na primeira iteração J1112 2x y 212 4 J1212 x 1 J2112 2y2 222 8 J2212 14xy 1412 9 A matriz Jacobiana fica Saiba Mais 2 2 4 1 8 9 J Assista agora 12 Métodos Computacionais em Engenharia Ainda na segunda etapa da primeira iteração precisamos calcular o determinante da matriz Jacobiana detJ J11 J22 J21 J12 4 9 8 1 28 Na última etapa da primeira iteração usamos todos esses valores no cálculo dos novos valores de x e y As matrizes Jacobianas 2x2 são usadas na solução de sistemas com duas equações e duas incógnitas e as matrizes Jacobianas ou 3x3 são usadas na solução de sistemas com três equações e três incógnitas O determinante de matrizes 2x2 ou 3x3 pode ser obtido facilmente Veja o exemplo a seguir para uma matriz 2x2 A estratégia básica é que o determinante de J é igual ao produto dos elementos da diagonal inclinada para a esquerda 4 e 8 menos o produto dos elementos da diagonal inclinada para a direita 6 e 3 Sendo assim detJ 48 63 32 18 14 Para o caso de uma matriz 3x3 devese repetir a primeira e segunda coluna no lado direito da matriz como podemos ver a seguir 9 9 58 1 1 18214 28 x 58 4 9 8 2 77143 28 y Importante 4 3 6 8 J 3 2 7 3 2 7 3 2 4 5 8 4 5 8 4 5 1 3 1 1 3 1 1 3 J J 13 Métodos Computacionais em Engenharia A partir de agora nós temos três diagonais inclinadas para a esquerda e três para a direita sendo assim basta somar os produtos entre três elementos de cada diagonal dessa forma detJ351 281 743 157 383 142 detJ15 16 84 35 72 8 detJ83 4538 Vamos à segunda iteração usando os novos valores obtidos x18214 e y77143 f1 x2 xy 12182142 1821477143 12 53686 f2 y 2xy2 68 77143218214771432 68 1565015 J11 2xy 218214 77143 113571 J12 x 18214 J21 2y2 2771432 1190204 J22 14xy 141821477143 572041 detJ detJ J11 J22 J21 J12 113571 5720411190204 18214 4328878 Vamos à terceira iteração f1 x2xy 12 177052 1770550844 1201366 f2 y 2xy2 6850844217705508442 68 2862 53686 572041 1565015 18214 18214 17705 4328878 x 1565015 113571 53686 1190204 77143 50844 4328878 y 14 Métodos Computacionais em Engenharia J11 2xy 217705 50844 86254 J12 x 17705 J21 2y2 2508442 517028 J22 1 4xy 141770550844370077 detJ J11 J22 J21J12 86254 370077517028 17705 2276672 Observe que na terceira iteração o método já se aproxima da solução x2 e y4 Os cálculos desse método são um tanto quanto exaustivos sendo um exemplo notório da necessidade dos computadores Os comandos para executar os cálculos em Octave estão no Quadro 1 a seguir Execute os comandos na ordem em que aparecem Quadro 1 Comandos para executar o método para sistemas não lineares Observe que na linha de comando para calcular a matriz J as derivadas já estão diretamente inseridas na matriz em que as vírgulas separam as colunas em uma mesma linha Já o pontovírgula separa as duas linhas 01366 370077 2862 17705 17705 19709 2276672 x 2862 86254 01366 517028 50844 40310 2276672 y x 1 y 2 f1 x2 xy 12 f2 y 2xy2 68 J 2x y x 2y2 14xy x x f1J22 f2J12detJ y y f2J11 f1J21detJ 15 Métodos Computacionais em Engenharia Depois da primeira execução das linhas de comando acima é possível recuperar os cinco últimos comandos com a tecla direcional para cima do teclado seta um por vez teclando enter após cada vez Veja a seguir como proceder Recupere primeiro a equação de f1 e tecle enter Depois a equação de f2 e tecle enter Depois a equação de J e tecle enter Depois a equação de x e tecle enter Por fim a equação de y e tecle enter Repita esse procedimento e observe que os valores vão se aproximando de x2 e y4 Abaixo temos um código escrito em Octave para a execução desses cálculos Quadro 2 Código escrito em Octave para os cálculos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 método de NewtonRaphson para o sistema não linear do exercício clear all limpa todas as variáveis antes de começar x 1 este é o valor de x inicial y 2 este é o valor de y inicial for i110 início do laço de repetição for para 10 iterações f1 x2 xy 12 f2 y 2xy2 68 J 2x y x 2y2 14xy cria a matriz Jacobiana 2x2 x x f1J22 f2J12detJ y y f2J11 f1J21detJ end fim do laço de repetição for x valores de x e y após 10 iterações y 16 Métodos Computacionais em Engenharia Observe que o laço for repete a execução das linhas 8 até 14 por 10 vezes evitando o esforço que seria exaustivo manualmente Analisando o código acima responda é possível melhorálo Experimente como atividade complementar inserir o critério de parada nesse código ou até mesmo fazer modificações que o aprimorem 17 Métodos Computacionais em Engenharia Síntese Muitos processos reais são representados por um sistema de equações não lineares Esse tipo de sistema pode ser solucionado pelo método de substituição sucessiva entretanto ele não garante convergência uma vez que as equações algébricas iniciais podem ter suas variáveis isoladas de diferentes formas A alternativa para essa limitação é a utilização do método de NewtonRaphson que utiliza a matriz Jacobiana construída a partir das derivadas parciais das funções que constituem o sistema em relação a todas as suas variáveis Esse método também possui alguma limitação para sistemas constituídos de funções não lineares muito complexas 18 Métodos Computacionais em Engenharia Referências Bibliográficas CHAPRA Steven C Métodos numéricos aplicados com Matlab para engenheiros e cientistas 3 ed São Paulo Mcgraw Hill 2013 CANALE Raymond P Métodos numéricos para engenharia 7 ed São Paulo Mcgraw Hill 2016 QUARTERONI A SALERI F Cálculo científico com MATLAB e Octave Milano Springer 2007 19 Métodos Computacionais em Engenharia