Erros em Métodos Numéricos e Modelagem Matemática - Exercícios Resolvidos

PERGUNTA 1 Os modelos matemáticos representam processos reais e podem ser aproximados a problemas numéricos através de métodos de aproximação Entretanto os problemas numéricos geram uma solução que contém um desvio em relação a solução exata obtida através de um método matemático Este desvio entre a solução numérica e a solução exata é denominado erro Existem diferentes tipos de erro que são usados para avaliar se o problema numérico reproduz fielmente o modelo matemático do qual se origina Entre estes está o erro absoluto entre a solução exata e a solução numérica Sabendo que um valor da solução exata pode ser referido como xe e um valor de solução numérica como xn a expressão que é usada para a determinação do erro absoluto ea entre a solução exata e a numérica é a ea xei1xnixei1 b ea xe xn x 100 c ea xe xn d ea xexnxe e ea xe xn PERGUNTA 2 Os problemas numéricos são solucionados através de cálculos iterativos de acordo com o método numérico utilizado A solução encontrada é chamada de solução numérica já que consiste em um conjunto de números que representam a solução A primeira iteração se inicia levando em consideração o intervalo de tempo chamado passo e os valores iniciais do problema no tempo zero Na tabela abaixo estão os dados da solução exata e numérica obtidas em simulações computacionais Na terceira coluna da esquerda para direita estão os valores de x da solução exata xe e na quarta coluna estão os valores de x da solução numérica xn Analise os dados da tabela e marque a alternativa correta que corresponde ao erro iterativo no tempo de 6 segundos iteração tempo s xe m xn m 0 0 0000 0000 1 2 4736 4674 2 4 7726 7582 3 6 8736 8622 4 8 8959 8897 a 01206 b 01307 c 01156 d 10400 e 01372 PERGUNTA 3 Processos reais podem ter comportamento linear ou não linear e independente da linearidade dos modelos matemáticos que representem os processos existe um conjunto de valores que são chamados de condições de operação em que qualquer processo deve operar Este conjunto de valores ou condições de operação devem satisfazer a todas as equações que fazem parte dos critérios de otimização do modelo matemático Isto é necessário para que o processo opere em condições ótimas Desta forma se duas condições de operação denominadas x e y possuem valores x 2 e y 3 estas condições são a solução de qual equação abaixo a 4x6y260 b 2x5y100 c 3x05y450 d 35x45y650 e 15x65y1650 PERGUNTA 4 Os processos com características lineares podem ser representados por um sistema de equações algébricas lineares Embora existam sistemas que também possuem equações não lineares alguns são formados apenas por equações lineares Neste caso usamse métodos computacionais específicos para solução destes sistemas Um método computacional conhecido para solução de sistemas de equações lineares é o método da eliminação de Gauss Este método é executado em duas etapas a eliminação progressiva e a posterior substituição progressiva Use o método da eliminação de Gauss no sistema de equações abaixo e responda corretamente x2yz7 2xy3z11 2x3y2z3 Sabendo que o sistema de equações acima pode ser representado na forma de matrizes como abaixo 1 2 1x7 2 1 3y11 2 3 2z3 A matriz correta obtida após a etapa de eliminação progressiva é a 1 2 1 7 0 5 5 25 0 0 3 6 b 1 0 0 7 2 5 0 25 1 5 3 6 c 1 2 1 7 0 5 5 25 0 0 3 6 d 1 2 1 7 0 5 5 14 0 0 3 10 e 1 2 1 7 0 5 5 25 0 0 3 6 PERGUNTA 5 Empregue o método de Newton para calcular o máximo da função fx x3 ex4 no intervalo 20 25 com tolerância inferior a 102 Você deve verificar que o ponto que obteve é de fato um ponto de máximo para a função A 247 B 257 C 24 D 214 E 232 PERGUNTA 6 Os processos sejam eles físicos ou químicos podem ser representados por equações matemáticas diferenciais ou por equações algébricas Os processos podem ser representados por equações lineares ou não lineares As equações não lineares caracterizam as complexidades dos processos e para a simplificação deste tipo de processo é necessário que as equações não lineares sejam linearizadas A solução para sistemas lineares é mais simplificada A partir deste fato qual das equações abaixo pode ser considerada linear a 2xy y 550 b fxy2743x 0634y 0533 c yxx 3 x d fx x29x 3 e x12 x2 100 PERGUNTA 7 As funções algébricas possuem zeros isto é possuem raízes que são os pontos onde a curva toca o eixo da variável independente Existem casos em que a determinação dos zeros de uma função não pode ser obtida analiticamente e para estes casos é necessário usar um método numérico Entretanto para funções algébricas mais simples estes valores podem ser obtidos facilmente Analise a função algébrica abaixo e marque a alternativa correta fx 2x2 4x Os dois zeros da função acima são respectivamente a Os zeros são 1 um e 2 dois b Os zeros são 0 zero e 2 dois c Os zeros são 2 dois e 4 quatro d Os zeros são 0 zero e 1 um e A função possui apenas um zero em 0 zero PERGUNTA 8 Os modelos matemáticos descrevem relações funcionais entre variáveis dependentes variáveis independentes parâmetros e funções forçantes dos processos e fenômenos físicos ou químicos A equação abaixo mostra a forma funcional de um modelo matemático de um determinado fenômeno Para simular este modelo matemático podese usar um problema numérico obtido da série de Taylor truncada no terceiro termo dfxdx 2fx 0 Sabendo que f0 2 f em x 0 o valor de f em x 15 usando h Δx 05 é a 26364 b 32448 c 24375 d 31303 e 29000 PERGUNTA 9 Um problema numérico é gerado aplicando um determinado método de aproximação a um modelo matemático Um método de aproximação simplificado é o método de aproximação por diferença finita Este método tem como base o cálculo das variações sobre intervalos finitos de variável dependente e independente em um processo inverso ao limite das variações que definem o conceito de derivada Considere a equação diferencial abaixo que descreve a variação de espaço de um móvel em relação ao tempo dxdt v A aproximação por diferença finita da equação acima gera o problema numérico a x x0 v dt b xi 1 xi vi 1 Δt c xi 1 xi vi Δt d xi 1 vi xi Δt e xi 1 xi vi PERGUNTA 10 Uma vez que processos reais possuem características lineares estes podem ser representados por equações que descrevem retas quando mostradas graficamente Um conjunto de equações algébricas lineares podem representar um processo funcionando em um determinado ponto de operação no gráfico Este ponto de operação tem uma potencial aplicação na otimização do processo e deve satisfazer a todas as equações e restrições do modelo matemático Analise o gráfico abaixo e marque a alternativa correta Os valores de x e y que satisfazem o sistema de equações mostrado tem no gráfico acima é a x 2 e y 3 b x 44 e y 275 c x 15 e y 35 d x 35 e y 15 e x 275 e y 44 Pergunta 1 Resposta e ea xe xn Pergunta 2 Resposta d 10400 Pergunta 3 Resposta c 3x05x45 0 Pergunta 4 Resposta a 1 2 1 7 0 5 5 25 0 0 3 6 Pergunta 5 Resposta a 247 Pergunta 6 Resposta b fxy 2743x0634y0533 Pergunta 7 Resposta b Os zeros são 0 dois e 2 dois 1 Pergunta 8 Resposta b 32448 Pergunta 9 Resposta c xi1 xivit Pergunta 10 Resposta c x 15 e y 35 2