Integração Numérica: Métodos e Aplicações em Engenharia

UNIVERSIDADE UNIGRANRIO Vá além da sala de aula Integração Numérica Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitor de Administração Acadêmica Carlos de Oliveira Varella PróReitor de Pesquisa e Pósgraduação Emilio Antonio Francischetti PróReitora Comunitária Sônia Regina Mendes Direção geral Jeferson Pandolfo Desenvolvimento do material Leonardo Tunala Projeto de Design Instrucional Grupo Orion Brasil Produção Fábrica de Soluções Unigranrio Copyright 2018 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Sumário Integração Numérica Objetivos 04 Introdução 05 1 Integração Exata 06 2 Regra do Trapézio 08 21 Regra do Trapézio Múltipla 10 3 Regra de Simpson 12 31 Regra de Simpson Múltipla 13 Síntese 16 Referências Bibliográficas 17 Objetivos Ao final desta unidade de aprendizagem você será capaz de Formular um problema de engenharia representado por uma ou mais integrais Desenvolver a solução do problema por meio da integração numérica e da computação 4 Métodos Computacionais em Engenharia Introdução Em nosso estudo na unidade 1 analisamos o problema do saltador em queda livre no qual a solução do modelo matemático por meio da integração analítica ou exata não era tão simples em função da natureza da equação diferencial No problema do saltador a solução numérica e a simulação do modelo já eram suficientes para determinarmos a velocidade terminal e o tempo que o saltador levaria para atingir essa velocidade máxima Entretanto uma última questão não poderia ser resolvida por aquela estratégia qual a distância percorrida pelo saltador em queda livre durante aquele espaço de tempo Essa questão poderia ser solucionada pela integração da solução exata do modelo matemático A integração é o processo inverso da derivação A integração envolve a soma de informações infinitesimais para fornecer um resultado total ao longo de um intervalo Por exemplo se conhecemos a velocidade como função do tempo ou seja a taxa de deslocamento a integração pode ser usada para determinar a distância percorrida em um intervalo de tempo CHAPRA 2013 Ou ainda em processos de escoamento de fluidos se conhecemos a taxa de volume de fluido transferida até um reservatório ou seja a vazão bombeada de fluido a integração pode ser usada para determinar o volume total de fluido deslocado ao longo de um intervalo de tempo Nesta unidade de aprendizagem aprenderemos a determinar o somatório de informações instantâneas por meio da integração numérica 1 Integração Exata Supondo que a vazão de escoamento de um fluido seja dada pela função Qt 3t2 m3 A vazão de escoamento é a própria taxa de variação do volume de fluido deslocado e também pode ser representada pelo modelo abaixo dVt 3t2 m3 Em que Vt Volume em função do tempo m3 t tempo h A taxa de uma grandeza deve ser entendida como sendo a variação desta em função do tempo e somente do tempo como variável independente De acordo com o modelo acima a vazão de escoamento aumenta quadraticamente ao longo do tempo Para determinarmos o volume total de fluido deslocado ao longo de 2 horas devemos fazer a integração analítica do modelo que representa a taxa de escoamento Sendo assim separando as variáveis aplicando o operador integral de 0 a 2 horas e resolvendo a integral temos dVt 3t2dt 0h 2h dVt 0h 2h 3t2dt Vt3t30h 2h Vtt30h 2h V2hV0ht2h 3 t0h 3 V2hV0ht2h 3t0h 3 Em que V0h Volume a zero hora m3 V2h Volume em duas horas m3 t0h tempo a zero hora h t2h tempo em duas horas h h dt h 3 3 6 Métodos Computacionais em Engenharia Supondo que o volume inicial a zero hora V0h era igualmente nulo no início do bombeamento substituindo os valores e resolvendoos temos V2h023038 m3 Sendo assim o volume total de fluido deslocado a essa taxa com essa vazão seria o equivalente a 8 oito caixas dágua 1 m3 cada após 2 duas horas A integração acima foi relativamente simples de ser executada Considere agora o exemplo do saltador em queda livre A variação de sua velocidade de queda livre é dada pela seguinte função solução exata do modelo matemático vt gm Cd tanh gCd t A distância vertical percorrida por esse saltador em queda livre seria facilmente calculada pela seguinte integral zt 0 t vtdt Substituindo a função na integral temos zt 0 t gmCd tanh gCd t dt Agora vamos solucionar analiticamente a integral acima Depois de algum tempo de dedicação aos métodos matemáticos encontramos a seguinte solução analítica zt m Cd ln cosh gCd t Embora nesse caso essa integral tenha solução existem outras que não possuem solução exata conhecida Por isso são usados os métodos computacionais É possível resolver integrais a partir de métodos numéricos e com a ajuda dos computadores A seguir veremos como eles funcionam m m m 7 Métodos Computacionais em Engenharia 2 Regra do Trapézio A regra do trapézio é baseada na estratégia de NewtonCotes Ela consiste em substituir funções complicadas ou dados tabulados por polinômios que sejam fáceis de integrar Para o caso no qual o polinômio é de primeiro grau temos a seguinte fórmula de integração I a b fa fbfaxa dx O resultado dessa integral é I ba fafb Esta é a regra do trapézio propriamente dita Ela tem esse nome porque aproxima a solução da integral da área do trapézio sob a reta que liga fa e fb Isso é possível porque esse é o significado matemático da integral A integral de uma função corresponde exatamente a área sob a curva da função no gráfico em um intervalo de variável independente Observe o trapézio no Gráfico 1 A integral através da regra do trapézio corresponde à área hachurada Se a função a ser integrada fosse linear a regra do trapézio produziria uma solução exata entretanto para funções não lineares a solução através da regra do trapézio produz um erro significativo na solução pois não leva em consideração a curvatura da função Gráfico 1 Solução da integral através da área do trapézio Fonte Chapra 2013 ba 2 a b f b f a f x 8 Métodos Computacionais em Engenharia Para verificarmos o erro vamos aplicar a regra do trapézio à função algébrica abaixo no intervalo de 0 a 05 para a variável independente x fx 025 20x 200x2 545x3 800x4 300x5 Essa função é obviamente não linear e sua solução exata no intervalo dado é Ie 14115 A solução via regra do trapézio é I 050 f0f05 050 0251225 3 Observe a diferença significativa entre a solução numérica por meio da regra do trapézio e a solução exata Para reduzir o erro podemos dividir a área hachurada em várias partes e aplicar o método em cada uma delas reduzindo a área de erro área em branco no Gráfico 1 que o trapézio cobre Esta é a aplicação múltipla da regra do trapézio que veremos a seguir A estimativa para o erro de truncamento da aplicação da regra do trapézio a um único segmento ou parte é Et 1 f ba3 Por exemplo para a função dada fx02520x200x2545x3800x4300x5 A derivada a segunda dessa função é fx 400 3270x 9600x2 6000x3 O valor médio da segunda derivada é calculado da seguinte forma f médiax 0 05 400 3270x 9600x2 6000x3dx 195 Substituindo na equação do erro temos Ea 1 1950503 203 2 2 Importante ξ 12 05 0 12 9 Métodos Computacionais em Engenharia Que é da mesma ordem que o erro verdadeiro Et 3 14115 1885 A discrepância se deve ao fato de a média da segunda derivada não ser uma aproximação acurada de f 21 Regra do Trapézio Múltipla A regra do trapézio múltipla pode melhorar a acurácia da regra do trapézio dividindo o intervalo em várias partes ou segmentos como está representado no Gráfico 2 Observe que a área de erro foi reduzida significativamente por meio da inserção dos segmentos Gráfico 2 Representação gráfica da regra do trapézio múltipla Fonte Chapra 2013 A equação para a regra do trapézio múltipla é I h fx0 2 i1 n1 fxifxn Também pode ser representada na forma geral I ba fx0 2 i1 n1fxi fxn O código em Octave para a aplicação da regra do trapézio múltipla em uma função algébrica pode ser visto abaixo no Quadro 1 ξ x0 x0 a xn b h ba x1 x2 x3 x4 x5 f a f x n 2 2n 10 Métodos Computacionais em Engenharia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Quadro 1 Código escrito em Octave para os cálculos Fonte Do autor Observe que no código do Quadro 1 o somatório é calculado antes do uso da fórmula para a solução da integral Esse código permite a definição do número de partições que será usada nos cálculos A probabilidade de um evento ocorrer dentro de um intervalo é definida por um modelo matemático na forma integral que pode ser solucionada por meio de um método numérico Confira esta e outras aplicações da integração numérica no trabalho indicado regra do trapézio múltipla clear all limpa todas as variáveis antes de começar f x 0225x200x2675x3900x4400x5 função a 0 intervalo inferior b 08 intervalo superior n2 número de partições h b an passo x ahb criando o vetor x soma if n 1 for i2n somai fxi end somatorio sumsoma else somatorio 0 end I bafa 2somatorio fb2n solução da integral Saiba Mais Leia mais 11 Métodos Computacionais em Engenharia Além da possibilidade de aplicar a regra do trapézio em várias partes uma outra forma de obter uma estimativa mais precisa da solução é usando polinômios de grau mais alto para ligar os pontos fa e fb Essa estratégia é usada pela regra de Simpson que veremos a seguir 3 Regra de Simpson A regra de Simpson usa polinômios de grau mais elevado para ligar os pontos fa e fb Para o caso em que o polinômio usado é de segundo grau o método é chamado de regra 13 de Simpson A fórmula fica I x2x0 fx0 4fx1 fx2 Por exemplo para o caso da função fx02520x200x2545x3800x4300x5 A solução por meio da regra 13 de Simpson no intervalo de 0 a 05 para a variável x é I 050 f0 4f025 f0505 02541571225 15233 O erro nesse caso pode ser calculado Et 14115 1523301118 Indicando que a regra de Simpson produz uma estimativa mais precisa da solução verdadeira comparada a resposta obtida pela regra do trapézio 6 6 6 12 Métodos Computacionais em Engenharia A estimativa do erro da regra de Simpson é calculada pela fórmula Et1 f 4 h5 e h equivale a hba Por exemplo para a função fx02520x200x2545x3800x4300x5 A derivada a quarta é f 4x36000x 19200 A média da derivada a quarta no intervalo dado é fmédiax 0 05 19200 36000xdx 10200 Substituindo na fórmula do erro temos Et 1 1020005025 01107 A coincidência de valores de erro obtida se deve ao alto grau do polinômio do problema 31 Regra de Simpson Múltipla A regra de Simpsons também pode ser aplicada a múltiplos segmentos através da seguinte fórmula I xnx0 fx0 4 i135 fxi 2 j246 f xi fxn Importante 90 ξ 2 05 0 4 90 n2 n1 3n 13 Métodos Computacionais em Engenharia O código é similar ao usado para a regra do trapézio múltipla Entretanto usase dois somatórios para fórmula de Simpson 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 Quadro 2 Código escrito em Octave para a regra de Simpson múltipla Fonte Do autor regra de Simpson múltipla clear all limpa todas as variáveis antes de começar f x 0225x200x2675x3900x4400x5 função a 0 intervalo inferior b 08 intervalo superior n4 número de partições h b an passo x ahb criando o vetor x somaA somaB if n 2 for i22n somaAi fxi end somatorioA sumsomaA for j32n1 somaBj fxj end somatorioB sumsomaB else n2 somatorioA fba2 somatorioB 0 end I bafa 4somatorioA 2somatorioB fb3nSimpson 14 Métodos Computacionais em Engenharia Nas linhas 17 e 22 os índices utilizados estão diferentes dos utilizados na fórmula da regra de Simpson múltipla Isso se deve ao fato de que o MATLAB ou Octave não iniciam um vetor a partir do índice zero como está na fórmula sendo necessário esta adaptação A integração numérica é aplicada em estudos de processamento de informações por meio da GPU de computadores Confira essa aplicação no trabalho de conclusão de curso dos matemáticos Giancarlo Rigo e Rafael R Manzo Assim finalizamos a integração por meio de métodos numéricos Exercite esses métodos combinados com outros métodos computacionais estudados Bons estudos Saiba Mais Leia mais 15 Métodos Computacionais em Engenharia Síntese A integração analítica consiste essencialmente na soma de diferenças instantâneas ou infinitesimais ao longo de um intervalo Tal soma de diferenças do ponto de vista gráfico consiste na área abaixo da curva que representa uma função a qual é a solução da integral Em alguns casos a integração analítica de modelos matemáticos não é possível devido à complexidade da equação diferencial Para esses casos fazse necessária a integração numérica dos modelos matemáticos representados por integrais Existem dois métodos computacionais conhecidos para a integração numérica a regra do trapézio e a regra de Simpson Ambos os métodos podem ser aplicados em múltiplos segmentos de retas que unem os dois pontos do intervalo de integração Essa abordagem eleva significativamente a precisão da solução a medida em que se eleva o número de segmentos 16 Métodos Computacionais em Engenharia Referências Bibliográficas CHAPRA Steven C Métodos numéricos aplicados com Matlab para engenheiros e cientistas 3 ed São Paulo Mcgraw Hill 2013 QUARTERONI A SALERI F Cálculo científico com MATLAB e Octave Milano Springer 2007 NÓBREGA Baldoino Sonildo Análise numérica para solução de integrais não elementares Disponível em httpdspacebcuepbedubrjspui bitstream12345678926931PDF2020Baldoino20Sonildo20 da20NC3B3bregapdf Acesso em 17 mar 2018 RIGO Giancarlo MANZO Rafael Reggiani Implementação do método de integração numérica RungeKutta em GPGPU para aplicações científicas Disponível em httpsbccimeuspbrtccs2012giancarlorafael documentacaomonografiapdf Acesso em 17 mar 2018 17 Métodos Computacionais em Engenharia