Métodos Computacionais em Engenharia: Interpolação

UNIVERSIDADE UNIGRANRIO Vá além da Sala de Aula Interpolação Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitor de Administração Acadêmica Carlos de Oliveira Varella PróReitor de Pesquisa e Pósgraduação Emilio Antonio Francischetti PróReitora Comunitária Sônia Regina Mendes Direção geral Jeferson Pandolfo Desenvolvimento do material Leonardo Tunala Projeto de Design Instrucional Grupo Orion Brasil Produção Fábrica de Soluções Unigranrio Copyright 2018 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio 2 Métodos Computacionais em Engenharia Sumário Interpolação Objetivos 04 Introdução 05 1 Método de Newton 06 2 Interpolação por Splines e por Partes 10 21 Interpolação por Splines Lineares 10 22 Interpolação por Splines Cúbicos 13 Síntese 17 Referências Bibliográficas 18 Objetivos Ao final desta unidade você será capaz de Analisar o grau de curvatura e oscilações em dados tabulados Efetuar interpolações de dados através de métodos numéricos 4 Métodos Computacionais em Engenharia Introdução Engenheiros e cientistas devem constantemente recorrer a publicações para encontrar dados pertinentes aos seus projetos As propriedades de muitas substâncias e materiais usados em processos e equipamentos estão disponíveis em tabelas etc A maioria desses dados foram obtidos em condições rigorosamente controladas nos laboratórios das instituições de pesquisa mais conceituadas do mundo e são divulgadas por meio de publicações consagradas dessa área Entretanto toda a tecnologia usada nesses laboratórios não pode prever exatamente as condições em que vamos trabalhar e por maior que seja a quantidade de dados que esses recursos oferecem não possuem com precisão os dados nas condições necessárias Isso acontece porque os dados estão disponíveis em intervalos discretos ou seja entre uma linha e outra da tabela há um intervalo ou um passo Então existe entre uma linha e outra uma infinidade de valores possíveis para uma determinada propriedade que a tabela não dispõe Não raramente os valores que precisamos estão no meio Nesse caso precisamos executar a interpolação para encontrarmos os valores que precisamos Em uma tabela que contém muitos dados a relação entre uma linha e outra logo acima ou logo abaixo é linear no caso mais simples porém existem casos em que a relação entre os dados pode ser não linear Nesta unidade de aprendizagem aprenderemos a interpolar os dados disponíveis de uma tabela 1 Método de Newton Suponha que você esteja fazendo experimentos em um laboratório e precisa do valor da densidade de uma mistura de etanol álcool e água a 27oC temperatura do seu sistema A Tabela 1 contém dados de densidade desta mistura 50 de etanol em função da temperatura ToC rkgm3 20 91384 w25 90985 30 90580 35 90168 Tabela 1 Dados de densidade em função da temperatura Fonte Nilo I do Brasil 2004 Observando novamente a tabela é perceptível que ela não contém o valor de densidade da mistura na temperatura do seu sistema 27oC Você pode imaginar a princípio que deve levar as condições do seu experimento para aquelas que possuem dados disponíveis na tabela Entretanto isso nem sempre é possível pois em determinadas circunstâncias a temperatura de sua análise pode ter sido previamente determinada 6 Métodos Computacionais em Engenharia por exemplo em cálculos de otimização assim seu sistema deve estar rigorosamente naquela temperatura Em segundo lugar você pode decidir utilizar o valor de densidade acima ou abaixo da temperatura do seu sistema porém isso pode ocasionar uma imprecisão indesejada em seus cálculos O procedimento correto a ser feito é interpolar Porém antes de executarmos o procedimento correto precisamos analisar o comportamento dos dados da tabela para verificarmos sua linearidade ou seja precisamos saber se os dados têm um comportamento linear ou não linear para a escolha do melhor método de interpolação Para analisarmos a linearidade dos dados podemos representálos na forma de um gráfico Se os pontos no gráfico tiverem uma tendência linear isso indica que podemos usar a fórmula de interpolação linear de Newton para determinarmos o valor requerido Se os pontos tiverem uma tendência não linear devemos usar outro método ou do contrário estaremos inserindo erro nos cálculos Veja o Gráfico 1 Gráfico 1 Dados de temperatura versus densidade da Tabela 1 Fonte Do autor 15 20 25 30 35 890 985 900 905 910 915 920 40 TºC Kgm³ ρ 7 Métodos Computacionais em Engenharia Observe que a densidade da solução diminui com o aumento da temperatura e que os pontos fornecidos descrevem uma tendência linear no gráfico portanto o método de Newton pode ser usado A interpolação de dados não lineares pode ser feita por meio da interpolação polinomial Aprenda mais sobre essa técnica de interpolação com a leitura indicada Vejamos como funciona o método de Newton para duas linhas ou colunas de uma tabela com os dados disponíveis x1 fx1 x fx x2 fx2 Quadro 1 Determinação de fx para um dado valor de x Fonte Do autor A fórmula de Newton é ou Em que x1 e x2 são os valores superior e inferior do intervalo da variável independente na tabela fx1 e fx2 são os valores superior e inferior do intervalo da variável dependente na tabela x e fx são o valor da variável independente do sistema e o valor requerido da variável dependente Saiba Mais Leia mais 1 1 2 1 2 1 f x f x x x f x f x x x 1 2 1 1 2 1 f x f x f x f x x x x x 8 Métodos Computacionais em Engenharia A fórmula de Newton pode ser reorganizada para Sendo assim aplicando o método de Newton ao caso da Tabela 1 ficamos com os resultados apresentados na Quadro 1 ToC 𝜌 kgm3 T1 25 𝜌1 90985 T 27 𝜌 T2 30 𝜌2 90580 Quadro 2 Método de Newton com os dados fornecidos Fonte Do autor Substituindo na fórmula de Newton temos Observe que o valor obtido fica entre os valores fornecidos na tabela A fórmula de interpolação linear de Newton tem uma estrutura simples do tipo parte sobre o todo da seguinte forma O primeiro termo de parte sobre o todo de x corresponde ao intervalo que contém x disponível sobre o intervalo de x total O segundo termo de parte sobre o todo de f corresponde ao intervalo que contém f requerido sobre o intervalo de f total 1 2 1 1 2 1 f x f x f x f x x x x x r r r r 2 1 1 1 3 2 1 90580 90985 90985 27 25 90823 30 25 kg T T T T m r r r r Importante parte de x parte de f todo de x todo de f 9 Métodos Computacionais em Engenharia A equação fica 2 Interpolação por Splines e por Partes Vamos estudar agora a interpolação de dados por meio dos splines Em primeiro lugar veremos como utilizar a interpolação por splines em dados com tendência linear depois vamos a interpolação por splines cúbicos que são mais indicados para casos não lineares 21 Interpolação por Splines Lineares A interpolação a exemplo do ajuste de curvas pode ser executada por meio da determinação de um polinômio de grau m que melhor se ajusta aos dados tabelados do mesmo modo como se faz com dados experimentais Uma prática comum mas não recomendada é usar um polinômio de grau m n 1 para uma quantidade n de linhas na tabela ou seja para n 8 linhas um polinômio candidato a interpolação teria grau m n 1 7 Esse polinômio seria capaz de capturar as sinuosidades nos dados da tabela entretanto falharia em casos de mudanças abruptas nos dados introduzindo assim muitas oscilações ao redor dos pontos disponíveis em intervalos muito largos Uma alternativa a essa estratégia é usar polinômios de grau mais baixo que interpolam apenas os intervalos entre os dados reduzindo assim as oscilações nesses intervalos de mudanças abruptas Esses polinômios que estão conectados entre os intervalos são chamados de funções splines Esse tipo de interpolação por partes está representado no Gráfico 2 Observe que para n pontos existem n 1 intervalos entre os dados 1 1 2 1 2 1 f x f x x x x x f x f x 10 Métodos Computacionais em Engenharia Cada intervalo é interpolado por uma função spline de grau m produzindo n 1 funções e seus intervalos Gráfico 2 Representação gráfica do método de interpolação por splines Fonte Chapra 2013 O caso mais simples da interpolação por splines é o ajuste por funções splines lineares em que cada função é simplesmente uma reta que liga os dois pontos em cada extremidade do intervalo CHAPRA 2013 Por exemplo para os dados organizados como sugere o Quadro 3 a seguir i xi fi 1 x1 f1 2 x2 f2 3 x3 f3 4 x4 f4 Quadro 3 Forma geral dos dados tabelados Fonte Do autor A função spline linear que conecta os intervalos é dada por A função spline linear será aplicada somente no intervalo que contém o valor de x associado ao valor de f que queremos determinar x1 Intervalo1 f1 S1x Six Sn1x x2 f2 fi fi1 fn1 fn x1 xi1 xn1 xn f x x Intervaloi n1 Intervaloi 1 1 i i i i i i i f f s f x x x x 11 Métodos Computacionais em Engenharia Por exemplo considere os dados do Quadro 4 i xi fi 1 3 25 2 45 1 3 7 25 4 9 05 Quadro 4 Dados para interpolação utilizando spline linear Fonte Do autor Suponha que seja necessário determinar o valor de f em que x 5 Esse valor de x fica entre x2 45 e x3 7 segundo intervalo e portanto o valor de f estará entre f2 1 e f3 25 Para esses valores a função spline linear ficará no segundo intervalo S2 logo O código em Octave não só identifica o intervalo em que x está inserido como também calcula o valor de f neste intervalo Veja Quadro 5 Código escrito em Octave para os cálculos Fonte Do autor 3 2 2 2 2 3 2 25 1 1 5 45 13 7 4 5 f f s f x x x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 spline linear clear all limpa todas as variáveis antes de começar x 5 xn 3 45 7 9 este é a coluna xi fn 25 1 25 05 este é a coluna fi nlengthxn calcula o número de linhas de xn for i1n1 if x xnix xni1 identifica o intervalo s fni fni1 fnixni1 xnix xni else end end s 12 Métodos Computacionais em Engenharia A desvantagem da spline linear está no fato de que essa função não é suave quando passa pelos nós da curva pois nesses pontos de conexão entre as funções a inclinação varia abruptamente ou seja nos pontos de conexão ou nós a derivada da função é descontínua Para evitar esse inconveniente basta usar polinômios de grau mais elevado como funções splines pois assim garantese que as curvas interpoladas tenham inclinações iguais nos pontos de conexão nós Observe a figura e veja a diferença entre as diferentes funções splines utilizadas Gráfico 3 Diferentes funções splines utilizadas em interpolação Fonte Chapra 2013 Nos casos das funções splines de polinômios de grau mais elevado a inclinação das curvas nos nós fica cada vez mais próxima a medida em que se eleva o grau do polinômio utilizado 22 Interpolação por Splines Cúbicos O splines baseados em polinômios de grau mais elevado garantem que as inclinações das curvas derivadas das funções nos nós sejam muito próximas ou seja essas funções garantem maior continuidade das curvas nos pontos de conexão Um spline quadrático ou polinômio de segundo grau conectando cada intervalo é representado pela função six fi bixxi cixxi2 Spline de 1º grau Spline de 2º grau Spline cúbico Interpolação cúbica a b c f x x x f x f x x 13 Métodos Computacionais em Engenharia Entretanto os splines cúbicos formados por polinômios de terceiro grau são os mais usados na prática e possuem a seguinte forma geral six fi bixxi cixxi2 dixxi3 Para determinarmos a função acima ou spline cúbico de um intervalo precisamos determinar os valores das constantes b c e d para cada intervalo As constantes bi b no intervalo i podem ser determinadas a partir da seguinte equação As constantes di d no intervalo i podem ser determinadas pela seguinte equação Os valores de intervalos hi são determinados a partir dos valores de xi disponíveis usando a equação hi xi1 xi Observe que as constantes bi e di são determinadas a partir das constantes ci que podem ser obtidas da solução do seguinte sistema na forma matricial H c F As matrizes do sistema acima podem ser construídas da seguinte forma Onde os valores de f xi1 xi podem ser determinados por meio da equação a seguir 1 1 2 3 i i i i i i i f f h b c c h 1 3 i i i i c c d h 1 2 1 1 2 2 3 2 2 1 3 2 2 3 3 4 3 3 2 4 1 0 0 0 0 2 0 3 0 2 3 0 0 0 1 0 c c h h h h f x x f x x c h h h h f x x f x x c 1 1 i i i i i f f f x x h 14 Métodos Computacionais em Engenharia A determinação dos termos da equação abaixo não é complicada Basta substituir os valores de fi disponíveis e resolver Por exemplo para determinar o termo fx2x1 do Quadro 2 fazemos Em que h1 é o primeiro intervalo Os valores de f1 25 f2 1 e h1 15 Substuindo na equação ficamos com Só resta agora determinar os outros termos e construir a matriz O código em Octave para a interpolação por spline cúbico está abaixo Importante 1 1 i i i i i f f f x x h 2 1 2 1 1 f f f x x h 2 1 2 1 1 1 25 1 15 f f f x x h spline cúbico clear all limpa todas as variáveis antes de começar x 5 xn 3 45 7 9 este é a coluna xi fn 25 1 25 05 este é a coluna fi nlengthxn calcula o comprimento de xn calculando dos hs for i1n1 hi xni1 xni end calculando os cs primeiramente determinase a matriz H H zerosn H11 1 Hnn 1 for i2n1 Hii 2hi1 hi Hii1 hi1 Hii1 hi end 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 15 Métodos Computacionais em Engenharia Quadro 6 Código escrito em Octave para a interpolação por splines cúbicos Fonte Do autor Observe que na linha 32 a solução do sistema é feita utilizando a função nativa do MATLABOctave com a barra invertida entretanto em um ambiente que não disponha deste recurso por exemplo o CC é possível resolver o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss desde que este seja anteriormente implementado A extrapolação consiste na determinação de valores que estão além de um intervalo de determinação Confira a aplicação dessa técnica na leitura indicada Assim finalizamos a interpolação de dados Combine os métodos que estudamos nesta unidade com os métodos implementados em outra unidades Crie sua própria caixa de ferramentas Faça do seu jeito posteriormente determinase a matriz F F zerosn1 for i2n1 Fi 3fni1 fnixni1 xni fni fni1xni xni1 end c HF resultado dos cs podese usar eliminação de Gauss calculando os bs for i1n1 bi fni1 fnihi hi32ci ci1 end calculando os ds for i1n1 di ci1 ci3hi end finalmente calculase o valor de f sx for i1n1 if x xnix xni1 s fni bix xni cix xni2 dix xni3 else end end disps 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 Saiba Mais Leia mais 16 Métodos Computacionais em Engenharia Síntese Durante a execução de experimentos em laboratório é necessário em muitas circunstâncias fazer aquisição de valores de propriedades e parâmetros por meio de dados tabelados Não raramente os dados disponíveis não se encontram na condição exata em que trabalhamos Quando isso acontece precisamos executar a interpolação para determinarmos as propriedades e parâmetros nas condições desejadas O procedimento é simples para o caso em que os dados apresentam uma tendência linear entretanto métodos de interpolação mais complexos podem ser necessários nos casos em que os dados se comportam de maneira não linear A interpolação por meio de polinômios de grau mais elevado pode inserir excesso de oscilações nos pontos onde existe variação abrupta de valores Uma alternativa para evitar esse problema é usar a interpolação por splines quadráticos e cúbicos Por esse método é possível reduzir as oscilações excessivas nos pontos de variação abrupta 17 Métodos Computacionais em Engenharia Referências Bibliográficas AIMI Anderson Luis Interpolação Polinomial Disponível em https repositorioufscbrbitstreamhandle123456789119560Anderson pdfsequence1isAllowedy Acesso em 07 mar 2018 CHAPRA Steven C Métodos numéricos aplicados com Matlab para engenheiros e cientistas 3 ed São Paulo Mcgraw Hill 2013 MARQUES Thiago Dias Avaliação do Traçado e Extrapolação de CurvaChave Disponível em httpwwwrepositoriodigital ufrbedubrbitstream12345678910441TCC20Thiago20 Marques28VersC3A3o20Corrigida29pdf Acesso em 07 mar 2018 QUARTERONI A SALERI F Cálculo científico com MATLAB e Octave Milano Springer 2007