Calculo II - Metodos de Integracao e Integrais Definidas

Núcleo Integrado de Disciplinas EMCT Disciplina CÁLCULO II Prof Henri Stuker Contato stukerunivalibr CÁLCULO II Unidade I MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 18 Integrais imediatas revisão Integrais por substituição Integrais por parte Integrais por frações parciais Integrais usando identidade trigonométrica Unidade II INTEGRAIS DEFINIDAS 24 Definição Teorema fundamental do cálculo Cálculo de áreas de regiões planas por equações cartesianas Cálculo de áreas de regiões planas por equações paramétricas Comprimento de arco de curvas planas por equações cartesianas Comprimento de arco de curvas planas por equações paramétricas Cálculo de volume de sólidos de revolução Cálculo de área de uma superfície de revolução Quando o limite da Soma de Reimann existe e é finito ele é chamado integral definida da função no intervalo e é denotado por 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥lim 𝑘 𝑘1 𝑛 𝑓 𝑥𝑘𝑥á𝑟𝑒𝑎𝑠𝑜𝑏 𝑓 𝑥 Aplicando o TFC onde é a primitiva de INTEGRAL DEFINIDA EXEMPLOS CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 1a Encontre a área limitada pela curva e a abcissa CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Exemplo 1a Encontre a área limitada pela curva e a abcissa 𝐴 2 2 4𝑥 2𝑑𝑥4 𝑥 𝑥 3 3 2 28 8 38 2 3 3 32 3 𝑢𝑎 Encontrar as raízes É onde a curva intercepta o eixo dos No exemplo 2 e 2 São os limites de integração CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 2a Encontre a área limitada pela curva e a abcissa CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 2a Encontre a área limitada pela curva e a abcissa 𝐴 2 2 𝑥 24 𝑑𝑥 𝑥 3 3 4 𝑥 2 2 32 3 32 3 𝑢𝑎 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Encontrar as raízes É onde a curva intercepta o eixo dos No exemplo 2 e 2 São os limites de integração CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 2 Encontre a área da região limitada pela curva e a abcissa de CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 2 Encontre a área da região limitada pela curva e a abcissa de No intervalo e no intervalo de 𝑆 0 𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝜋 2𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥cos 𝑥 𝜋 0cos 𝑥 2 𝜋 𝜋 𝑆cos 𝜋 cos 0cos 2𝜋 cos 𝜋1111 𝑆1124𝑢𝑎 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 3 Encontre a área limitada pelas curvas e CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 3 Encontre a área limitada pelas curvas e As curvas e interceptamse nos pontos de abscissa 1 e 1 No intervalo e no intervalo Logo 2 15 1 05 0 05 1 15 2 15 1 05 0 05 1 15 𝑆 1 0 𝑥 3𝑥𝑑𝑥 0 1 𝑥𝑥 3𝑑𝑥 𝑥 4 4 𝑥 2 2 0 1 𝑥 2 2 𝑥 4 4 1 0 𝑆 1 2 𝑢𝑎 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 4 Encontre a área limitada pelas curvas CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 4 Encontre a área limitada pelas curvas e No intervalo a região esta entre as curvas e Região No intervalo a região esta entre as curvas e Região 2 0 2 4 6 8 10 6 4 2 0 2 4 𝑠1 𝑠2 x2 𝑦𝑥 3 A área procurada é 𝐴 4 0 6𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 0 2 6𝑥 𝑥3 𝑑𝑥 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 4 Encontre a área limitada pelas curvas e 2 0 2 4 6 8 10 6 4 2 0 2 4 𝑠1 𝑠2 x2 𝑦𝑥 3 𝐴 4 0 6𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 0 2 6𝑥 𝑥3 𝑑𝑥 𝐴 4 0 6 3𝑥 2 𝑑𝑥 0 2 6𝑥 𝑥3𝑑𝑥 𝐴6 𝑥 3𝑥2 4 0 4 6 𝑥 𝑥2 2 𝑥4 4 02 𝐴 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 4 Encontre a área limitada pelas curvas e 2 0 2 4 6 8 10 6 4 2 0 2 4 𝑠1 𝑠2 x2 𝑦𝑥 3 𝐴 𝐴0 24 12 122 4 0 𝐴12 10 𝐴22𝑢𝑎 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Exemplo 5 Calcular a área da elipse cuja equação é CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da elipse cuja equação é cuja fórmula explicita é Para determinar a área da elipse vamos integrar no intervalo de e multiplicar por 4 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da elipse cuja equação é Temos que e e e substitui por A partir daqui podemos seguir dois cainhos i Mudar os limites de integração da variável para a variável ii Manter os limites de integração da variável integrar em e após retornar a variável CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da elipse cuja equação é i Mudar os limites de integração da variável para a variável Fazendo cuja derivada é com os limites inferir e superior definidos em função de CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da elipse cuja equação é Mas CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da elipse cuja equação é cuja fórmula explicita é por substituição trigonométrica ii Manter os limites de integração da variável integrar em e após retornar a variável Temos e e e CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da elipse cuja equação é cuja fórmula explicita é CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da elipse cuja equação é cuja fórmula explicita é Usando fórmula direta CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da figura abaixo CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da figura abaixo Da temos que para então e a área do retângulo vale 𝑠244 1 4 𝑑𝑥 𝑥 4 4 𝑙𝑛𝑥 4 1 𝑠24 𝑠244𝑙𝑛 4 𝑆444𝑙𝑛 4 E a área da figura é 𝑆1616𝑙𝑛 4𝑢𝑎 𝐴 1 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da figura abaixo Da temos que para então e a área do retângulo vale 𝑠244 1 4 𝑑𝑥 𝑥 4 4 𝑙𝑛𝑥 4 1 𝑠24 𝑠244𝑙𝑛 4 𝑆444𝑙𝑛 4 E a área da figura é 𝑆1616𝑙𝑛 4𝑢𝑎 𝐴 1 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Calcular a área da figura abaixo CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA 𝑦𝑥 𝑦1 4 𝑥 𝑠1 𝑠2 Calcular a área da figura abaixo Determinar as equações das retas a Passa no ponto 1 1 b Passa no ponto 2 05 No intervalo a região esta entre as retas e Região No intervalo a região esta entre a curva e a reta Região 𝐴 0 1 𝑥 𝑥 4𝑑𝑥 1 2 1 𝑥 𝑥 4 𝑑𝑥 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA 𝑦𝑥 𝑦1 4 𝑥 𝑠1 𝑠2 Calcular a área da figura abaixo 𝐴 0 1 𝑥 𝑥 4𝑑𝑥 1 2 1 𝑥 𝑥 4 𝑑𝑥 CALCULO DA ÁREA DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA CÁLCULO II Unidade I MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 18 Integrais imediatas revisão Integrais por substituição Integrais por parte Integrais por frações parciais Integrais usando identidade trigonométrica Unidade II INTEGRAIS DEFINIDAS 24 Definição Teorema fundamental do cálculo Cálculo de áreas de regiões planas por equações cartesianas Comprimento de arco de curvas planas por equações cartesianas Cálculo de áreas de regiões planas por equações paramétricas Comprimento de arco de curvas planas por equações paramétricas Cálculo de volume de sólidos de revolução Cálculo de área de uma superfície de revolução No século XVII pouco antes da invenção do Cálculo Diferencial e Integral existiam muitos métodos para os problemas de quadratura cálculo de áreas cubatura e retificação de uma curva O problema de calcular o comprimento de arco de uma curva é em alguns casos extremamente difícil pois pode nos levar a integrais elípticas Com a invenção do Cálculo Diferencial e Integral este procedimento nos leva a resolução de uma integral definida em que o integrando envolve uma raiz quadrada e a derivada da função dada COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Para curvas geradas por funções do primeiro grau basta aplicarmos o Teorema de Pitágoras no intervalo desejado que encontramos o comprimento da curva rapidamente O segmento ℓ é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos Δx e Δy e seu comprimento é dado por 𝑙Δx2Δy2 𝑏𝑎2 𝑓 𝑏 𝑓 𝑎 2 Para as demais funções temos que usar o Cálculo para determinarmos o comprimento desejado de um arco COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Considere a função contínua no intervalo e derivável em cujo gráfico pode ser esboçado como Para determinarmos o comprimento do arco da curva entre os pontos podemos subdividir a curva em segmentos infinitesimais de reta e aplicar Pitágoras onde 𝑥0𝑎𝑥1𝑥2 𝑥𝑘 1𝑥𝑘𝑥𝑛𝑏 Seja o ponto e O comprimento total da poligonal é a soma dos comprimentos das cordas que ligam cada ponto ao próximo COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA O gráfico de uma função num intervalo é um segmento de uma curva qualquer Assim o comprimento do arco é a soma dos comprimentos infinitésimos das hipotenusas de tamanho Mas é somente o comprimento de um segmento infinitesimal da curva Para o comprimento total da poligonal L fazemos 𝐿 𝑘1 𝑛 ℓ𝑘 𝑙𝑘Δx2Δ y2 𝑏𝑎 2 𝑓 𝑏 𝑓 𝑎 2 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA 𝑙𝑘Δx2Δ y2 𝑏𝑎2 𝑓 𝑏 𝑓 𝑎 2 𝑙𝑛 𝑘1 𝑛 𝑥𝑘𝑥𝑘 1 2 𝑓 𝑥𝑘 𝑓 𝑥𝑘1 21 Como é derivável em podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em cada intervalo e escrever onde é um ponto do intervalo 𝑙𝑛 𝑘1 𝑛 𝑥𝑘𝑥𝑘 1 2 𝑓 𝑐𝑘 2 Substituindo em 1 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA 𝑙𝑛 𝑘1 𝑛 𝑥𝑘𝑥𝑘 1 2 𝑓 𝑐𝑘 2 𝑙𝑛 𝑘1 𝑛 1 𝑓 𝑐𝑘 2 𝑙𝑛 𝑘1 𝑛 1 𝑓 𝑐𝑘 2𝑥𝑘 É uma soma de Riemann da função A medida que cresce tornase muito pequeno e aproximase do comprimento do arco de até 𝐿 𝑎 𝑏 1 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA DEFINIÇÃO Seja uma curva da equação onde é uma função contínua e derivável num intervalo O comprimento do arco da curva do ponto ao ponto que denotamos por é dado por 𝐿 lim 𝑚 á𝑥 𝑥𝑘0 𝑘1 𝑛 1 𝑓 𝑐𝑘 2𝑥𝑘 Pela definição da integral definida temos COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA EXEMPLO 1 Calcular o comprimento do arco da curva dada por no intervalo 𝑆 𝑎 𝑏 1 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 Onde e 𝑆 1 4 1 3 2 𝑥 12 2 𝑑𝑥 1 4 1 9 4 𝑥 𝑑𝑥 Substituição e então 𝑆 4 9 1 4 𝑢 𝑑𝑢 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA EXEMPLO 1 Calcular o comprimento do arco da curva dada por no intervalo c 𝑆 4 9 1 4 𝑢 𝑑𝑢 4 9 2𝑢 32 3 Substituição 𝑆 8 27 9 4 𝑥1 32 4 1 8 2710 32 13 4 32 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA EXEMPLO 2 Calcular o comprimento do arco da curva dada por de ao ponto 𝑆 𝑎 𝑏 1 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA EXEMPLO 2 Calcular o comprimento do arco da curva dada por de ao ponto Onde e 𝑆 1 4 1 3 2 𝑥 12 2 𝑑𝑥 1 4 1 9 4 𝑥 𝑑𝑥 𝑆 8 27 9 4 𝑥1 32 4 1 8 2710 32 13 4 32 c EXEMPLO 1 Calcular o comprimento do arco da curva dada por no intervalo EXEMPLO 2 Calcular o comprimento do arco da curva dada por de ao ponto 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 𝑦𝑥3 2 c COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA Se a curva for definida por em vez de o comprimento do arco da curva de até é dado por 𝑆 𝑐 𝑑 1𝑔 𝑦 2𝑑𝑦 EXEMPLO 1 Calcular o comprimento do arco da curva dada por 1 no intervalo COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA EXEMPLO 1 Calcular o comprimento do arco da curva dada por 1 no intervalo 0 05 1 15 2 25 3 35 4 5 0 5 10 15 20 25 1 e 𝑆 1 3 1 3 2 𝑦 2 1 6 𝑦 2 2 𝑑𝑦 𝑆 1 3 9 𝑦 41 2 36 𝑦 4 𝑑𝑦 1 3 9 𝑦 41 6 𝑦 2 𝑑𝑦 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO CARTESIANA EXEMPLO 1 Calcular o comprimento do arco da curva dada por 1 no intervalo 0 05 1 15 2 25 3 35 4 5 0 5 10 15 20 25 𝑆 1 3 9 𝑦 41 6 𝑦 2 𝑑𝑦 1 3 3 2 𝑦2 1 6 𝑦2𝑑𝑦 𝑆 3 2 𝑦 3 3 𝑦 1 6 3 1 𝑆 3 2 33 3 31 6 3 2 13 3 11 6 𝑆 118 9 𝑢𝑐 CÁLCULO II Unidade I MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 18 Integrais imediatas revisão Integrais por substituição Integrais por parte Integrais por frações parciais Integrais usando identidade trigonométrica Unidade II INTEGRAIS DEFINIDAS 24 Definição Teorema fundamental do cálculo Cálculo de áreas de regiões planas por equações cartesianas Comprimento de arco de curvas planas por equações cartesianas Cálculo de áreas de regiões planas por equações paramétricas Comprimento de arco de curvas planas por equações paramétricas Cálculo de volume de sólidos de revolução Cálculo de área de uma superfície de revolução Função na Forma Paramétrica REVISÃO Sejam 𝑥𝑥𝑡 𝑦𝑦 𝑡 duas funções da mesma variável real Então a cada valor de correspondem dois valores e definindo onde cada valor de corresponde um ponto bem determinado no plano Se e são continuas quando o ponto descreve uma curva no plano e as equações são chamadas equações paramétricas da curva e é o parâmetro 𝑥𝑥𝑡 𝑦𝑦 𝑡 𝑥𝑥𝑡 𝑦𝑦 𝑡 Dado e admite a função inversa então onde é definido como função de Exemplo 1 Determine a função a partir da equação 𝑥2𝑡1 𝑦4𝑡3 tem inversa igual a Substituindo em obtemos a equação cartesiana da função 𝑦4 1 2 𝑥13 𝑦 2 𝑥1 Função na Forma Paramétrica REVISÃO 𝑥2𝑡1 𝑦4𝑡3 𝑦 2 𝑥1 Qual é o valor de t 1 05 3 7 x t 2 5 Parâmetro Função na Forma Paramétrica REVISÃO 22𝑡1 𝑡 1 2 32𝑡1 Para Para 𝑡1 Lembrando a equação cartesiana não paramétrica do círculo de centro na origem e raio é Exemplo 2 Mostre que as equações representa uma circunferência de centro na origem e raio 𝑥𝑎 cos𝑡 𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 0 2 𝜋 Para encontrar a equação cartesiana do círculo devemos eliminar o parâmetro Elevar ambas equações ao quadrado e somalas Ou seja e na forma explicita Função na Forma Paramétrica REVISÃO Exemplo 2 Mostre que as equações representa uma circunferência de centro na origem e raio 𝑥𝑎 cos𝑡 𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 0 2 𝜋 Função na Forma Paramétrica REVISÃO Ou seja é a equação da circunferência na forma paramétrica equivalente a na forma cartesiana e na forma explicita Lembrando a equação cartesiana não paramétrica da elipse é Exemplo 3 Mostre que as equações onde e positivos representa uma elipse de centro na origem e semieixos e 𝑥𝑎cos𝑡 𝑦𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 02𝜋 Encontrar a equação cartesiana da elipse eliminar o parâmetro Multiplicar primeira equação por a segunda por elevar ao quadrado e somar Ou seja Função na Forma Paramétrica REVISÃO Exemplo 3 Mostre que as equações onde e positivos representa uma elipse de centro na origem e semieixos e 𝑥𝑎cos𝑡 𝑦𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 02𝜋 Função na Forma Paramétrica REVISÃO Ou seja é a equação da elipse na forma paramétrica equivalente a na forma cartesiana e na forma explicita 𝑥𝑎 co𝑠3 𝑡 Exemplo 4 Mostre que as equações 𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑡 0 2 𝜋 onde é uma constante positiva representa uma curva chamada astróide ou hipociclóide de 4 cúspides Esta curva é definida como a trajetória descrita por um ponto fixo de uma circunferência de raio e quando esta gira sem escorregar dentro de uma circunferência fixa de raio Função na Forma Paramétrica REVISÃO Elevamos cada equação ao expoente e após somamos 𝑥𝑎 co𝑠3 𝑡 𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑡 0 2 𝜋 Ou seja Função na Forma Paramétrica REVISÃO Função na Forma Paramétrica REVISÃO Ou seja é a equação da hipociclóida na forma paramétrica é equivalente a na forma cartesiana e na forma explicita 𝑥𝑎 co𝑠3 𝑡 𝑦𝑎 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑡 0 2 𝜋 Função na Forma Paramétrica DERIVADA Seja uma função de definida pelas equações paramétricas e as funções e e sua inversa são deriváveis Então uma função composta aplicamos a regra da cadeia para derivala 𝑥𝑥 𝑡 𝑦𝑦 𝑡 𝑡 𝑎𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑡 𝑡 𝑥 e 𝑡 𝑥 1 𝑥 𝑡 e 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 que é a derivada da função na forma paramétrica Função na Forma Paramétrica DERIVADA Exemplo 1 Determinar a derivada da função definida na forma paramétrica pelas equações a 𝑑 𝑥2 𝑑 𝑦 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 2 2 Transforme a função na forma paramétrica para a forma cartesiana De temos Agora substituímos em teremos então a equação que é a forma cartesiana Se derivar teremos Função na Forma Paramétrica DERIVADA Exemplo 2 Determinar a derivada da função definida na forma paramétrica pelas equações b 𝑑 𝑥3 𝑑 𝑦 18𝑡 6 𝑑𝑦 𝑑𝑥 18𝑡 6 3 6𝑡 2 mas Então 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 Função na Forma Paramétrica DERIVADA Exemplo 2 Determinar a derivada da função definida na forma paramétrica pelas equações b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 Transforme a função na forma paramétrica para a forma cartesiana De temos Agora substituímos em t teremos então a equação que é a forma cartesiana Se derivar teremos Função na Forma Paramétrica DERIVADA Exemplo 3 Determinar a derivada da função definida na forma paramétrica pelas equações a 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 12 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 12𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 cos𝑡 tg𝑡 𝑥 𝑡12𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑦 𝑡 12 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 Como ou seja este resultado só é válido para Exemplo 3 Determinar a derivada da função definida na forma paramétrica pelas equações a 𝑑𝑦 𝑑𝑥 tg 𝑡 𝑦 342 3 𝑥2 3 2 Representação na forma cartesiana Função na Forma Paramétrica DERIVADA Exemplo 4 Determinar a equação da reta tangente à circunferência no ponto Solução Vamos usar a função definida na forma paramétrica pelas equações 𝑥2c os𝑡 𝑦2𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 0𝜋 Determinar a inclinação da reta tangente em isto é em 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 2cos𝑡 2𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑡 Função na Forma Paramétrica DERIVADA 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 2cos𝑡 2𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑡 Determinar o valor do parâmetro que corresponde ao ponto 22c os 𝑡 22𝑠𝑒𝑛𝑡 portanto e o coeficiente angular da reta tangente é A equação da reta tangente à curva no ponto é 𝑦 2 1𝑥2 𝑦 𝑥22 Função na Forma Paramétrica DERIVADA 0 05 1 15 2 25 25 2 15 1 05 0 05 1 15 2 25 Título do Gráfico 𝑦𝑥22 Função na Forma Paramétrica DERIVADA