Prova de Cálculo II - Volume de Sólidos, Área de Superfícies e Coordenadas Polares

UNIVERSIDADE DO VALE DE ITAJAÍ UNIVALI M2A1 Cálculo II NID Peso 20 30062022 Prof Dr Henri Stuker AcadêmicoaCurso AcadêmicoaCurso ORIENTAÇÕES Entregar junto com a resolução das questões esta página com nome e curso dos componentes do grupo Até 2 acadêmicos Apresentar os resultados com todos os cálculos intermediários de forma clara e organizada O não cumprimento desta observação acarreta perda de pontos Cada item vale 1 ponto Os cálculos podem ser a lápis mas os resultados devem ser apresentados A CANETA DEVOLUÇÃO A devolutiva da avaliação deve ser no início da aula do dia 07072022 I Determinar o volume do sólido gerado pela rotação delimitada pelos gráficos das equações dadas a 𝑦 cos 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 0 𝑒 𝑥 𝜋 4 Rotação em torno do eixo 𝑥 b 𝑦 𝑥2 𝑦 𝑥3 Rotação em torno do eixo 𝑦 II Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado em torno do eixo indicado Fórmula 𝐴 2𝜋 𝑓𝑥1 𝑓𝑥2𝑑𝑥 𝑏 𝑎 a 𝑦 4 𝑥2 0 𝑥 1 Rotação em torno do eixo 𝑥 b 𝑦 𝑥5 2 0 𝑥 2 Rotação em torno do eixo 𝑦 𝐹Ó𝑅𝑀𝑈𝐿𝐴 𝑉 𝜋 𝑓𝑥2𝑑𝑥 𝑏 𝑎 III Demarcar o ponto 3 𝜋 3 no sistema de coordenadas polares e encontrar suas coordenadas cartesianas IV Transformar a equação 𝑦23 𝑥23 𝑥3 0 para coordenadas polares V Transformar a equação 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃cos𝜃 para coordenadas cartesianas VI Identificar a figura e traçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares 𝑟 2 2𝑠𝑒𝑛𝜃 VII Identificar a figura e encontrar o comprimento do arco da curva dada por 𝑟 𝑒2𝜃 VIII Encontrar a área interna ao círculo 𝑟 4 e exterior à cardioide 𝑟 41 𝑐𝑜𝑠𝜃 I Determinar o volume do sólido gerado pela rotação delimitada pelos gráficos das equações dadas FÓRMULA V π ₐᵇ fx² dx a y cos x y sen x x 0 e x π4 Rotação em torno do eixo x V lim Δx0 ia to b π R₂x² R₁x² Δx ₐᵇ π R₂x² R₁x² dx V ₀π4 π cos² x sen² x dx Lançando mão da identidade abaixo e substituindo no integrando cos² x sen² x cos 2x ₀π4 π cos 2x dx π2 sen 2x ₀π4 π2 sen π2 sen 0 π2 uv b y x² y x³ Rotação em torno do eixo y y x³ y x² Para encontrarmos os raios e os pontos a e b seguir que os pontos a e b são os valores de y onde as funções se encontram Assim x² x³ x 0 ou x 1 Para x 0 y 0 e para x 1 y 1 Logo a 0 e b 1 Escrevendo x como função de y temse que gy y e hy ³y Assim R₂y ³y e R₁y y Com isso o volume fica V π ₀¹ ³y² y² dy V π ₀¹ y23 y dy π y23 1 23 1 y²2 ₀¹ π y53 53 y²2 ₀¹ π 3y535 y²2 ₀¹ π 35 12 0 0 π 6 510 π10 uv II Calcular a área da superfície gerada pela rotação do arco de curva dado em torno do eixo indicado Fórmula A 2π ₐᵇ fx 1 fx² dx a y 4 x² 0 x 1 Rotação em torno do eixo x b y x52 0 x 2 Rotação em torno do eixo y a Pela fórmula dada A 2π ₐᵇ fx 1 fx² dx segue que fx 4 x² pela regra da cadeia fx resulta fx 12 4 x²12 2x x 4 x² A superfície gerada pela rotação de y 4 x² em torno do eixo x Entao A 2pi int01 sqrt4x2 sqrt1 xsqrt4x22 dx 2pi int01 sqrt4x2 sqrt1 x24x2 dx De x0 ate x1 14x2 4x2 A 3pi int01 sqrt4x2 sqrt1 x24x2 dx 2pi int01 sqrt4x2 x24x24x2 dx 2pi int01 sqrt4x2 x2 dx 2pi int01 sqrt4 dx 2pi int01 2 dx 2pi 2x01 2pi 2 4pi ua b y x sqrt52 0 x 2 Para rotacionar em torno do eixo y a formula fica A 2pi intab gy sqrt1 gy2 dy A superficie gerada pela rotacao de y sqrt52 x em torno do eixo y No entato e necessario inverter a funcao fx para gy Assim gy 2ysqrt5 gy 2sqrt5 Para x0 y0 para x2 y sqrt5 A 2pi int0sqrt5 2ysqrt5 sqrt1 2sqrt52 dy segue que A 4pisqrt5 int0sqrt5 y sqrt145 dys 4pisqrt5 sqrt5 45 int0sqrt5 y dys 4pisqrt5 sqrt9sqrt5 int0sqrt5 y dys 12pis y22 0sqrt5 6pi5 sqrt52 6pi ua III Demarcar o ponto 3 π3 no sistema de coordenadas polares e encontrar suas coordenadas cartesianas Em coordenadas polares xr cosθ yr senθ então x3cosII331232 y3senII3332332 IV Transformar a equação y²3 x²3 x3 0 para coordenadas polares Dividindo ambos os lados da equação por 3 resulta y²33 x²33 x33 03 y² x² x 0 Em coordenadas polares xr cosθ yr senθ Assim substituindo na equação geral resulta r² sen² θ r² cos² θ r cos θ 0 Evidenciando r² e somando r cos θ em ambos os lados r²sen²θ cos²θ r cos θ r cos θ V Transformar a equação r 2 sen θ cos θ para coordenadas cartesianas Foi dado que r2sen θ cos θ rsen θ cos θ 2 r sen θ r cos θ 2 Sabendo que x r cos θ e y r sen θ segue que y x 2 y 2 x o que representa uma reta no plano cartesiano VI Identificar a figura e traçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares r 2 2sen θ Substituindo pontos temse Para θ0 r2 θ90 r4 θ180 r2 θ270 r0 θ360 r2 A figura é conhecida como cardioide r a b sen θ ou r a b cos θ VII Identificar a figura e encontrar o comprimento do arco da curva dada por re2θ A figura é uma espiral pois à medida que o ângulo aumenta rθ também aumenta θ r π 0002 π2 0043 π4 0208 0 1 π4 4810 π2 2314 π 5355 3π2 1239165 2π 28675131 O comprimento de uma curva é dado por L ab r² drdθ² dθ 02π e2θ² 2e2θ² dθ 02π e4θ 4e4θ dθ 02π 5e4θ dθ 5 02π e2θ dθ 5 e2θ202π 52e4π 1 VIII Encontrar a área interna ao círculo r 4 e exterior à cardioide r 41cosθ os pontos onde as curvas se encontram são 441cosθ 1 1 cosθ cosθ 0 θ π2 ou θ 3π2 A área é dada pela equação A 12 rθ² dθ A 12 0π2 2² 4 4cosθ² dθ 0π2 4 4 4cosθ² dθ 0π2 4 16 32cosθ 16cos²θ dθ 0π2 32cosθ 16cos²θ 12 dθ 0π2 32cosθ 1612 cos2θ2 12 dθ 0π2 32cosθ 8 8cos2θ 12 dθ 32sinθ 20θ 4sin2θ 0π2 32 10π 0 0 32 10π ua