Métodos de Integração em Cálculo II

Núcleo Integrado de Disciplinas EMCT Disciplina CÁLCULO II Prof Henri Stuker Contato stukerunivalibr CÁLCULO II Unidade I MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 18 Integrais imediatas revisão Integrais por substituição Integrais por parte Integrais por frações parciais Integrais usando identidade trigonométrica Unidade II INTEGRAIS DEFINIDAS 24 Definição Teorema fundamental do cálculo Cálculo de áreas de regiões planas por equações cartesianas Comprimento de arco de curvas planas por equações cartesianas Cálculo de áreas de regiões planas por equações paramétricas Comprimento de arco de curvas planas por equações paramétricas Cálculo de volume de sólidos de revolução Cálculo de área de uma superfície de revolução Função na Forma Paramétrica DERIVADA Seja uma função de definida pelas equações paramétricas e as funções e e sua inversa são deriváveis Então uma função composta aplicamos a regra da cadeia para derivala 𝑥𝑥 𝑡 𝑦𝑦 𝑡 𝑡 𝑎𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑡 𝑡 𝑥 e 𝑡 𝑥 1 𝑥 𝑡 e 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 que é a derivada da função na forma paramétrica CASO 1 Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de pelas retas e o eixo dos onde é contínua e é dada por com 𝑥 𝑥 𝑡 𝑦 𝑦 𝑡 𝑡 𝑡0 𝑡1 CALCULO DA ÁREA DE UMA FIGURA PLANA USANDO AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS CASO 1 A partir da integral definida e TFC vimos que a área de uma figura plana definida por uma função num intervalo contínuo é dada por 𝑆 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑦 𝑑𝑥 Substituindo obtemos 𝑆 𝑡 0 𝑡 1 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡𝑑 𝑡 CALCULO DA ÁREA DE UMA FIGURA PLANA USANDO AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS EXEMPLO 1 Calcular a área da região limitada pela elipse Observe que a figura é simétrica em relação aos eixos então calculamos a área do primeiro quadrante e multiplicamos por 4 obtendo Determinar os limites de integração e Das equações paramétricas verificamos que a elipse tem centro na origem e semieixo menor igual a 2 e semieixo maior igual a 3 Então corresponde ao ponto e ao ponto Q 𝑥2cos𝑡 𝑦3 𝑠𝑒𝑛𝑡 CALCULO DA ÁREA DE UMA FIGURA PLANA USANDO AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS EXEMPLO 1 Calcular a área da região limitada pela elipse 𝑆 1 𝜋 2 0 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 02cos 𝑡0 33 𝑠𝑒𝑛𝑡 0 Para Então 22cos 𝑡1 03 𝑠𝑒𝑛𝑡 1 Para Então 𝑆13𝑡 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝜋2 03 𝜋 2 𝑢𝑎 Então CALCULO DA ÁREA DE UMA FIGURA PLANA USANDO AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 𝑆 𝑡 0 𝑡 1 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡𝑑 𝑡 𝑥2cos𝑡 𝑦3 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝜃 1𝑐𝑜𝑠2𝜃 2 Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de e pelas retas e o eixo dos onde e são funções contínuas em como e são dadas a forma paramétrica 𝑥1𝑥1𝑡 𝑦1𝑦1 𝑡 𝑡 𝑡 0 𝑡 1 Para 𝑥2𝑥2𝑡 𝑦2𝑦 2𝑡 𝑡 𝑡2 𝑡 3 Para com CASO 2 CALCULO DA ÁREA DE UMA FIGURA PLANA USANDO AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS A partir da integral definida e TFC temos 𝑆 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥𝑥 𝑎 𝑏 𝑔𝑥𝑥 𝑆 𝑡 0 𝑡 1 𝑦1𝑡 𝑥1 𝑡 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡3 𝑦2𝑡 𝑥2 𝑡 𝑑𝑡 𝑆 𝑡 0 𝑡 1 𝑦1 𝑡 𝑥1 𝑡 𝑦2 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑑𝑡 Mas e CASO 2 CALCULO DA ÁREA DE UMA FIGURA PLANA USANDO AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS EXEMPLO 1 Calcular a área entre as elipses e 𝑥2cos 𝑡 𝑦4𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑥2cos𝑡 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑡 CALCULO DA ÁREA DE UMA FIGURA PLANA USANDO AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS CASO 2 𝑆 𝑡 0 𝑡 1 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡𝑑 𝑡 𝑥2cos𝑡 𝑦3 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 00 4 𝑡120 𝑡 0 02cos𝑡 44 𝑠𝑒𝑛𝑡 0cos𝑡 1𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡0𝜋 2 𝑡1 22cos𝑡 04 𝑠𝑒𝑛𝑡 1cos𝑡 0𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 10 𝑡 0 02cos𝑡 1𝑠𝑒𝑛𝑡 0cos𝑡 1𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 0 𝜋 2 𝑡1 22cos𝑡 0𝑠𝑒𝑛𝑡 1cos𝑡 0𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡10 EXEMPLO 1 Calcular a área entre as elipses e A partir do exemplo anterior temos 𝑥2cos 𝑡 𝑦4𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑥2cos𝑡 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑆 𝜋 2 0 4𝑠𝑒𝑛 𝑡2𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑆 𝜋 2 0 8𝑠𝑒𝑛 2𝑡2𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑑𝑡 𝑆4 0 𝜋 2 6 𝑠𝑒𝑛 2𝑡𝑑𝑡 CALCULO DA ÁREA DE UMA FIGURA PLANA USANDO AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS CASO 2 𝑆 𝑡 0 𝑡 1 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡𝑑 𝑡 𝑥2cos𝑡 𝑦3 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 00 4 𝑡120 EXEMPLO 1 Calcular a área entre as elipses e 𝑥2cos 𝑡 𝑦4𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑥2cos𝑡 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑆24 0 𝜋 2 1 2 1 2 cos2𝑡𝑑𝑡 𝑆4 0 𝜋 2 6 𝑠𝑒𝑛 2𝑡𝑑𝑡 CALCULO DA ÁREA DE UMA FIGURA PLANA USANDO AS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 𝑠𝑒𝑛2𝜃 1𝑐𝑜𝑠2𝜃 2 CÁLCULO II Unidade I MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 18 Integrais imediatas revisão Integrais por substituição Integrais por parte Integrais por frações parciais Integrais usando identidade trigonométrica Unidade II INTEGRAIS DEFINIDAS 24 Definição Teorema fundamental do cálculo Cálculo de áreas de regiões planas por equações cartesianas Comprimento de arco de curvas planas por equações cartesianas Cálculo de áreas de regiões planas por equações paramétricas Comprimento de arco de curvas planas por equações paramétricas Cálculo de volume de sólidos de revolução Cálculo de área de uma superfície de revolução Cálculo do comprimento de arco de uma curva dado na forma paramétrica pelas equações onde e são contínuas e para todo 𝑥 𝑥 𝑡 𝑦 𝑦 𝑡 𝑡 𝑡0 𝑡1 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA DADA POR SUAS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS e 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 é a derivada da função na forma paramétrica Para calcular o comprimento de arco de vamos usar a fórmula do comprimento do arco na forma cartesiana substituindo com 𝐿 𝑎 𝑏 1 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 𝐿 𝑡 0 𝑡 1 1 𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 2 𝑥 𝑡𝑑𝑥 𝑡 0 𝑡1 𝑥 𝑡 2 𝑦 𝑡 2 𝑥 𝑡 2 𝑥 𝑡 𝑑𝑥 𝑡 0 𝑡 1 𝑥 𝑡 2 𝑦 𝑡 2 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡𝑑𝑥 𝐿 𝑡 0 𝑡1 𝑥 𝑡 2 𝑦 𝑡 2 𝑑𝑡 Portanto COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO PARAMÉTRICA EXEMPLO 1 Calcular o comprimento da hipociclóide 𝑥2𝑠𝑒𝑛3 𝑡 𝑦2𝑐𝑜𝑠3 𝑡 𝑡 0𝜋 2 Observe que a figura é simétrica em relação aos eixos vamos então calcular o comprimento de arco que esta no primeiro quadrante e multiplicamos por 4 𝑥2𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑥 𝑡6 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦2𝑐𝑜𝑠 3𝑡 𝑦 𝑡6 𝑐𝑜 𝑠 2𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑥2𝑠𝑒𝑛3 𝑡 𝑦2𝑐𝑜𝑠3 𝑡 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO PARAMÉTRICA 𝐿 𝑡 0 𝑡1 𝑥 𝑡 2 𝑦 𝑡 2 𝑑𝑡 𝐿 0 𝜋 2 6 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 26𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 2𝑑𝑡 𝐿 0 𝜋 2 6 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 26𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 2𝑑𝑡 𝐿 0 𝜋 2 36 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 𝑐𝑜 𝑠 2𝑡36𝑐𝑜𝑠 4𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑑𝑡 𝐿 0 𝜋 2 36 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑐𝑜 𝑠 2𝑡 𝑑𝑡6 0 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA PLANA USANDO A SUA EQUAÇÃO PARAMÉTRICA 𝐿6 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 2 𝜋2 03𝑢𝑐 E o comprimento da hipociclóide é RESUMO Cálculo de áreas de regiões planas por equações cartesianas Comprimento de arco de curvas planas por equações cartesianas Cálculo de áreas de regiões planas por equações paramétricas Comprimento de arco de curvas planas por equações paramétricas 𝐿 𝑎 𝑏 1 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 𝑆 𝑡 0 𝑡 1 𝑦 𝑡𝑥 𝑡𝑑 𝑡 𝑆 𝑡 0 𝑡 1 𝑦1 𝑡 𝑥1 𝑡 𝑦2 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑑𝑡 𝐿 𝑡 0 𝑡1 𝑥 𝑡 2 𝑦 𝑡 2𝑑𝑡 CÁLCULO II Unidade I MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 18 Integrais imediatas revisão Integrais por substituição Integrais por parte Integrais por frações parciais Integrais usando identidade trigonométrica Unidade II INTEGRAIS DEFINIDAS 24 Definição Teorema fundamental do cálculo Cálculo de áreas de regiões planas por equações cartesianas Comprimento de arco de curvas planas por equações cartesianas Cálculo de áreas de regiões planas por equações paramétricas Comprimento de arco de curvas planas por equações paramétricas Cálculo de volume de sólidos de revolução Cálculo de área de uma superfície de revolução VOLUME lembrando r r r h h 2πr AL2πrh Abπr2 Cálculo do volume cilindro VC πr2h VC Abh Exemplo se o retângulo delimitado pelas retas e girar em tomo do eixo dos obtemos um cilindro Sólido de revolução 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 Fazendo uma região plana girar em tomo de uma reta no plano obtemos um sólido que é chamado sólido de revolução A reta ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução VOLUME lembrando Abπr2 ALπrg Do Teorema de PappusGuldin quando uma superfície gira em torno de um eixo e gera um volume tal que onde d distância do centro de gravidade CG da sua superfície ao eixo Sárea da superfície triângulo retângulo Como CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação Logo Cálculo do volume cone Sólido de revolução Exemplo fazendo a região limitada pelas curvas e girar em tomo do eixo dos o sólido de revolução obtido é um cone 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 4 4 Sólido gerado pela rotação em tomo do eixo dos da região plana definida por 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑎 𝑏 Sólido de revolução 𝑥𝑖 𝑐𝑖 𝑓 𝑐𝑖 𝑎 𝑏 𝑅𝑖 𝑦 Seja contínua e não negativa em Consideremos uma partição de dada por Seja o comprimento do intervalo Em cada intervalo escolhemos um ponto qualquer Para cada construímos um retângulo de base e altura Volume de um sólido de revolução Se cada retângulo girar em tomo do eixo dos o sólido de revolução obtido é um cilindro cujo volume é dado por A soma soma de Riemann da função do volume dos cilindros 𝑥𝑖 𝑐𝑖 𝑓 𝑐𝑖 𝑎 𝑏 𝑅𝑖 𝑉 𝑛 𝜋 𝑖1 𝑛 nos dá uma aproximação do volume do sólido 𝑓 𝑐𝑖 𝑥𝑖 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 Volume de um sólido de revolução Como é contínua o limite existe então pela definição da integral definida temos Definição Seja uma função contínua não negativa em Seja a região sob o gráfico de de até O volume do sólido gerado pela revolução de em tomo do eixo dos é definido por 𝑉 lim 𝑥𝑖 0 𝜋 𝑖1 𝑛 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 Volume de um sólido de revolução Exemplo A região limitada pela curva o eixo dos e as retas e gira em tomo do eixo dos Encontrar o volume do sólido de revolução gerado Volume de um sólido de revolução 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 𝑥1 4 𝑦1 4 𝑥2 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 1 4 𝑥2 2 𝑑𝑥 Exemplo A região limitada pela curva o eixo dos e as retas e gira em tomo do eixo dos Encontrar o volume do sólido de revolução gerado 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 1 4 𝑥2 2 𝑑𝑥 𝑉 𝜋 16 𝑥 5 5 4 1 𝜋 80 4 51 5 𝑉 1023 80 𝜋 𝑢𝑣 𝑦1 4 𝑥2 Volume de um sólido de revolução 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 Casos especiais 1 A função é negativa em alguns pontos de 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 Volume de um sólido de revolução Exemplo Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos da região entre o gráfico da função o eixo dos de até Volume de um sólido de revolução 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝜃 1𝑐𝑜𝑠2𝜃 2 Exemplo Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos da região entre o gráfico da função o eixo dos de até Volume de um sólido de revolução 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2𝑑𝑥 𝑉 𝜋 2𝑢𝑣 Casos especiais 2 A região R está entre os gráficos de duas funções e de a até b 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥 Volume de um sólido de revolução Exemplo Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em tomo do eixo dos da região limitada pela parábola e pela reta Volume de um sólido de revolução Exemplo Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em tomo do eixo dos da região limitada pela parábola e pela reta Volume de um sólido de revolução Raízes 1 05 0 05 1 15 2 25 3 35 4 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 𝑓 𝑥 1 4 13𝑥2 g 13 13 Pontos de intersecçãoigualar as duas funções Exemplo Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em tomo do eixo dos da região limitada pela parábola e pela reta Volume de um sólido de revolução 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 2 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 g 𝑉 𝜋 3 1 1 4 13 𝑥2 2 1 2 𝑥5 2 𝑑𝑥 Volume de um sólido de revolução 𝑉 𝜋 3 1 1 4 13𝑥2 2 1 2 𝑥5 2 𝑑𝑥 𝑉 𝜋 3 1 1 4 16926 𝑥2𝑥4 1 2 𝑥210 𝑥25𝑑𝑥 𝜋 16 3 1 6940 𝑥30𝑥2𝑥4 𝑑𝑥 𝑉 𝜋 1669𝑥20 𝑥 210 𝑥 3 𝑥 5 5 1 3 𝑉 𝜋 16692010 1 569320 3 210 3 3 3 5 5 𝑉 𝜋 16692010 1 5 207180270 243 5 𝑉 1924 𝜋 80 24 05 𝜋 𝑢𝑣 Casos especiais 3 Ao invés de girar ao redor do eixo dos a região gira em tomo do eixo dos 𝑉 𝜋 𝑐 𝑑 𝑔 𝑦 2𝑑𝑦 𝑥𝑔 𝑦 Volume de um sólido de revolução Exemplo A região limitada pela parábola cúbica pelo eixo dos e pela reta gira em tomo do eixo dos Determinar o volume do sólido de revolução obtido Volume de um sólido de revolução 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 𝑥3 𝑦 𝑦8 𝑉 𝜋 𝑐 𝑑 𝑔 𝑥 2𝑑 𝑦 𝑉 𝜋 0 8 3 𝑦 2𝑑 𝑦 Exemplo A região limitada pela parábola cúbica pelo eixo dos e pela reta gira em tomo do eixo dos Determinar o volume do sólido de revolução obtido Volume de um sólido de revolução 𝑉 𝜋 0 8 3 𝑦 2𝑑 𝑦 𝑉 𝜋 3 5 𝑦 53 8 0 𝑉 𝜋 3 5 853 𝑉 96 𝜋 5 𝑢𝑣 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 𝑥3 𝑦 𝑦8 Casos especiais 4 A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados Se o eixo de revolução for a reta temos y𝑓 𝑥 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝐿 2𝑑𝑥 Volume de um sólido de revolução Exemplo Determinar o volume do sólido gerado pela rotação em tomo da reta da região limitada por Volume de um sólido de revolução 𝑦 1 𝑥 𝑥 1 4 0 1 2 3 4 5 6 0 025 05 075 1 125 15 175 2 225 25 275 3 325 35 375 4 425 𝑦4 𝑦 1 𝑥 𝑉 𝜋 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝐿 2𝑑𝑥 𝑉 𝜋 14 4 1 𝑥 4 2 𝑑𝑥 Exemplo Determinar o volume do sólido gerado pela rotação em tomo da reta da região limitada por Volume de um sólido de revolução 𝑉 𝜋 14 4 1 𝑥 4 2 𝑑𝑥𝜋 14 4 1 𝑥2 8 𝑥 16𝑑𝑥 𝑉𝜋 1 𝑥 8𝑙𝑛𝑥16 𝑥 4 14 𝑉 𝜋 1 4 8𝑙𝑛 416448𝑙𝑛 1 4 4 𝑉 𝜋 255 4 8𝑙𝑛16𝑢𝑣 Casos especiais 5 A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados Se o eixo de revolução for a reta temos 𝑥𝑔 𝑦 𝑉 𝜋 𝑐 𝑑 𝑔 𝑦 𝑀 2𝑑 𝑦 Volume de um sólido de revolução x𝑔 𝑦 Exemplo A região delimitada pela parábola e pelas retas gira em tomo da reta Determinar o volume do sólido de revolução obtido Volume de um sólido de revolução 3 2 1 0 1 2 3 15 1 05 0 05 1 15 2 25 3 35 𝑦2 𝑦2 1 𝑉 𝜋 𝑐 𝑑 𝑔 𝑦 𝑀 2𝑑 𝑦 𝑉 𝜋 2 2 1 2 𝑦2111 2 𝑑 𝑦 𝑉 𝜋 2 2 1 2 𝑦22 2 𝑑 𝑦 Exemplo A região delimitada pela parábola e pelas retas gira em tomo da reta Determinar o volume do sólido de revolução obtido Volume de um sólido de revolução 𝑉 𝜋 2 2 1 2 𝑦22 2 𝑑 𝑦𝜋 2 2 1 4 𝑦42 𝑦24𝑑𝑦 𝑉 𝜋 𝑦 5 20 2 𝑦 3 3 4 𝑦 2 2 𝑉 𝜋 25 20 223 3 42 25 20 2 23 3 42 𝑉 𝜋 32 20 16 3 8 32 20 16 13 8 𝑉 448 𝜋 15 𝑢 𝑣