Determinação da Curva do Sistema de Bombeamento em Máquinas de Fluidos

Máquinas de Fluidos Determinação da curva do sistema 1 Introdução Objetivos 1 Revisão dos cálculos de queda de pressão ou perda de carga em tubulação reta e acessórios 2 Aplicação para a determinação da curva de um sistema de bombeamento 3 Seleção de bombas centrífugas Máquinas de Fluidos 2 Introdução O projeto adequado do sistema de bombeamento é fundamental para a minimização dos custos de operação de uma bomba energia consumida durante o tempo de operação do sistema O sistema de bombeamento é composto por uma bomba um acionador a tubulação e seus acessórios e o controle de operação O projeto considera então a interação entre a bomba e o resto do sistema possibilitando a determinação do ponto de trabalho da bomba como mostrado na Fig 1 Máquinas de Fluidos Fig 1 Curva característica de um sistema de bombeamento 3 Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos Atrito na tubulação e acessórios está associado à perda de energia que ocorre na tubulação em função do escoamento do fluido Junto à parede a velocidade do fluido é zero condição de não escorregamento enquanto que no centro a velocidade é máxima condição de escoamento completamente desenvolvido como mostrado na Fig 2 Para manter o escoamento na tubulação uma quantidade de energia correspondente à energia que é perdida pelo atrito deve ser fornecida ao fluido que é a função básica de uma bomba Fig 2 Perfil de velocidade no fluido em uma tubulação 4 Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos As perdas por atrito dependem da velocidade do fluido do diâmetro hidráulico da tubulação seu comprimento e da rugosidade interna A altura de atrito para uma tubulação reta é determinado pela Eq 1 onde f é o fator de atrito de Darcy L é o comprimento da tubulação em m V é a velocidade média do fluido em ms Dh é o diâmetro hidráulico da tubulação em m e g a aceleração da gravidade em ms2 Com essas unidades a altura de atrito é dada em m energia O diâmetro hidráulico Dh é calculado pela Eq 2 onde A é a área da seção transversal da tubulação perpendicular ao escoamento em m2 e Pe é o perímetro molhado da tubulação em m m g V D f L h h tub 2 2 1 m Pe A Dh 4 2 5 Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos Para um tubo circular o perímetro é dado pela Eq 3 onde Di é o diâmetro interno da tubulação em m Substituindo a Eq 3 na Eq 2 Isso é para uma tubulação circular o diâmetro hidráulico é igual ao diâmetro interno O tubo circular é o que possui a menor superfície interna comparada com sua seção transversal e portanto é o que apresenta a menor resistência ao escoamento Por exemplo se a seção fosse quadrada onde cada lado fosse igual ao diâmetro D circunscrito um quadrado apresenta quase 30 a mais de área de contato com o fluido m D Pe i 3 1 273 4 4 D D Pe Pe circ quad 5 i i i h D D D Pe A D 4 4 4 2 4 D 6 Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos O fator de atrito f depende do regime de escoamento e é descrito pelo número de Reynolds Re conforme a Eq 6 pois onde é a viscosidade cinemática em m2s μ é a viscosidade dinâmica em Pas e a massa específica do fluido em kgm3 Na equação ao lado Q é a vazão em m3s e A é a área transversal da tubulação em m2 O número de Reynolds é um número adimensional que expressa a relação entre as forças de inércia e as forças viscosas no fluido utilizado para descrever o tipo de escoamento Assim h h VD Re VD 6 A e V Q 7 Re 2300 escoamento laminar 2300Re5000 região de transição Re5000 escoamento turbulento 7 Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos O escoamento laminar ocorre à velocidades relativamente baixas ou em fluidos altamente viscosos O fator de atrito para escoamento laminar é independente da rugosidade da superfície interna do tubo e é função apenas do Re Para tubos de seção circular O escoamento turbulento é instável com forte mistura do fluido Devido aos valores de velocidade comumente adotados o escoamento é geralmente turbulento Nesse caso o fator de atrito depende do Re e da rugosidade relativa da superfície interna do tubo εD Para esse caso o fator de atrito é tomado a partir do diagrama de Moody Re f 64 8 8 Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos Fig 3 Diagrama de Moody para determinação do fator de atrito Para escoamento turbulento e em transição Re2300 o fator de atrito f pode ser obtido através da equação de PrandtlCoolebrook Di f f 3 71 Re 2 51 2log 1 9 9 Ver o material adicional no Moodle Exercícios curvas do sistemapdf Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos Valores de rugosidade para alguns materiais utilizados em tubulações são apresentados na Fig 4 apenas como exemplo Fig 4 Valores de rugosidade para diferentes materiais 10 Ver arquivo Caracttubospdf para mais informações sobre Aço forjado e Aço Inox Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos Perda de carga em acessórios Quando o fluido escoa através de válvulas curvas tês dispositivos trocadores de calor filtros etc também haverá uma perda por atrito Independentemente do diâmetro da tubulação essas perdas são representadas como percentagens da altura de velocidade de acordo com a Eq 10 onde K é uma constante dependendo do tipo de acessório Esses valores são obtidos experimentalmente e podem ser encontrados em diversas tabelas na literatura No slide seguinte são apresentadas algumas delas m g K V hf 2 2 10 11 Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos 12 Fig 5 Coeficientes de perdas de alguns tipos de acessórios Curva 90 rosca Curva 90 raio longo rosca Curva 90 flange Curva 90 raio longo flange Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos 13 Fig 6 Coeficientes de perdas de alguns tipos de válvulas Válvula globo Válvula gaveta Válvula de retenção tipo portinhola Válvula em ângulo Válvula de retenção tipo pé ou crivo União Redução Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos 14 Fig 7 Coeficientes de perdas para entradas e saídas Saída de um reservatório por exemplo Entrada em um reservatório por exemplo Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos 15 Fig 8 Diagrama de Moody Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos Na tabela abaixo é mostrada uma parte da norma ANSI para tubos de aço galvanizado e aço inox 16 Schedule number ou número Schedule é a pressão máxima que um tubo pode suportar mas é representado de forma adimensional como um número inteiro SCH Para SCH 40 é chamado de standard STD SCH de 80 é extrastrong XS e para SCH 160 é doubleextra strong XXS D s P 2t Ppressão MPa ou psi σt tensão do material Nmm2 ou psi s espessura da parede mm ou in D diâmetro externo mm ou in Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos Na tabela abaixo é mostrada uma parte da norma para tubos de alumínio 17 Perdas de pressão por atrito Máquinas de Fluidos Na tabela abaixo é mostrada uma parte da norma ABNT para tubos de cobre 18 Classe E instalações prediais de água quente Classe A instalações de gás Classe I instalações de alta pressão e hospitalares Curva do sistema Máquinas de Fluidos A curva H vs Q representa a energia por unidade de peso do líquido que a bomba é capaz de fornecer ao fluido em função da vazão Entretanto para determinar o ponto de trabalho tornase necessário determinar qual é a energia por unidade de peso que o sistema solicitará de uma bomba em função da vazão bombeada A essa característica dáse o nome de altura do sistema ou simplesmente H da mesma forma que a curva da bomba H vs Q Para determinar o tamanho necessário de uma bomba para uma aplicação em particular a altura total H que é o somatório da altura de todos os componentes do sistema deve ser determinada A altura total é composta de 4 componentes Altura estática Altura de atrito Altura de pressão Altura de velocidade 19 Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura estática É a variação da elevação total que o líquido deve realizar Em geral a altura estática é medida desde a superfície livre do líquido no reservatório de sucção até a superfície livre do reservatório de descarga recalque independentemente se o reservatório está acima ou abaixo da linha média da bomba LMB como mostrado na Fig 9 20 Fig 9 Alturas estáticas de sucção descarga e total Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura estática Quando a altura estática for negativa como mostrado na Fig 10 é chamada de suction lift 21 Fig 10 Alturas estáticas de sucção negativa descarga e total Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura estática Algumas situações particulares que devem ser analisadas são mostradas na continuação Por exemplo na Fig 11 a tubulação de descarga termina antes da superfície do reservatório Dessa forma a altura estática de descarga é considerada até o final da tubulação pois parte da altura estática que deveria ser medida até a parte mais elevada da tubulação é recuperada devido ao efeito do sifão no final descendente da linha 22 Fig 11 Altura estática recuperada devido ao sifão move o ponto de referência para a saída do tubo Devese notar no entanto que a altura estática até o ponto mais alto da tubulação deve ser considerada quando inicialmente preenchendo o sistema para garantir que a bomba desenvolva altura suficiente para atingir o ponto mais alto da linha Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura estática A Fig 12 mostra uma linha de descarga submersa onde a referência para a altura estática retorna outra vez para a superfície livre do reservatório 23 Fig 12 Tubulação de descarga submersa Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura estática A Fig 13 apresenta um sistema fechado de bombeamento onde a linha de descarga termina diretamente na sucção da bomba A altura estática total é zero uma vez que toda a altura estática produzida pela bomba até a parte mais alta da tubulação é recuperada na perna de descida 24 Fig 13 Sistema fechado Similarmente ao sistema mostrado na Fig 11 devese notar no entanto que a altura estática até o ponto mais alto da tubulação deve ser considerada quando inicialmente preenchendo o sistema para garantir que a bomba desenvolva altura suficiente para atingir o ponto mais alto da linha Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura estática Se as alturas de pressão necessárias de um sistema são fornecidas por leituras de pressão manométrica em pontos da tubulação situados na sucção e na descarga em lugar das pressões nos reservatórios de sucção e descarga a altura estática será dada pela diferença de elevação entre os dois manômetros ou transdutores de pressão e não mais pela diferença entre as alturas das superfícies do líquido em ambos reservatórios 25 P P Δz Fig 14 Pressão estática à partir da leitura de dois manômetros sucção e descarga Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura de atrito Altura de atrito é a altura necessária para compensar as perdas de pressão por atrito na tubulação acessórios válvulas e outros componentes presentes tais como trocadores de calor filtros etc Como mostrado anteriormente a perda de atrito varia com o quadrado da velocidade do fluido Quanto menor o diâmetro da tubulação para uma dada vazão maior será a perda por atrito Como mostrado qualitativamente na Fig 15 quanto menor o diâmetro interno da tubulação válvulas e acessórios menor será o custo inicial da tubulação Entretanto isso aumenta o custo de capital associado à bomba e ao acionador aumentando também o custo de operação energia consumida no tempo de vida do equipamento 26 Fig 15 Custo de capital associado ao sistema de bombeamento e custos operacionais Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura de pressão É a altura necessária para superar uma dada pressão ou vácuo no sistema a montante ou a jusante da bomba Essa altura é normalmente medida na superfície do líquido nos reservatórios ou tanques de sucção eou descarga Caso o tanque encontrese em vácuo essa pressão é negativa abaixo da pressão atmosférica A altura de pressão é dada por sendo que o peso específico corresponde ao líquido bombeado 27 g P hp 11 Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura de velocidade Representa a energia do fluido como resultado de seu movimento em uma dada velocidade média É calculada de acordo com a Eq 12 Como o diâmetro interno da tubulação de sucção é geralmente maior que o diâmetro interno da tubulação de descarga esse termo deverá ser utilizado Os valores de velocidades de escoamento recomendadas tanto para a tubulação de sucção quanto para a tubulação de descarga são mostrados na Tab 1 e 2 28 g V hv 2 2 12 Curva do sistema Máquinas de Fluidos 29 Diâmetro interno Água Óleos leves Líq saturados Líq viscosos in mm ms ms ms ms 1 25 050 050 0300 0300 2 50 050 050 0300 0330 3 75 050 050 0300 0375 4 100 055 055 0300 0400 6 150 060 060 0350 0425 8 200 075 070 0375 0450 10 250 090 090 0450 0500 12 300 140 090 0450 0500 12 300 150 Tabela 1 Velocidades recomendadas para tubulações de sucção Mattos EE de Falco R de 1998 Bombas industriais Ed Interciência Curva do sistema Máquinas de Fluidos 30 Diâmetro interno Água Óleos leves Líq saturados Líq viscosos in mm ms ms ms ms 1 25 100 100 100 100 2 50 110 110 110 110 3 75 115 115 115 110 4 100 125 125 125 115 6 150 150 150 150 120 8 200 175 175 175 120 10 250 200 200 200 130 12 300 265 200 200 140 12 300 Tabela 2 Velocidades recomendadas para tubulações de descarga Mattos EE de Falco R de 1998 Bombas industriais Ed Interciência Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura de velocidade Enquanto que a velocidade de sucção fica limitada à valores baixos principalmente para evitar a possibilidade de cavitação a velocidade na descarga está associada como comentado anteriormente à valores econômicos menor perda de pressão por atrito menor potência consumida pela bomba Outras informações sobre velocidades recomendadas Sucção A tubulação de sucção nunca deve ter o diâmetro interno menor que o do flange de sucção da bomba Velocidades podem variar entre 1 a 2 ms Descarga Velocidades de descarga variando entre 15 a 3 ms 31 Sulzer Pumps Inc 2010 Centrifugal pumps handbook 3ª Ed Elsevier Curva do sistema Máquinas de Fluidos Altura de velocidade Em geral tanto para reservatório de sucção quanto de descarga a velocidade do fluido na superfície do líquido pode ser considerada zero Dessa forma a altura de velocidade também será zero como mostrado na Fig 16 A altura de velocidade é somente incluída quando a altura de pressão é dada através de medidas de um transdutor de pressão situado em algum ponto do sistema junto à tubulação de sucção ou descarga como mostrado na Fig 17 Como em geral esse valor é pequeno geralmente não é utilizado No entanto em bombas de baixa altura H esse valor passa a ser significativo podendo ocasionar erros na ordem de 10 para cima ou para baixo afetando o dimensionamento correto da bomba ou o tamanho do impelidor 32 Vs0 Vd0 Fig 16 Altura de velocidade zero na superfície do líquido nos reservatórios Fig 17 A altura de velocidade deverá ser somada à altura de pressão lidas por transdutores de pressão situados na linha de sucção ou descarga Curva do sistema Máquinas de Fluidos A altura do sistema pode ser calculada utilizando a Eq 13 onde hd é a altura de descarga e hs a altura de sucção Essa separação dos cálculos é conveniente como será visto posteriormente Assim hs representa a quantidade de energia por unidade de peso já existente no flange de sucção da bomba ponto 1 enquanto que hd representa a quantidade de energia por unidade de peso que deve existir no flange de descarga ponto 2 para que o líquido alcance o reservatório de descara nas condições exigidas de vazão e pressão 33 s d h h H 13 1 2 Curva do sistema Máquinas de Fluidos Alguns exemplos para cálculo da altura manométrica de sucção hs Sistema com reservatório de sucção pressurizado 34 g V g P h ou g V g P h h z h B B s s s i fs s s 2 2 2 2 14 onde zs é a altura estática de sucção em m hi é a perda por atrito em A hfs é a perda total por atrito de A até B Ps é a pressão acima ou abaixo da atmosférica Vs é a velocidade do líquido na superfície livre do reservatório ponto a na figura e ρ é a massa específica do líquido bombeado em kgm3 Todas a unidades devem estar em metros O termo hi perda singular na saída do tanque pode estar embutido no cálculo de hfs a 15 zs Curva do sistema Máquinas de Fluidos Sistema com reservatório de sucção aberto 35 i fs s s h h z h 16 onde zs é a altura estática de sucção em m hi é a perda por atrito em A hfs é a perda total por atrito de A até B Todas a unidades devem estar em metros O termo hi pode estar embutido no cálculo de hfs a zs Curva do sistema Máquinas de Fluidos Sistema com reservatório de sucção abaixo da linha média da bomba LMB 36 i fs s s h h z h 17 onde zs é a altura estática de sucção em m hi é a perda por atrito em A hfs é a perda total por atrito de A até B Todas a unidades devem estar em metros O termo hi pode estar embutido no cálculo de hfs zs Curva do sistema Máquinas de Fluidos Alguns exemplos para cálculo da altura manométrica de descarga hd Sistema com reservatório de descarga pressurizado 37 g V g P h h z h d d e fd d d 2 2 18 onde zd é a altura estática de descarga em m he é a perda por atrito em B entrada do tanque hfd é a perda total por atrito de A até B Pd é a pressão acima ou abaixo da atmosférica Vd é a velocidade do líquido na superfície do reservatório ponto b na figura Todas a unidades devem estar em metros O termo he pode estar embutido no cálculo de hfd b zd Curva do sistema Máquinas de Fluidos Sistema com reservatório de descarga aberto 38 e fd d d h h z h 19 onde zd é a altura estática de descarga em m he é a perda por atrito em B hfd é a perda total por atrito de A até B Todas a unidades devem estar em metros O termo he pode estar embutido no cálculo de hfd zd Curva do sistema Máquinas de Fluidos Sistema com reservatório de descarga livre 39 fd d d h z h 20 onde zd é a altura estática de descarga em m he é a perda por atrito em B hfd é a perda total por atrito de A até B Todas a unidades devem estar em metros zd Curva do sistema Máquinas de Fluidos Sistema com reservatório de descarga com sifão 40 fd d d h z h 21 onde zd é a altura estática de descarga em m he é a perda por atrito em B hfd é a perda total por atrito de A até B Todas a unidades devem estar em metros zd1 zd zd2 Curva do sistema Máquinas de Fluidos Sistema com reservatório de descarga com sifão 41 fd d d h z h 22 onde zd é a altura estática de descarga em m he é a perda por atrito em B hfd é a perda total por atrito de A até B Todas a unidades devem estar em metros zd1 zd Curva do sistema Máquinas de Fluidos Sistema com reservatório de descarga aberto abaixo da LMB 42 fd d d h z h 23 onde zd é a altura estática de descarga em m he é a perda por atrito em B hfd é a perda total por atrito de A até B Todas a unidades devem estar em metros Da mesma forma podese utilizar a Eq 24 para todos os casos anteriores caso a pressão seja medida no flange de descarga g V g P h A A d 2 2 24 zd Curva do sistema Máquinas de Fluidos 43 25 Altura total H A altura total fornecida pela bomba é a energia fornecida ao líquido isso é a diferença entre as alturas de descarga e de sucção onde hf representa a soma das perdas de carga sucção e descarga Fig 18 Representação da altura total de uma sistema zd zs Curva do sistema Máquinas de Fluidos 44 Determinação do ponto de trabalho Uma vez determinada a altura manométrica do sistema sua localização na curva característica da bomba define o ponto de trabalho Se o ponto de trabalho estiver situado entre 50 a 110 do ponto de máxima eficiência BEP a bomba é considerada aceitável Se o BEP não puder ser ajustado corretamente uma bomba cujo ponto de operação estiver situado à esquerda do BEP é preferível a uma que exceder o BEP Fig 19 Representação do ponto de trabalho na curva característica de uma bomba centrífuga Curva do sistema Máquinas de Fluidos 45 Determinação do ponto de trabalho Em geral os projetistas de sistemas de bombeamento utilizam fatores de segurança para a estimativa das perdas por atrito para protegerse das incertezas próprias desta avaliação Em função disso o resultado sempre implica em um superdimensionamento da bomba já que ela irá fornecer uma maior vazão em função das perdas reais do sistema serem menores que as perdas estimadas no projeto Isso também pode resultar que a bomba opere fora de seu BEP necessitando eventualmente maior potência do acionador maior consumo de energia maior ruído etc Nessas condições é possível reduzir a vazão através da redução da velocidade da bomba ou menos inteligente aumentar as perdas por atrito através da utilização de uma válvula reguladora de vazão localizada na saída da bomba ou até um corte no impelidor da bomba para atingir a vazão de projeto Curva do sistema Máquinas de Fluidos 46 Determinação do ponto de trabalho De qualquer forma é indicado a utilização de fatores de segurança para compensar o envelhecimento da tubulação causado pela deposição incrustação de sólidos no interior da tubulação como mostrado na Fig 20 A utilização de fatores de segurança entre 15 a 20 para o fator de atrito o que significa o mesmo aumento para a queda de pressão por atrito uma vez que são proporcionais são normalmente indicados Para o caso de tubulações onde é realizada a limpeza uso de PIG o fator de segurança pode ser reduzido para 2 a 3 Fig 20 Redução da seção de escoamento no interior da tubulação devido à incrustação Curva do sistema Máquinas de Fluidos 47 Para o caso de tubulações onde é realizada a limpeza uso de PIG o fator de segurança pode ser reduzido para 2 a 3 Fig 20a PIG para remoção de incrustação em tubulações Curva do sistema Máquinas de Fluidos 48 Determinação do ponto de trabalho Na seleção da vazão de trabalho considerase a vazão nominal somada de 20 O resultado disso é mostrado na Fig 21 Fig 21 Representação da utilização dos fatores de segurança no ponto de trabalho H Q Fator de segurança para a perda por atrito Fator de segurança para a vazão Curva do sistema Máquinas de Fluidos 49 Ponto de trabalho para a escolha do modelo de bomba Curva do sistema Máquinas de Fluidos 50 Ponto de trabalho para a escolha do impelidor da bomba Curva do sistema Máquinas de Fluidos 51 Potência absorvida no ponto de trabalho Curva do sistema Máquinas de Fluidos 52 Sistemas com múltiplos tubos Resolvendo as equações para um sistema com tubulação única podese resolver um conjunto de equações para encontrar a curva de um sistema composto de múltiplos tubos utilizando algumas regras simples Sistema com múltiplos tubos em série Na Fig 22 é apresentado um sistema com três tubos em série Nessa condição a vazão volumétrica Q é igual em todos os tubos ié ou onde V é a velocidade e d o diâmetro interno A queda de pressão total através do sistema é igual à soma das quedas de pressão em cada seção de tubos ié Fig 22 Múltiplos tubos em série const Q Q Q 3 2 1 26 const V d V d V d 2 3 3 2 2 2 2 1 1 27 3 2 1 h h h h A B 28 Curva do sistema Máquinas de Fluidos 53 Considerando as quedas de pressão distribuídas e localizadas a Eq 28 pode ser reescrita como onde f é o fator de atrito L o comprimento e K o fator de perda localizada Pela Eq 27 notase que Ou seja as velocidades V2 e V3 são proporcionais à velocidade V1 Assim se a vazão volumétrica é dada o lado direito da Eq 29 é facilmente calculado obtendose o valor da queda de pressão na tubulação Se a queda de pressão total é dada é necessário realizar algumas iterações uma vez que o fator de atrito f depende da velocidade através do número de Reynolds Re Podese calcular inicialmente os valores de f assumindo um escoamento turbulento Uma solução mais rápida é obtida utilizandose o EES conforme será mostrado 30 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 K d L f g V K d L f g V K d L f g V h A B 29 e 2 3 2 1 1 3 2 2 2 1 1 2 d V d V d V d V Curva do sistema Máquinas de Fluidos 54 Para utilização no EES o fator de atrito pode ser calculado através da equação de Colebrook Ou seja as 32 31 50 50 Re 51 2 73 2log 1 f d f Curva do sistema Máquinas de Fluidos 55 Sistema com múltiplos tubos em paralelo Um sistema composto de três tubos em paralelo é apresentado na Fig 23 Nessa condição a queda de pressão é a mesma em cada tubo e a vazão volumétrica total será a soma das vazões individuais e Se a queda de pressão total é conhecida a vazão volumétrica Qi em cada seção é facilmente resolvida Cada tubo está relacionado à queda de pressão hf pela relação de Moody onde Fig 23 Múltiplos tubos em paralelo 3 2 1 Q Q Q Q 33 34 3 2 1 h h h h A B 35 C f Q g V d L f hf 2 2 2 L gd C 8 5 2 36 Curva do sistema Máquinas de Fluidos 56 Assim cada tubo apresenta uma resistência ao escoamento não linear e a queda de pressão está relacionada à vazão volumétrica total onde Como o valor de fi varia com o Re e a rugosidade específica iniciase o cálculo estimando um valor de fi e calculando então a primeira estimativa de hf Cada tubo fornece então uma estimativa para a vazão na seção Resultando um novo número de Reynolds Re e uma melhor estimativa de fi O processo é repetido até a obtenção do critério de convergência utilizado 38 37 2 2 i i f f C Q h i i i L gd C 8 5 2 2 i f i i f C h Q 39 Curva do sistema Máquinas de Fluidos 57 Para utilização no EES o fator de atrito pode ser calculado através da equação de Colebrook Ou seja as 30 31 50 50 Re 51 2 73 2log 1 f d f Fig 24 Junção de três reservatórios