Provas - Álgebra Linear Avançada Imecc- Unicamp

Álgebra Linear(MM719)-1S 2010-Exame de Qualificação-Mestrado Nome: RA: 14/12/2009 Escolher questões cujo total de pontos possíveis seja 100. Respostas sem justificativas serão desconsideradas. Bom trabalho! 1. Responda se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. (a) (08pts) A matriz \(\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\) é diagonalizável quando considerada no espaço \(M_3(\mathbb{C})\). (b) (08pts) Para toda transformação linear \(T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n\) temos que \(\mathrm{Nul}\, T \oplus \mathrm{Im}\, T = \mathbb{C}^n\). (c) (08pts) Se \(V=\mathbb{R}^3\) com o produto interno usual, então existe um operador linear auto-adjunto \(T : V \rightarrow V\) satisfazendo \(T(0,1,1) = (0,1,1) \) e \(T(1,2,3) =(2,3,5)\). (d) (08pts) Para uma matriz nilpotente \(A \in M_n(\mathbb{R})\) temos que \(\mathrm{tr}\,(M^t)=0\), para todo \(t\geq1\). (e) (08pts) Se uma transformação linear \(T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n\) só tem autovalores reais, então \(T\) é auto-adjunta. (f) (08pts) Se para uma transformação linear em \(T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n\) valer \(T=T^* = 0\), onde \(T^*\) é a adjunta de \(T\), então \(T = 0\). (g) (08pts) Se \(V\) é um \(C\)-espaço vetorial e \(u\in V\) é um vetor não nulo, então a aplicação linear \(T_u : V \rightarrow V\) definida por \(T_u(v) = u \otimes v + iv\). 2. (15pts) Seja \(T : \mathbb{C}^4 \rightarrow \mathbb{C}^4\) uma transformação linear cuja matriz na base canônica é \(\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\). Encontre uma base de Jordan para \(T\) e a forma canônica de Jordan de \(T\). 3. (15pts) Seja \(f(x,y,z) = 2x^2+2y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\) uma forma quadrática definida sobre \(\mathbb{R}^3\). Encontre uma matriz ortogonal \(U\) de forma que a troca de variáveis \(\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = U \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}\) satisfaça \(f(x_1,x_2,x_3) = ax_1^2 + bx_2^2 + cx_3^2\), para convenientes \(a, b, c \in \mathbb{R}\). 4. (12pts) Seja \(\{T_i : i \in I\}\) um subconjunto de \(\mathrm{End}(V)\) onde \(V\) é um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado \(F\). Suponha que \(T_iT_j = T_jT_i\), para todo \(i,j \in I\). Mostre que existem subespaços \(V_1, \ldots, V_m\) para algum \(m \geq 1\) tais que \(V = \oplus_{j=1}^m V_j\) e, se \(v \in V_j\) para algum \(j\), então \(v\) é autovetor generalizado de \(T_i\), para todo \(i \in I\). 5. (10pts) Dê um exemplo de espaço vetorial que não é isomorfo ao seu dual. 6. (12pts) Enuncie a propriedade universal do produto tensorial entre dois espaços vetoriais e demonstre a existência e a unicidade de tal produto. MM719 - 1S 2013 - Exame de Qualificação Nome: _________________________ RA: _________________________ Escolher questões cujo total de pontos possíveis seja 10. Bom trabalho! 1. (0,5) Considere T : ℝ³ ⟶ ℝ² dado por T(x,y,z,) = (2x−y−z,z+x−y) e f : ℝ² ⟶ ℝ dada por f(x,y) = x−y. Calcule a expressão do funcional linear T*(f) com respeito à base canônica (aqui, T* = T^t é a transposta (adjunta) de T). 2. Suponha que a matriz de um operador linear T em ℝ⁴ na base canônica seja A = |0 1 0 0| |−2 1 2 −1| |4 −1 0 2| |2 0 0 1| (a) (2,0) Encontre uma base de Jordan. (b) (1,0) Descreva todos os subespaços T-invariantes. 3. Responder se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa justificando suas respostas. (a) (0,5) Se duas matrizes A, B possuem o mesmo polinômio mínimo e o mesmo polinômio caracte- rístico, então elas são semelhantes. b) (0,5) V = V₁ ⊕ V₂ ⊕ ⋯ ⊕ Vₘ, com Vₖ* é isomorfo a Vₖ* ⊕ V₁* ⊕ ⋯ ⊕ Vₘ*. c) (0,5) Se A ∈ Mₙ(ℝ), existe P ∈ GLₙ(ℝ) tal que P^tAP⁻¹ = À⁺. d) (0,5) Para todo operador linear T em um espaço vetorial real qualquer se tem 〈f a R[f] : f(T) ≠ 0〉 f) (0,5) Se W é sub espaços vetoriais de dimensão finita, T ∈ L(V,W) e T* é a adjunta de T com respeito a produtos internos dados em V e W, então Nₜ(T*)=Zₘ(T)*. g) (0,5) Se f é uma forma bilinear simétrica em V e (e₁,…,eₙ) é uma base de V tal que [(e)]ᵢⱼ = (〈1,…,n〉⟩, então f não é degenerada. h) (0,5) Se T é espaço vetorial real de dimensão finita com produto interno e T ∈ L(V,V), então existe operador auto-adjunto S tal que S² = T* o T. 4. Sejam A ∈ Mₙ(ℝ) uma matriz simétrica e V um espaço vetorial real de dimensão n com produto interno. Dada uma base ortonormal Φ de V, considere o operador linear T tal que [T]Φa = A e a forma bilinear simétrica f tal que f[ ]ᶠₙ = A. (a) (0,5) Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: Se β é base de V tal que [ ]ᵦA é diagonal, então [T]ᵦT]] também é diagonal. (b) (1,0) Suponha que A = |−1 −2 −1 2| , V = ℝ³ com produto interno usual e que α seja a base | 2 1 1 −1| | 1 −1 −2 1| canônica. Encontre base β de V tal que [T]βB e [ℓ]β diagonaiss. 5. Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K. Lembre que o posto de um vetor u e V ⊗ W é o menor inteiro não negativo m tal que existem v₁,…,vₘ ∈ V; wᵢ w₁,…,wₘ ∈ W satisfazendo u=Σₘ₁ t_iv_i w ⊗wi⃩⨂ w (a) (1,0) Mostre que se numa tal expressão tivermos v₁,…,vₘ linearmente independentes, então o posto de u é a dimensão do subespaco gerado por v₁,⋯,v_m. (b) (0,5) Calcule o posto de (2,3,−1)⊗(1,−2)+(3,−1⊗(2)+(2,1)⊗(0,−1,2)⊗(6),(−1,3)⊗(1,−3,0)⊗(3)∈ ℝ²⊗ℝ³⊗ℝ². (c) (1,0) Mostre que existe única φ : V*⊗W ⟶ L(V,W) linear injetora tal que φ(x⊗w)(v)=f(v)w para todo f ∈ V*, w ∈ W,vappealE V. (d) (1,0) Suponha que V e W tenham dimensão finita e seja φ como se: Motsre que para todo u ∈ V*⊗W, O posto de u sui coincide com o de φ(u) BOA PROVA MM719 - 1S 2011 - Exame de Qualificação (14/07/2011) Nome: _________________________ RA: _________________________ 1. Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo. Justifique suas repostas (respostas sem justificativas não serão consideradas) a) (8pts) Sejam T : ℝ⁸ ⟶ ℝ⁸ é um operador linear com polinômio característico f(X) = (X−1)³(X−2)² e polinômio mínimo p(X) = (X−1)²(X−2) então a dimensão do subespaço dos vetores característicos de T é exatamente igual a 5. b) (8pts) Sejam K um corpo e V um K-espaço vetorial de dimensão finita. Se T : V ⟶ V é um operador linear que não é invertível então existe um operador não nulo U : V ⟶ V tal que T◦U = U◦T = 0. c) (8pts) Sejam K um corpo e V um K-espaço vetorial de dimensão finita. Se T : V ⟶ V é um operador linear que é invertível então T⁻¹ = f(T), onde f(X) ∈ K[X] é um polinômio. d) (7pts) Dados um corpo K e um número natural n > 1. Se A é a matriz, n x n, definida por A = | 1 1 ⋯ 1 | | 1 1 ⋯ 1 | | ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | | 1 1 ⋯ 1 | então A é diagonalizável. e) Sejam V = ℝ³, S = V ⊗ V e o produto simétrico de V por V, W = V ∧ V = o produto exterior de V por V e B : V x V ⟶ ℝ transforma bilinearmente definido por B⟨(x₁,x₂,x₃),(y₁,y₂,y₃)⟩ = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃ = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃. e₁) (5pts) Existe T : S ⟶ ℝ linear tal que para todo u⊗v ∈ S, T(u⊗v) = B(u, v). e₂) (5pts) Existe U : W ⟶ ℝ linear tal que para todo u∧v ∈ W, U(u∧v) = B(u, v). f) (8 pts) Sejam A e B duas matrizes 4 x 4 com entradas em ℝ. Se o polinômio mínimo de ambas é igual a X² e elas possuem o mesmo posto, então A e B são semelhantes. 2. Sejam K um corpo e Mₙ = Mₙ(K) o conjunto das matrizes n x n com entradas em K (n > 1). Dado A ∈ Mₙ, defina o operador linear Tₐ : Mₙ ⟶ Mₙ por Tₐ(B) = AB. Mostre que: a) (7pts) Se A,C,D ∈ Mₙ, α ∈ K então Tₐ∘(αC+D) = Tₐ◦αC + αTₐ◦D. Conclua que se f(X) ∈ K[X] e A ∈ Mₙ, então f(Tₐ) = T_{f(A)}. b) (8pts) A e Tₐ tem os mesmos auto-valores. c) (10pts) A é diagonalizável se e somente se Tₐ é diagonalizável. 3. Sejam V um C-espaço vetorial de dimensão finita e n e com um produto interno hermitiano. Seja T : V ⟶ V um operador linear. a) (7 pts) Defina o operador adjunto T* de T, diga quando T é operador normal e enuncie o teorema espectral. b) (7pts) Mostre que se W ⊆ V é subespaço T-invariante (ie T(W) ⊆ W) então W^⊥ é T*-invariante. c) (11pts) Suponha que T tenha a seguinte propriedade: todo subespaço de V que é T*-invariante também é T*-invariante. Mostre que T é normal. BOA PROVA 3. Sejam V um C-espaço vetorial de dimensão finita e n e com um produto interno hermitiano. Seja T : V ⟶ V um operador linear. a) (7 pts) Defina o operador adjunto T* de T, diga quando T é operador normal e enuncie o teorema espectral. b) (7pts) Mostre que se W ⊆ V é subespaço T-invariante (ie T(W) ⊆ W) então W^⊥ é T*-invariante. c) (11pts) Suponha que T tenha a seguinte propriedade: todo subespaço de V que é T*-invariante também é T*-invariante. Mostre que T é normal. BOA PROVA