Resolução-p1-ma327-2s2015

1a 1b 2a 2b 2c 3a 3b 4a 4b 4c 4d Σ ATENÇÃO: Não é permitido destacar as folhas 1ª Prova de MA327 – 17/09/2015, 08:00–10:00 hs NOME:____________________________ Turma:_____ RA:______________ 1. a) (1.0 pt) Escreva a definição de espaço vetorial sobre o corpo R. I.e. espaço vetorial real. Defina soma direta de subespacos. • Um conjunto V ≠ Ø, munido de duas operações, uma soma e uma multiplicação por escalares tais que, para v,w,u ∈ V, α e β ∈ R, (i) para v,w ∈ V, existe v + w ∈ V; (ii) para v e α ∈ R, existe aα v ∈ V; É um espaço vetorial sobre R se satisfaz os seguintes axiomas: a) ∀v ∀w ∈ V v+w ∈ V b) ∀v ∀w ∈ V (v+w) = (w+v) ; ∀v,w,u ∈ V c) existe um elemento 0 ∈ V tal que v+0 = 0 + v = v, ∀v ∈ V d) existe um elemento -v ∈ V tal que v+(-v)+(+v) = 0; (e) α(βv) = (αβ)v ∀v ∈ V e todos os escalares α e β; (f) α(v+w)= αv + αw ; v ∈ V, u ∈ V, e todos os escalares α (g) (α+β)v = α v + βv, v ∈ V e todos os escalares α e β (h) 1v = v, ∀v ∈ V • Já o espaço V ⊆ tal que v w_1 +w_2 e w_1 Λ w_2 = {Θ} dizemos que V é soma direta de w_1, w_2 e denotamos por V = w_1⊕w_2 b) (2.0) Sejam W_1 = {(x,y,z) ∈ R^3 | x+y+z = 0} and W_2 = {(x,y,z) ∈ R^3 | x = y = 0}. Verifique que W_1 e W_2 são subespacos de R^3 e que R^3 = W_1 ⊕ W_2. • w_1 = {(x,y,z) ∈ R^3 | x+y+z = 0} Sejam w_{1z} = (x,y,z,z+z-y) w_{1v} = (a,b,a-b) • w_1, w_2 ∈ W_1 e k um escalar qualquer. i) o vetor nulo pertence a w_1: (0,0,-0-0) ii) u_1, u_2 ∈ W_1 u_3, u_4 = (x_1,x_2,-x_1-x_2) + (a,b,x_2-a-b) = (x+a,y+b,-x_2-a-b) =(x+a,y+b,-(x1+b)=(y+b) u_3 u_2 ∈ w_1 iii) α w_3 ∈ W_1 a_1 w_3 = (x,(y, z,x-y)) = ((x,y),x,y, -(x-y, z,x-y)) = ((x,y), -- (x-y,a-b)) = ((x,y,b,),αu_1w_2) • ω_2 = {(x,y,z) ∈ R^3 | x=y=0} Sejam ω_{2z} = (0,0,1,z) w_{y} = (0,0,1,c) w_3,ω_1 ∈ W_2 e a um escalar qualquer. i) o vetor nulo pertence a ω_2; (0,0,0) ii) ω_3,ω_1 ∈ W_2 ω_3+w_2 = (0,0, c)H(0,0,c) = (0,0,2+ c) => ω_31w_2 ∈ W_4 Iii) α w_3 ∈ W_2 α w_3= (0,0, a+b) = (0,0, a+b) => α w_3 Γ∈ W_3 w_3? w_1 = 0{0, 1,0 ,0 } => w_3 ω_2 {0} β^3 : w_3 = W_1⊕W_2 2. a) (2.0 pt) Seja V o espaço vetorial real de todos os polinômios com coeficientes reais, variável t e grau no máximo 7. Seja X = {1,t,t^2,t^3,t^4,t^5,t^6,t^7}. Verifique que X é um conjunto gerador de V, que X é linearmente independente. Calcule a dimensão de V. α_1(1+1) + α_2(1+3) + α_3(3++3) + ω_4(,, t^3+ α(5+,,7+) + ω_2(α_3) + ω_3(5+3) α_3 = 1 t+3) ,+2 ,t,t^2 + α_3t^3 + ω_2t^4+ω_5t+6 t+6+3^3 ≠ w_t: + t t 0(s+3,5? ) + ω(1^3 ) = 0 . α3 ∅3 ? +2 0 ®3 +03? +t^3 ,0,03 (i) α3=0 α2, x2=0 α2; x3 = 0 x2,0 x5 +4 = 0 x6 +2; x4=0 ω_87+ Vet[xt12]+8 x0 = V = {7 3/0= α2 x3, x4,α·6,0^(x, )=0. (1, b2, 3,B, c3^4, d, f+c3 , e+3i? α P(t): 54 a3 b^3 c3^3 c7^5 d7+e5 +c7 f^4 +a3f3 y^7 um polinômio genérico di grau no máximo 7.Um polinômio de grau no máximo 7, tiam (dim = B Todo subsonjanto de Py LI que contém 8 α_1ω x i=8 elementos é uma base do Pt po que implica que é gerador do Py, Como X tem 8 elementos, xi é barse do Py e portanto X um conjunto gerador. V ľim dımenção é igual a 8. ||w3|| = √(3^2*(-1)^2 + 3^2*(-1)^2 + 3^2*(-1)^2) = √(4) = 2 ||w2|| = √(3^2 + 3^2 + 3^2) = √(4) = 2 ||w3|| = √(3/2^2 + (-1/2)^2 + (-1/2)^2) = √(1/2) = 1 u3 = 1/||w3|| = 1/2 (1/2, -1/2, -1/2) = (3/2, -1/2, -1/2)^(3/2) u2 = 1/||w2|| = 1/2 (1, 1, 1) = (1/2, 1/2, 1/2)^(1/2) u3 = 1/||w3|| = 1/3 (3/2, 1/2, -1/2, 1/2) = (3/2, -1/2, 1/2) B = {u1, u2, u3} é uma base ortonormal do subespaço de R^n b) (1.5 pt) Considere as funções contínuas f1 = 1, f2 = sen(x), f3 = cos(x). Verifique se f1, f2, f3 são linearmente independentes ou não no intervalo (-∞,+∞). Φ1 = 3 → Φ1(y1) = 0 → Φ1(y2) = 0 Φ2 = sen(x) → Φ2(y2) = 0 → Φ1(y1) = 0 Φ3 = cos(x) → Φ3(y3) = -sen(x) w[Φ1, Φ2, Φ3](x) = det | Φ1 Φ2 Φ3 | | Φ3 Φ2 Φ3 | | . . . . | . . . . | . . . . | sen(x) | | cos(x) | | -sen(x) cos(x) | w[Φ1, Φ2, Φ3] = -cos^2(x) + sin^2(x) w[Φ1, Φ2, Φ3] = -(cos^2(x) + sin^2(x)) w[Φ1, Φ2, Φ3] = -1 w[Φ1, Φ2, Φ3] ≠ 0 Isso implica que f1, f2, f3 são linearmente independentes no intervalo (-∞, +∞) 3. a) (0.5) Defina produto interno de um espaço vetorial sobre C. b) (1.5 pt) Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal do subespaço de R^4 com base ((1, -1, 1, -1), (1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 1)). w2 = 1/2 (1, -1, 1, -1) w2 = (1/2, -1/2, 0, 3/2) projw2 w3 = 1/11 ([3, 3, 1, 1] = W[Φ1, 1, 1, 1, 0, 3] - [3/2, 1/2, 1/2] proj w3 = Continúa 4. (2.0 pt) Responda falso ou verdadeiro (justificando): a) Existem subespacos W1 e W2 de R7 tais que dim W1 = 4, dim W2 = 5 e dim(W1∩W2) = 1; V = R7, dim V = 7 dim V = dim W1 + dim W2 - dim (W1∩W2) dim V = 4 + 5 - 1 dim V = 8 => FALSO b) Cada espaco vetorial não nulo tem uma única base; FALSO Continua o exemplo: Seja V = R2. 1 Existe {1,0},{0,1} 2 {1,1},{1,0} c) Num espaco vetorial V com produto interno e V1, V2 e V temos que || V1 ± V2 || > || V1 || || V2 || FALSO Segue exemplo: Seja V = R2, V1 = (2,0), V2 = (1,0), 1) || V1 || = raiz quadrada(2 ao quadrado) = 2 2) || V2 || = raiz quadrada(1 ao quadrado) = 1 || V1 + V2 || = ||(2,0)+(1,0)|| raiz quadrada (3 ao quadrado ) = raiz quadrada(3) = 3 => 4 || V1+V2 || < ||V1||+||V2|| 3) || V1 || = ||V2 ||=1 ||V1+V2||=raiz quadrada(1+1)= raiz quadrada(2)=raiz quadrada(2)=2 d) O complemento ortogonal de V = {(x, y, z) ∈ R³ | x = y = z} em R³ tem dimensão 2.