Provas - Álgebra Linear Avançada Imecc- Unicamp

EQM Álgebra Linear 17 de julho de 2019 Nome: RA.: Exercício 1. (4pt) Considerando as afirmações abaixo, responda falso ou verdadeiro, dando uma justificativa para cada resposta. 1. Todo espaço vetorial é isomorfo ao seu dual; 2. Um isomorfismo entre um espaço V e seu dual V* é equivalente a um produto interno não degenerado (mas não necessariamente positivo definido); 3. Dado um espaço com produto interno (V,g), todo subespaço L ⊂ V possui complemento ortogonal L^⊥ tal que V = V/L ⊕ L ⊥; 4. O produto tensorial entre dois espaços, V ⨂ W, pode ser visto como o espaço de funcionais bilineares de V* × W*. Exercício 2. (2pt) Mostre que se dois operadores auto-adjuntos comutam então existe uma base que os diagonaliza simultaneamente. Exercício 3. (2pt) Dada a seguinte matriz A = [5 4 2 1 0 1 -1 -1 0 -1 1 0 0 -2 0 1] Encontre a forma de Jordan de A e uma base de Jordan para a mesma. Exercício 4. (2pt) Seja V um espaço vetorial de dimensão n, seja Λ^kV a k-ésima potência exterior de V e seja T: V → V uma transformação linear de V*. Explique como definimos uma transformação linear induzida T ⨂ Λ^kV → Λ^kV. Utilize esta informação para definir, de modo independente de base, o determinante de uma transformação linear. MM719 - 1S 2018 - Exame de Qualificação Nome: RA.: Escolher itens cujo total de pontos possíveis não ultrapasse 10,5 (existem 12 pontos disponíveis). Salvo menção em contrário, V denota um espaço vetorial sobre um corpo F. Todas as respostas devem ser devidamente justificadas (contas são justificativas). Bom trabalho! 1. Suponha que T seja um operador linear num espaço vetorial real V de dimensão finita cujas fatôres invariantes são: f_1(t) = (t^2 - t)(t^2 - π^3), f_2(t) = (t^2 - 1)^2(t - π) e f_3(t) = (t - 1)(t - π). (a) (0,5) Encontre os polinômios mínimo e característico de T. (b) (0,8) Encontre uma forma canônica de Jordan para T. 2. Seja T: R^4 → R^4 a transformação linear dada por T(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_3 + x_4, 2x_1 + 2x_2, 4x_3 + 2x_4, x_3 + x_4, 3x_4 - x_5). (a) (1,0) Encontre uma base de Jordan com respeito a T. (b) (0,5) Calcule os fatores invariantes de T. (c) (1,0) Descreva todos os subespaços T-invariantes. 3. Seja V o espaço vetorial P_2(R) dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e considere as funções f_i: V → R, i = 1, 2, 3, dadas por f_1(p) = p(0), f_2(p) = p'(1), f_3(p) = ∫_0^1 p''(t)dt. (a) (0,8) Verifique que f_1, f_2 e f_3 são base de V. (b) (0,5) Se V = V_1 ⊕ V_2 ⊕ ... ⊕ V_m, então V* é isomorfo a V_1* ⊕ V_2* ⊕ ... ⊕ V_m*. (b) (0,5) Se A ∈ M_n(R), existe P ∈ GL_n(R) tal que PAP^{-1} = A^t. (c) (0,5) Para todo operador linear T em um espaço vetorial real qualquer se tem {f ∈ R[x]: f(T) = 0} é F(T). (d) (0,5) A imagem de uma função multilinear é um subespaço de seu contradomínio. (e) (0,5) Se W é um subespaço de V, todo elemento de W* é a restrição de W de um elemento de V*. 5. Considere a forma quadrática em R^3 dada por q(x, y, z) = 2(yw + zx + yz) - (x^2 + y^2 - z^2) e seja φ a forma bilinear simétrica tal que φ(u, v) = ϕ(u). Considere também o operador linear T em R^3 tal que (Te_i, e_j) = φ(e_i, e_j) para quaisquer 1 ≤ i, j ≤ 3 sendo {e_1, e_2, e_3} a base canônica e ( , ) o produto interno usual do R^3. (a) (1,0) Encontre base β de R^3 com respeito a qual as representações matriciais [T]_β ⊗ e [φ]_β ⊗ de φ sejam diagonais. (b) (0,5) Calcule a assinatura de φ. (c) (0,7) Dê exemplo de uma base γ de R^3 tal que [φ]_γ é diagonal, mas [T]_γ não é diagonal. 6. Sejam V e W espaços vetoriais sobre F. (a) (1,0) Mostre que existe única transformação linear Γ: V ⨂ W ⨂ Hom(V*⊗W*) satisfazendo Γ(v ⨂ w)(f) = f(v)w para qualquer v ∈ V, w ∈ W, f ∈ V*. (b) (1,0) Mostre que, se dim(V) < ∞. Γ é um isomorfismo. MM719 - Exame de Qualificação - 12/03/2021 Nome: Turma: RA.: Atenção: Respostas que não estejam acompanhadas de argumentos que as justifiquem serão desconsideradas! 1) (15 pt.) Dada a seguinte matriz A = [ 2 0 1 -3 0 2 0 6 0 0 2 0 0 0 0 3 ] Encontre a forma de Jordan de A e uma base de Jordan para a mesma. 2) (20 pt.) Seja V um espaço vetorial sobre Q com dim(Q) < ∞ e seja T: V → V uma transformação linear tal que T^2 = –Id. Suponha que V contenha um subespaço T-invariante W que seja próprio e não nulo. (a) Ache o polinômio mínimo de T (b) Demonstre que a menor possível dimensão tal espaço tem será ser 4. 3) (15 pt.) Seja T: V → V um operador Q-linear injetor, dim(Q) < ∞, Q ∈ Bas(V) não degenerada tal que lm(T) seja não degenerado. Demonstre que T^V ⨂ V* é um isomorfismo. 4) (20 pt.) Sejam W_1 e W_2 Q-subespaços vetoriais de V com bases α = {v_1, ..., v_k} ⊆ W_1 e β = {w_1, ..., w_k} ⊆ W_2. Demonstre que W_1 = W_2 se e somente se existe c ∈ Q não nulo tal que v_1 Λ v_2 Λ ... Λ v_k = c(w_1 Λ w_2 Λ ... Λ w_k). 5) (30 pt.) Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. (a) Se φ, ψ é um produto tensorial dos espaços vetoriais V_1, ..., V_k, então φ é um mapa sobrejetor. (b) Se v_1, ..., v_k vetores linearmente independentes de V e w_1, ..., w_k vetores de W são tais que posto(v_1 ⨂ w_1 + ... + v_k ⨂ w_k) = 0, então w_i = 0 para todo i = 1, ..., k. (c) Se V_1, V_2, W_1, W_2 são F-espaços com dimensão finita e T_i ∈ Hom(V_i, W_i), então posto(T_1 ⨂ T_2) = posto(T_1) + posto(T_2). Boa Prova! Exame de Qualificação, Mestrado Álgebra Linear, 28 de julho de 2017 1. Seja \( V = M_n(F) \) o espaço vetorial das matrizes \( n \times n \) sobre os complexos, definimos \( tr(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots \) o traço de \( A \in V \). (a) (0,5 pt) Mostrar que \[tr \colon V \rightarrow F\] é um elemento do espaço dual \( V^* \) de \( V \). Mostrar que ainda \( tr(AB) = tr(BA) \) para quaisquer \( A, B \in V \). (b) (1 pt) Se \( f \in V^* \) satisfaz \( f(AB) = f(BA) \) para quaisquer \( A, B \in V \), mostrar que \( f \) e \( tr \) são linearmente dependentes em \( V^* \). (c) (0,75 pt) Mostrar que \( g(A,B) = tr(AB) \) é uma forma bilinear e simétrica em \( V \). Ela é degenerada? (d) (0,75 pt) Seja \( e_1, e_2, \ldots, e_{k = n^2} \) uma base de \( V \) e seja \( u_1, \ldots, u_k \) a base dual em relação a \( \{e_j \} \) de \( \{e_i, u_j = 0 se j \neq i \ e \ u_j(e_j) = e_i \} \). Mostrar que para toda matriz \( A \in V \) vale \( \sum_{i=1}^k A_{ii}u_i = tr(A) = \sum_{i=1}^{n^2} A_{ii} \ e_{ii} = \tr(A) \cdot I_n \). (Dica: Mostrar primeiro a afirmação quando a primeira base de \( V \) consiste das matrizes \( E_{ij} \), e depois fazer uma mudança de base. Como vai alterar a base dual na primeira base?) 2. Seja \( T \) uma transformação linear no espaço vetorial \( \mathbb{C}^4 \), e suponha que na base canônica ela tem matriz \( \begin{pmatrix} 4 & -2 & -1 & -2 \\ 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \) (a) (1 pt) Encontrar a forma canônica de Jordan J da matriz A. (b) (1 pt) Encontrar uma base de \( V \) onde a matriz de \( T \) seja igual a \( J \). 3. Uma transformação linear \( P:V \rightarrow V \) no espaço vetorial \( V \) é projeção se \( P^2 = P \). uma transformação linear \( S:V \rightarrow V \) é involução se \( S^2 = 1 \), a identidade. (a) (0,5 pt) Assumindo o corpo \( F \) de \( V \) de característica \( \neq 2 \), mostrar que \( P+S \) é projeção, e, somente se \( S = I - 2P \) é involução. (b) (1 pt) Encontrar uma base de \( V \) onde a matriz de \( T \) seja igual a \( J \). (c) (1 pt) Seja \( \dim V = \infty \). Para todo número natural \( k \), mostrar que existem \( P_1, P_2, \ldots, P_k \), projeções em \( V \), tais que \( P_iP_j - P_jP_i \) para quaisquer \( i \) e \( j \). 4. Seja \( V \) um espaço vetorial real com produto interno e sejam \( a_1, a_2, \ldots, a_k \in V \), o determinante de Gram \( \Gamma(a_1, a_2, \ldots, a_k) \) é o determinante da matriz \( k \times k \) que tem na entrada \( (i,j) \) o produto interno \( \langle a_i, a_j \rangle \). (a) (1 pt) Mostrar que \( \Gamma(a_1, a_2, \ldots, a_k) \geq 0 \), com igualdade se e somente se os vetores \( a_1, a_2, \ldots, a_k \) são linearmente dependentes. (b) (0,5 pt) Mostrar que \( \Gamma(a_1, a_2, \ldots, a_k) \leq |a_1| |a_2| \cdots |a_k| \). Quais são os casos onde tem-se igualdade? 5. (1 pt) Seja \( V \) um espaço vetorial de dimensão finita sobre \( \mathbb{R} \). Mostrar que existe uma única transformação linear: \( f:V^* \otimes V \rightarrow \text{End}(V) \) tal que \( f(g \otimes y)(x) = g(x)y \) para quaisquer \( g \in V^* \ e \ x, y \in V \). A transformação \( f \) é um isomorfismo? (Justificar!) Álgebra Linear Exame de qualificação Nome: ____________________ RA: ____________________ Exercícios: 1. Seja \( A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & -8 & -1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & -5 & -1 \\ 0 & -4 & 0 & -1 \end{pmatrix} \). Encontre uma matriz invertível \( P \) tal que \( P^{-1}AP = J \) seja uma matriz de Jordan. 2. Se \( f \) e \( g \) sao duas formas quadráticas em \( x_1, \ldots, x_n \) sobre os reais, e \( f \) é positiva definida, então podemos reduzir simultaneamente as duas em soma de quadrados? 3. Seja \( A \) uma matriz com coeficientes reais. Se pensarmos \( A \) com coeficientes complexos, seja \( A = SJS^{-1} \), onde \( S \) é invertível e \( J \) é a forma canônica de Jordan de \( A \). Prove que o número e o tamanho dos blocos de Jordan de todo autovalor \( \lambda \) de \( A \) são iguais aos de \( \overline{\lambda} \), o complexo conjugado de \( \lambda \). 4. Sejam \( V \) e \( W \) espaços vetoriais de dimensão finita. Prove que \( \text{Hom}(V,W) \) é canônicamente isomorfo a \( V^* \otimes W \). 5. Seja \( V \) espaço vetorial tal que \( \dim(V) = 3 \) e seja \( B = \{ e_1, e_2, e_3 \} \) uma sua base. Seja \( A \colon V \rightarrow V \) uma transformação linear. Escreva a matriz de \( \Lambda^2 A \colon \Lambda^2 V \rightarrow \Lambda^2 V \) com respeito à base \( e_1 \wedge e_2, e_1 \wedge e_3, e_2 \wedge e_3 \) de \( \Lambda^2 V \) dada a matriz de \( A \) com respeito a \( B \). MM719 - 1S 2013 - Exame de Qualificação Nome: _______________________________________ RA: __________ Escolher questões cujo total de pontos possíveis seja 10. Bom trabalho! 1. (0,5) Considere T : R^3 -> R^2 dado por T(x, y, z) = (2x - y - z, z + x - y) e f : R^2 -> R dada por f(x, y) = x - y. Calcule a expressão do funcional linear T^*(f) com respeito à base canônica (aqui, T^* = T^t é a transposta (adjunta) de T). 2. Suponha que a matriz de um operador linear T em R^4 na base canônica seja A = [0 1 0 0 -2 1 2 1 -4 2 1 0 0 1 0 1]. (a) (2,0) Encontre uma base de Jordan. (b) (1,0) Descreva todos os subespaços T-invariantes. 3. Responda se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa justificando suas respostas. (a) (0,5) Se duas matrizes A, B possuem o mesmo polinômio mínimo e o mesmo polinômio caracte- rístico, então elas são semelhantes. (b) (0,5) V = V_1 ⊕ V_2 ⊕ ... ⊕ V_m, com V_i* é isomorfo a V_i* ⊕ V_2* ⊕ ... ⊕ V_m*. (c) (0,5) Se A ∈ M_n(R), existe P ∈ GL_n (R) tal que P A P^{-1} = A^t. (d) (1,0) Para todo operador linear T em um espaço vetor real qualquer se tem {f ∈ R[f]: f(T) ≠ 0} ≠ {0}. (e) (1,0) Se V é sob espaços vetoriais de dimensão finita, T ∈ L(V, W) e T^* é a adjunta de T com respeito a produtos internos dados em V e W, então N(T*) = Zm(T*). (f) (0,5) Se f é uma forma bilinear simétrica em V e {v_1, ..., v_n} é uma base de V tal que f(v_i, v_j) = 0 para todo i, j = 1, ..., n, então f é não degenerada. (g) (0,5) Se V é espaço vetorial real de dimensão finita com produto interno e T ∈ L(V, V), então existe operador auto-adjunto S tal que S^2 = T* o T. 4. Sejam A ∈ M_n(R) uma matriz simétrica e V um espaço vetorial real de dimensão n com produto interno. Dada uma base ortonormal α de V, considere o operador linear T tal que [T]_α = A e a forma bilinear simétrica f tal que [f]_α = A. (a) (0,5) Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: Se β é base de V tal que [f]_β é diagonal, então [T^t]_β também é diagonal. (b) (1,0) Suponha que A = [1 -1 -2 1 2 -1 -1 -1 2 -1 1 -1 2 1 2 -1], V = R^3 com produto interno usual e que α seja a base canônica. Encontre base β de V tal que [T^t]_β e [f]_β sejam diagonais. 5. Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K. Lembre que o posto de um vetor x ∈ V ⊗ W é o menor inteiro não negativo m tal que existem v_1, ..., v_m ∈ V, w_1, ..., w_m ∈ W satisfeizando u = Σ^m_{j=1} v_j ⊗ w_j. (a) (1,0) Mostre que se numa tal expressão tivermos u_1, ..., u_m linearmente independentes, então o posto de u é a dimensão do subespaço gerado por v_1, ..., v_m. (b) (0,5) Calcule o posto de (2,3,-1) ⊗ (1,-2,+3) ⊗ (2 ⊗ (2,4) ⊗ (3) ⊗ (0 -1,2) ⊗ (2,-1 3) + (1,3) + (1,0,-3) ⊗ (3-5) ∈ R^3 ⊗ R^2. (c) (1,0) Mostre que existe única φ : V* ⊗ W* -> L(V,W) linear injetora tal que o produto dual para todo f ∈ V*, w ∈ W, v ∈ V. (d) (1,0) Suponha que φ e W tenham dimensão finita e seja φ como em (c). Mostre que para todo u ∈ V* ⊗ W, o posto de u coincide com o de φ(u). MM719 - 1S 2011 - Exame de Qualificação (14/07/2011) Nome: _______________________________________ RA: __________ 1. Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo. Justifique sua resposta (respostas sem justificativas não serão consideradas). (a) (8pts) Sejam T : R^8 -> R^8 um operador linear com polinômio característico f(X) = (X - 1)^3(X - 2)^5 e polinômio minimal p(X) = (X - 1)^2(X - 2)^2 então a dimensão do subespaço dos vetores característicos de T é exatamente igual a 5. (b) (8pts) Sejam K um corpo e V um K-espaço vetorial de dimensão finita. Se T : V -> V um operador linear que não é invertível então existe um operador não nulo U : V -> V tal que T o U = U o T = 0 . (c) (8pts) Sejam K um corpo e V um K-espaço vetorial de dimensão finita. Se T : V -> V um operador linear que é invertível então T = 1F - F(T), onde F(X) ∈ K[X] é um polinômio. d) (8pts) Dados um corpo K e um número natural n > 1. Se A é a matriz, n x n, definida por A = [1 1 1 ... 1 1 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 ... 1 0 0 ... 0] então A é diagonalizável. (e) Sejam V = R^3, S = V ⊗ V o produto simétrico de V por V, W = V ∧ V = o produto exterior de V por V e B : V x V -> R a transformação bilinear definida por B((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3)) = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 + x_3y_2 + x_2y_3 + x_3y_3. (c1) (5pts) Existe T : S -> R linear tal que para todo u ⊗ v ∈ S, T(u ⊗ v) = B(u, v). (c2) (5pts) Existe U : W -> R linear tal que para todo u ∧ v ∈ W, U(u ∧ v) = B(u, v). (f) (8pts) Sejam A e B duas matrizes 4 x 4 com entradas em R. Se o polinômio mínimo de ambas é igual a X^2 e elas possuem o mesmo posto, então A e B são semelhantes. 2. Sejam K um corpo e M_n (K) o conjunto das matrizes n x n com entradas em K (n > 1). Dado A ∈ M_n, defina o operador linear T_A : M_n -> M_n por T_A(B) = A B. Mostre que: (a) (7pts) Se A, C, D ∈ M_n, α ∈ C R então T_AC+αD = T_A o T_C + αT_D. Conclua que se f(X) ∈ K[X] e A ∈ M_n, então f(T_A) = T_f(A). b) (8pts) A e T_A tem os mesmos auto-valores. c) (10pts) A é diagonalizável se e somente se T_A é diagonalizável. 3. Sejam V um C-espaço vetorial de dimensão finita n e com um produto interno hermitiano. Seja T : V -> V um operador linear. (a) (7 pts) Defina o operador adjunto T* de T, diga quando T é operador normal e enuncie o teorema espectral. (b) (7pts) Mostre que se W ⊆ V é subespaço T-invariante (ie T (W) ⊆ W) então W^L é T*-invariante. (c) (11pts) Suponha que T tenha a seguinte propriedade: todo subespaço de V que é T-invariante tambem é T*-invariante. Mostre que T é normal. BOA PROVA Álgebra Linear(MM719)-1S 2010-Exame de Qualificação-Mestrado Nome: RA: 14/12/2009 Escolher questões cujo total de pontos possíveis seja 100. Respostas sem justificativas serão desco- sideradas. Bom trabalho! 1. Responda se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. (a) (08pts) A matriz \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] é diagonalizável quando considerada no espaço M4(C). (b) (08pts) Para toda transformação linear em \(T : C^n \to C^n\) temos que \(Nu T \bigcap Im T = C^n\). (c) (08pts) Se \( V = R^3 \) com o produto interno usual, então existe um operador linear autoadjunto \(T : V \to V\) satisfazendo \(T(0, 1, 1) = (1, 1, 1) e T(1, 2, 3) = (2, 3, 5)\). (d) (08pts) Para uma matriz nilpotente \(A \in M_n(R)\) temos que \(tr(M^t) = 0\) para todo \(t \geq 1\). (e) (08pts) Se uma transformação linear \(T : C^n \to C^n\) só tem autovalores reais, então \(T\) é auto-adjunta. (f) (08pts) Se para uma transformação linear em \(T : C^n \to C^n\) valer \(T o T^* = 0\), onde \(T^*\) é a adjunta de \(T\), então \(T = 0\). (g) (08pts) Se \( V \) é um \(C\)-espaço vetorial e \(v \in V\) é um vetor não nulo, então a aplicação linear \(T_v : V \to V\) definida por \(T_v (u) = u \bigotimes v\) é injetora. 2. (15pts) Seja \( T : C^4 \to C^4\) uma transformação linear cuja matriz na base canônica é\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \]. Encontre uma base de Jordan para \(T\) e a forma canônica de Jordan de \(T\). 3. (15pts) Seja \( f(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \) uma forma quadrática definida sobre \(R^3\). Encontre uma matriz ortogonal \(U\) de forma que a troca de variáveis \(\vec{x} = U \cdot \vec{x}^' \) satisfaça \( f(x_1, x_2, x_3) = ax_1^2 + bx_2^2 + cx_3^2 \), para convenientes \(a, b, c \in R\). 4. (12pts) Seja \(\{T_i : i \in I\}\) um subconjunto de End(V) onde \(V\) é um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado \(F\). Suponha que \(T_iT_j = T_jT_i\), para todo \(i, j \in I\). Mostre que existem subespaços \(V_1, \ldots, V_m\) para algum \(m \geq 1\) tais que \(V = \bigoplus_{j=1}^{m}V_j\) e, se \(v \in V_j\) para algum \(j\), então \(v\) é autovetor generalizado de \(T_i\), para todo \(i \in I\). 5. (10pts) Dê um exemplo de espaço vetorial que não é isomorfo ao seu dual. 6. (12pts) Enuncie a propriedade universal do produto tensorial entre dois espaços vetoriais e demonstre a existência e a unicidade de tal produto.