Provas - Álgebra Linear Avançada Imecc- Unicamp

Álgebra Linear(MM719)-1S 2010-Exame de Qualificação-Mestrado Nome: _____________________________ RA: _____________________ 14/12/2009 Escolher questões cujo total de pontos possíveis seja 100. Respostas sem justificativas serão desconsideradas. Bom trabalho! 1. Responda se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. (a) (08pts) A matriz \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \) é diagonalizável quando considerada no espaço \(M_4(\mathbb{C})\). (b) (08pts) Para toda transformação linear \(T : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) temos que \(Nul(T) = Im \, T = \mathbb{C}^n\). (c) (08pts) Se \(V = \mathbb{R}^3\) com o produto interno usual, então existe um operador linear auto-adjunto \(T : V \to V \) satisfazendo \(T(0,1,1) = (0,1,1) \) e \(T(1,2,3) = (2,3,5)\). (d) (08pts) Para uma matriz nilpotente \(A \in M_n(\mathbb{R})\) temos que \(tr(A^{M^t}) = 0\), para todo \(t \ge 1\). (e) (08pts) Se uma transformação linear \(T : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}\) só tem autovalores reais, então \(T\) é auto-adjunta. (f) (08pts) Se para uma transformação linear \(T : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n\) valer \(T \circ T^* = 0\), onde \(T^*\) é a adjunta de \(T\), então \(T = 0\). (g) (08pts) Se \(V\) é um \(C\)-espaço vetorial e \(u \in V\) é um vetor não nulo, então a aplicação linear \(T_u : V \to V \) definida por \(T_u(v) = u \otimes v\) é injetora. 2. (15pts) Seja \(T : \mathbb{C}^4 \to \mathbb{C}^4\) uma transformação linear cuja matriz na base canônica é \( \begin{bmatrix} 6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \\ \end{bmatrix} \). Encontre uma base de Jordan para \(T\) e a forma canônica de Jordan de \(T\). 3. (15pts) Seja \(f(x,y,z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2xz + 2yz\) uma forma quadrática definida sobre \(\mathbb{R}^3\). Encontre uma matriz ortogonal \(U\) de forma que a troca de variáveis \( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = U \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} \) satisfaz \(f(x_1,x_2,x_3) = ax_1^2 + bx_2^2 + cx_3^2\), para convenientes \(a, b, c \in \mathbb{R}\). 4. (12pts) Seja \( \{T_i : i \in I \} \) um subconjunto de End(V) onde \(V\) é um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo algebraicamente fechado \(F\). Suponha que \(T_iT_j = T_jT_i\), para todo \(i,j \in I \). Mostre que existem subespaços \(V_1, \dots, V_m\) para algum \(m \ge 1\) tais que \(V = \bigoplus_{j=1}^{m} V_j\) e, se \(v \in V_j\) para algum \(j\), então \(v\) é autovetor generalizado de \(T_i\), para todo \(i \in I \). 5. (10pts) Dê um exemplo de espaço vetorial que não é isomorfo ao seu dual. 6. (12pts) Enuncie a propriedade universal do produto tensorial entre dois espaços vetoriais e demonstre a existência e a unicidade de tal produto. EQM Álgebra Linear 17 de julho de 2019 Nome: R.A.: Exercício 1. (4pt) Considerando as afirmações abaixo, responda falso ou ver-dadeiro, dando uma justificativa para cada resposta. 1. Todo espaço vetorial é isomorfo ao seu dual; 2. Um isomorfismo entre um espaço V e seu dual V ∗ é equivalente a um pro-duto interno não degenerado (mas não necessariamente positivo definido); 3. Dado um espaço com produto interno (V, ,), todo subespaço L ⊂ V possui complemento ortogonal L⊥ tal que V = V ⊥⊥ ⊕ L⊥; 4. O produto tensorial entre dois espaços, V ⊗ W , pode ser visto como o espaço de funcionais bilineares de V ∗ × W ∗. Exercício 2. (2pt) Mostre que se dois operadores auto-adjuntos comutam então existe uma base que os diagonaliza simultaneamente. Exercício 3. (2pt) Dada a seguinte matriz A = ( 5 4 2 1 0 1 −1 −1 −1 −1 3 0 1 −1 −2 2 ) Encontre a forma de Jordan de A e uma base de Jordan para a mesma. Exercício 4. (2pt) Seja V um espaço vetorial de dimensão n, seja ∧kV a k-ésima potência exterior de V e seja T : V → V uma transformação linear de V . Explique como definimos uma transformação linear induzida T ♯ : ∧kV → ∧kV . Utilize esta informação para definir, de modo independente de base, o determinante de uma transformação linear. MM719 - 1S 2018 - Exame de Qualificação Nome: RA: Escolher itens cujo total de pontos possíveis não ultrapasse 10,5 (existem 12 pontos disponíveis). Salvo menção em contrário, V denota um espaço vetorial sobre um corpo F. Todas as respostas devem ser devidamente justificadas (contas são justificativas). Bom trabalho! 1. Suponha que T seja um operador linear num espaço vetorial real V de dimensão finita cujos fatores invariantes são: f1(t) = t 2(t − 1) 4(t − π) 3, f2(t) = t 2(t − 1) 2(t − π) e f3(t) = (t − 1) 4(t − π). (a) (0,5) Encontre os polinômios mínimo e característico de T. (b) (0,8) Encontre uma forma canônica de Jordan para T. 2. Seja T : R4 → R4 a transformação linear dado por T (x1, x2, x3, x4) = (3x3 + 4x2, 2x1 + 2x2 − 4x3 + 2x4, x3 + x4, 3x4 − x3). (a) (1,0) Encontre uma base de Jordan com respeito a T. (b) (0,5) Calcule os fatores invariantes de T. (c) (1,0) Descreva todos os subespaços T-invariantes. 3. Seja V o espaço vetorial P2(R) dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e considere as funções fi : V → R, i = 1, 2, 3, dadas por f1(p) = p(0), f2(p) = p′ (1), f3(p) = p′′(t)dt. Z 1 0 dt. Z 1 0 f3(p) = p′′(t)dt. (a) (0,8) Verifique que fi ∈ V ∗ para i = 1, 2, 3 e que β = {f1, f2, f3} é base de V ∗. (b) (0,7) Encontre base α de V de modo que α seja sua base dual. 4. Responda se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. (a) (0,5) Se V = V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vm, então V ∗ é isomorfo à V1∗ ⊗ V2∗ ⊗ · · · ⊗ Vm∗. (b) (0,5) Se A ∈ Mn(R), existe P ∈ GLn(R) tal que P AP −1 = A†. (c) (0,5) Para todo operador linear T em um espaço vetorial real qualquer se tem f ∈ R[t] : f(T ) = 0 não é nulo tot. (d) (0,5) A imagem de uma função multilinear é um subespaço de seu contradomínio. (e) (0,5) Se W é um subespaço de V , todo elemento de W ∗ é a restrição a W de um elemento de V ∗. 5. Considere a forma quadrática em R3 dada por q(x, y, z) = 2(xy + xz + yz) − (x2 + y2 + z2) e seja φ a forma bilinear simétrica tal que v(1) = φ(v, v). Considere também o operador linear T em R3 tal que [T (ei), ej] = φ(ei, ej) para quaisquer 1 ≤ i, j ≤ 3 sendo {e1, e2, e3} a base canônica e ( , ) o produto interno usual do R3. (a) (1,0) Encontre base β de R3 com respeito a qual as representações matriciais [T ]β e [φ]β de φ sejam diagonais. (b) (0,5) Calcule a assinatura de φ. (c) (0,7) Dê exemplo de uma base γ de R3 tal que [φ]γ é diagonal, mas [T ]γ não é diagonal. 6. Sejam V e W espaços vetoriais sobre F. (a) (1,0) Mostre que existe única transformação linear Γ : V ⊗ W → HomF(V ∗, W ) satisfazendo Γ (v ⊗ w)(f) = f(v)w para quaisquer v ∈ V, w ∈ W, f ∈ V ∗. (b) (1,0) Mostre que, se dimF (V ) < ∞, Γ é um isomorfismo. Exame de Qualificação, Mestrado Álgebra Linear, 28 de julho de 2017 1. Seja V = M_n(F) o espaço vetorial das matrizes n x n sobre os complexos, definimos tr(A) = a_11 + a_22 + a_nn, com o trace de A ∈ V. a) (0,5 pt) Mostrar que tr: V' → F é um elemento do espaço dual V* de V. Mostrar que ainda tr(AB) = tr(BA) para quaisquer A, B ∈ V. b) (1 pt) Se f ∈ V* satisfaz f(AB) = f(BA) para quaisquer A, B ∈ V, mostrar que f e tr são linearmente dependentes em V*. c) (0,75 pt) Mostrar que q(A, B) = tr(AB) é uma forma bilinear e simétrica em V. Ela é degenerada? d) (0,75 pt) Seja e_1, e_2, . . . , e_k (k = n²) uma base de V e seja u_1, u_2, . . . , u_k a base dual em relação a (isto é, e_j(u_i) = 0 se i ≠ j e e_j(u_i) = 1). Mostrar que para toda matriz A ∈ V vale ∑_ii e_iAu_i = tr(A) · I_n. (Dica: Mostrar primeiro a afirmação quando a primeira base de V consiste das matrizes E_ij e depois fazer a mudança da base. Como vai alterar a base dual da primeira base?) 2. Seja T uma transformação linear no espaço vetorial V = C⁴, e suponha que a base canônica ela tem matriz A = (4 -2 -9 -2 / 1 1 4 -1 / 0 0 2 0 / 1 -1 5 1). a) (1 pt) Encontrar a forma canônica de Jordan J da matriz A. b) (1 pt) Encontrar uma base de V onde a matriz de T seja igual a J. 3. Uma transformação linear P: V → V no espaço vetorial V é projeção se P² = P; uma transformação linear S: V → V é involução se S² = I_d, a identidade. a) (0,5 pt) Assumindo o corpo F tal que 1 = -1, mostrar que P é projeção se, e somente se S = I_d - 2P é uma involução. b) (1 pt) Mostrar que se P é uma projeção então existe uma base de V que contem a imagem de P. (A dimensió de V não precisa ser finita!) c) (1 pt) Seja dim V = ∞. Para todo número natural k, mostrar que existem P_1, P_2, . . . , P_k projeções em V, tais que P_i P_j - P_j P_i para quaisquer i e j. 4. Seja V um espaço vetorial real com produto interno e sejam a_1, a_2, . . . , a_k ∈ V, o determinante de Gram Γ(a₁, a₂, . . . , a_k) é o determinante da matriz k x k que tem na entrada (i, j) o produto interno (a_i, a_j). a) (1 pt) Mostrar que Γ(a₁, a₂, . . . , a_k) ≥ 0, com igualdade se e somente se os vetores a₁, a₂, . . . , a_k são linearmente dependentes. b) (0,5 pt) Mostrar que |Γ(a_1, a_2, . . . , a_k)| ≤ |a_1| |a_2| ⋯ |a_k|². Quais são os casos onde tem-se igualdade? 5. (1 pt) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. Mostrar que existe uma única transformação linear f: V* ⊗ V → End(V) tal que f(g ⊗ v)(x) = g(x)v para quaisquer g ∈ V* e v, x ∈ V. A transformação f é um isomorfismo? (Justificar!) MM719 - 1S 2013 - Exame de Qualificação Nome: ________________________________________________________ RA: _______________ Escolher questões cujo total de pontos possíveis seja 10. Bom trabalho! 1. (0,5) Considere T : ℝ³ → ℝ² dado por T(x, y, z) = (2x − y − z, z + x − y) e f : ℝ² → ℝ dada por f(x, y) = x − y. Calcule a expressão do funcional linear T* (f) com respeito à base canônica (aqui, T* = T ̃ é a transposta (adjunta) de T ). 2. Suponha que a matriz de um operador linear T em ℝ⁴ na base canônica seja A = ┌ ┐ │ 0 1 0 0 │ │ −2 1 0 1 │ │ 0 1 0 0 │ │ 0 0 0 1 │ └ ┘ (a) (2,0) Encontre uma base de Jordan. (b) (1,0) Descreva todos os subespaços T-invariantes. 3. Responda se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa justificando suas respostas. (a) (0,5) Se duas matrizes A, B possuem o mesmo polinômio mínimo e o mesmo polinômio carac- terístico, então elas são semelhantes. (b) (0,5) V = V₁⊕V₂⊕···⊕V_m , então V* é isomorfo a V₁ * ⊕V₂ * ⊕···⊕V*_m . (c) (0,5) Se A ∈ Mₙ(ℝ), existe P ∈ GLₙ(ℝ) tal que PAP⁻¹ = A ͭ . (d) (0,5) Para todo operador linear T em um espaço vetorial real qualquer se tem f ∈ R[ξ] : f(T ) = 0 f (0). (e) (0,5) Se V e W são espaços vetoriais de dimensão finita, T ∈ L(V,W) e T* é a adjunta de T com respeito a produtos internos dados em V e W , então N(T*) = Im(T⊥). (f ) (0,5) Se f é uma forma bilinear simétrica em V e (v₁, . . . , vnₙ) é uma base de V tal que f(vi , vi) ≠ 0 para todo i = 1, . . . , n, então f é não degenerada. (g) (0,5) Se V é espaço vetorial real de dimensão finita com produto interno e T ∈ L(V,V), então existe operador auto-adjunto S tal que S² = T * T . 4. Sejam A ∈ Mₙ(ℝ) uma matriz simétrica e V um espaço vetorial real de dimensão n com produto interno. Dada uma base ortonormal α de V , considere o operador linear T tal que (T |α = A e a forma bilinear simétrica f tal que [f]α = A. (a) (0,5) Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: Se β é base de V tal que [f]β é diagonal, então [T ]β também é diagonal. (b) (1,0) Suponha que A = [-1 -1 -1│ , V = R³ com produto interno usual e que α seja a base 2 1 -1│ 2 1 -1│ └ cânica. Encontre base β de V tal que [T ]β e [f]β sejam diagonais. 5. Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo k. Lembre que o posto de um vetor v ∈ V ⊗ W é o menor inteiro não negativo m tal que existem v₁, . . . , vm ∈ V, w₁, . . . , wm ∈ W satisfazendo u = ∑ᵢⱼ vᵢ ⊗ w v j (a) (1,0) Mostre que se numa tal expressão tivermos v₁, . . . , vm linearmente independentes, então o posto de u é a dimensão do subespaço gerado por v₁, . . . , vm . (b) (0,5) Calcule o posto de (2, 3, -1) ⊗ (1, -2) + (3, -1) ⊗ (2, 2) + (0, -1, 2) ⊗ (1, -3) + (1, 0, -3) ⊗ (3, -1) ∈ ℝ³ ⊗ R². (c) (1,0) Mostre que existe única φ : V* ⊗ W → L(V,W) linear injetora tal que φ(f ⊗ w)(v) = f(v)w para todo f ∈ V*, w ∈ W, v ∈ V. (d) (1,0) Suponha que V e W tenham dimensão finita e seja φ como em (c). Mostre que para todo u ∈ V* ⊗ W , o posto de u coincide com o de φ(u). MM719 - 1S 2011 - Exame de Qualificação (14/07/2011) Nome: ________________________________________________________ RA: _______________ 1. Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo. Justifique suas respostas (respostas sem justificativas não serão consideradas) a) (8pts) Se T : ℝ⁸ ⟶ ℝ⁸ é um operador linear com polinômio característico f(X) = (X − 1)²(X − 2)² e polinômio mímimo µ(X) = (X − 1)²(X − 2)² então a dimensão do subespaço dos vetores característicos de T é exatamente igual a 5. b) (8pts) Sejam K um corpo e V um K-espaço vetorial de dimensão finita. Se T : V ⟶ V é um operador linear que não é inversível então existe um operador não nulo U : V ⟶ V tal que T o U = U o T = 0. c) (8pts) Sejam K um corpo e V um K-espaço vetorial de dimensão finita. Se T : V ⟶ V é um operador linear que é inversível então T ̄¹ = I = T(0), onde F(X) ∈ K[X] é um polinômio. d) (8pts) Dado um corpo K e um número natural n > 1. Se A é a matriz, n × n, definida por ┌ ┐ │ 1 1 1 ∙∙∙ 1 │ │ 1 1 1 ∙∙∙ 1 │ │ 1 1 1 ∙∙∙ 1 │ │ 1 1 1 ∙∙∙ 1 │ └ ┘ então A é diagonalizável. e) Sejam V = ℝ³, S = V ⊗ V = foram dado por V⟶ produto simétrico de V por W, W = V ∧V = o produto exterior de V por V e B : V ⊗ V ⟶ ℝ a transformação bilinear definida por B((x₁, x₂, x₃), (y₁, y₂, y₃)) = x₁y₁ + x₂y₂ − x₁y₃ − x₃y₃ + x₁y₂ + x₃y₂ − x₁y₃ + x₂y₃. f) (8 pts) Sejam A e B duas matrizes 4 × 4 com entradas em R. Se o polinômio mínimo de ambas é igual a X² e elas possuem o mesmo posto, então A e B são semelhantes. 2. Sejam K um corpo e Mₙ = Mₙ(K) o conjunto das matrizes n × n com entradas em K (n > 1). Dado A ∈ Mₙ, define o operador linear T_A : Mₙ ⟶ Mₙ, por T_A(B) = AB. Mostre que: a) (7pts) Se A, C, D ∈ Mₙ, a ∈ K então T_A▲C▲D = T_Ac◦ ToC + a T◦D. Conclua que se f(X) ∈ K[X] e A ∈ Mₙ então f(◦T_A) = T(A). b) (8pts) A e T_A tem os mesmos autovalores. c) (10pts) A é diagonalizável se e somente se T_A é diagonalizável. 3. Sejam V um C-espaço vetorial de dimensão finita e n e com um produto interno hermitiano. Seja T : V ⟶ V um operador linear. a) (7 pts) Defina o operador adjunto T* de T, diga quando T é operador normal e enuncie o teorema espectral. b) (7pts) Mostre que se W V é subespaço T-invariante (ie T(W) ⊆ W) então W⊥ é T*-invariante. c) (11pts) Suponha que T tenha a seguinte propriedade: todo subespaço de V que é T*-invariante também é T*-invariante. Mostre que T é normal. BOA PROVA 2