Provas - Álgebra Linear Avançada Imecc- Unicamp

MM719 - Exame de Qualificação - 12/03/2021 Nome: _________________________________ Turma: ______ R.A.: ______________ Atenção: Respostas que não estejam acompanhadas de argumentos que as justifiquem serão des-consideradas! 1) (15 pt.) Dada a seguinte matriz 2 0 1 -3 A = 0 2 0 6 0 2 0 2 0 0 0 3 Encontre a forma de Jordan de \( \lambda \) e uma base de Jordan para a mesma. 2) (20 pt.) Seja \( V \) um espaço vetorial sobre \( \mathbb{Q} \) com \( \text{dim}_{\mathbb{Q}}(V) < \infty \) e seja \( T : V \to V \) uma transformação linear tal que \( T^2 = -Id \). Suponha que \( V \) contenha um subespaço \( T \)-invariante \( W \) que seja próprio e não nulo. (a) Ache o polinômio mínimo de \( T \) (b) Demonstre que a menor possível dimensão tal espaço tem ser ser 4. 3) (15 pt.) Seja \( T : V \to V \) um operador \(\mathbb{Q}\)-linear injetor, \(\text{dim}(V) < \infty \), \( v \in B_{\alpha}(V) \) \não degenerada tal que \( Im(T) \neq \{0\} \) não seja degenerado. Demonstre que \( T^p : V \to V \) é isomorfismo. 4) (20 pt.) Sejam \( W_1 \) e \( W_2 \) \(\mathbb{Q}\)-subespaços vetoriais de \( V \) com bases \( \alpha = \{ v_1, \ldots, v_k \} \subseteq W_1 \) \( \beta = \{ w_1, \ldots, w_k \} \subseteq W_2 \). Demonstre que \( W_1 = W_2 \) se e somente se existe \( c \in \mathbb{Q} \) não nulo tal que \( v_1 \land v_2 \land \ldots \land v_k = c(w_1 \land w_2 \land \ldots \land w_k) \). 5) (30 pt.) Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. (a) Se \( \varphi, \psi \) é um produto tensorial dos espaços vetoriais \( V_1, \ldots, V_k \), então \( \varphi \) é um mapa sobrjetor. (b) Se \( v_1, \ldots, v_k \) vetores linearmente independentes de \( V \) e \( w_1, \ldots, w_k \) vetores de \( W \) são tais que \( \text{posto}(v_1 \otimes w_1 + \ldots + v_k \otimes w_k) = 0 \), então \( w_i \) = 0 para todo \( i = 1, \ldots, k \). (c) Se \( V_1, V_2, W_1, W_2 \) são \( \mathbb{F} \)-espaços com dimensão finita e \( T_i \in \text{Hom}(V_i, W_i) \), então \( \text{posto}(T_1 \otimes T_2) = \text{posto}(T_1) + \text{posto}(T_2) \). Boa Prova! EQM Álgebra Linear 17 de julho de 2019 Nome: ___________________________________ R.A.: ________________ Exercício 1. (4pt) Considerando as afirmações abaixo, responda falso ou ver- dadeiro, dando uma justificativa para cada resposta. 1. Todo espaço vetorial é isomorfo ao seu dual; 2. Um isomorfismo entre um espaço \( V \) e seu dual \( V^* \) é equivalente a um pro- duto interno não degenerado (mas não necessariamente positivo definido); 3. Dado um espaço com produto interno \( (V, g) \), todo subespaço \( L \subset V \) possui complemento ortogonal \( V^\bot \) tal que \( V \cap V^\bot = \{ 0 \} \); 4. O produto tensorial entre dois espaços, \( V \otimes W \), pode ser visto como o espaço de funcionais bilineares de \( V^* \times W^* \). Exercício 2. (2pt) Mostre que se dois operadores auto-adjuntos comutam então existe uma base que os diagonaliza simultaneamente. Exercício 3. (3pt) Dada a seguinte matriz 5 4 2 1 A = 1 -1 -1 -1 0 1 0 1 1 312 Encontre a forma de Jordan de \( \lambda \) e uma base de Jordan para a mesma. Exercício 4. (4pt) Seja \( V \) um espaço vetorial de dimensão \( n \), seja \( \land^k V \) a k-ésima potência exterior de \( V \) e seja \( T : V \to V \) uma transformação linear de \( V \). Exprima como definimos uma transformação linear induzida \( T^k : \land^k V \to \land^k V \). Utilize esta informação para definir, de modo independente de base, o determinante de uma transformação linear. MM719 - 1S 2018 - Exame de Qualificação Nome: _______________________ R.A.: ______________ Escolher itens cujo total de pontos possíveis não ultrapasse 10,5 (existem 12 pontos disponíveis). Salvo menção em contrário, \( V \) denota um espaço vetorial sobre um corpo \( \mathbb{F} \). Todas as respostas devem ser devidamente. justificadas (contas são justificativas). Bom trabalho! 1. Suponha que \( T \) seja um operador linear num espaço vetorial real \( V \) de dimensão finita cujas fatoras invariantes são: \( f_1(t) = (t^2 - t)(t - \pi^3), \ \ f_2(t) = (t^2 - 1)^2(t - \pi) \ \ \text{e} \ \ f_3(t) = (t - 1)(t - \pi) \). (a) (0.5) Encontre os polinômios mínimo e característico de \( T \). (b) (0.8) Encontre uma forma canônica de Jordan para \( T \). 2. Seja \( T : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 \) a transformação linear dada por \( T(x_1, x_2, x_3, x_4) = (3x_3 + 4x_1, 2x_1 + 2x_2, 4x_3 + 4x_2, x_3 + 4x_4 - x_5) \). (a) (1.0) Encontre uma base de Jordan com respeito a \( T \). (b) (0.5) Calcule os fatores invariantes de \( T \). (c) (1.0) Descreva todos os subespaços \( T \)-invariantes. 3. Seja \( V \) o espaço vetorial \( \mathbb{P}_3(\mathbb{R}) \) dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e considere as funções \( f_i : V \to \mathbb{R}, i = 1, 2, 3, \) dadas por \( f_1(p) = p(0), \ \ f_2(p) = p'(1), \ \ f_3(p) = \int_0^1 p''(t) \ dt \). (a) (0.8) Verifique que \( f_i \begin{Bmatrix} i \end{Bmatrix} \{1, 2, 3\} \) é base de \( V \). (b) (0.5) Encontre uma base de \( V \). Descreva os subespaços básicos de \( V \). 4. Responda uma das afirmações e averigúe a verdade ou falsidade. 5. Se \( V \equiv V_1 \begin{Bmatrix} \equiv V_2 \equiv V_m \end{Bmatrix} \), então \( V^\ast \equiv \Theta V_1 \nablav V_2 \vdash V_v \)\. (a) (0.5) Se \( V = V_1 \otimes \ldots \otimes V_m \), então \( V^* \) é isomorfo a \( V_1^* \otimes V_2^* \otimes \ldots \otimes V_m^* \). (b) (0.5) Se \( A \in GL_n(\mathbb{R}) \), existe \( P \in GL_n(\mathbb{R}) \) tal que \( P A P^{-1} = A^t \). (c) (0.5) Para todo operador linear \( T \) em um espaço vetorial real qualquer se tem \( \{ f \in \mathbb{R} \ \mid f(T) = 0 \} \neq 0 \). 4. (0.5) A imagem de uma função multililinear é um subespaço de seu contradomínio. 5. (0.5) Se \( W \) é um subespaço de \( V \), todo elemento de \( W^* \) é a restrição de \( W \) de um elemento de \( V^* \). 5. Considere a forma quadrática em \( \mathbb{R}^3 \) dada por \( q(x, y, z) = 2(yx + zx + yz) \) e seja \( \phi \) a forma bilinear simétrica tal que \( q(v) = \phi(v, v) \). Considere também o operador linear \( T \) em \( \mathbb{R}^3 \) tal \( {T}(e_1, e_1, e_1) = \begin{Bmatrix} e_1, e_2, e_3 \end{Bmatrix} \equiv \langle e_1, e_2, e_3 \rangle \) a base canônica e \( \cdot \) o produto interno dual do \( \mathbb{R}^3 \). (a) (1.0) Encontre base \( B \equiv \mathbb{R}^3 \) com respeito a qual as representações matriciais \( [T]_{\beta}^{\phi} \) de \( \phi \) \text{e} \( [t]_{T} \), \text{de} sejam grafadas de \( T \) sejam identicas. (b) (0.5) Calcule a assinatura de \( \phi \). (c) (0.7) Dê exemplo de uma base \( \mathbb{R}^3 \) tal que \( |\phi| \) é diagonal, mas \( [T]^t \) não é diagonal. 6. Sejam \( V \) e \( W \) espaços vetoriais sobre \( \mathbb{F} \). (a) (1.0) Mostre que existe única transformação linear \( \Gamma : V \otimes W \to \text{Hom}(V^*, W^*) \) satisfaçendo \( \Gamma(v \otimes w)(f) = f(v)w \) para qualquer \( v \in V \), \( w \in W \), \( f \in V^* \). (b) (1.0) Mostre que, se \( \text{dim}(V) < \infty \), \( \Gamma \) é um isomorfismo. MM719 - 1S 2013 - Exame de Qualificação Nome: _______________________________________ RA: _______________ Escolher questões cujo total de pontos possíveis seja 10. Bom trabalho! 1. (0.5) Considere T : R^3 → R^2 dado por T(x, y, z) = (2x − y − z, z + x − y) e f : R^2 → R dada por f (x, y) = x − y. Calcule a expressão do funcional linear T^*(f) com respeito à base canônica (aqui, T^* = T^t é a transposta (adjunta) de T). 2. Suponha que a matriz de um operador linear T em R^4 na base canônica seja A = \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & 2 & 1 \\ -2 & 4 & 0 & 1 \end{matrix}. (a) (2.0) Encontre uma base de Jordan. (b) (1.0) Descreva todos os subespaços T-invariantes. 3. Responda se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa justificando suas respostas. (a) (0.5) Se duas matrizes A, B possuem o mesmo polinômio mínimo e o mesmo polinômio característico, então elas são semelhantes. (b) (0.5) V = V_1 ⊕ V_2 ⊕ ⋯ ⊕ V_m, com V_i^* é isomorfo a V_1^* ⊕ V_2^* ⊕ ⋯ ⊕ V_m^*. (c) (0.5) Se A ∈ M_n(R), existe P ∈ GL_n(R) tal que P^AP^{-1} = A^t. (d) (0.5) Para todo operador linear T em um espaço vetorial real qualquer se tem {f ∈ R[f] : f(T) = 0} ≠ {0}. (e) (0.5) Se W são espaços vetoriais de dimensão finita, T ∈ L(V,W) e T^* é a adjunta de T com respeito a produtos internos dados em V e W , então N (T^*) = Zm(T^t∗). (f) (0.5) Se f é uma forma bilinear simétrica em V ∈ {v_1, ..., v_n}, é uma base de V tal que f é não degenerada. (g) (0.5) T ∈ L(V, V ) é um espaço vetorial finito com produto interno e T ∈ L(L(V, V )) entre operador auto-adjunto S tal que S^2 = T* ◦ T. 4. Sejam A ∈ M_n(R) uma matriz simétrica e V um espaço vetorial real de dimensão n com produto interno. Dada uma base ortonormal α de V , considere o operador linear T tal que T|_α é A e a forma bilinear simétrica f tal que f|_α = A. (a) (0.5) Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: Se β é a base de V tal que [f]_β é diagonal, então [T]^2_β também é diagonal. (b) (1.0) Suponha que A = \begin{matrix} -1 & -1 & -1 \ 2 & -1 & -1 \ 1 & 2 & 1 \end{matrix}, V = R^3 com produto interno usual e que α seja a base canônica. Encontre base β de V tal que [T]_β e [f]_β sejam diagonais. 5. Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K. Lembre que o posto de um vetor x ∈ V ⊗ W é o menor inteiro não negativo m tal que existem v_1, ..., v_m ∈ V, w_1, ..., w_m ∈ W satisfazendo u = Σ^m_i=1 v_i ⊗ w_i. (a) (1.0) Mostre que se numa tal expressão tivermos v_1, ..., v_m linearmente independentes, então o posto de u é a dimensão do subespaço gerado por v_1, ..., v_m. (b) (0.5) Calcule o posto de (2, 3, −1) ⊗ (1, −2) + (3, −2, 1) ⊗ (2, 2) + (0, −1, 2) ⊗ (−1, 3) + (1, −3) ⊗ (3 − 2) ∈ R^3 ⊗ R^2. (c) (1.0) Mostre que existe única φ : V^* ⊗ W → L(V, W ) linear injetora tal que φ(f ⊗ w)(v) = f (v)w para tudo f ∈ V^*, w ∈ W, v ∈ V. (d) (1.0) Suponha que V e W tenham dimensão finita e seja φ como em (c). Mostre que para tudo u ∈ V^* ⊗ W, o posto de u coincide com o de φ(u). MM719 - 1S 2011 - Exame de Qualificação (14/07/2011) Nome: _________________________________ RA: _______________ 1. Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo. Justifique suas respostas (respostas sem justificativas não serão consideradas). a) (8pts) Sejam T : R^8 → R^8 um operador linear com polinômio característico f(X) = (X − 1)^3(X − 2)^5 e polinômio minimal p(X) = (X − 1)^2(X − 2)^2 então a dimensão do subespaço dos vetores característicos de T é exatamente igual a 5. b) (8pts) Sejam K um corpo e W um K-espaço vetorial de dimensão finita. Se T : V → W é um operador linear que não é invertível então existe um operador não nulo U : V → V tal que T ◦ U = U ◦ T = 0. c) (8pts) Sejam K um corpo e V um K-espaço vetorial de dimensão finita. Se T : V → V é um operador linear que é invertível então T = I − F(T), onde F(X) ∈ K[X] é um polinômio. d) (8pts) Dados um corpo K e um número natural n > 1. Se A é a matriz n x n, definida por A = \begin{matrix} 1 & 1 & ⋯ & 1 \\ 1 & 1 & ⋯ & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 1 & 1 & ⋯ & 1 \end{matrix} então A é diagonalizável. e) Sejam V = R^3, S = V ⊗ V e o produto simétrico de V por V, W = V ∧ V = o produto exterior de V por V. Existe B : V × V → R transformando bilinear definida por B((x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2, y_3)) = x_1y_2 + x_2y_1 + x_2y_3 + x_3y_2 + x_3y_1 + x_1y_3 + x_3y_3. e_1) (5pts) Existe T : S → R linear tal que para todo u ⊗ v ∈ S , T(u ⊗ v) = B(u, v). e_2) (5pts) Existe U : W → R linear tal que para todo u ∧ v ∈ W , U(u ∧ v) = B(u, v). f) (8 pts) Sejam A e B duas matrizes 4 x 4 com entradas em R. Se o polinômio mínimo de ambas é igual a X^2 e elas possuem o mesmo posto, então A e B são semelhantes. 2. Sejam K um corpo e M_n (K) o conjunto das matrizes n x n com entradas em K (n > 1). Dado A ∈ M_n, defina o operador linear T_A : M_n → M_n, por T_A(B) = AB. Mostre que: a) (7pts) Se A, C, D ∈ M_n, α ∈ α e K então T_{αC+αD} = T_{αC}+αT_D. Conclua que se f(X) ∈ K[X] e A ∈ M_n, então f(T_A) = T_f(A). b) (8pts) A e T_A tem os mesmos auto-valores. c) (10pts) A é diagonalizável se e somente se T_A é diagonalizável. 3. Sejam V um C-espaço vetorial de dimensão finita n e com um produto interno hermitiano. Seja T : V → V um operador linear. a) (7 pts) Defina o operador adjunto T* de T , diga quando T é operador normal e enuncie o teorema espectral. b) (7pts) Mostre que se W ⊆ V é subespaço T-invariante (ie T(W) ⊆ W) então W^L é T*-invariante. c) (11pts) Suponha que T tenha a seguinte propriedade: todo subespaço de V que é T-invariante também é T*-invariante. Mostre que T é normal. BOA PROVA Álgebra Linear(MM719)-1S 2010-Exame de Qualificação-Mestrado Nome: RA: 14/12/2009 Escolher questões cujo total de pontos possíveis seja 100. Respostas sem justificativas serão desconsideradas. Bom trabalho! 1. Responda se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. (a) (08pts) A matriz \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) é diagonalizável quando considerada no espaço \(M_3(\mathbb{C})\). (b) (08pts) Para toda transformação linear em \(T : \mathbb{C}^n → \mathbb{C}^n\) temos que \( \text{Nu} \, T ⊕ \text{Im} \, T = \mathbb{C}^n\). (c) (08pts) Se \(V = \mathbb{R}^3\) com o produto interno usual, então existe um operador linear auto-adjunto \(T : V → V\) satisfazendo \(T(0, 1, 1) = (0, 1, 1) e \; T(1, 2, 3) = (2, 3, 5)\). (d) (08pts) Para uma matriz nilpotente \(A ∈ M_n(\mathbb{R}) \) temos que \(\text{tr}(M^t) = 0, \forall t ≥ 1\). (e) (08pts) Se uma transformação linear \(T : \mathbb{C}^n → \mathbb{C}^n\) só tem autovalores reais, então \(T\) é auto-adjunta. (f) (08pts) Se para uma transformação linear em \(T : \mathbb{C}^n → \mathbb{C}^n \) valer \(T ◦ T* = 0\), onde \(T*\) é a adjunta de \(T\), então \(T = 0\). (g) (08pts) Se \(V\) é um C-espaço vetorial e \(u ∈ V \) é um vetor não nulo, então a aplicação linear \(T_u : V → V\) definida por \( T_u(v) = \langle u ⊗ v \rangle\) é injetiva. 2. (15pts) Seja \(T : \mathbb{C}^4 \to \mathbb{C}^4\) uma transformação linear cuja matriz na base canônica é \(\begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\). Encontre uma base de Jordan para \(T\) e a forma canônica de Jordan de \(T\). 3. (15pts) Seja \(f(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz\) uma forma quadrática definida sobre \(\mathbb{R}^3\). Encontre uma matriz ortogonal \(U\) de forma que a troca de variáveis \(\langle u \rangle = U^{-1} \langle x_1, x_2, x_3 \rangle\) satisfaz \(f(x_1, x_2, x_3) = ax_1^2 + bx_2^2 + cx_3^2\), para convenientes \(a, b, c ∈ \mathbb{R}\). 4. (12pts) Seja \(\{T_i : i ∈ I\}\) um subconjunto de \(\text{End}(V)\) onde \(V\) é um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo algebraicamente fechado \(F\). Suponha que \(T_iT_j = T_jT_i\) para todo \(i, j ∈ I\). Mostre que existem subespaços \(V_1,...,V_m\) para algum \(m ≥ 1\) tais que \(V = \overline{\bigoplus_{j=1}^n} V_j\) e, se \(v ∈ V_j\) para algum \(j\), então \(v\) é autovetor generalizado de \(T_i\) para todo \(i ∈ I\). 5. (10pts) Dê um exemplo de espaço vetorial que não é isomorfo ao seu dual. 6. (12pts) Enuncie a propriedade universal do produto tensorial entre dois espaços vetoriais e demonstre a existência e a unicidade de tal produto.