Simulado P3 - 2023-2

Simulado Prova 3 de MA- 327 Álgebra Linear 2.o semestre de 2023 Nome: RA: Turma: Questões Valores Notas 1.a 2.5 2.a 2.5 3.a 2.5 4.a 2.5 Total 10.0 1.a Questão. Seja T : R3 → R3 a transformação linear dada por T(x, y, z) = (x, x + 2y, −3x − 3y − z) e seja β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a base canônica de R3. a) Calcule os autovalores de T. (0.5 ponto) b) Determine o autoespaço associado a cada autovalor de T. (1.0 ponto) c) Diagonalize T, ou seja, encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P de forma que D = P −1 · [T]β β · P. (1.0 ponto) 2 2.ª Questão. Seja V = C^1[0,1] o espaço das funções reais diferenciáveis e com derivada contínua, munido do produto interno ⟨f,g⟩ = ∫_0^1 f(t)g(t)dt. Considere o subespaço W = {f(t) ∈ V : f(0) = f(1) = 0} e o operador T : W → V definido por T(f)(t) = f''(t). Mostre que T é simétrico. (2.5 pontos) 4 4.ª Questão. Considere o espaço vetorial real P_2(ℝ) com o produto interno ⟨p(t), q(t)⟩ = ∫_0^1 p(t)q(t)dt. Determine a projeção ortogonal do elemento q(t) = t² sobre o subespaço W = [1, t²]. (2,5 pontos) 3.ª Questão. 1) (1,0) Seja A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \), com a, b, c ∈ ℝ satisfazendo ac > b² e a > -c. Mostre que A é positiva definida. 2) (0,5) Determine se a matriz A = \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & -9 \\ 0 & 0 & -9 & 9 \end{pmatrix} \) é positiva definida. 3) (1,0) Determine se a matriz \( \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} \) é ortogonal. 8 Bônus No espaço das funções reais contínuas C[1, 3] com o produto interno (f, g) = \int^3_1 f(t)g(t)dt, seja f(t) = 1/t. Mostre que o polinômio constante mais próximo de f(t) é dado por g(t) = \frac{1}{2} \log 3. Calcule a distância entre g e f. (2.5 pontos) 10 11 Boa Prova!