Simulado P2 - 2023-2

Simulado Prova 2 de MA- 327– Álgebra Linear 2.o semestre de 2023 Nome: RA: Turma: Questões Valores Notas 1.a 2.5 2.a 3 3.a 3 4.a 1.5 Total 10.0 1.a Questão. Sejam T : R3 −→ R3 um operador linear, B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} uma base de R3 e suponha que [T]B B =   1 0 1 0 −1 1 1 0 2   . Determine a expressão para T(x, y, z). (2.5 pontos) 2 3 2.a Questão. Para cada uma das afirmações a seguir, diga se ela é Falsa ou Verdadeira, justificando sua resposta. a) Existe uma transformação linear T : R4 −→ R3 que é injetora. b) Existe uma transformação linear T : R4 −→ R3 que é sobrejetora. c) Existe uma transformação linear T : R2 −→ R3 que é bijetora. (3 pontos) 4 5 3.a Questão. Considere em P_2(ℝ) o produto interno definido por \langle p(t),q(t)\rangle = ( \ a_0 \ a_1 \ a_2 \) \ \left( \begin{array}{rrr} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \ \left( \begin{array}{l} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{array} \right) com \ p(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 \ e \ q(t) = b_0 + b_1t + b_2t^2. a) \ (1.0) \ Calcule \ \|p(t) \| \ para \ qualquer \ p(t) \ \in \ P_2(ℝ), \ onde \ \ \| \\ \| \ é \ a \ norma \ induzida \ pelo produto \ interno \ acima. b) \ (1.0) \ Considere \ os \ vetores \ p_1(t) = 1 + t, \ p_2(t) = t \ e \ p_3(t) = t + t^2. \ Mostre \ que \ \{p_1(t),p_2(t),p_3(t)\} \ é \ uma \ base \ ortonormal \ de \ P_2(ℝ). c) \ (1.0) \ Calcule \ as \ coordenadas \ de \ um \ polinômio \ qualquer \ p(t) \ \in \ P_2(ℝ) \ em \ relação \ a \ esta base. 6 7 4.a Questão. O conjunto V = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 3y − z = 0} é um subespaço de R3. Encontre uma base ortonormal pra este subespaço. (1.50 ponto) 8 Boa Prova!