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Universidade Estadual de Feira de Santana Departamento de Ciências Exatas Área de Matemática EXA 374 Geometria Analítica Licenciatura em Matemática TP01 EXA 609 Geometria Analítica Bacharelado e Licenciatura em Física TP01 Semestre 20251 Prof Claudiano Goulart Primeira Lista de Exercícios Vetores Primeira Parte Tratamento Geométrico da Teoria de Vetores 1 Formalmente o que é um vetor A Uma reta B Uma seta C Um conjunto D Um segmento de reta orientado E Um segmento de reta 2 Ao dizer que dois objetos são equipolentes estamos nos referindo a A Vetores B Retas C Planos D Segmentos orientados E Dois segmentos que se interceptam 3 A figura ao lado é formada por 9 quadrados congruentes de lado unitário Decida as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras justificando sua resposta A 𝐵𝑃 13 B O vetor 𝐴𝐹 é unitário C 𝑃𝐿 𝐴𝐸 D 𝑀𝐺 𝐴𝐾 E Os vetores 𝐼𝐶 𝑒 𝐿𝑂 são colineares F Os vetores 𝐹𝐾 𝑒 𝐻𝐶 são iguais G O ângulo entre os vetores 𝐵𝐴 𝑒 𝐵𝐺 é 135º H Os vetores 𝑀𝑃 𝑒 𝐺𝐹 tem a mesma direção I Os segmentos orientados 𝐷𝐺 𝑒 𝑃𝐾 são representantes de um mesmo vetor J O ângulo entre os vetores 𝐸𝐺 𝑒 𝐺𝐽 é 45º K Os vetores 𝐿𝐻 𝑒 𝐴𝑀 tem o mesmo sentido L Os vetores 𝐵𝐿 𝑒 𝐽𝑀 são ortogonais M O ponto 𝐾 é o baricentro do triângulo 𝑃𝐶𝑁 N Os segmentos orientados 𝑁𝐾 𝑒 𝐹𝐶 são equipolentes O Os pontos 𝐴 𝐶 𝐻 𝐹 são vértices de umparadelogramo P O ângulo entre os vetores 𝑂𝐶 𝑒 𝐺𝐾 é 0º Q O ângulo θ entre os vetores 𝐸𝑃 𝑒 𝐸𝐻 é tal que 𝑡𝑔 𝜃 23 R A área do paralelogramo 𝐴𝐶𝐻𝐹 é igual a 2 S O versor de 𝐵𝐿 é o vetor 1 2 𝐴𝐹 T Os segmentos orientados 𝐹𝐺 𝑒 𝐽𝐾 são iguais 4 Usando a figura da questão anterior calcule as operações vetoriais indicadas abaixo A a E e a associe à resposta correta F a J A 2 3 𝑀𝐷 1 2 𝑃𝐹 G 𝐸𝐷 B 𝐴𝐵 𝑃𝐻 𝐹𝑀 H 𝐴𝐵 C 𝐹𝐾 𝐷𝐻 I 𝑀𝐹 D 𝑀𝐴 1 2 𝐹𝑃 J 𝐵𝐻 E 𝑀𝑁 𝐹𝑃 𝑁𝐽 K 𝐴𝐻 F 2𝐸𝐻 0 1 3 𝑂𝐶 L 𝑂 5 Em cada uma destas figuras planas apresentadas abaixo calcule o ângulo em graus entre os vetores 𝐴𝐵 𝑒 𝐵𝐶 Atenção Para o cálculo de ângulos entre vetores devese procurar representantes com a mesma origem 6 A figura abaixo representa um paralelepípedo de vértices 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 Identifique se os conjuntos a seguir são formados por vetores coplanares ou não coplanares A 𝐴𝐺 𝐻𝐹 𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐵 𝐻𝐹 𝐶 𝐷𝐸 𝐷𝐴 𝐷𝐹 𝐷 𝐸𝐺 𝐵𝐷 𝐻𝐻 7 Indique se cada afirmação é falsa ou verdadeira justificando sua resposta A 𝑢 2𝑣 𝑢 2𝑣 B Se 𝑀 é o ponto médio de um segmento 𝐴𝐵 então 𝐴𝑀 1 2 𝐴𝐵 C 𝑢 𝑒 𝑣 possuem o mesmo sentido se e somente se 𝑢 𝑘 𝑣 para algum valor real 𝑘 D 𝑢 0 se e somente se 𝑢 0 E 𝑘 𝑣 𝑘 𝑣 quaisquer que sejam o vetor 𝑣 e a constante real 𝑘 F 𝑢 𝑣 se e somente se 𝑢 𝑣 𝑜𝑢 𝑢 𝑣 G 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 H Se 𝑣 0 então 𝑘 𝑣 𝑣 se e somente se 𝑘 1 Observação Para a resolução das questões 8 9 e 10 considere as seguintes informações sobre medianas e baricentro de um triângulo Os segmentos de reta que unem cada vértice de um triângulo ao ponto médio do lado oposto são chamados Medianas do triângulo Podese mostrar que I as três medianas de um triângulo se encontram em um único ponto denominado Baricentro II O Baricentro de um triângulo divide cada mediana na razão de 2 pra 1 a partir de cada vértice A figura a seguir ilustra os vértices medianas e baricentro de um triângulo 8 Sejam 𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝑒 𝐶𝑃 medianas de um triângulo 𝐴𝐵𝐶 Escreva os vetores 𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝑒 𝐶𝑃 como combinação linear dos vetores 𝐴𝐵 𝑒 𝐴𝐶 9 A questão anterior nos permite concluir que a adição vetorial 𝐴𝑀 𝐵𝑁 𝐶𝑃 é A um vetor não nulo paralelo a 𝐴𝐵 B um vetor unitário C um vetor não nulo paralelo a 𝐴𝐶 D o vetor nulo E um vetor não nulo ortogonal a 𝐵𝐶 10 Seja 𝑋 o baricentro do triângulo 𝑃𝑄𝑅 representado ao lado Denotando por 𝐵 𝐶 𝑒 𝐷 os pontos médios dos segmentos 𝑃𝑄 𝑄𝑅 𝑒 𝑃𝑅 respectivamente Dentre as 5 equações abaixo apenas 3 são verdadeiras Identifiqueas A 𝑃𝑋 1 2 𝑃𝐶 B 𝑄𝑋 2 3 𝑄𝐷 C 𝐵𝑋 1 3 𝑅𝐵 D 𝑋𝐶 1 2 𝑋𝑃 E 𝑅𝐵 3 2 𝑅𝑋 11 A figura ao lado representa um triângulo 𝐴𝐵𝐶 Denotemos por 𝑋 o seu baricentro Escreva 𝐵𝐷 como combinação linear dos vetores 𝐴𝐵 e 𝑋𝐷 12 A figura ao lado apresenta dois paralelogramos 𝐴𝐵𝐶𝐷 e 𝐵𝐺𝐹𝐸 Sabese que 𝐻 𝑒 𝐼 são os pontos de encontro das diagonais destes paralelogramos respectivamente Além disto 𝐵 é ponto médio do segmento 𝐴𝐺 e 𝐶 é ponto médio de 𝐵𝐸 Escreva o vetor 𝐻𝐼 em função dos vetores 𝐴𝐵 e 𝐴𝐷 13 A figura ao lado representa um triângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 Denotemos por 𝑋 o ponto de encontro de suas diagonais Qual o valor de 𝑘 na equação vetorial 𝐵𝑋 𝑘 𝐷𝑋 A 1 B 12 C 1 D 12 E 13 Segunda Parte Tratamento Algébrico da Teoria de Vetores Coordenadas Cartesianas no plano e no Espaço 14 Analise as afirmações a seguir e decida se são verdadeiras V ou falsas F justificando sua resposta A O vetor 𝑣 111 é unitário pois suas coordenadas são iguais a 1 B Se 𝐴 1 12 𝑒 𝐵 111 então 𝐴𝐵 02 1 C O vetor 𝑢 2 3 só possui representantes no terceiro quadrante pois suas coordenadas são negativas D O representante do vetor 𝑣 2 1 com extremidade 𝐸 1 1 tem origem em 𝐹 1 2 E Fixada uma base ortonormal 𝑖 𝑗 𝑘 no espaço então 𝑘 𝑖 2𝑗 1 12 F Dado um número real 𝑦 então 𝑃 00 𝑦 é um ponto sobre o eixo das cotas 15 Considere os vetores 𝑢 111 𝑣 10 2 𝑒 𝑤 011 Escreva o vetor 𝑝 139 como combinação linear isto é em função de 𝑢 𝑣 𝑒 𝑤 16 Determine o perímetro do triângulo de vértices 𝐴 1 2 𝐵 4 2 𝑒 𝐶 42 17 Considere os pontos 𝐴 31 2 𝐵 151 𝐶 𝑎 𝑏 7 Os números reais a b que tornam 𝐴 𝐵 𝑒 𝐶 colineares são tais que 𝑎 𝑏 é igual a A 39 B 16 C 16 D 10 E 10 18Determine os valores de 𝑘 para que o vetor 𝑣 𝑘 1 𝑘 12 seja unitário 19Verifique algebricamente que os pontos A 440 B 12 1 e C 2 11 são vértices de um triângulo isósceles e apresente uma representação gráfica desta figura plana 20 Verifique algebricamente que os pontos P 2 32 Q 010 R 00 3 e S 2 25 são vértices de um paralelogramo e apresente uma representação gráfica desta figura plana 21 Construa 4 pontos X Y Z T no espaço que sejam vértices de um trapézio e apresente uma representação gráfica desta figura plana 22 A figura abaixo apresenta as coordenadas de três pontos 𝐴 𝐵 𝐶 com respeito a um fixado sistema de coordenadas no plano Encontre todos os pontos 𝐷 sobre o plano de modo que 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 sejam vértices de um paralelogramo Atenção Existem três possíveis soluções para este problema É necessário apresentar todas elas 23 Na figura ao lado é representado um paralelepípedo retângulo de vértices 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 Sabese que i a base 𝐴𝐵𝐶𝐷 está sobre o plano 𝑂𝑋𝑌 ii 𝐼 é ponto médio de 𝐴𝐵 iii 𝐽 é ponto médio de 𝐵𝐶 iv 𝐴𝐵 6 𝐴𝐷 4 𝐴𝐸 2 v o eixo 𝑂𝑋 é paralelo ao segmento 𝐵𝐶 Com base nas informações anteriores escreva as coordenadas dos pontos A B C D E F G H I e O Em seguida verifique se afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras justificando sua resposta a O quadrado do comprimento do vetor 𝐻𝐵 é 56 b 𝑚 1 é a única solução da equação 𝐴𝐹 𝑚 𝐵𝐺 217 c A extremidade do representante do vetor OG com origem no ponto 𝐻 é um ponto do plano 𝑂𝑋𝑍 d O ponto médio do segmento 𝐻𝐹 se encontra sobre o eixo 𝑂𝑍 e 𝐹𝐻 𝐴𝐷 2𝐽𝑂 24 Sendo 𝑢 𝑖 𝑗 𝑒 𝑣 𝑗 𝑘 podese afirmar que A 𝑢 𝑣 2 B 𝑢 𝑣 2 4 C 𝑢 𝑣 1 D 𝑢 𝑒 𝑣 são colinares E 𝑢 𝑣 2 2 25 Sejam 𝐴 𝐵 𝐶 pontos não colineares Sendo 𝐴 11 𝑒 𝐵 31 então a mediana do triângulo 𝐴𝐵𝐶 com origem em 𝐶 tem extremidade em A 01 B 00 C 11 D 10 E 20 26 O baricentro de um triângulo 𝐴𝐵𝐶 é a origem de um sistema de coordenadas cartesianas fixado no espaço Determine as coordenadas do vértice C sabendo que 𝐴 2 1 2 𝑒 𝐵 101 27 Encontre todos os pontos 𝑄 sobre o eixo das abscissas cujo quadrado da distância ao ponto 𝑃 111 é igual a 3 28 Na figura ao lado temse i O 𝐴 𝐸 𝐻 𝐺 são vértices de um paralelogramo ii O 𝐵 𝐶 𝐷 divide o segmento 𝐴𝐸 em partes iguais iii 𝐸 é ponto médio de 𝐴𝐹 Sabendo que 𝐵 6 8 𝐸 12 2 𝑒 𝐻 1412 então 𝐺𝐹 é igual a A 2 10 B 200 C 10 2 D 16 E NDA 29 Considere os pontos 𝐴 10 1 𝐵 421 𝑒 𝐶 120 Sobre a equação 𝑚𝐴𝐶 𝐵𝐶 7 podese afirmar que A Possui apenas uma solução m 3 B Possui exatamente duas soluções inteiras C Possui exatamente duas soluções irracionais D Possui exatamente duas soluções racionais E Não possui nenhuma solução 30 A figura ao lado representa um quadrado de vértices 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 São conhecidas as coordenadas dos pontos 𝐴 𝑒 𝐶 e do versor do vetor 𝐴𝐵 conforme informações dadas Encontre as coordenadas dos pontos B e D Em seguida decida se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras justificando sua resposta A 𝐵𝐷 0 𝑖 C Cada lado do quadrado ABCD mede 8 B 𝐵𝐷 4 D O ponto médio do segmento BD é M121 Bons Estudos