Lista 5 de Geometria Analítica Professor Jaime Velasco

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO\nINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA\nLista de Exercícios de Geometria Analítica\nProf. Jaime Velasco Câmara da Silva\n\nLISTA 6 - Planos\n\n1. Em cada item abaixo, determine as equações geral, vetorial e paramétricas do plano α que contém:\n\n(a) o ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores \\( \\vec{u} = (1,2,3) \\) e \\( \\vec{v} = (2,-1,-1) \\);\n(b) o ponto A(1,-2,1) e é paralelo aos vetores \\( \\vec{u} = (1,1,-1) \\) e \\( \\vec{v} = (1,1,-2) \\);\n(c) o ponto A(1,0,2) e é paralelo ao plano β: 2x + y + 5z - 3 = 0;\n(d) o ponto A(2,-1,3) e é paralelo ao plano xx;\n(e) os pontos A(1,0,2), B(1,2,3) e C(0,1,2);\n(f) os pontos A(1,2,1), B(2,3,1) e C(0,-2,4);\n(g) as retas \\( r_1: P = (7,2,1) + t(3,2,-2) \\) e \\( r_2: P = (1,-2,-5) + t(2,-3,4) \\);\n(h) as retas \\( r_1: P = (-0,-1,-3) + t(2,1,1) \\) e \\( r_2: P = (-1,2,0) + t(4,2,2) \\).\n\n2. Calcule ângulo entre os planos:\n\n(a) α: -y + z + 2 = 0;\n(b) β: y + z + 2 = 0;\n(c) β: 3x - 2y - z = 0.\n\nSabendo que α é o plano que contém os pontos A(1,1,1), B(1,0,1) e C(1,1,0) e que β é o plano que contém os pontos P(0,0,1) e Q(0,0,0) e é paralelo ao vetor \\( \\vec{v} = (1,0,0) \\), calcule <α, β>.\n\n4. Em cada item a seguir, dados os planos α e β, determine a posição relativa entre eles. Caso sejam transversais a α, determine a equação vetorial da reta r dada como intersecção desses planos:\n\n(a) r: 3x - 2y + 5z + 9 = 0 e β: -6x + 4y - 10 = 0;\n(b) α: x - 2y - 3 = 0 e β: x = -4y + 2z + 1 = 0;\n(c) r: P = (3,2,-1) e α: 2x - 2y - z - 10 = 0;\n(d) α: z = -1 + 0;\n(e) α: P = (1,2,0) + t(1,0,1) + s(0,1,0) e β: P = (1,0,3) + t(1,1,1); 1) ponto A(1,-2,1) // || B(1,1,-1) e C(1,1,-2)\n\nEq. Paramétrica: \nL((x,y,z) = (1,-2,1) + h(1,1,-1) + t(1,1,-2))\n\nEq. Paramétrica → \n{ x = 1 + h + t \n y = -2 + h + t \n z = 1 - h - 2t} \n\nEq. Geral →\n-x + y - 3 = 0\n\nd = 3x - 4 + 2t = 0\n\n-e(y - z) + x + y = 0\n\nx - y - 3 = 0 1) O ponto A(1,0,2) é // ao plano \\beta (3x-9+3z=0)\n\nEq. Geral - (x(2) + 0(1) + 2(5) = 0,\n2 + 0 + 10 = d = 0,\n\n1/2 = a\n\nEq. Int. →\n2x - y + 5z - 12 = 0\n\n(x,y,z) = (0,1,2,0) + h(1,2,0) + t(0,5,1)\n\nEq. Paramétrica\n{ x = h \n y = 1 + 2h + st \n z = t} \n\nO ponto A(2, 1, 3) é // ao plano xz (1,0,1)\n\nEq. Int. → (x,y,z) = (0,0,0) + h(1,0,1) + t(0,1,0)\n\nEq. Geral → \nA x k x 0z = \n\nEq. Paramétrica\n{ x = k \n y = -1 \n z = t} 1) O ponto A(1,0,2), B(12,3) e C(0,1,2) \n\nAB || AC não são || entre si\n\nC || d -> (-1, -1, 1) / d\n\nAB x AC há || entre si\n\n(4,0,2) + t(0,2,1) + s(-1,1,0)\n\nP: { x = 1 - s \n y = 2t - s \n z = 2t \n}\n\neq. geral: ax + by + cz = 0\n\n-x - y + 2z - 3 = 0\n\nd = 3.\n\nA) Os pontos A(1,2,1), B(2,3,1) e C(0,-2,1)\n\nC || d -> (-1, -4,3) / d\n\n\n6) vetorial P: (1,2,1) + t(1,0,1)\n\nP: { x = 1 + t + b \n y = 2 + t + b \n z = 1 - h - 2t \n}\n\nEq. Geral → \n\n3x - 3y - 2z + 6 = 0 Os vetores a) P1 = (7, 2, 1) + t(3, 2, 2) = x1: P1 = (1, -2, 5) + t(2, -1, 4)\nComo calcular n1 e n2, um ponto a d e dar um ponto a uma dessas retas.\nA: (7, 2, 1) ⟹\n\neq. P1: d: P: = (7, 2, 1) + t(3, 2, 2) + 5(2, 3, 4)\neq P: x7 + 3t + 25\ny2 + 2t = 35\n 2 = 1 - 1t - 45\neq. geral: 2x - 16y - 13z + c = 0\n\n- 2x - 16z - 13 + c = 0\n2*\\frac{32-15}{40} = 0\n \\rightarrow = 0\n\n2x - 16y - 13z + 0\n\nComo calcular: P = (0, -1, 3) = P(1, 1)\nA: (0, -1, 3) ⟹ P = P(2, 1, 1)\n\n\\begin{cases}\n2x + 4z = 0\\\\\nx + y + z = 0\n\\end{cases}\n\neq. geral: P: = (0, -1, 3) + t(2, 1, 3)\\nSr. vetores também precisam ser nas direções \\rightarrow\n\n\\begin{cases}\n3y - 12, z = y + 6\\\n3y = 2\ndpdx = 21 + 6x\n\\end{cases}\nr\n\nO = x - y + 2z = 0\\\nO + 0 - 2 - 0\\\n-2y + 2z - 2 = 0 Calcule o ângulo entre os planos.\nD: L: -y + 1 + 0 e β: y*z = 1.0\nn1: (0, -1, 1) ⇒ d2 \n\nx1 = 0, y2 = 0\\\ncosΘ = \\frac{1}{|n1||n2|}cosΘ = \\frac{1}{1}\\\n\ncosΘ = |(0, -1, 1) - (0, 1)|\n\\frac{10 + 10}{|\\square{1}|} \\ncosΘ = \\sqrt{[x^2 + y^2 + z^2]}\n= \\frac{1}{\\frac{1}{\\sqrt{2}}}\\\n\\frac{1}{\\sqrt{4}}\\\n\ncós\Theta = \\{θ\tπ \over 4\\}\n d = 2\t \ncosΘ = \\{\sqrt{1}/16}