Geometria Analítica - Triângulo Retângulo, Produto Interno e Vetorial

MAPA MAT GEOMETRIA ANALÍTICA Até 06072023 2359 Horário de Brasília QUESTÃO 1 A figura seguinte mostra em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais em que a unidade de medida de comprimento é o centímetro uma região triangular ABC a qual está inserida em um retângulo incompleto de lados pontilhados Com base nessas informações resolva os itens a seguir a Prove que o triângulo ABC é retângulo usando a definição geométrica do produto interno b Use a definição geométrica de produto vetorial e prove que os vetores AB e AC são ortogonais c Use o produto interno e determine o valor da medida do ângulo C OBSERVAÇÃO para maior facilidade na execução dessa atividade a seguir apresentamos mais detalhes sobre a sua realização Leia com atenção as informações contidas aqui e procure outras informações sobre o assunto que agreguem a sua atividade Seu texto deve ser escrito na fonte Times New Roman ou Arial e com tamanho de letra 12 Não se esqueça de inserir todos os cálculos realizados fotografias dos cálculos não serão aceitas MAPA MAT GEOMETRIA ANALÍTICA Até 06072023 2359 Horário de Brasília QUESTÃO 1 A figura seguinte mostra em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais em que a unidade de medida de comprimento é o centímetro uma região triangular ABC a qual está inserida em um retângulo incompleto de lados pontilhados Com base nessas informações resolva os itens a seguir a Prove que o triângulo ABC é retângulo usando a definição geométrica do produto interno Primeiro definimos os pontos de cada vértice em relação à origem A0 4B26C40 Agora definimos os vetores que representam os lados do triângulo AB260422 CA0 44 044 CB264026 Agora fazemos os produtos internos entre os vetores que representam seus lados Se um deles resultar em zero dois lados são ortogonais entre si o que significa que temos um triângulo retângulo ABCA2244880 ABCB22264124 CB CA264 482432 Como obtivemos apenas um resultado nulo podemos concluir e afirmar que o triângulo ABC é retângulo b Use a definição geométrica de produto vetorial e prove que os vetores AB e AC são ortogonais Pela definição geométrica de produto vetorial temos que o vetor resultante será ortogonal aos dois vetores originais AB220 ACCA4 40 AB AC24 k42k8 k8 k16 k0016 Como vemos o vetor resultante possui coordenadas nulas nas abscissas e nas ordenadas o que significa que os vetores originais são ortogonais entre si pois não têm coordenadas em comum com o vetor resultante c Use o produto interno e determine o valor da medida do ângulo C Temos que CA CBCACBcosα αcos 1 CA CB CACBco s 1 CA CB CACB CA CB4 42632 já calculadonoitem A CA CB αcos 1 32 4 º OBSERVAÇÃO para maior facilidade na execução dessa atividade a seguir apresentamos mais detalhes sobre a sua realização Leia com atenção as informações contidas aqui e procure outras informações sobre o assunto que agreguem a sua atividade Seu texto deve ser escrito na fonte Times New Roman ou Arial e com tamanho de letra 12 Não se esqueça de inserir todos os cálculos realizados fotografias dos cálculos não serão aceitas MAPA MAT GEOMETRIA ANALÍTICA Até 06072023 2359 Horário de Brasília QUESTÃO 1 A figura seguinte mostra em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais em que a unidade de medida de comprimento é o centímetro uma região triangular ABC a qual está inserida em um retângulo incompleto de lados pontilhados Com base nessas informações resolva os itens a seguir a Prove que o triângulo ABC é retângulo usando a definição geométrica do produto interno Primeiro definimos os pontos de cada vértice em relação à origem 𝐴 0 4 𝐵 2 6 𝐶 4 0 Agora definimos os vetores que representam os lados do triângulo 𝐴𝐵 2 6 0 4 2 2 𝐶𝐴 0 4 4 0 4 4 𝐶𝐵 2 6 4 0 2 6 Agora fazemos os produtos internos entre os vetores que representam seus lados Se um deles resultar em zero dois lados são ortogonais entre si o que significa que temos um triângulo retângulo 𝐴𝐵 𝐶𝐴 2 2 4 4 8 8 0 𝐴𝐵 𝐶𝐵 2 2 2 6 4 12 4 𝐶𝐵 𝐶𝐴 2 6 4 4 8 24 32 Como obtivemos apenas um resultado nulo podemos concluir e afirmar que o triângulo ABC é retângulo b Use a definição geométrica de produto vetorial e prove que os vetores AB e AC são ortogonais Pela definição geométrica de produto vetorial temos que o vetor resultante será ortogonal aos dois vetores originais 𝐴𝐵 2 2 0 𝐴𝐶 𝐶𝐴 4 4 0 𝐴𝐵 𝐴𝐶 2 4 𝑘 42 𝑘 8𝑘 8𝑘 16𝑘 0 0 16 Como vemos o vetor resultante possui coordenadas nulas nas abscissas e nas ordenadas o que significa que os vetores originais são ortogonais entre si pois não têm coordenadas em comum com o vetor resultante c Use o produto interno e determine o valor da medida do ângulo C Temos que 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝑐𝑜𝑠α α 𝑐𝑜𝑠 1 𝐶𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝑐𝑜𝑠 1 𝐶𝐴𝐶𝐵 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝐶𝐴 𝐶𝐵 4 4 2 6 32 𝑗á 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝐴 𝐶𝐴 4 2 4 2 4 2 𝐶𝐵 2 2 6 2 2 10 º α 𝑐𝑜𝑠 1 32 4 22 10 𝑐𝑜𝑠 1 2 5 5 26 565 OBSERVAÇÃO para maior facilidade na execução dessa atividade a seguir apresentamos mais detalhes sobre a sua realização Leia com atenção as informações contidas aqui e procure outras informações sobre o assunto que agreguem a sua atividade Seu texto deve ser escrito na fonte Times New Roman ou Arial e com tamanho de letra 12 Não se esqueça de inserir todos os cálculos realizados fotografias dos cálculos não serão aceitas